专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各组图形相似的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号） 3．（23-24·河北保定·模拟预测）（1）观察下列式子： ，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想： 由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题： 某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了    B．变好了    C．没有改变 （4）联想拓展： 如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 2．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ． 3．（23-24九年级·全国·专题练习）在，的矩形花坛四周修小路． （1）如图，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由． （2）如图，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周围成的矩形和矩形相似？请说明理由． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，矩形被分割成个全等的矩形，若这个矩形都和矩形相似，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    3．（23-24九年级·上海·假期作业）如图，点、分别在的边、上，，求证： ．    【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 1、（2024春·上海静安·九年级校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2、（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3、（2024春·全国·九年级专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若，，则的长为（    ） A．4.4 B．5.5 C．9.9 D．10.1 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，，它们依次交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，点为重心，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是 ． 3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（2023·浙江衢州·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）．    A．5 B． C． D． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，当时，求的值． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形中，，为对角线，且，； (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，E为上一点，连接，在上取点F，连接，且，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的长． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，直线与相交于点，则下列说法中， 错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，D、F、E分别在边BC、AB、AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，在三角形中，，，点M是的中点，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F．若，，，则的值是（   ） A．4 B． C． D． 4．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么 ； 7．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ． 8．（2024·湖南·二模）如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为 ． 9．（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    10．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的中线，E是上一点，过点C作，交的延长线于点G，交于点F．若，求的值． 12．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 13．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，C为线段上一点，作等腰和等腰，，，．在线段上取一点F，使，连接，． (1)求证：； (2)若，的延长线恰好经过的中点G，求的长． 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 15．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学思考，请仔细阅读并完成相应的任务． 尺规作图： 现有一块如图（1）所示的平行四边形纸板，小明要裁出一个以为边的菱形，且点，分别落在，上，但手边只有无刻度的直尺和圆规，怎么办呢？小明想到了如下两种方法． 方法1：如图（2），以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则四边形是菱形． 理由：四边形为平行四边形， ，， 又， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为菱形．（依据1） 方法2：如图（3），以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接，则四边形是菱形． 理由：如图（3），连接，分别延长，，两线交于点． 四边形为平行四边形， ． （依据2） 又， ...... 任务一： （1）填空：依据1是指________________，依据2是指_______________． （2）完成材料证明中的剩余部分． （3）请你利用无刻度的直尺和圆规，在图（1）中用一种不同于方法1和方法2的方法作出菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 任务二： （4）如图（4），小华用（2）中的方法在一张平行四边形中作出菱形，，交于点，连接．这时他发现，且四边形恰好可以裁成两个菱形，若，则的面积为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各组图形相似的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】：解：①形状不同，故错误； ②形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； ③两个菱形，边的比相等，而对应角对应相等，故正确； ④两个直角梯形，边的比相等，而对应角度数相同，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号） 【答案】③④； 【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误； ②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误； ③两个等边三角形一定相似； ④两个正方形一定相似； ⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误， 故答案为③④． 【点睛】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边． 3．（23-24·河北保定·模拟预测）（1）观察下列式子： ，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想： 由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题： 某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了    B．变好了    C．没有改变 （4）联想拓展： 如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否 【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可； （2）利用作差法比较与的大小，即可解答； （3）设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较、的大小解答； （4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可； 【详解】解：（1）∵，，，… ∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大， 故填：变大； （2）由（1）得：＜，理由如下： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ＜0， ∴ ； （3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m， 则-＜0， ∴ ＜， ∴ 采光条件变差， 故选A ； （4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似， 故填：否． 【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键． 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 【答案】D 【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键． 【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意； 、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意； 、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意； 、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 2．