专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型二 证明两三角形相似 题型三 尺规作图使两个三角形相似 题型四 格点图中找相似三角形 题型五 相似三角形判定定理的证明 题型六 重心的有关性质 题型七 相似三角形的判定与性质综合 题型八 利用相似三角形的性质求解 题型九 证明三角形的对应线段成比例 题型十 利用相似求坐标 题型十一 在网格中画已知三角形相似的三角形 题型十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十五 运用相似三角形的性质解决动点问题 题型十六 运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十七 相似三角形的综合问题 题型十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题 知识点1：相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点2：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【经典例题一 选择或者补充条件使两个三角形相似】 【例1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，中，分别是边上一点，连接，请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）． 3．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【经典例题二 证明两三角形相似】 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若的三边长分别是，，，则与相似的的边可能是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24·山西太原·模拟预测）的三条中线、、交于点，若，则的长为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【经典例题三 尺规作图使两个三角形相似】 【例3】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 1（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角中． (1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法） (2)请用数学语言简述作图的合理性． 2、（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 3、（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题四 格点图中找相似三角形】 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 2．（2024·天津滨海新·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）圆与格线交于点，点为线段上一动点，当取得最小值时，请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2024·吉林长春·三模）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的平行线． (2)在图②中，在边上找一点，使． (3)在图③中，找一点，使点和点关于对称． 【经典例题五 相似三角形判定定理的证明】 【例5】（23-24·山东济宁·一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 1．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【经典例题六 重心的有关性质】 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 1．（2024·陕西渭南·二模）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为 ． 3．（23-24·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【经典例题七 相似三角形的判定与性质综合】 【例7】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． (1)求证：； (2)若，．求的值． 【经典例题八 利用相似三角形的性质求解】 【例8】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（　　）    A． B． C． 或4 D． 或4 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 3．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 【经典例题九 证明三角形的对应线段成比例】 【例9】（23-24·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点分别在的延长线，的延长线上，连接分别交于点则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 3．（23-24·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【经典例题十 利用相似求坐标】 【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 1．（23-24·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【经典例题十一 在网格中画已知三角形相似的三角形】 【例11】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.和的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若~且两三角形不全等，则P点所在的格点为（    ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【经典例题十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 【例12】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．点为边中点，点为线段上一动点．将沿折叠，点的对应点为，直线与线段交于点．当与相似时，线段的长为 ． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，折痕与边交于点O． (1)求证：． (2)若与的周长比为，求边的长． 【经典例题十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 【例13】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．    3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）【问题背景】中，，，为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转．    【用数学的眼光观察】 （1）如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：________； ①；②；③；④． 【用数学的思维思考】 （2）将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、．与相似吗？请说明理由． 【经典例题十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 【例14】（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第5条 B．第6条 C．第7条 D．第8条 1．（23-24九年级下·浙江·期中）如图，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 2．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 ． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ． (2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由． (3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点． 【经典例题十五 运用相似三角形的性质解决动点问题】 【例15】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 1．（23-24·山东泰安·一模）如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 2．（23-24·湖北孝感·三模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作交于点．设点运动路程为，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ．    3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【经典例题十六 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例16】（23-24九年级下·上海·单元测试）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？(　　) A．12 B．11.52 C．13 D．8 1．（14-15八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，直角梯形的位置如图所示，，，．M、N分别在线段，线段上运动，当的面积达到最大时，存在一种使得周长最小的情况，则此时点M的坐标为 (    )．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ． 3．