假期作业五 函数的概念及其表示-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业（北师大版2019）

快乐假期 敏而好学，不耻下问。 五、函数的概念及其表示 完成日期： 月 思维整合室 要点记忆 知识梳理 求函数解析式的五种常用方法 1.函数的概念 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求 给定实数集R中的两个 数集A和 f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，确 B,如果存在一个，对应关系f,使对于集合 定其系数即可. A中的 数x,在集合B中都有 (2)换元法：令1=g(x),再求出f(1)的解析 的数y和它对应，那么就把对应关系f 式，然后用x代替所有的t即可. 称为定义在集合A上的一个函数. (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求 2.函数的有关概念 f(x)时，可从f(g(x)的解析式中拼凑出 (1)函数的定义域、值域 “g(x)”,即用g(x)来表示，再将解析式两边的 在函数y=∫(x),x∈A中，x叫做自变量， :与 g(x)用x代替即可. x的取值范围A叫做函数的 (4)代入法：已知y=f(x)的解析式求y= x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)x∈A}叫做函数的 ,显 f(g(x)的解析式时，可直接用新自变量g(x) 然，值域是集合B的子集。 替换y=f(x)中的x. (2)函数的三要素： 和 (5)方程组法：当同一个对应关系中的两个自 (3)相等函数：如果两个函数的 和 变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可 完全一致，则这两个函数相等，这是判 构造方程组求解。 断两函数相等的依据。 《技能提升台 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有： 技能提升 3.分段函数 x2-2,x>0, 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取 1.已知函数f(x)= π，x=0, 值区间，有着不同的 ,这样的函数通 0,x<0 常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组 则f(f(f(1))= 成，但它表示的是一个函数 A.π2-2 B.π 自测自查 C.0 D.x2-2 1.非空数每一个唯一确定 2.下列各图中，可表示函数y=f(x)的图象的 2.(1)定义域值域 是 (2)定义域值域对应关系 (3)定义域对应关系 (4)解析法列表法图象法 卡 3.对应关系 ·12 三0022 型高一数学的) 3.已知函数y=f(x)的定义域为[一2,3]，则 x2-4, x>2, 10.已知a∈R,函数f(x)= 函数y=f21十1D的定义域为 |x-3|+a,x≤2. ( x+1 若f(f(6)=3,则a= [-] [f(x+1),-2<x<0, B[-多-1u-1 11.已知f(x)=2x+1,0≤x<2, x2-1,x≥2. C.[-3,7] 1)求f-2)的值： D.[-3,-1)U(-1,7] 4.已知函数f(x+1)=x2一2.x+3,则函数 (2)若f(a)=4且a>0,求实数a的值. y=f(x)的解析式为 () A.f(.x)=x2-6.x+4 B.f(x)=x2-4x+6 C.f(.x)=x2-4.x-4 D.f(x)=x2-6.x+11 5.(多选)若函数y=x2一4x一4的定义域为 [0,m],值域为[一8，一4]，则实数m的值可 能是 () A.2 B.3 C.4 D.5 6(多选)设①-芒号，则下列结论错误的 有 () A.f(-x)=-f(x)B.f()=-f(x) C.f(-1)-f(z) D.f(-x)=f(x)） 7函数y月一的定义城为 1-√/1-x 8.如图，函数f(x)的图象是 折线段ABC,其中A,B,C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)， 0123456x (6,4),则ff(4)= :不等式f(x)<2的解集为 9.已知函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十 f(y)-3,且f(4)=5,则f(2)= ·13· 火壑快乐假瑚 c900= 12.(1)已知f(元+1)=x+2√x,求函数 (3)已知fx)满足2fx)+f日 =3.x,求 f(x)的解析式； f(x)的解析式. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(.x+ 1)一2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解 析式； 高考冲浪 1.(2024·上海卷，4)已知f(x)=x3十a,且 f(x)是奇函数，则a= 2.