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】∵矩形CDFE∽矩形ADCB， ∴＝，即＝， 整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0， 解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 3．（23-24九年级·全国·专题练习）在，的矩形花坛四周修小路． （1）如图，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由． （2）如图，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周围成的矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，继而求得答案． 【详解】（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为， ∵，，∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似． （2）∵当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，解得：, ∴路的宽与的比值为时，小路四周所围成的矩形和矩形相似． 【点睛】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，矩形被分割成个全等的矩形，若这个矩形都和矩形相似，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据全等图形的性质得到，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设， 个小矩形全等， ， 每个小矩形都与矩形相似 ， ， ， ：：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，正确掌握相似多边形的性质是解题关键． （1）直接利用相似多边形的性质得出对应角相等，进而得出答案； （2）直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：四边形四边形， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形四边形， ， ， 解得：，． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 与的关系不确定， 不正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 不正确，不符合题意； C、， ， ， ， ， 正确，符合题意； D、 ， 由可得， 与的关系不确定， 不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    【答案】6 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 3．（23-24九年级·上海·假期作业）如图，点、分别在的边、上，，求证： ．    【答案】见解析 【分析】首先证明四边形平行四边形，易得，；然后根据“平行线分线段成比例定理”证明即可． 【详解】证明：过点作，交边于点，    又∵， ∴四边形平行四边形 ∴，， ∴， ∴； 由， 得， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵DE//BC， ∴； ∴A错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 1、（2024春·上海静安·九年级校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 2、（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3、（2024春·全国·九年级专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【答案】C 【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴＝， ∵AF：BF＝2：5， ∴＝， 即AG＝BD， ∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD， ∴CD＝BD， ∴＝＝， ∵， ， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，将代入，即可求出的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．弄清楚对应线段是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 解得 故选：C． 1．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若，，则的长为（    ） A．4.4 B．5.5 C．9.9 D．10.1 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，，它们依次交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段的对应线段成比例是解题的关键； 由得，代入数值求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， 故选：C 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据三条平行线截两条直线所对应线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理的应用． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D， 根据题意，设， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到：：，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出：：：，得到：：，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解：， ：：， ，，， ：：， ； （2）∵， ：：， ：：， ：：， ， ， ． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，点为重心，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形的重心的性质可知在上，，再证明，，再根据相似三角形的性质设的面积为，则的面积为，的面积为，列出方程即可求解，熟练掌握知识点的应用及添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴在上，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积为，则的面积为，的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积是． 故选：． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点E，作于点F，证明得，由点O是的重心得，，代入比例式即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点E，作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点O是的重心，， ∴，， ∴， ∴，即点O到边的距离是2． 故答案为：2． 3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到，与相交于D，使，即可证明，则有，结合重心得性质得，，利用勾股定理逆定理即可判定是直角三角形，可求得，结合即可求得答案． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，由重心的性质可知，点D，E，F是中点，且，，，结合题意有，化简得，同理：，利用勾股定理得，结合可得，即可证． 【详解】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 【点睛】本题主要考查重心的性质，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理和勾股定理，解题的关键是熟悉重心的性质和勾股定理的逆定理． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出、、之间的关系．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ， 即， 又， ， ， ； 故选：D 1．（2023·浙江衢州·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作交的延长线于点，证明出，然后由得到，然后等量代换得到，然后代数求解即可． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 则， 平分， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作，由三角形中位线定理可求出的长，由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理得 ，即可求解；掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，通过勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴()， ， ， ； 故选：D． 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）．    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键． 过A点作于点N，交于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得，进而可得，再利用勾股定理可得，结合三角形的面积即可求解． 【详解】过A点作于点N，交于点M，如图，    ∵在矩形中，， ∴，， ∵直线且相邻两直线间距离相等，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，牢记性质是解题关键， （1）根据正方形性质得出，再根据即可求出结论； （2）作于点，作于点，证明，进而证出，利用求出即可求出结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ， ． （2）解：如图1，作于点，则， ， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， ， 的值是2． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，掌握应用等积变换可求得边之比是解题的关键．根据三角形的等积变换，可得出，则结合已知可得，，根据平行线的性质及等量代换可得，代入解答出即可． 