（2024·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【经典例题十七 相似三角形的综合问题】 【例17】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 2．（23-24·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【经典例题十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 【例18】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作的平行线分别交、于D点、E点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 2．（23-24·四川巴中·模拟预测）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点、点分别是边上的动点，，连接，下列说法错误的是（　　） A．是等边三角形 B．的最小值是1 C．当最小时 D．当时， 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A． B． C．四边形面积的最大值为 D． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，中线相交于点O，连接，下列结论中，正确的个数有（     ）． ①；  ②；  ③；  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24·宁夏银川·模拟预测）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ．（只需填一个）    7．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为 ，最小值为 ． 8．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，把沿边平移到的位置，边与交于点，设的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·山西长治·期中）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为可伸缩支撑杆，已知，，．如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转，与相交于点P，当，且时，则的长度为 ． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 12．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，已知，，． (1)求的长 (2)设与相交于点，若，求的值． 13．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）【问题提出】 （1）如图1，点E为正方形的边的中点，连接、相交于点F，若的面积为4，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，E为边上的点，点F在边上，且，连接、，，与的延长线交于点G，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园，为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在的延长线上取一个点E，上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在的延长线与的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，的长应为60米，请你计算灌溉水渠的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型二 证明两三角形相似 题型三 尺规作图使两个三角形相似 题型四 格点图中找相似三角形 题型五 相似三角形判定定理的证明 题型六 重心的有关性质 题型七 相似三角形的判定与性质综合 题型八 利用相似三角形的性质求解 题型九 证明三角形的对应线段成比例 题型十 利用相似求坐标 题型十一 在网格中画已知三角形相似的三角形 题型十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十五 运用相似三角形的性质解决动点问题 题型十六 运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十七 相似三角形的综合问题 题型十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题 知识点1：相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点2：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【经典例题一 选择或者补充条件使两个三角形相似】 【例1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 1．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，中，分别是边上一点，连接，请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件． 【详解】解：， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 证明两三角形相似】 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故A不符合题意； 由得到，结合，不可以得到，故B符合题意； 由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故C不符合题意； 由，结合，可以根据两组边对应成比例且它们的夹角相等的两个相似三角形得到，故D不符合题意； 故选：B． 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若的三边长分别是，，，则与相似的的边可能是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定定理，根据三边对应成比例的两个三角形相似即可求解，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴， ∴与不相似； 、，，， ∴， ∴与不相似； 、∵，，， ∴， ∴与不相似； 、∵，，， ∴， ∴与相似； 故选：． 2．（23-24·山西太原·模拟预测）的三条中线、、交于点，若，则的长为 ． 【答案】15 【分析】连接，则，根据解题即可． 【详解】解：连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查相似三角形和三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 尺规作图使两个三角形相似】 【例3】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】解：如图所示，点D即为所作求． 由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 1（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角中． (1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法） (2)请用数学语言简述作图的合理性． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． (1)作线段的垂直平分线，交于点P，连接，点P即为所求作． (2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求作． （2）根据作图，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故作法是合理的． 2、（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，交于，以点为圆心，以相同的半径画弧，再以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于，则，结合可得． 【详解】解：如图，即为所作， ． 3、（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析． 【分析】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D即可． 【详解】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则点D即为所作，如图所示： 理由如下： 等腰的顶角， ， 由作图可知，， ， ， 在和中，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【经典例题四 格点图中找相似三角形】 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由格点图可知：，则有： A、，所以该两个三角形不相似； B、，所以该两个三角形不相似； C、，所以该两个三角形不相似； D、，三边对应成比例，所以该两个三角形相似； 故选D． 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相似，与相似， 故选：． 2．（2024·天津滨海新·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）圆与格线交于点，点为线段上一动点，当取得最小值时，请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 设与网格交点为，连接、，与交于点，连接，交圆于点，连接，交于，则点即为所求． 【分析】（1）利用网格特征及勾股定理即可得答案； （2）设与网格交点为，连接、，与交于点，连接，交圆于点，连接，交于，则点即为所求．由网格特征及平行线分线段成比例得出是的垂直平分线，根据垂直平分线点性质及圆周角定理可得出，根据含角的直角三角形的性质，结合垂线段最短即可得结论． 【详解】解：（1）如图，∵顶点A，B均在格点上， ∴ 故答案为： （2）如图，设与网格交点为，连接、，与交于点，连接，交圆于点，连接，交于，则点即为所求． ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴有最小值为， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图、圆周角定理、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 3．（2024·吉林长春·三模）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的平行线． (2)在图②中，在边上找一点，使． (3)在图③中，找一点，使点和点关于对称． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取网格点E，即有，，可得四边形是平行四边形，问题得解； （2）过点C作的垂线，交于点F，根据是等腰三角形，即可知点F满足要求； （3）结合（1）（2）的结果，先点C作的垂线，再在下方作，结合平行线分线段成比例，使得点C到的距离与直线与的距离相等，问题即可得解． 【详解】（1）作图如下： 即为所作； （2）作图如下： 点即为所作； （3）作图如下： 点G即为所作． 证明：先证明，再结合平行线分线段成比例可证明点G、点C到直线的距离相等即可． 【点睛】本题是一道作图题，涉及平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，灵活运用网格图，是解答本题的关键． 【经典例题五 相似三角形判定定理的证明】 【例5】（23-24·山东济宁·一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】C 【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知 HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD， ∵AG＝GE， ∴BG＝BE， ∴∠BEG＝45°， ∴∠BEA＞45°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠HEC＜45°，   ∴HC＜EC， ∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即 DH＞BE，故①错误； ∵BG＝BE，∠B＝90°， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°， ∴∠GAE+∠AEG＝45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∵∠BEG＝45°， ∴∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠GAE＝∠FEC， 在△GAE 和△CEF 中， ∵AG=CE， ∠GAE=∠CEF, AE=EF, ∴△GAE≌△CEF（SAS））, ∴②正确； ∴∠AGE＝∠ECF＝135°， ∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°， ∴③正确； ∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE 和△ECH 不相似， ∴④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大． 1．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的判定及性质，弧长公式． 由垂线段最短可得当时，最短．此时，由点Q是的中点，可得，从而证得，得到，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：如图，当时，最短．    连接，， ∵，即， 又， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B 2．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】首先根据三角形的高的性质得到，然后根据等腰三角形的三线合一性质，得出，接着根据勾股定理求出，再根据面积法求出，进一步得出，最后根据相似三角形的判定与性质，即可求出答案． 【详解】，， 点F是两边上的高的交点， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到与也垂直，可得为的切线； （2）连接，证明，再证明是等边三角形，则，由得到，则，即，由得到，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ，且为的半径， 是的切线； （2）解：连接， ∵为直径的交于点D，交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了圆周角定理、等边三角形判定和性质、平行线分线段成比例定理、切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 【经典例题六 重心的有关性质】 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键；延长交于，根据勾股定理求出，再证明，结合重心的性质可得，即可求出． 【详解】解：如图，延长交于， ，，， ， 点G是的重心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 1．（2024·陕西渭南·二模）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接． 点是的重心，点是边的中点， 在上，， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意得出，再利用面积比等于相似比的平方即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ，即：， 又点D是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴与面积的比值为， 故答案为：． 3．（23-24·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【答案】解决问题：详见解析； 归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． 应用： 【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． [解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解． 【详解】[解决问题]证明：连接，如图， ∵、分别是边、的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图，过点作交于H．交于N． ， ， ， ∴，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题七 相似三角形的判定与性质综合】 【例7】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，注意熟练运用三角形相似的判定与性质．过F作的平行线交与G，可得出，根据得出，即可得出的值． 【详解】解：过F作的平行线交与G， ∵，F是的中点， ∴，， ， 又∵， ∴， ， ∴ ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出是的中位线，证，得，解得，则． 【详解】解：∵、为边的三等分点，， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可以假设，则，，利用平行四边形和角平分线的性质可得，即得，，进而得，再利用即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． (1)求证：； (2)若，．求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质， （1）根据角平分线的性质可得，且，可证，由此即可求解； （2）由（1）可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴，则（负值舍去）， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴． 【经典例题八 利用相似三角形的性质求解】 【例8】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据题意分当与是对应边时和当与是对应边时两种情况分析即可，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 当与是对应边时，， ∴， ∴， ∴； 当与是对应边时，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：． 1．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（　　）    A． B． C． 或4 D． 或4 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到，设，则，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到的长，找到边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵沿折叠，和F重叠， ∴， 设， ∵， ∴， 当时， ， ∵， ∴， 解得：， 即； 当， ， ∵， ∴， 解得：， 即； 当时，同理可得， 故或4， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： 若，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 若，则， 即， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 或， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)线段长为5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论； （2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为5． 