专题15计数原理、排列组合、二项式定理（真题5个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题15计数原理、排列组合、二项式定理 （真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考6、10题 2024年春考4题 二项式系数和及通项公式；排列、组合及简单的计数问题 二项式的展开式 2023秋考10题 2023春考8题 二项式定理的应用 二项式定理及组合数公式的应用 2022秋考7题 2022春考4、9题 二项式定理的应用 二项式定理的应用、排列组合的应用 2021年秋考6题 2021年春考7题 二项展开式的通项公式 二项式定理、二项式系数的性质 2020年秋考9题 2020年春考8题 组合数公式 二项式定理求特定系数 一．分类加法计数原理（共1小题） 1．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 　18　种． 【分析】先讨论的取值，得到对应的值，再整体求和即可． 【解答】解：当，0种， 当，2种， 当，4种； 当，6种， 当，4种； 当，2种， 当，0种， 故共有：． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目． 二．数字问题（共1小题） 2．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　17　（用数字作答） 【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数， 当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数， 当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大的四位数， 故有个比2134大的四位数， 故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题． 三．排列组合的综合应用（共2小题） 3．（2024•上海）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 　329　． 【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：由题可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数， 先研究集合中无重复数字的三位偶数： （1）若个位为0，这样的偶数有种； （2）若个位不为0，这样的偶数有种； 所以集合元素个数最大值为种． 故答案为：329． 【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题． 4．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有　180　种安排情况． 【分析】根据题意，由组合公式得共有排法，计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意，可得排法共有种． 故答案为：180． 【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题． 四．二项式定理（共8小题） 5．（2024•上海）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 　10　． 【分析】根据二项式系数和求得值，再结合二项式的通项公式即可求得． 【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是，所以， 则该二项式的通项公式是， 令，解得，故项的系数为． 故答案为：10． 【点评】本题考查二项式系数和及通项公式，属基础题． 6．（2024•上海）展开式中的系数为 　15　． 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【解答】解：根据二项式展开． 故答案为：15． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 7．（2023•上海）设，则　17　． 【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解． 【解答】解：根据题意及二项式定理可得： ． 故答案为：17． 【点评】本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题． 8．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 　49　． 【分析】由二项展开式的通项可得，若，则为奇数，所以，即，从而求出的取值范围，得到的最大值． 【解答】解：二项式的通项为，，1，2，，， 二项式的通项为，，1，2，，， ，，1，2，，， 若，则为奇数， 此时， ， ， ， 又为奇数， 的最大值为49． 故答案为：49． 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题． 9．（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为 　66　． 【分析】求出展开式的通项公式，令的次数为，求出的值即可． 【解答】解：展开式的通项公式为，由，得， 得， 即，即含项的系数为66， 故答案为：66． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题． 10．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则　2　． 【分析】由二项展开式的通项公式可得的系数，再根据的系数为80，求出的值． 【解答】解：的展开式的通项公式为， 所以的系数为，解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 11．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为　64　． 【分析】由已知可得，令，即可求得系数和． 【解答】解：由题意，，且， 所以， 所以令，的系数和为． 故答案为：64． 【点评】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 12．（2020•上海）已知二项式，则展开式中的系数为　10　． 【分析】由，可得到答案． 【解答】解：，所以展开式中的系数为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 五．二项展开式的通项与项的系数（共1小题） 13．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则　10　． 【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值． 【解答】解：二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍， 即，即， ， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•浦东新区校级模拟）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有　　 A．4个 B．6个 C．10个 D．14个 【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面的中心，问题得以解决． 【解答】解：符合条件的点有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点． 故集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有． 故选：． 【点评】本题主要考查了分类计数原理，关键是理解几何图形，属于基础题． 2．（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 【分析】先确定初中部和高中部各抽取的人数，再利用组合数即可得． 