(2024·新课标I卷，6)已知函数f(x) -x2-2a.x-a,x<0 在R上单调递增，则a e+ln(x+1),x≥0 的取值范围是 () A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+o∞) ·14·飞快乐假 c900= 2.C[因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，设f(x)=(x一a)·(x (2)当0<a<2时，由f(a)=2a十1=4， -b)(x-2a-b),则f八.x)的零点为x1=a,x=b,a=2a十b 当a>0时，则x2<x1,x1>0,要使f(.x)≥0，必有2a十b a,且b<0,即b=一a,且b<0,所以b<0: 当a≥2时，由f代a)=a°-1=4，得a=5或a=-5(舍去. 当a<0时，则x>z1x1<0, 要使f(x)≥0，必有b<0.综上一定有<0.] 蜂上所建a=号或a=5, 假期作业五 12.解：(1)设t=√x+1,则x=(t一1)2(t≥1). 技能提升台技能提升 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(1-1)=产-2t+1十21-2 x-2,x>0, =-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). 1,B[因为fx)=πx=0, 所以f(1)=1-2=-1, (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ar十b(a≠0)， 0,x<0, 所以3[a(x+1)+6]-2[a(x-1)+b]=2x十17. f(f(1)=f(-1)=0,f(f(f(1))=f(0)=π，故选B.] 即ax+(50十b)-2x+17,因光应有“=2： 2.D[根据函数的定义，对于定义域内的任意一个数工都对 (5a+6-17,解得 应唯一的y值，可看出只有选项D符合，故选D.] (a=2故fr)的解新式是f()=2x+7, 1b=7. 3.B[由题意得-22+1<3，解得-是<<1，由x十1≠0，解 ⊙ 得中一1，故面载的定义线为[一多一)儿(-1，故练B] (3)为2)+（）=3 所以北x同替换，得2(）十x)= ② 4.B[因为f(x+1)=.x2-2.x+3, 令t=x十1，则x=t-1,则f(t)=(t一1)2一2(t-1)十3= 由①②解得fr)=2x-1(x≠0)， 一4+6，所以f(x)=x2一4x+6.故选B.] 5.ABC[函数y=x2-4x-4的图 8x=2 即)的解新式是)=2红-子（≠0以， 象如图所示f(0)=(4)=一4， x2-4x-4 高考冲浪 f(2)=一8.周为函数y=x2-4z 4/8 1.解析：由题意可知，f(0)=0,则a=0. 一4的定义城为[0，m],值域为[一 -8-40 答案：0 8,一4]，所以实数m的取值范围 2.B[由题意知f(r)在R上单调递增，令h(x)=一x2一2ax 是[2,4]，故选ABC.] 一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即一a 6AC[国为芒号对于A ≥0→a0,排除C,D项：又因为当x=0时，f(x)=1,所以 (x)=1+(- 当x=0时，h(x)≤1→-x-2ar-a≤1，代入x=0,得-a 1-(-x)9 =代，A错误，D正确：对于B,f(上) ≤1→a≥-1，所以一1≤a≤0，故a的取值范围是[一1,0].] 假期作业六 1+(1) =x+1 技能提升台技能提升 1-（1)x- LC[画数f(x)的定义城为xx≠0(-x)=- -I =一(.B正确，对于C,f(-) 1+(-1) x+】 =一。1=一fx,则画数f(x)为奇通数，固此图象关于 1-(-1)2-】 原点对称，故选C,门 =-f（x),C错误，故选AC.] 2.D[函数f(.r)是R上的减函数，a>0. A选项，a2-a=a(a-1),当a>1时， 7解析：由题意可得一1≥0， 解得x1,且x≠0. a>a,所以f(a)<f(a):当0<a<1时， 1-√/1-x≠0， a2<a,所以f(a)>f(a)即A不一定成立， 答案：(-∞，0)U(0,1] 8.解析：f(f(4))=f(2)=0. B选项，当>1时>所以a<(日）当0<a< 由题图可知当1<x<4时，f(x)<2. 答案：0(1,4) 时<所以a)>(日）B不一定成主 9.解析：函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十f(y)一3， C选项，当a>0时，2a>a,所以f(a)>f(2a),即C不成立. 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)-3. 又f(4)=5,.f(2)=4. D选项d-(a-1=d-a+1=(a-）广+是>0.则u 答案：4 >a-1,所以f(a)<f(a-1),即D一定成立，故选D.] 10.解析：f(/6)=(√6)2-4=2→f(2)=3,即2-31+a=3→ aD[说萃画数)=：共国泉经选点（合号） a=2. 答案：2 (信）广-号解得a=名)==反，若) 山.解：D由题意得(-受) 2,则=2，解得x。=,故选D.] =(+)=()】 4.D[①若孩函数为奇函数，但0任D,没有f(0)=0,①错 误，②高数y一是是偶画载，但图象与y轴不相交，©错视 =(2+1）=(2)=2×2+1=2. ③单调区间是定义域子集，③正确. ·44·