【经典例题九 证明三角形的对应线段成比例】 【例9】（23-24·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点分别在的延长线，的延长线上，连接分别交于点则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐项判断即可. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴AB∥CD， AD∥BC，且AB=CD，AD=BC， A、在△EBF中，∵AG∥BF，∴，故此选项正确； B、∵AE∥DH，∴，故此选项正确； C、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，故此选项错误； D、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，又∵AD=BC，∴，故此选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断. 1．（23-24·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 【答案】4 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 3．（23-24·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 【经典例题十 利用相似求坐标】 【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 1．（23-24·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 【经典例题十一 在网格中画已知三角形相似的三角形】 【例11】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 1．（23-24九年级上·北京·期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.和的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若~且两三角形不全等，则P点所在的格点为（    ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】D 【分析】根据三角形相似∽，然后利用DE=2，BC=1，所以DP=4，则易得点P落在P4处． 【详解】若∽且两三角形不全等， 则==2． 所以DP=4． 则易得点P落在P4处． 故选D 【点睛】本题考查了三角形相似的性质,掌握该性质是解答本题的关键. 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ． 【答案】5 【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可． 【详解】由图可知，， ，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，可如图所示作出， ， ，， 同理可得，， 且 综上所述： 故答案为：5 【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键是在格点图中画出三角形，难点是将三角形相似比转化为面积比． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 【经典例题十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 【例12】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 【答案】D 【分析】过作于F，交于E，设，，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值． 【详解】解：如图所示 过A′作于F，交于E，由折叠性质以及正方形性质可得：， ， 设， ∴，． ∵ 正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点， ∴ ，． ∵， 即 解得：，．经检验符合题意； ∴ ∴ 反比例函数中， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．点为边中点，点为线段上一动点．将沿折叠，点的对应点为，直线与线段交于点．当与相似时，线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，折痕与边交于点O． (1)求证：． (2)若与的周长比为，求边的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质是解题关键． （1）由矩形和折叠的性质求出，，即可证明； （2）由相似三角形的性质可得出，即可求出．设，则，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出，进而可求，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与的周长比为，， ∴， ∴． 设，则， 由折叠可知， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 【例13】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．将顺时针旋转，构造全等三角形，再根据勾股定理求出的长，既可以得到答案． 【详解】解：将顺时针旋转，至，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ． 故选D． 1．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，矩形的性质，设，则，证明得，据此构建二次函数即可解决问题． 【详解】解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，y有最小值， ∴线段最短时，的长为， 故选：D． 2．（23-24九年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．    【答案】 2 【分析】在中，求得，的长度，再根据矩形的性质，即可求解；确定出点的运动轨迹，即可求解． 【详解】解：由题意可得： 在中，， ∴， ∴当四边形为矩形，， ∴点的坐标为； 作，轴，连接，如下图：    ∵，， ∴四边形为矩形，， ∵ ∴ ∴ ∴，即 因此点在直线上运动，且当四边形为矩形时，点运动到最高点，点移动到时，运动到最低点， 可作图如下，点运动路径为，三点共线，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，通过作辅助线确定出点的运动轨迹． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）【问题背景】中，，，为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转．    【用数学的眼光观察】 （1）如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：________； ①；②；③；④． 【用数学的思维思考】 （2）将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、．与相似吗？请说明理由． 【答案】（1）②③④；（2），理由见解析． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定． （1）找出与的对应角，其中，得出，从而解决问题； （2）利用（1）小题证明方法可证：； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∴，故④正确； 故答案为：②③④ ． （2）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 【经典例题十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 【例14】（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第5条 B．第6条 C．第7条 D．第8条 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的的线段长，再根据矩形的宽求解即可． 【详解】解：如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为，即，过点A作于点G，交于点F， 由题意得，，， ∴设从顶点到这个正方形的的线段长为， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴则这张正方形纸条是第7条， 故选：C． 1．（23-24九年级下·浙江·期中）如图，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】B 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为xcm， 则，解得x=2， 所以另一段长为12-2=10， 因为10÷2=5，所以是第5张． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键． 2．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：(分米)， ∴(分米)， ∴正方体礼品盒的棱长为(分米)， ∴体积为(立方分米)， 故答案为：． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ． (2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由． (3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可； （3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论． 【详解】（1）解：设纸较长边的长为a，较短边长为b， 由题意，第一次折痕长为， ∵第1次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； （2）解：点E是的中点，理由如下： 由（1）得，设，， 由折叠使得点A和点C重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即点E是的中点； （3）解：如图，延长、相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴G是的黄金分割点． 