【解答】解：由题意，初中部和高中部总共有人， 按照分层随机抽样的原理，应从初中部抽取 人，从高中部抽取． 从初中部抽取25人，有种方法，从高中部抽取15人，有种方法， 根据分步乘法计数原理，一共有种抽样结果． 故选：． 【点评】本题考查分层抽样，考查组合数的应用，属于基础题． 二．填空题（共47小题） 3．（2024•闵行区校级三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 　15　种． 【分析】根据题意，需要先将4本书分为3组，再分配给3个小朋友，按4本书分为3组的不同情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，不妨记两本相同的图书为元素1，1，两本不同的音乐书为元素3，4， 需要先将4本书分为3组，再分配给3个小朋友， 分3种情况讨论： 若分为、1、的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分为、1、的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分为、1、的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况； 综上，不同的分法共有种． 故答案为：15． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 4．（2024•闵行区校级二模）如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有 　10　个． 【分析】根据分类计数原理求解即可． 【解答】解：符合条件的点有两类： 一，六条棱的中点；二，四个面的中心； 集合中有且只有2个元素，符合条件的点有个． 故答案为：10． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题． 5．（2024•松江区校级模拟）把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有 　14　个． 【分析】根据已知条件，分从1，2，3，4中选出一个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，从1，2，3，4中选出两个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，从1，2，3，4中选出三个数排在5的右侧，其余排在5的左侧三种情况讨论，并对所求的结果求和，即可求解． 【解答】解：从1，2，3，4中选出一个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有， 从1，2，3，4中选出两个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有， 从1，2，3，4中选出三个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有， 故满足条件的数量总个数为个． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查组合及简单计数问题，考查分类讨论的思想，属于基础题． 6．（2024•虹口区模拟）中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有 　36　种（用数字作答）． 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，②剩下的2本安排给其余2人，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有种分法， ②剩下的2本安排给其余2人，有种分法， 则有种借阅方式， 故答案为：36． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 7．（2024•浦东新区校级四模）在展开式中，项的系数是 　60　． 【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为2，进而可以求解． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，，6， 令，解得， 所以的系数为， 故答案为：60． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 8．（2024•闵行区三模）二项式展开式中的系数为 　5　． 【分析】将化为，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案． 【解答】解：因为， 故展开式中的系数为． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题． 9．（2024•黄浦区二模）若的展开式中的系数是，则实数　　． 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解． 【解答】解：若的展开式的通项公式为：， 令，解得， 的展开式中的系数是， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题． 10．（2024•浦东新区校级模拟）在的展开式中，项的系数为 　45　．（结果用数值表示） 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解． 【解答】解：， 项只能在展开式中，即为，系数为． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查二项式定理的应，属于基础题． 11．（2024•闵行区二模）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　96　． 【分析】依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法， 其他4个工程队分别对应4个子项目，有种情况， 根据乘法原理，分析可得有种情况； 故答案为：96． 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素． 12．（2024•杨浦区校级三模）若排列数，则　3　． 【分析】由排列数的运算公式计算即可得解． 【解答】解：由得： 因， 则， 解得， 故答案为：3． 【点评】本题考查了排列数的运算，属基础题． 13．（2024•闵行区校级模拟）已知，关于的方程有且仅有一个解，则实数　252　． 【分析】由题意可知，由组合数公式计算即可得的值． 【解答】解：因为关于的方程有且仅有一个解， 所以， 所以． 故答案为：252． 【点评】本题主要考查了组合数的计算，属于基础题． 14．（2024•浦东新区校级模拟）若，则正整数的值为 　5或7　． 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案． 【解答】解：由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或． 故答案为：5或7． 【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题． 15．（2024•闵行区二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形．例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形．当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成 　20　个等边三角形． 【分析】利用已知条件，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数． 【解答】解：正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又是1个正四面体， 所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成． 故答案为：20． 【点评】本题考查空间想象能力，发现问题解决问题的能力，是基础题． 