假期作业六 函数的基本性质与幂函数-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业（北师大版2019）

三0022 一学) 驽马十驾，功在不舍。 六、函数的基本性质与幂函数 完成日期： 月 《思维整合室 er zheng he shi 如果对于函数f(x)的定 知识梳理 奇 函 义域内任意一个x,都有关于 1.增函数、减函数 ,那么函数 对称 般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D三 数 f(x)是奇函数 I,如果对于任意1x2∈D,且x<x2,则有： (1)f(x)在区间D上是增函数台 5.五种常见幂函数的图象与性质 (2)f(x)在区间D上是减函数台 格 函数 征 y 2.单调区间的定义 y=x y=x2 y=x y=x 性 若函数y=f(x)在区间D上是 或 质 ,则称函数y=f(x)在这一区间上 图象 具有（严格的）单调性， 叫做y= 业卡 f(x)的单调区间. 定义域 3.函数的最值 值域 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 奇偶性 在实数M满足 ①对于任意x∈ ①对于任意x∈ 单调性 条 1,都有 1,都有 公共点 件 ②存在x。∈I,使 ②存在x∈I,使 得 得 自测自查 1.(1)f(x1)<f(x2)(2)f(x1)>f(x2) 结论 M为最大值 M为最小值 2.增函数减函数区间D 4.函数的奇偶性 3.①f(x)≤M②f(x)=M①f(x)≥M ②f(x。)=M 奇偶性 定义 图象特点 4.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x) 原点 如果对于函数f(x)的定 偶 5.RRR{xx≥0}{xx≠0}R{yly 义域内任意一个x,都有关于 函 ≥0)R{y≥0}{yly≠0}奇偶奇 ,那么函数 对称 数 非奇非偶奇增(-∞，0]减，[0，十∞)增 f(x)是偶函数 增增（(-∞，0)和(0，十∞)减(1.1) 15 快乐假期 c900号 ④若该函数的最大值为M,最小值为m,则 要点记忆 它的值域为[m,M. 函数的奇偶性与单调性的关系 A.4 B.3 (1)奇函数在对称区间上的单调性相同. C.2 D.1 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy) (2)偶函数在对称区间上的单调性相反. =yf(x)+x2f(y),则 ( (3)在公共区域上：增+增=增，减十减=减， A.f(0)=0 增一减=增，减一增=减。 B.f(1)=0 【《技能提升台 C.f(.x)是偶函数 JI neng tr sheng Lal D.x=0为f(x)的极小值点 技能提升 6.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图象 1.函数f()=。-1的图象一定关于( 是连续不断的，且满足以下条件：①Hx∈ R,f(-x)=f(x):②Hm,n∈(0，+o∞)，当 A.x轴对称 B.y轴对称 m≠n时，都有fm)二m<0:③f(-1) m-n C.原点对称 D.直线x=1对称 =0.则下列选项成立的是 2.若函数f(x)是R上的减函数，a>0,则下列 A.f(3)>f(-4) 不等式一定成立的是 ( B.若f(m-1)<f(2),则m∈(3，+∞) A.f(a2)<f(a) B.ru<r C若2<0.则xe(-1.0U1,+) C.f(a)<f(2a) D.f(a2)<f(a-1) D.Hx∈R,3M∈R,使得f(x)≤M 3.幂函数y=f(x)的图象经过点 7.已知函数f(x)在定义域（一1,1）上单调递 33月 减，且f(1一a)<f(2a一1)，则实数a的取 f(x)=2,则x。= 值范围是 A.2 B号 8.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数 和奇函数，且f(x)十g(x)=x一x,则f(1) C.2 D.4 g(1) 4.关于函数y=f(x),x∈D,下列说法正确的 9.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则 个数为 ( f1-2)的定义域为 ①若该函数为奇函数，则必有f(0)=0: 10.