【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 【经典例题十五 运用相似三角形的性质解决动点问题】 【例15】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形及三角形的综合，解题的关键是三角形的全等和相似的综合运用． 先根据勾股定理求出，过点P作于点M，证明，推出，分别表示和的长，根据，进而，求出t的值，进而作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 在中， ， 过点P作于点M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 1．（23-24·山东泰安·一模）如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长． 【详解】解：由图象可知： AE＝3，BE＝4，， ∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图 此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3 ∵ABCD是矩形, ∴AB // CD ∴   ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程． 2．（23-24·湖北孝感·三模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作交于点．设点运动路程为，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ．    【答案】20 【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图    ，， ， 在和中，，， ∽， 由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入得到 解得：，（不合题意舍去）， ， ， ∵， 矩形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图像得出为中点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【经典例题十六 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例16】（23-24九年级下·上海·单元测试）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？(　　) A．12 B．11.52 C．13 D．8 【答案】A 【分析】先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8-GA，得到S矩形AGDH=-AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，于是得到结论． 【详解】∵AB2+AC2=100=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠EDF=∠BAC=90°， 如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B=∠E， ∵EF∥BC， ∴∠E=∠EMC， ∴∠B=∠EMC， ∴AB∥DE， 同理：DF∥AC， ∴四边形AGDH为平行四边形， ∵∠EDF=90°， ∴四边形AGDH为矩形， ∵GA⊥AC， ∴四边形AGDH为正方形， 当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 如图2， 点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M， ∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH， ∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大， 如图3， 点D在BC上， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠F=∠C， ∵EF∥BC． ∴∠F=∠BDG， ∴∠BDG=∠C， ∴DG∥AC， ∴△BGD∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴AH=8-GA， S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-AG）=-AG2+8AG， 当AG=-=3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大=12． 故选A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线， 1．（14-15八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，直角梯形的位置如图所示，，，．M、N分别在线段，线段上运动，当的面积达到最大时，存在一种使得周长最小的情况，则此时点M的坐标为 (    )．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．过点M作，交于点P，过点N作，分别交于两点Q、G，则，因为取得最大值是时，的面积最大值，设O关于的对称点D，连接，交于M，此时，从而求得M的坐标． 【详解】解：如图，过点M作，交于点P，过点N作，分别交于两点Q、G， 则，    ∵， ∴当点N与点B重合，取得最大值时，的面积最大值， 设O关于的对称点D，连接，交于M，    此时的面积最大，周长最短， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴M的坐标． 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造出与相似的三角形得出取最大时的情况是本题解题的关键；以为斜边构造与相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出最大时的情况，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，    ∵，， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 当在同一直线上时，即时，长度最大， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴, ∴， 故答案为：。 3．（2024·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【答案】（1）；（2）米 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，进一步即可得到，结论得证； （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M，证明四边形、是矩形，求出，进一步得到，延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点，当点C、B、F共线时，即点F与点重合时的值最大，最大值为180，证明，则，得到．，则，证明四边形是矩形，则．，求出即可． 【详解】解：（1） ． ． ． ， ， （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵B、F之间的距离等于， 延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点 由图可得． 当点C、B、F共线时，即点F与点重合时，的值最大，最大值为180 ， ， ，即 ．， ∵ ∴四边形是矩形， ∴． ： ． ∴当观光桥的长度最大时，的长为米 【经典例题十七 相似三角形的综合问题】 【例17】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 1．（23-24·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（23-24·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】过E点作BD的垂线，根据菱形的性质可知，，根据勾股定理可以得出，所以，OH=1，HF=3，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF，OF的长，再根据相似三角形，列出比例：，从而求出OP的长度，最后由求得结果． 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∵E是BC的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形，熟练掌握菱形的相关性质，勾股定理的适用范围，以及相似三角形的应用是解决本题的关键． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 【经典例题十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 【例18】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作的平行线分别交、于D点、E点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查重心的性质，熟练掌握重心的性质是解题的关键；由题意易得是的中线，然后根据重心的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：是的中线， ∴， ∵，且过重心F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故D选项不正确； 故选D． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，逐一判断，即可解答，熟知相似三角形的判定条件和性质是解题的关键． 【详解】解：A、如图1， ， 而， ， ， ，故A正确； B、如图2， ， 且，此时与一定不相似，故B正确； C、， ， 当E为中点时，， ， ，此时，故C正确； D、构造如图3的矩形， 此时两两相似，但明显不是的中点，故D错误， 故选：D． 