假期作业十三 概率-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业（北师大版2019）

三022 型高一数学的) 方差为=0×[(80-70产+(70-70+a,-70)产+… (3)列联表 时长[1,2)其他时长总数 +(a0-70)2] 优秀 45 50 95 -动×[10+(a,-70+…+aw-70y门 不优秀 177 308 485 -动×[100+50×75-102-20] 提出零假设H:成绩优秀与日均体育镀炼时长不小于1小 时且小于2小时无关 =67. 580×(45×308-177×50) 答案：7067 X=5+50)X177+308)×(45+17m×(60+308 11.解：(1)由(0.005+0.010+0.015+0.015+0.025+a)×10 ≈3.976>3.841 =1,得a=0.030, 有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻妹时长不小 因为0.01×10×200=20（人），0.015×10×200=30（人）. 于1小时且小于2小时有关 20 所以5人中不高于50分的人数为5×20十30=2（人）， 假期作业十三 技能提升台技能提升 (2)平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 1.D[A中的两个事件是对立事件，不符合要求：B中的两个 +85×0.25+95×0.05=71, 事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求：C中的两个事 图为在[40,70]内共有80人，则中位数位于[70,80]内， 件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件：D 则中位数为70+器×10-2四 3 中是互斥而不对立的两个事件.] 2.B[由题意知，样本的客量为66，而落在[31.5,43.5)内的 12.解：(1)由表中的数据可得： 7-98+10.3+10.0+10,2+9.9+9.8+10.0+10,1+10.8+9,7 样本数为12+7十3=2，故大于或等于31.5的数招约占器 10 =100, y=0.1+10.4+10.1+10.0+101+10.3+10.6+185+10.4+10.5 10 3.C[因为P(C)=0.6,事件B与C对立，所以P(B)=0.4.又 -10.3, P(A)=0.3,事件A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)十 号=6[a.8-100y+(1a.3-100+(10.0-100r+ P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.] (10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0) 4D[第一种情况：该选手一次性通过前三关，进入第四关， +(10.0-10.0)°+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+ 概率为=××号-号： (9.7-10.0)]=0.036, 第二种情况：该选手通过前两关，第三关第一次没有通过，第 =6[10.1-1032+(0.4-103y+00.1-103y+ 二次通过，近入第四关，版率为P-音×号×（一号）X (10.0-10.3)°+(10.1-10.3)+(10.3-10.3)2+(10.6 -10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5 - 10.3)2]=0.04. (2)由(1)中的数据可得y-x=10.3-10.0=0.3, 所以孩选手能睡入常回关的概率为号十高岩故选] 2语-2-2vms 5.BCD[排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互 10 斥，而B,C、D中，甲、乙站位情况均可以同时发生，因此它们 则0.3=/0.09>2√0.0076=√0.0304. 都不互斥，故选BCD.] 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有 6.ABC[由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确：又因为从 显著提高 100件中袖取产品符合古典概型的条件，所以 高考冲浪 P0-品-日PB-0:PC)-0则PAUB)-号 1.A[观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近 ≠P(C),故A,B正确，D错误.故选ABC.] 某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正 7.解析：已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为 相关，r值相比于其他3图更接近1.门 2.解：(1)580人中体育有飨炼时长不小于1小时人数占比P 合·号和号且三人是香考15分以上相互位主， 纪+3+1土137十0十辽-照，演地区29000名初中学生中你 580 影三人中两人数学考135分以上的概率为：号×号× 育绿炼时长不小子1小时的人鼓约为29000×=】 =12500人. (-)十×(-号)×告+-)×号×吉=： (2)该地区初中学生簸炼平均时长约为： 5[-2×5+134)+0,5中×4+14 三人数学都考135分以上的概率为：日×号×号-是 2 所以甲、乙、丙三人在高考中至少有两人数学能考135分以 +1+L.5×(42+137)+5,+2×(3+40) 2 2 上的概率为是+言-品 +2+25×1+27)1-≈0.9h 2 29 答案号 ·51. 飞曼快乐假 c900-号 8.解析：设两款优患套餐分别为A,B,列举所有可能结果如国 (2)由(1)知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人， 所示 甲的选择 实戏成皱也为化异的概率为号，所以从金市理论成靖为化 异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优 乙的选样 丙的选择A BA BA RA B 并的概率为P=1 (传)-器 由图可知，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学 (3)由题意，a=8-b(0≤≤8)， 选择同一款套餐包含2种结果，故所求概率为 设理论成绩为X,则X取值为1,2,3)， 2.1 对应的人数分别为{5，b十5,10一b)(0≤b≤8)，所以参赛学 8=4 答案： 生理论竞素的手均成绩为B(X)=1×品+2×+3× 20 9.解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，授入各个 10-b=2.25-0.05b, 20 信箱的可能性是相等的，一共有3个样本点.授入1号或2 所以参赛学生理论成绮的方差为 号信箱有2个样本点，故A信投入】号或2号信箱的概率为 2 Dx0=1-2.25+0.056)×易+(2-2.25+0.056)2× 答案：号 结5+3-2.25+0.056×1890=0.0256-0.0256+ 0.6875,因为0≤b≤8，所以当b=8时，方差最小， 10.