专题14 导数（真题3个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题14 导数（真题3个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考21题 基本不等式、极值、最值、导数的应用 2023春考21题 导数的综合应用 2022秋考18题 2022春考12题 抽象函数的性质应用 极限及其运算 一．极限及其运算（共1小题） 1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　2　． 【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果． 【解答】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，， 是周期为4的周期函数，图像如图： 将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，， 则的几何意义是两条渐近线之间的距离2， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二．利用导数研究函数的单调性（共1小题） 2．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 【解答】解：（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点， 使得该点是在的“最近点”； （2）由题设可得， 则，因为，均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，，故在点处的切线方程为， 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得， 即，① ，② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则，， 即，③ ，④ ③④得， 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减． 【点评】本题考查基本不等式，极值、最值的求解，导数的应用等，属于难题． 三．利用导数研究函数的最值（共1小题） 3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断； （2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解； （3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点全在使得在切线下方，所以或，即可得证． 【解答】解：（1），设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）， ， ，即为函数的“控制函数“， 又，且，； 证明：（3），， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数“， 是函数的“控制函数“， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点全在使得在切线的下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题． 一．选择题（共9小题） 1．（2024•徐汇区校级模拟）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可． 【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△， 所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△． 故选：． 【点评】本题考查了瞬时变化率，属于基础题． 2．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是　　 A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项、错误； 由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项错误，正确． 【解答】解：对于、，在到之间的平均变化率是， 在到之间的平均变化率是， ，即二者相等； 选项、错误； 对于、，函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在处的切线的斜率， 由图形知，选项错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题． 3．（2024•闵行区校级三模）计算：　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 4．（2024•浦东新区校级四模）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】逐一求导验证可得结果． 【解答】解：，正确，错误； ，错误； ，错误． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题． 5．（2024•青浦区二模）如图，已知直线与函数，的图像相切于两点，则函数有　　 A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【分析】由图象可得函数在极值点两侧导函数值的正负，得到的符号，判断的极值点的情况，从而判断的正误． 【解答】解：直线与曲线相切于两点， 有两个根，且， 由图象知，令， 由图可知，函数有3个极大值点，2个极小值点， 而， 设的三个极大值点分别为，，，两个极小值点分别为，． 则在，，的左侧，，在，，的右侧，，此时函数有3个极大值， 在，的左侧，，在，的右侧，，此时函数有2个极小值， 故函数有5个极值点，3个极大值，2个极小值． 故正确，错误，错误，错误． 故选：． 【点评】本题考查函数零点的判断以及极值的判断，考查导函数的符号与原函数单调性间的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 6．（2024•金山区二模）设，有如下两个命题： ①函数的图像与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图像上． 则下列说法正确的是　　 A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 【分析】对于①：根据题意可得为奇函数，求导分析单调性，又，（1），即可判断①是否正确； 对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点，设直线方程为，直线的方程，设，，，，分别联立，解得，，由，解得，即可得出答案． 【解答】解：对于①：为奇函数，， 当时，，单调递减，且，（1）， 则函数的图像与圆有且只有两个公共点，故①正确； 对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点， 设直线方程为，直线的方程， 设，，，， 联立，则，同理可得， 由得，，即， 所以， 解得或， 所以不止一个正方形，其四个顶点都在函数的图像上，故②不正确． 故选：． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 7．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为　　 A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果． 【解答】解：由极值的定义可知，当函数在处取得极小值时， 在左侧的函数图象存在点比处的函数值小， 在右侧的函数图象存在点比处的函数值小，故排除，； 对于，函数在区间上为严格减函数， 在区间上为严格增函数，则是函数的极小值点； 对于，函数在区间上为严格增函数， 在区间上为严格减函数，则不是函数的极小值点． 故选：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题． 8．（2024•闵行区校级三模）已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范围，即可判断． 【解答】解：由，得， 则，， 依题意可得，且、、， ，则， 经验证，当、分别取3、时，满足题意． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题． 9．（2024•闵行区校级二模）已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】令在上是增函数，不等式恒成立等价于，所以，令，转化为． 【解答】解：依题意，在上是增函数， ，不等式恒成立， 即恒成立， 等价于恒成立， ， 令， 则， 易得（e）， ，． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题． 二．填空题（共22小题） 10．（2024•嘉定区二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为 　4或1　 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①为切点，曲线，其导数，则， 即过点的切线的斜率； ②不是切点，设切点的坐标为， 曲线，其导数，则， 则有，解可得或2（舍， 此时切线的斜率． 综合可得：切线的斜率为4或1． 故答案为：4或1． 【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题． 11．（2024•静安区二模）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻　　（单位：． 【分析】可求出导函数，然后求出时的导数即可． 【解答】解：由题可得：， 可得， 又， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题． 12．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　． 【分析】设时刻水面高为，水面圆半径为，用表示，求出圆锥中水的体积，根据杯中水的体积列方程求出关于的函数，利用导数求瞬时变化率即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为，则，即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水，则此时水的体积为，即， 则，所以， 当时，（3）． 故答案为：． 【点评】本题考查了导数的概念与应用问题，是基础题． 13．