2．（23-24·四川巴中·模拟预测）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点、点分别是边上的动点，，连接，下列说法错误的是（　　） A．是等边三角形 B．的最小值是1 C．当最小时 D．当时， 【答案】B 【分析】由菱形的性质得出，从而得出是等边三角形，证明得出，，即可判断A；当时，的值最小，此时也最小，由勾股定理求出即可判断B；证明得出，证明得出，即可得出，从而判断C；证明得出，结合已知条件即可判断D． 【详解】解：四边形是边长为的菱形，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 为等边三角形，故A正确，不符合题意； ， 当最小时，也最小， 如图，当时，的值最小， ， ，， ， 的最小值为，故B错误，符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确，不符合题意； 如图，，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识，证明是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A． B． C．四边形面积的最大值为 D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到与相似；利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到；根据的面积为定值，若四边形的面积最大，则的面积最大；由高一定，面积最大即为最长，故四边形面积最大时，、重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项做出判断． 【详解】∵，都为等腰直角三角形， ，，， ∴， 即， 故选项A正确，不符合题意； ， 由①知， ； 故B选项正确，不符合题意 ； ， 即， 故D选项正确，不符合题意； 的面积为定值， 若四边形的面积最大，则的面积最大； 中，边上的高为定值， 若的面积最大，则的长最大； 由可知：当最长时，也最长； 故四边形面积最大时，、重合，此时，, 四边形的面积为： 故选项C错误，符合题意； 故选：C 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形判定，根据题意得到，再结合相似三角形判定定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 故A项使结论成立，符合题意； ， ， 故B项使结论成立，符合题意； ， 得不到， 故C项使结论不能成立，不符合题意； ， ， 故D项使结论成立，符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【详解】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形，二次函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，根据三角形的内角和，则，根据，得，根据等量代换，相似三角形的判定和性质，则，得，设，则，推出，当最小时，最大，则，当时，最大，求出，根据，即可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴（点，，在同一条直线上）， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵，要使最小，则有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，最大，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，中线相交于点O，连接，下列结论中，正确的个数有（     ）． ①；  ②；  ③；  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，中线，熟练掌握相似三角形的性质和判定，灵活掌握三角形面积之比与其边的比的转化是解题的关键．由三角形的中位线可判断①，由中位线可证，再由相似三角形的性质可判断②，由可证，得，由，得，进而可判断③，由是的中线，可得，由可得，则，进而可判断④． 【详解】解：①是的中线， 是的中位线， ， ， 故本选项符合题意； ②是的中位线， ， ， ， 故本选项不符合题意； ③， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ④是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：． 6．（23-24·宁夏银川·模拟预测）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ．（只需填一个）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 根据两角对应相等两三角形相似判断即可． 【详解】解：若添加：． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 要使与相似，那么分两种情况： ①，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②，则， 即， 解得或， 经检验，或是分式方程的解且符合题意， 综上，的长为或或， ， 的最大值为6，最小值为1． 故答案为：，． 8．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，把沿边平移到的位置，边与交于点，设的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 首先根据题意得到，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵把沿边平移到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 9．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】通过证明，可得，可求的长，作于点F，则四边形为矩形，证明得，即可求解． 【详解】解：∵，是公共角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 作于点F， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质．证明是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山西长治·期中）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为可伸缩支撑杆，已知，，．如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转，与相交于点P，当，且时，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；过点C作于点E，由题意易得四边形是矩形，然后可得，则根据勾股定理可得，进而根据可进行求解． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】或（答案不唯一），证明见详解 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】解：使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 故答案为：或（答案不唯一）． 12．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，已知，，． (1)求的长 (2)设与相交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识． （1）由得到，代入数值计算即可； （2）证明，则，得到，则，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，． ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 13．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设， 则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明： ； （2）解：， ， ，， ， ， ． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）【问题提出】 （1）如图1，点E为正方形的边的中点，连接、相交于点F，若的面积为4，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，E为边上的点，点F在边上，且，连接、，，与的延长线交于点G，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园，为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在的延长线上取一个点E，上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在的延长线与的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，的长应为60米，请你计算灌溉水渠的长度． 【答案】（1）的面积为16；（2）；（3）米 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理，相似三角形的证明及性质，能够正确找到相似三角形是解题关键． （1）先证得，再通过相似比与面积比的关系即可求解； （2）先证得，求出，再证得，即可求出； （3）先证得，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ，， ． 点E为的中点， ， 与的相似比为， ． 的面积为4， 的面积为16． （2）四边形为正方形， ，，． ， ， 又， ， ． ，， ，， ，即， ，解得． ， ，， ， ，即， ． （3）过点E作，交延长线于H，如图3，则． 四边形为正方形， ，． ，． ， ，即， ， ， ． ， 设，则，， ， ． 是正方形的对角线， ， ， ， ． 又， 米， 米， 米， 米， 米． 即灌溉水渠的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$