16．（2024•浦东新区校级模拟）已知，且，则　2　． 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出． 【解答】解：由题意，为中的系数． 因为的二项展开式的通项公式为， 所以的展开式中含项的系数为：， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查二项式定理，属于基础题． 17．（2024•浦东新区三模）若，则的值为 　　． 【分析】直接利用赋值法求出结果． 【解答】解：令，故， 令，故， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 18．（2024•青浦区校级模拟）已知的展开式中项的系数为，则　　． 【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解． 【解答】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 19．（2024•闵行区校级模拟）的展开式中的系数是 　8　． 【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为1，解出，可得展开式中的系数． 【解答】解：的通项公式为，，1，2，3，4， 令，解得，即二项式展开式中的系数是． 故答案为：8． 【点评】本题考查二项式展开式的应用，属于基础题． 20．（2024•杨浦区二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 　45　． 【分析】利用二项式定理求出含的项，由此即可求解． 【解答】解：展开式中含的项为， 所以的系数为45． 故答案为：45． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题． 21．（2024•松江区二模）已知，则　21　． 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果． 【解答】解：根据， 根据二项式的展开式，，1，2，3，4，5，6，； 令，故． 故答案为：21． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 22．（2024•崇明区二模）若的二项式展开式中的系数为10，则　　． 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的运算求出结果． 【解答】解：根据的二项式展开式，1，2，3，4，； 当时，的系数为，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 23．（2024•长宁区二模）在的二项展开式中，的系数是　4　（结果用数字作答）． 【分析】由其二项展开式的通项公式即可求得的系数． 【解答】解：的二项展开式的通项公式， 令得． 的系数为：． 故答案为：4． 【点评】本题考查二项式定理，熟练应用其通项公式是关键，属于基础题． 24．（2024•嘉定区校级模拟）已知，则　　． 【分析】采用赋值法求解即可． 【解答】解：令，则， 令，则， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题． 25．（2024•浦东新区校级四模）在的展开式中，系数为有理数的项共有　6　项． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，系数为有理数，必为4的倍数． 【解答】解：二项式展开式的通项公式为 要使系数为有理数，则必为4的倍数， 所以可为0，4，8，12，16，20共6种， 故系数为有理数的项共有6项． 故答案为6 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 26．（2024•青浦区二模）的二项展开式中的常数项为 　160　． 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果． 【解答】解：根据二项式的展开式：，1，2，3，4，5，， 当时，常数项为． 故答案为：160． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 27．（2024•徐汇区校级模拟）的二项展开式的各项系数之和为256，则该二项展开式中的常数项为 　54　． 【分析】先利用赋值法求出的值，然后利用展开式通项求常数项． 【解答】解：令，则， 解得， 所以展开式通项为：，且， 令得，， 故常数项为：． 故答案为：54． 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了赋值法的应用，属于基础题． 28．（2024•浦东新区校级三模）的展开式的第四项为 　　． 【分析】利用二项式的通项公式可求得答案． 【解答】解：的展开式的第四项为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式及特定项的求法，属于基础题． 29．（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 　36　种． 【分析】先把4名志愿者分成3组，再将三组分到三所学校即可． 【解答】解：根据题意，4名志愿者分为1，1，2三组有种分法， 再将三组分到三个学校有种方法， 故不同的分法有种． 故答案为：36． 【点评】本题考查接排列组合问题，属于中档题． 30．（2024•闵行区校级三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有 　4050　种． 【分析】先考虑两对混双的组合的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，推出结果． 【解答】解：先考虑两对混双的组合有种不同的方法， 余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合， 故共有． 故答案为：4050． 【点评】本题考查计数原理，以及排列、组合的简单应用，是中档题． 31．（2024•杨浦区二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 　60　种． 【分析】先选出1人在这两天都参加的分法，然后安排其它志愿者即可． 【解答】解：有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加， 则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有：（种． 故答案为：60． 【点评】本题考查了排列组合的综合应用，计数原理的应用，属于中档题． 32．（2024•杨浦区校级三模）在的展开式中，项的系数是 　10　． 【分析】利用二项展开式的通项公式可求得答案． 【解答】解：在的展开式中，通项，1，2，，， 令，得， 故项的系数为． 故答案为：10． 【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题． 33．（2024•黄浦区校级三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 　840　个． 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解． 【解答】解：用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2类： ①当数位上数字为奇数且个数为2时， 则有个； ②当数位上数字为奇数且个数为4时， 则有个， 则各个数位上数字和为偶数的奇数共有个． 故答案为：840． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题． 34．（2024•徐汇区模拟）将四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 　72　． 【分析】首先给顶点选色，有4种结果，再给选色有3种结果，再给选色有2种结果，最后分两种情况即与同色与与不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果． 