已知二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=2, ②若该函数是偶函数，则它的图象必与y轴 f(1)=1,则函数f(x)的解析式为 相交： :若函数h(x)=f(x)-mx在[1,3]上 ③若该函数在区间I上是单调函数，则 具有单调性，则实数m的取值范围 ICD; 是 ·16 三0022 高一数学的 山.f)=千7是定义在(-1，D上的奇 12.已知f(x)是定义在[一1,1]上的奇函数， 且f(1)=1,若a,b∈[-1,1]，a+b≠0时， 函数」 (1)用定义证明f(x)在（一1,1）上是增 有a)士fb)>0恒成立. a+b 函数： (1)判断f(x)在[一1,1]上的单调性，并加 (2)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 以证明： (2)若f(x)≤m2一2nm+1对任意n∈ [一1,1]恒成立，求实数m的取值范围. 高考冲浪 1.(2024·天津卷，5)若a=4.203,b= 4.2.3,c=log.20.2,则a,b,c的大小关系为 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 2.(2022·北京卷，15)设函数f(x)= -ax+1,x<a, 若f(x)存在最小值，则a的 (x-2)2,x≥a. 一个取值为 :a的最大值为 ·17·飞快乐假 c900= 2.C[因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，设f(x)=(x一a)·(x (2)当0<a<2时，由f(a)=2a十1=4， -b)(x-2a-b),则f八.x)的零点为x1=a,x=b,a=2a十b 当a>0时，则x2<x1,x1>0,要使f(.x)≥0，必有2a十b a,且b<0,即b=一a,且b<0,所以b<0: 当a≥2时，由f代a)=a°-1=4，得a=5或a=-5(舍去. 当a<0时，则x>z1x1<0, 要使f(x)≥0，必有b<0.综上一定有<0.] 蜂上所建a=号或a=5, 假期作业五 12.解：(1)设t=√x+1,则x=(t一1)2(t≥1). 技能提升台技能提升 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(1-1)=产-2t+1十21-2 x-2,x>0, =-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). 1,B[因为fx)=πx=0, 所以f(1)=1-2=-1, (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ar十b(a≠0)， 0,x<0, 所以3[a(x+1)+6]-2[a(x-1)+b]=2x十17. f(f(1)=f(-1)=0,f(f(f(1))=f(0)=π，故选B.] 即ax+(50十b)-2x+17,因光应有“=2： 2.D[根据函数的定义，对于定义域内的任意一个数工都对 (5a+6-17,解得 应唯一的y值，可看出只有选项D符合，故选D.] (a=2故fr)的解新式是f()=2x+7, 1b=7. 3.B[由题意得-22+1<3，解得-是<<1，由x十1≠0，解 ⊙ 得中一1，故面载的定义线为[一多一)儿(-1，故练B] (3)为2)+（）=3 所以北x同替换，得2(）十x)= ② 4.B[因为f(x+1)=.x2-2.x+3, 令t=x十1，则x=t-1,则f(t)=(t一1)2一2(t-1)十3= 由①②解得fr)=2x-1(x≠0)， 一4+6，所以f(x)=x2一4x+6.故选B.] 5.ABC[函数y=x2-4x-4的图 8x=2 即)的解新式是)=2红-子（≠0以， 象如图所示f(0)=(4)=一4， x2-4x-4 高考冲浪 f(2)=一8.周为函数y=x2-4z 4/8 1.解析：由题意可知，f(0)=0,则a=0. 一4的定义城为[0，m],值域为[一 -8-40 答案：0 8,一4]，所以实数m的取值范围 2.B[由题意知f(r)在R上单调递增，令h(x)=一x2一2ax 是[2,4]，故选ABC.] 