解析：每次取一件，取后不放回，连续取两次，其一切可能的 高考冲浪 结果组成的样本空间为Q={(a1,ae),(a,b),(aea), (a4,b),(b,a1),(b,a),其中每小括号内左边的字母表示 1,解析：由题可知，A题库占比为是B题库占比为子C题年 第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，2 由6个样本，点组成，而且可以确定这些样本点的出现是等 占比为}P=是×0,92+号×0,86+}×0,72=品 可能的. 用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则 答案号 A=((ab),(a:b).(b.a),(b.a:)) 2.解：(1)甲、乙所在队的比赛成黄不少于5分，则甲第一阶段 事件A南4个样本点组成，所以PA一音-导 至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ,.比赛成绩不少于5分的概率P=(1一0.63)(1一0.5) 答案：号 0.686. 11.解：(1)设A=“任达2道灯谜，甲都猜对”，用1,2,3,4,5表 (2)(「)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成 示第一关的5道灯谜，其中1,2,3,4表示甲猜对的4道， 绩为15分的概率为P,=[1一(1一p)]g 则样本空间为={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, 的概率为P=[1-(1-q)]·p A=((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. .P-P:=q-(q-pq)-p+(p-pq) 所以n(2)=10,n(A)=6,根据古典概型的计算公式， =(g-p)(g+pg+p)+(p-g)·[(p-g)+(g-pg) 得P(A)=nA-3 n(2)5· +(p-pq)(q-pq)] (2)设B=“任选一道灯谜，甲猜对”，C=“任选一道灯谜，乙 =(p-q)(3p-3pq-3pq) 猜对”，D=“任选一道灯谣，甲、乙两人恰有一个人猜对”， =3gp-q)(pM-p-q)=3pg(p-g)汇(1-p)(1-g)-1]>0 银据题多可得P(B)=号，P(B)=品·P(O=品P(C P。>P。,应这由甲参加第一阶段比赛 ()若甲先参加第一阶段比赛，数学成靖X的所有可能取 5 20 值为0,5,10,15. P(X=0)=(1-)3+[1-(1-p)]·(1-g) 因为D=CUBC,且C,BC互斥，又甲、乙两位选手独立参加 P(X=5)=[1-(1-p)2]Cg·(1-g) 竞猜，所以B,C相互独立，从而B,C,B,C也相互独立. 所以P(D)=P(BCUBC)=P(BC)+P(BC)=P(B)X P(X=10)=[1-(1-p)3]·Cg2(1-q) P(C)+P(B)P(C)= 8×15+12×5=9 P(X=15)=[1-(1-p)31·g 20×20+20×20-20 ∴.E(X)=15[1-(1-p)]g=15(p-3p+3p)·g 即甲，乙两人治有一个人猜对的概率为品 记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩y的所有可能取值为 0,5,10,15 12.解：(1)由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共 同理E(Y)=15(g-3g+3q)·p 有2十3+a十1十1=(7十a)人， 则7钻-号，得a=3:又3+2+2+6+3+1+1+3=20，得 .E(X)-E(Y)=15[pg(p+q)(p-q)-3pg(p-q)] =15(p-g)pg(p+g-3)>0 b=5. ,应该由甲参加第一阶段比赛」 ·52·快乐假期 有志者事竟成。 十三、概率 完成日期： 月 思维整合室 4.事件的互斥与对立 w711+17 知识梳理 定义 表示法 图示 1.随机事件 若事件A与B不 (或 (1)事件发生 斥 能同时发生，则称 如果随机试验的样本空间为2，则随机事 A与B互斥 件A是2的一个 而且：若试验 由样本空间2中所 事件A的 的结果是A中的元素，则称A:否则： 对 有不属于事件A的 对立事件 称A不发生（或不出现等）. 立 样本点组成的事件 记为A (2)不可能事件、必然事件、随机事件 称为A的对立事件 必然事件 5.古典概型的概率公式 事 对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由 不可能事件 件 几个样本点组成的.如果试验的所有可能结果 随机事件 (基本事件)数为n,随机事件A包含的样本点 般地，不可能事件、随机事件、必然事件 数为m,那么事件A的概率规定为P(A)= 都可简称为事件，通常用大写英文字母 事件A包含的可能结果数_m 试验的所有可能结果数 …来表示.特别地，只含有一个样 6.相互独立事件的概念与性质 本点的事件称为 (1)定义：设A,B为两个事件，当 2.事件的包含与相等 时，就称事件A与B相互独立（简称 定义 表示法 图示 独立) 4 般地，如果事件A (2)性质：当事件A,B相互独立时， 与B, 包含 发生时，事件B A与 ,A与B也相互独立， 关系 ,则称A包含 (或 自测自查 于B(或B包含A) 1.(1)非空真子集发生（或出现等）(2)每 相等 次试验中一定会发生每次试验中一定不发 AGB且BCA A=B 关系 A(B) 生可能发生也可能不发生A,B,C基本 事件2.一定发生ACBB2A3.A十B 3.事件的和与积 AUB AB A∩B4.AB=OA∩B= 定义 表示法 图示 6.(1)P(AB)=P(A)P(B)(2)AB 由所有A中的样本 点与B中的样本点 要点记忆 和 组成的事件称为A 1.频率与概率有本质的区别.频率随着实验次 与B的和（或并） 数的改变而发生变化，概率是大量随机事件 由事件A,B中的 现象的客观规律，是一个常数， 公共样本点组成 积 2.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且 的事件称为A与 (或 4B 二者必有一个发生，对立事件是互斥事件的 B的积（或交） 特殊情形. ·34 三022 盒一致学) 3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 6.(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工 (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼 厂的100件产品，其中一等品有20件，合格 此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件 品有70件，其余为不合格品.现在这个工厂 的求和公式计算 随机抽查一件产品，设事件A为“是一等 (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再 品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”， 用公式P(A)=1一P(A),即运用逆向思维 则下列结果正确的是 ( (正难则反). 《技能捉升台 A.P(B)-1 B.P(AUB)=号 JI nend tl shend tol C.P(ANB)=0 D.P(AUB)=P(C) 技能提升 7.甲、乙、丙三名同学将参加2024年高考，根 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2 据高三年级半年来的各次测试数据显示， 个球，那么互斥而不对立的两个事件是 甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率 分别为2，号和号设三人是否考135分以上 A.