专题01 比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·广东深圳·期末）若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段d的长为（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）若四条线段a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=9，则线段d的长为 ． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（        ） A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在一张比例尺为的地图上，、两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是 千米． 3．（23-24六年级上·上海静安·课后作业）量得地图上A、B两点之间的距离为18cm，如果比例尺为1∶300000，求A、B两地之间的实际距离． 【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）    3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果，那么．你认为这个结论正确吗？为什么？ 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（2024·山西长治·三模）如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，求值． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）如果，那么等于（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，且，那么 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，求下列算式的值． (1)． (2)． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 1、（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 2、（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 3、（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 1、（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2、（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 3、（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】（23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知点C是线段上一点，并且，如果，那么、中较短的那条长为 ． 3．（23-24九年级上·浙江·专题练习）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． AI 3．（23-24九年级下·全国·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2023·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·浙江·期末）著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ． 3．（23-24·山西太原·二模）问题情境：中，于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交线段于点，交于点，连接． 特例分析 （1）如图1，当点与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答： ①求证：； ②用等式表示线段与之间的数量关系为：________； 拓展探究 （2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现．请你证明； （3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，的值为________； 推广应用 （4）当点在射线上运动时，若，则的值为_______（用含，的式子表示） 1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁营口·一模）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若线段，，则线段，的比例中项为 ． 7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·全国·期中）已知点C是线段的黄金分割点，，若，则 ． 9．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 10．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，且，求的值． 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 14．（23-24九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考： 数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题． “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为． 解决问题： (1)“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于_______（）； (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？ 15．（2023·河南南阳·三模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．    根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24九年级上·广东深圳·期末）若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段d的长为（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：ad=cb， 代入a=5cm，b=2.5cm，c=10cm， 解得：d=5. 故线段d的长为5cm. 故选：C. 【点睛】本题主要考查成比例线段，解题突破口是根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入计算. 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）若四条线段a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=9，则线段d的长为 ． 【答案】6 【分析】根据比例线段的定义，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：a：b=c：d， 即3：2=9：d， 解得d=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 根据题意得， 解得． 所以两地间的实际距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（        ） A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案． 【详解】设其缩小后的面积为xm ， 则x:667000=(1:2000) ， x=0.16675m， 其面积相当于报纸的一个版面的面积. 故选C. 【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键. 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在一张比例尺为的地图上，、两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是 千米． 【答案】3 【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离． 【详解】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得 1：100000=3：x， 解得：x=300000， 300000厘米=3km． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，解题的关键是注意单位之间的换算． 3．（23-24六年级上·上海静安·课后作业）量得地图上A、B两点之间的距离为18cm，如果比例尺为1∶300000，求A、B两地之间的实际距离． 【答案】A、B两地之间的实际距离为54千米 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出两地的实际距离． 【详解】设A、B两地之间的实际距离为x厘米， 1：300000 = 18：x x = 5400000 5400000（厘米） = 54（千米） 所以，A、B两地之间的实际距离为54千米． 【点睛】解答此题的主要依据是：图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质，将选项中给出的比列式进行变形即可，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①②④． 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB， ∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴=， ∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC， ∴四边形ACBE是菱形，故①正确， ∵∠DCE=90°，DA=AE， ∴AC=AD=AE， ∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确， ∵OA∥CD， ∴， ∴，故③错误， 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a， ∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确.    故答案是：①②④． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题. 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果，那么．你认为这个结论正确吗？为什么？ 【答案】正确，证明见解析 【分析】直接利用比例的性质结合已知将原式变形得出答案． 【详解】解：这个结论正确， 理由：∵， ∴，， ∴，． 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确将已知变形是解题关键． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 【答案】D 【分析】分两种情况：①当时，，求出；②当时，根据比例的性质，可求出，再得出答案即可． 【详解】解：分两种情况：①当时，， 所以； ②当时， ， ∴ ， 所以k的值为2或， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 2．（2024·山西长治·三模）如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可． 【详解】解：设点B坐标为， ∵矩形的面积为35， ∴，轴， 则点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴，解得，且满足所列方程， 故答案为：21． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，求值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，代数式求值．熟练掌握：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 1．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）如果，那么等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，然后再代入计算即可；掌握比和除法的关系以及分式的约分是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选C． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，且，那么 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件，设，，，，，，则，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：根据已知条件，设，，，，，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，求下列算式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据等式的性质，两边同时加即可求解； （）由，得到，代入算式即可求解； 本题考查了比例的性质及整式代入求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴原式， ， ． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 1、（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而，，， 于是（+）， 又因为，所以； . 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 2、（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3、（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 1、（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴．故选． 2、（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 【答案】z>y>x 【详解】设 = = =k（k≠0）， ∴a=2k，b=7k，c=5k， ∴x=== ， y= = =1， z= ==2， ∴z>y>x. 3、（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论； （2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论. 【详解】（1）∵，， ∴a=2b，c=2d， ∴，. 故答案为：=； （2）=.理由如下： 设，则， ∴a=bt，c=dt， ∴， ， ∴=； （3）∵， ∴a=ct，b=dt. ∵2=3， ∴. 解得：t=. 经检验：t=是原方程的解. 【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】（23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键． 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比的应用，由胡克定律公式得到即可求解，解题的关键是由题意得到． 【详解】由题意得：， ∴ 故选：． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 即， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割比，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割比的表示形式是解题的关键． 由题意知，，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，即，整理得，， ， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知点C是线段上一点，并且，如果，那么、中较短的那条长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，由可得点C是线段的黄金分割点，根据黄金分割比即可解答，熟知黄金分割比是解题的关键． 【详解】解：点C是线段上一点，并且， 点C是线段的黄金分割点， 、中较短的那条长为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江·专题练习）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积． 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查黄金分割点、一元二次方程的应用等知识点，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关键． 根据黄金分割点列一元二次方程求解，然后根据矩形的性质即可解答． 【详解】 解：∵是的黄金分割点，， ∴，解得：或（舍去）． 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ． AI 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，设，则，由黄金分割的定义可得，解方程即可． 【详解】解：设，则， 为的黄金分割点（）， ， ， ， 解得，（不舍题意舍去）， 的长度为． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形 (2)见解析 (3)直线是的黄金分割线，理由见解析 (4)无数条 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3）解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线． （4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2023·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 1．（23-24九年级下·浙江·期末）著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC=a，AC=b，进而可得，则有，然后可得，则有，最后可得，则问题可求解． 【详解】解：过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示： ∵四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的， ∴， ∵，，， ∴， 易得CM=NJ， ∵， ∴， ∵AB∥ED， ∴， ∵， ∴， ∴， 设BC=a，AC=b，则， ∴， 由等积法可得， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ． 【答案】 【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论． 【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键． 3．（23-24·山西太原·二模）问题情境：中，于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交线段于点，交于点，连接． 特例分析 （1）如图1，当点与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答： ①求证：； ②用等式表示线段与之间的数量关系为：________； 拓展探究 （2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现．请你证明； （3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，的值为________； 推广应用 （4）当点在射线上运动时，若，则的值为_______（用含，的式子表示） 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）证明见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，即可证明； ②利用“SAS”证得△AFG△AEG，推出FG= EG，利用平行线分线段成比例定理可得到； （2）同理证得△AFG△AEG，推出FG= EG，根据（1）以及已知得到，利用“ASA”证得△AFG△BCG，得到FG= GC，即可证明； （3）同理FG= EG，利用平行线分线段成比例定理可得到，即，利用等腰直角三角形的性质得到BC=AB，再根据合比的性质即可求解； （4）同理FG= EG，由（1）得AD=BC，再由推出，利用平行线分线段成比例定理可得到，即，再根据合比的性质即可求解． 【详解】（1）①∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点重合， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴； ②， 理由如下： 由①得：AF=AE=AD=BC， ∵，即， 又， ∴AF∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△AFG和△AEG中， ， ∴△AFG△AEG(SAS)， ∴FG= EG， ∴； （2）同理：△AFG△AEG(SAS)， ∴FG= EG， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵AF∥BC， ∴，， 在△AFG和△BCG中， ， ∴△AFG△BCG (ASA)， ∴FG= GC， ∴CF= FG+GC=2FG=2EG； （3）同理：△AFG△AEG(SAS)， ∴FG= EG， ∵AF∥BC，AF=AE=AB， ∴，即， ∵， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB， ∴，则， ∴，即， ∴； 故答案为：； （4）同理FG= EG， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 由（1）得AD=BC， ∵， ∴， ∵AF∥BC， ∴，即， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及比例的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形的对应边相等，平行线分线段成比例进行推算． 1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形，设，则，根据得，代入后转化为一元二次方程，再解方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设，则， ∵， ∴， ， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，根据黄金分割点的定义，可能是较长线段，也可能是较短线段；则或，代入数据计算即可，理解黄金分割点的概念是解题的关键，特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段． 【详解】根据题意得： 当是较长线段时，， ∵， ∴， 当是较短线段时，， ∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 4．（2024·辽宁营口·一模）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．设，根据题意易得，，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，整理可得， 解得，（舍去）， ∴． 故选：C． 5．（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若线段，，则线段，的比例中项为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的基本性质和比例中项的概念．设线段，的比例中项为c，根据比例的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：设线段，的比例中项为c，则 ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 即线段，的比例中项为， 故答案为： 7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c为非零实数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键． 【详解】解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·全国·期中）已知点C是线段的黄金分割点，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，二次根式的运算，先根据黄金分割的定义得到，，再根据二次根式的运算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 10．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的知识，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，结合可求得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得 ， ∴． 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）设，得到，，，代入计算即可； （2）根据题意构建方程求出的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则，，， ； （2）解：， ， ， ，，． 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1)； (2) (3)是和的比例中项，理由见解析 【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键． （1）根据；，，即可求得的值，的值； （2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长； （3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项． 【详解】（1）解：，， ； ，， ； （2）解：线段、、、是成比例线段， ， ， ； （3）解：，， ， 是和的比例中项． 14．（23-24九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考： 数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题． “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为． 解决问题： (1)“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于_______（）； (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由黄金矩形的定义可得，再分别求出长度，即可求解； （2）根据正方形的性质得出，再由勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，且四边形为黄金矩形， ， ∵正方形， ， ， ∵图中四个矩形全等， ， ∴； 故答案为：4.8； （2）如图，由题意可得：正方形中，， ∴正方形的边长为． 设， ， ， 整理可得：， 解得：（负数舍去）， ， ∴小直角三角形的两条直角边分别是． 【点睛】本题考查了黄金矩形的含义和勾股定理的应用、正方形的性质、二次根式的混合运算，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．（2023·河南南阳·三模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．    根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长即可． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$