【解答】解：设四棱锥为． 下面分两种情况即与同色与与不同色来讨论， （1）的着色方法种数为，的着色方法种数为，的着色方法种数为， 与同色时的着色方法种数为1，的着色方法种数为， （2）的着色方法种数为，的着色方法种数为，的着色方法种数为， 与不同色时的着色方法种数为，的着色方法种数为． 综上两类共有种结果． 故答案为：72． 【点评】本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题． 35．（2024•虹口区二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 　144　． 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合插空法求解． 【解答】解：3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻， 先将3个男孩全排，然后在男孩之间的4个空中选3个空排3个女孩即可， 即不同的站法种数为． 故答案为：144． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了插空法，属中档题． 36．（2024•浦东新区校级三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为 　108　． 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解． 【解答】解：当三个班级的人数为”1，1，1“时， 则不同的抽选方法数为； 当三个班级的人数为”1，2，1“时， 则不同的抽选方法数为， 即不同的抽选方法数共有． 故答案为：108． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题． 37．（2024•松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 　1540　种不同的选择方法． 【分析】设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，根据任意两人的学号之差绝对值大于等于5列方程，运用隔板法求解． 【解答】解：设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设， 则有恒等式，其中，，，，即，，，， 故式为， 上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有种方法． 故答案为：1540． 【点评】本题考查隔板法的应用，属于中档题． 38．（2024•普陀区校级模拟）若，则　　． 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解． 【解答】解：表示5个因数的乘积．而为展开式中的系数， 设这5个因数中分别取、、2这三项分别取，，个， 所以，若要得到含的项，则由计数原理知，，的取值情况如下表： 2 个 个 个 0 5 0 1 3 1 2 1 2 由上表可知． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 39．（2024•闵行区校级三模）若的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中的系数为 　6　． 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果． 【解答】解：根据二项式的展开式该题的展开式的系数和二项式的系数相等； 即，故； 所以的二项式的展开式为，1，2，3，4，5，， 当时，该展开式中的系数为． 故答案为：6． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 40．（2024•普陀区模拟）设，若，且，则　1023　． 【分析】根据，且，以及二项式定理的性质可得，再令可解． 【解答】解：因为，若，且， 则， 令时，， 又， 当时，． 故答案为：1023． 【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题． 41．（2024•嘉定区校级模拟）设，则　4096　． 【分析】采用赋值法，令即可求出结果． 【解答】解：令，则， 即， 故答案为：4096． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 42．（2024•闵行区校级三模）已知，则的值为 　10　． 【分析】直接利用二项展开式和组合数求出结果． 【解答】解：已知， 根据二项展开式，当时，． 故答案为：10． 【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 43．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 　25　． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中含的一次项系数和，列出方程求出，的关系；利用二项展开式的通项公式求出含项的系数，通过等量代换转化成二次函数的最值，求出二次函数的最值． 【解答】解：由题意、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，知， 即， 又展开式中含项的系数为， 当或时，含项的系数最小，最小值为25． 故答案为：25． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式的应用，等量代换，二次函数的最值的求法，是中档题． 44．（2024•黄浦区校级三模）若，则　　． 【分析】直接利用赋值法和二项式的展开式求出结果． 【解答】解：， 令，解得， 根据二项式的展开式，1，2，3，，， 当时，， 令时，，整理得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 45．（2024•金山区二模）在的展开式中，记项的系数为，则，，　40　． 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数的运算求出结果． 【解答】解：根据的展开式，1，2，3，4，， 当时，系数为； 根据的展开式，1，2，， 当时，系数为， 故， 同理； 故，，． 故答案为：40． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 46．（2024•黄浦区校级模拟）若，则　0　． 【分析】由二项式定理，结合赋值法求解． 【解答】解：已知， 令， 则， 令， 则， 即． 故答案为：0． 【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题． 47．（2024•徐汇区模拟）已知的二项展开式中各项系数和为1024，则展开式中常数项的值为 　210　． 【分析】依题意，可求得，再利用的二项展开式的通项公式可求得答案． 【解答】解：的二项展开式中各项系数和为1024， 即， 故． 设的二项展开式的通项为，则， 令，得， 故展开式中常数项的值为． 故答案为：210． 【点评】本题考查二项式定理的应用，求得是关键，考查运算求解能力，属于中档题． 48．（2024•松江区校级模拟）设，且，若能被13整除，则　12　． 【分析】直接利用二项式的展开式解决整除问题． 【解答】解：， 由于，且； 故能被13整除，故． 故答案为：12． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 49．（2024•宝山区校级四模）设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到　　． 【分析】对，两边同乘以整理后再对求导，最后令代入整理即可得到结论． 【解答】解：对， 两边同乘以得：， 再两边对求导得到：， 在上式中令，得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用．