至少有1个黑球与都是红球 B.至少有1个黑球与都是黑球 相互独立，则这三人在2024年高考中至少有 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 两人数学考135分以上的概率为 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 8.某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三 位同学选择同一款套餐的概率为 2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各 9.有1号、2号、3号共3个信箱和A,B,C,D 组的频数如下： [11.5.15.5)2[15.5,19.5)4[19.5.23.5)9 共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投 [23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12 完为止，其中A信投人1号或2号信箱的概 [35.5,39.5)7[39.5,43.5)3 率是 根据样本的频率分布估计大于或等于31.5 10.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件 的数据约占 ( 产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连 A品 & c n号 续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次 品的概率为 3.已知随机事件A,B,C中，A与B互斥，B与 11.为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节 C对立，且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A 日氛围，某市文联在南山公园广场举办 UB)= () 2024年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜竞 A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9 猜活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、 4.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关 20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加 每次间关的过关率分别为8，台，号？·只有 竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在 第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道，假 通过前一关才能进入下一关，其中，第三关 设猜对每道灯谜都是等可能的， 有两次闯关机会，且每关是否通过相互独 (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲 立.若某选手参加该节目，则他能进入第四 都猜对的概率； 关的概率为 (2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求 7 A.26 B号 c号 D芳 甲、乙两人恰有一个人猜对的概率 5.(多选)若干个人站成一排，则下列不是互斥 事件的是 A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” ·35· 火曼快乐限期 c900号 12.2024世界人工智能大会于7月4日在上 高考冲浪 海世博中心启幕，大会以“核心技术、智能 1.(2024·上海卷，8)某校举办科学竞技比赛， 终端、应用赋能”为三大主题板块.我国在 有A,B,C3种题库，A题库有5000道题， 人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取 B题库有4000道题，C题库有3000道题. 得了很多成就.为普及人工智能相关知识， 小申已完成所有题，他A题库的正确率是 红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞 0.92,B题库的正确率是0.86，C题库的正 赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛 确率是0.72.现他从所有的题中随机选一 两个部分，两部分的成绩分为三档，分为基 题，正确率是 础、中等、优异.现从参加活动的学生中随 2.(2024·新课标Ⅱ卷，18)某投篮比赛分为两 机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统 个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛 计人数如表： 具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队 理论 员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘 实践 基础 中等 优异 汰，比赛成绩为0分：若至少投中1次，则该 基础 0 2 1 队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 中等 3 b 1 3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队 的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛 优异 2 3 队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的 (1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽 概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中 取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为 与否相互独立. 优异的学生概率为2·求a,6的值： (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比 赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分 (2)在(1)的前提下，用样本估计总体，从全 的概率； 市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2 (2)假设0<p<g. 人，求至少有一个人实践能力的成绩为优 (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 异的概率； 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段 (3)若基础、中等和优异对应得分为1分、2 比赛？ 分和3分，要使参赛学生理论成绩的方差 (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学 最小，写出b的值.（直接写出答案） 期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ·36