【详解】解：如图，延长交于G，连接， ，， 平分 到、的距离h相等， 设点A到距离为y 则，， ， 又， ，， 又， ， ， ， 垂直平分线段，得， 同理， 即， ； 故选：B． 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正方形的性质，等边对等角，勾股定理，中点的定义等知识．通过作辅助线并根据平行线等分线段定理证明是解题关键． 2．（2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 【答案】 / 【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解； （2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解： (1)在正方形 中，， ∵， ， ， ， ， ， ； (2)作交于点，则， ，， ， ，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； 故答案为：、．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形中，，为对角线，且，； (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，E为上一点，连接，在上取点F，连接，且，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）先根据证明，根据一组对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再结合，即可证明四边形为矩形； （2）根据已知条件，利用平行线的性质、三角形外角的性质，通过等量代换证明，根据等角对等边即可证明； （3）延长至，使，连接，过点F作，即，先证明，再证明，由平行线分线段成比例得，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程即可， 【详解】（1）证明：， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为矩形； （2）证明：由（1）知四边形为矩形， ，， ， 又， ， ，即； ， ， ， ， ， ； （3）解：延长至，使，连接，过点F作，即， ，， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ； ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论． 【详解】解：∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DF∥AC， DE∥AB． ∴． 故A错误； ∵ DE∥AB， ∴． 故B正确； ∵DF∥AC， ∴，． ∴． 故C正确； ∵DF∥AC，DE∥AB， ∴，． ∴． 故D正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能准确找出成比例的对应线段是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，直线与相交于点，则下列说法中， 错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵直线， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项不正确，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，在写比例式时一定是对应线段成比例． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，D、F、E分别在边BC、AB、AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，即可得到结论． 【详解】∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DF∥AC，DE∥AF， ∴，，故A，B正确， ∵DF∥AC， ∴，， ∴，故C正确； ∵DF∥AC， ∴，故D错误； 故选D． 【点睛】本题考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理即可逐一判断，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：A、能判断，故选项不符合题意； B、不能判断，故选项符合题意； C、能判断，故选项不符合题意； D、能判断，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，在三角形中，，，点M是的中点，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，过点M作交于点N，根据中位线求出，根据平行线得到， 从而得到，再求出即可得到答案； 【详解】解：过点M作交于点N， ∵，点M是的中点， ∴， ∴点N是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F．若，，，则的值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，过点作，证明，推出，进而得到，平行线分线段分比例推出，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，进而得到，得到为等腰直角三角形，得到即可． 【详解】解：过点作，    ∵正方形， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∴，（对应边上的高线相等） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么 ； 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，掌握中位线定理是解题的关键． 由可证是的中位线，从而，根据角平分线的定义、平行线的性质可得，从而，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·湖南·二模）如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：4． 9．（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过点B作交于H， ∴ ∴，    ∵，E是边上的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的中线，E是上一点，过点C作，交的延长线于点G，交于点F．若，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，延长交的延长线于点M，连接，先证明推出四边形为平行四边形，得到设，则根据平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点M，连接． 为的中线， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 设，则 ， ． ． 12．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)6 (2)25 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 13．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，C为线段上一点，作等腰和等腰，，，．在线段上取一点F，使，连接，． (1)求证：； (2)若，的延长线恰好经过的中点G，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，，证明出得出，再证明即可得证； （2）由（1）得．作交于点H，，设，则，，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、是等腰三角形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ； （2）解：由（1）得． 作交于点H， ，， ， 设，则， ，， ， ， ， ， 解得（舍）或， ∴． 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 15．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学思考，请仔细阅读并完成相应的任务． 尺规作图： 现有一块如图（1）所示的平行四边形纸板，小明要裁出一个以为边的菱形，且点，分别落在，上，但手边只有无刻度的直尺和圆规，怎么办呢？小明想到了如下两种方法． 方法1：如图（2），以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则四边形是菱形． 理由：四边形为平行四边形， ，， 又， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为菱形．（依据1） 方法2：如图（3），以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接，则四边形是菱形． 理由：如图（3），连接，分别延长，，两线交于点． 四边形为平行四边形， ． （依据2） 又， ...... 任务一： （1）填空：依据1是指________________，依据2是指_______________． （2）完成材料证明中的剩余部分． （3）请你利用无刻度的直尺和圆规，在图（1）中用一种不同于方法1和方法2的方法作出菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 任务二： （4）如图（4），小华用（2）中的方法在一张平行四边形中作出菱形，，交于点，连接．这时他发现，且四边形恰好可以裁成两个菱形，若，则的面积为__________． 【答案】任务一：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；平行线分线段成比例定理；（2）见解析；（3）见解析；任务二：（4） 【分析】任务一：（1）根据菱形的判定定理和平行线分线段成比例定理即可得解； （2）由平行四边形的性质可得．从而得出，进而得出，由等边对等角得出，推出，结合，得出四边形为平行四边形，再结合即可得证； （3）在上截取，再作的角平分线交于，连接，菱形即为所作；在上截取，过点作的垂线，交为，连接，菱形即为所作； 任务二：（4）由菱形的性质可得，结合四边形恰好可以裁成两个菱形，得出，从而得出，及，由勾股定理可得，作于，由等面积法得出，再由计算即可得解． 【详解】任务一：解：（1）依据1是指有一组邻边相等的平行四边形是菱形，依据2是指平行线分线段成比例定理； （2）理由：如图（3），连接，分别延长，，两线交于点． 四边形为平行四边形， ． （平行线分线段成比例定理） 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （3）如图所示： 任务二：（4）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形恰好可以裁成两个菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$