一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即一a 6AC[国为芒号对于A ≥0→a0,排除C,D项：又因为当x=0时，f(x)=1,所以 (x)=1+(- 当x=0时，h(x)≤1→-x-2ar-a≤1，代入x=0,得-a 1-(-x)9 =代，A错误，D正确：对于B,f(上) ≤1→a≥-1，所以一1≤a≤0，故a的取值范围是[一1,0].] 假期作业六 1+(1) =x+1 技能提升台技能提升 1-（1)x- LC[画数f(x)的定义城为xx≠0(-x)=- -I =一(.B正确，对于C,f(-) 1+(-1) x+】 =一。1=一fx,则画数f(x)为奇通数，固此图象关于 1-(-1)2-】 原点对称，故选C,门 =-f（x),C错误，故选AC.] 2.D[函数f(.r)是R上的减函数，a>0. A选项，a2-a=a(a-1),当a>1时， 7解析：由题意可得一1≥0， 解得x1,且x≠0. a>a,所以f(a)<f(a):当0<a<1时， 1-√/1-x≠0， a2<a,所以f(a)>f(a)即A不一定成立， 答案：(-∞，0)U(0,1] 8.解析：f(f(4))=f(2)=0. B选项，当>1时>所以a<(日）当0<a< 由题图可知当1<x<4时，f(x)<2. 答案：0(1,4) 时<所以a)>(日）B不一定成主 9.解析：函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十f(y)一3， C选项，当a>0时，2a>a,所以f(a)>f(2a),即C不成立. 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)-3. 又f(4)=5,.f(2)=4. D选项d-(a-1=d-a+1=(a-）广+是>0.则u 答案：4 >a-1,所以f(a)<f(a-1),即D一定成立，故选D.] 10.解析：f(/6)=(√6)2-4=2→f(2)=3,即2-31+a=3→ aD[说萃画数)=：共国泉经选点（合号） a=2. 答案：2 (信）广-号解得a=名)==反，若) 山.解：D由题意得(-受) 2,则=2，解得x。=,故选D.] =(+)=()】 4.D[①若孩函数为奇函数，但0任D,没有f(0)=0,①错 误，②高数y一是是偶画载，但图象与y轴不相交，©错视 =(2+1）=(2)=2×2+1=2. ③单调区间是定义域子集，③正确. ·44· 三0022 ④函数y=xx∈[1,2]U[3,4们，最大值为4，最小值为1.但 (1+x)(1+x)>0, 是值城不是[1,4门，④错误. 所以f(x1)-f（x)<0,即f(x1)<f(x). 所以正确的有1个，故选D.] 所以函数f()在（一1,1）上是增函数， 5.ABC[对于A,令x=y=0,则f(0)=0×f(0)+0×f(0), (2)由函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数且f(1一1)十 则f(0)=0,故A正确： f(1)<0,得f(1-1)<-()=f(-t), 对于B,令x=y=1,则f(1)=1×f1)+1×f(1), 又由(1)可知函数F(x)在（一1,1）上是增函数，所以有 则f(1)=0,故B正确： -1<t-1<1, 对于C,令x=y=-1,则f1)=(-1)”×f(-1)+(-1) -1<-<1,0<1<号.所以不等式的解集 ×f(-1),则f(-1)=0, 1-1-1 再令y=-1,则f(-x)=(-1)fx)+xf-1) 即f(-x)=f（x),故C正确： 是<K} 对于D,当x=0时，f(0)=yf(0),无极值.故D错误.故 12.解：(1)f(x)在[-1,1]上单调递增，证明如下： 速ABC.] 任取x1x∈[-1,1]，且1<x4,则-∈[-1,1门， 6.ACD[由①知函数f(x)为偶函数，由②知函数f(x)在(0 又f(x)是奇函数， 十∞)上单调递减，则函数f(x)在（一∞，0）上单调递增. 对于A,f(3)=f(-3)>f(-4),故A正确. 所以f)-f)=f)+f(-)=f)+f-2 x1十（一x2） 对于B,f(m一1)<f(2),则m一1>2， ·(x1一E2）, 解得m∈(3，十c∞)U(-∞，-1)，故B错误。 