赋值法，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15计数原理、排列组合、二项式定理 （真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考6、10题 2024年春考4题 二项式系数和及通项公式；排列、组合及简单的计数问题 二项式的展开式 2023秋考10题 2023春考8题 二项式定理的应用 二项式定理及组合数公式的应用 2022秋考7题 2022春考4、9题 二项式定理的应用 二项式定理的应用、排列组合的应用 2021年秋考6题 2021年春考7题 二项展开式的通项公式 二项式定理、二项式系数的性质 2020年秋考9题 2020年春考8题 组合数公式 二项式定理求特定系数 一．分类加法计数原理（共1小题） 1．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 　　种． 二．数字问题（共1小题） 2．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　　（用数字作答） 三．排列组合的综合应用（共2小题） 3．（2024•上海）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 　　． 4．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有　　种安排情况． 四．二项式定理（共8小题） 5．（2024•上海）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 　　． 6．（2024•上海）展开式中的系数为 　　． 7．（2023•上海）设，则　　． 8．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 　　． 9．（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为 　　． 10．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则　　． 11．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为　　． 12．（2020•上海）已知二项式，则展开式中的系数为　　． 五．二项展开式的通项与项的系数（共1小题） 13．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则　　． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•浦东新区校级模拟）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有　　 A．4个 B．6个 C．10个 D．14个 2．（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共47小题） 3．（2024•闵行区校级三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 　　种． 4．（2024•闵行区校级二模）如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有 　　个． 5．（2024•松江区校级模拟）把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有 　　个． 6．（2024•虹口区模拟）中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有 　　种（用数字作答）． 7．（2024•浦东新区校级四模）在展开式中，项的系数是 　　． 8．（2024•闵行区三模）二项式展开式中的系数为 　　． 9．（2024•黄浦区二模）若的展开式中的系数是，则实数　　． 10．（2024•浦东新区校级模拟）在的展开式中，项的系数为 　　．（结果用数值表示） 11．（2024•闵行区二模）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　 　． 12．（2024•杨浦区校级三模）若排列数，则　　． 13．（2024•闵行区校级模拟）已知，关于的方程有且仅有一个解，则实数　　． 14．（2024•浦东新区校级模拟）若，则正整数的值为 　　． 15．（2024•闵行区二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形．例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形．当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成 　　个等边三角形． 16．（2024•浦东新区校级模拟）已知，且，则　　． 17．（2024•浦东新区三模）若，则的值为 　　． 18．（2024•青浦区校级模拟）已知的展开式中项的系数为，则　　． 19．（2024•闵行区校级模拟）的展开式中的系数是 　　． 20．（2024•杨浦区二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 　　． 21．（2024•松江区二模）已知，则　　． 22．（2024•崇明区二模）若的二项式展开式中的系数为10，则　　． 23．（2024•长宁区二模）在的二项展开式中，的系数是　　（结果用数字作答）． 24．（2024•嘉定区校级模拟）已知，则　　． 25．（2024•浦东新区校级四模）在的展开式中，系数为有理数的项共有　　项． 26．（2024•青浦区二模）的二项展开式中的常数项为 　　． 27．（2024•徐汇区校级模拟）的二项展开式的各项系数之和为256，则该二项展开式中的常数项为 　　． 28．（2024•浦东新区校级三模）的展开式的第四项为 　　． 29．（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 　　种． 30．（2024•闵行区校级三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有 　　种． 31．（2024•杨浦区二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 　　种． 32．（2024•杨浦区校级三模）在的展开式中，项的系数是 　　． 33．（2024•黄浦区校级三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 　　个． 34．（2024•徐汇区模拟）将四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 　　． 35．（2024•虹口区二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 　　． 36．（2024•浦东新区校级三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为 　　． 37．（2024•松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 　　种不同的选择方法． 38．（2024•普陀区校级模拟）若，则　　． 39．（2024•闵行区校级三模）若的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中的系数为 　　． 40．（2024•普陀区模拟）设，若，且，则　　． 41．（2024•嘉定区校级模拟）设，则　　． 42．（2024•闵行区校级三模）已知，则的值为 　　． 43．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 　　． 44．（2024•黄浦区校级三模）若，则　　． 45．（2024•金山区二模）在的展开式中，记项的系数为，则，，　　． 46．（2024•黄浦区校级模拟）若，则　　． 47．（2024•徐汇区模拟）已知的二项展开式中各项系数和为1024，则展开式中常数项的值为 　　． 48．（2024•松江区校级模拟）设，且，若能被13整除，则　　． 49．（2024•宝山区校级四模）设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$