由已知得)十(-) 对于C,若n<0,由题知f(-1D=f1)=0,则当x>0 x1+(一x) >0,x1-xg0, 所以f()-f(x)<0,即f(1)<f(x:). 时，f(x)<0,解得x>1:当x<0时，f(r)>0,解得-1<x 所以f(x)在[一1,1门上单调递增. <0,故C正确. (2)因为f(1)=1,且f(x)在[-1,1门上单调递增，所以在 对于D,根据函数单调性及函数在【上的图象连续可知，函 [-1,1]上f(xr)≤1. 数f(x)存在最大值f(0),则只需M≥f(0),即可满足条件， 问题转化为m2-2m十1≥1，即m一2m≥0对任意n∈ 故D正确，故逃ACD.] [一1,1门恒成立， 7.解析：由题意知，画数f(x)在定义域（一1,1）上单调递减，且 设g(n)=一2mn十m,则 f(1-a)<f(2a-1), ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[一1,1]恒成立： -1<1-a<1, ②若m≠0，则g(n)为关于n的一次函数，若g(n)≥0对n 故1<2。-11，解得0<a<号 (1-a>2a-1, 成立，必题年样孩m≥2 答案：(0，号) 综上所述，实数m的取值范图为（一∞，一2]U[2,十∞）U{0. 高考冲浪 8.解析：因为fx)十g(x)=x-x,所以有f(-1)十g(-1) 1.B[因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4. =(-1)2-(-1)=2. 23<4.2°<4.21， 因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以0<4.23<1<4.2.即0<a<1<h, 所以f(-1)=(1),g(-1)=-g(1), 因为y=log2r在(0，十∞)上递增，且0<0.2<1， 因此由f(-1)十g(-1)=2→f(1)-g(1)=2. 所以log.0.2<1og121=0,即c<0, 答案：2 所以b>a>c,] 9.解析：设幂函数y=f(x)=x, 2解析：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以 :f(x)的图象过点(4,2)=2，a=2 0,2为分界点研究函数f(x)的性质，当a<0时，f(x)= 一a.x十1，x<4,该段的值城为（一o,一a+1),故整个函数 -7已20己2a则1-2>0， 没有最小值；当a=0时，f(x)=一ar十1，x<a,该段值城为 1),而f(x)=(r-2),x≥a的值城为[0，十∞)，故此时f(.x)的 即x<2 值城为[0，十∞)，即存在最小值为0，故第一个空可填写0：当 0<a≤2时，f(x)=-ar+1,r<a,该段的值战为 “72的定又为(） (-a2+1,+∞)，而f(x)=(x-2)2,x≥a的值城为[0， 十∞)，若存在最小值，则需满足一a2十1≥0，于是可得0<d 答案：(0，)】 ≤1：当a>2时，f(x)=-a.x十1，x<a,该段的值域为 10.解析：由题意可设f(x)=a(x-1)+1, (-a+1,十∞)，而f(x)=(x-2)2,x≥a的值城为 因为f(0)=2,所以a·(0-1)+1=2, [(4一2)，十∞)，若存在最小值，则需满足-a+1≥(a 解得a=1,即f(x)=(x-1)2+1=x2-2x十2. 2),此不等式无解.综上，a的取值范围是[0,1]，故a的最 因为h(x)=f(x)-m.r-x-(m+2)x+2在[1,3]上具有 大值为1. 单拥性，所以“士≤1或0士≥3，解得m<0或m≥4 答案：0（答案不唯一）1 2 假期作业七 答案：fx)=x2-2x+2(-∞，0]U[4,+o) 技能提升台技能提升 11.解：(1)证明：任取x1x2∈（-1,1)，且x1<x2 1.B[原式=2×号=2=√2，故选B.] 则f(x)-f)=1十元厂1+网 2.B[a 一=a=a,故选B.门 x(1+z)-x(1+x)_（x,-)(1-x1x) (1+x)(1+x2) (1+x)(1+x) 3D[a)(-a)÷(分ab）=-ab÷ 因为-1<x<<1, 所以x1-<0,1一1>0， 子ab=-3a号=-3a.故选D.] ·45·