（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　． 【分析】由导数物理意义，结合变化的快慢与变化率及求导公式求解即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为， 则， 即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水， 则此时水的体积为， 即， 即， 即， 又当水深为时， 即时，， 则， 即酒杯中水升高的瞬时变化率， 故答案为：． 【点评】本题考查了导数物理意义，重点考查了变化的快慢与变化率，属基础题． 14．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，则（1）　　． 【分析】对求导，再代入，从而求得（3），进而得到，由此计算可得（1）． 【解答】解：因为，所以， 则，解得：（3）， 所以，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题． 15．（2024•宝山区三模）若直线与曲线相切，则实数的值为 　　． 【分析】根据导数的几何意义即可求解． 【解答】解：设切点为， 又，根据题意可得： ，， 切点为，又在直线上， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查导数的几何意义，属基础题． 16．（2024•普陀区校级三模）曲线在点，处的切线方程是 　　． 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程． 【解答】解：因为，所以，， 则，即切点为，切线的斜率为， 所以切线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 17．（2024•浦东新区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 　2　． 【分析】根据两曲线在点处有相同的切线，可得，，的值，进而得解． 【解答】解：依题意，，， 则， 又，， 则，， 故函数在点处的切线方程为，即， 函数在点处的切线方程为， 依题意，，， 则． 故答案为：2． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 18．（2024•黄浦区校级三模）（文曲线在点处的切线倾斜角为　　． 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论． 【解答】解：函数的导数为， 则函数在点处的切线斜率（1）， ， 曲线在点处的切线倾斜角为， 故答案为： 【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用函数的导数和函数斜率之间的关系是解决本题的关键． 19．（2024•金山区二模）设，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 　　． 【分析】由函数奇偶性的定义求解值，可得函数解析式，再求其导函数，可得函数在处的导数值，求出的值，然后利用直线方程的斜截式得答案． 【解答】解：为奇函数， 恒成立， 则，， ，得， 又，曲线在点处的切线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数奇偶性性质的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 20．（2024•虹口区二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】分两个情况：当时，当，分析方程左端是否符合题意，令，，分析单调性，极值，当在轴下方，在轴上方时， ，当与有相同的零点时，，可得的取值范围． 【解答】解：当时，时，，，左边必然大于0，不满足题意， 所以， 令，， ，对称轴为，开口向上，有最小值， 令，解得为极大值点， 情况一：在轴下方，在轴上方， 即，得不等式组的解集为， 情况二：与有相同的零点， 此时，得不等式组的解集为无解， 综上所述，，． 故答案为：，． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 21．（2024•闵行区校级三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 　　． 【分析】根据已知条件，先求出的函数，再利用导数研究函数的单调性，即可求解． 【解答】解：设圆的直径为， 则，即， ， 令，解得， 令，解得，故在上单调递增， 令，解得，故在，上单调递减， 故当时，取得最大值， 此时， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题． 22．（2024•徐汇区模拟）如图，两条足够长且互相垂直的轨道、相交于点，一根长度为8的直杆的两端点、分别在、上滑动、两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 　，　． 【分析】根据已知条件，先求出的面积，再结合三角函数的有界性，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解． 【解答】解：设， 则，，， 故的面积， 令， 则， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， ， 故面积的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 23．（2024•黄浦区校级三模）函数的表达式为，如果（a）（b）（c）且，则的取值范围为 　　． 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令（a）（b）（c），可得的范围，则的三个根为，，，从而可得，右边去括号即可得解． 【解答】解：， 当或时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 则函数的极大值为，极小值为（2）， 作出函数的大致图象，若（a）（b）（c）且， 令（a）（b）（c），则， 即的三个根为，，， 即， 又， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数形结合的数学思想，属于中档题． 24．（2024•徐汇区模拟）已知函数在处有极值0，则　　． 【分析】由题可得，解方程，即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 根据题意可得： ． 解得， 经检验适合题意， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，方程思想，属中档题． 25．（2024•闵行区校级二模）已知函数，，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是　，　． 【分析】求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出的取值范围． 【解答】解：求导函数，可得，，，， （2）， ， 在，上单调递增， ， 对任意的，都有成立， ， ， 故答案为：，． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为． 26．（2024•杨浦区校级三模）若函数在上存在最小值，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据的单调性特点可确定实数的取值范围． 【解答】解：由题，令，解得， 令，解得或， 由此得函数在上是减函数，在上是增函数， 在 上是减函数．故函数在处取极小值， 又时，，时，， 因为在上存在最小值， 所以极小值必是区间上的最小值， 故，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题． 27．（2024•浦东新区校级三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 　，　． 【分析】求导数，则，确定单调性，讨论的取值范围可得结果． 【解答】解：由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而（1），故， 当时，．则． 综上，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题． 28．（2024•黄浦区校级三模）已知，，若（a）（b），且的最小值为3，则实数的值为 　　． 【分析】根据题意，可得，从而构造（b），利用导数求得（b）即可得到结果． 【解答】解：因为（a）（b）， 所以，所以， 设（b）， 所以（b），令（b），则， 所以当时，（b）时，即，（b）， 所以时，（b）取极小值，即有， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题． 29．（2024•黄浦区校级模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】构造函数，转化为时，利用分离常数法求出实数的取值范围． 【解答】解：因为， 设，则， 又因为函数，且对任意，皆有成立， 所以，，且，所以； 设，， 则， 令，解得，所以时，，单调递增， ，时，，单调递减， 所以的最大值为， 所以实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了导数的定义与应用问题，也考查了函数的单调性应用问题，是中档题． 30．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 　　． 【分析】设，，利用导数求出的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数满足，即可得到（1）（1）且，从而求出参数的取值范围． 【解答】解：设，，则， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 时函数取极大值即最大值， 又，（1），（3）， 直线恒过定点且斜率为， 要使有且仅有两个整数满足， 即有且仅有两个整数满足， （1）（1）且， 解得，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题． 31．（2024•浦东新区校级模拟）若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据三角函数辅助角公式和将函数解析式中的，消去，再求出函数导数，根据题意利用导数列式表示出性质，将式子展开后把等式当作一个关于的方程的有解问题，根据一元二次方程有解条件化简等式求解出值，再根据将，换元为三角函数形式代入求解出实数的取值范围即可． 【解答】解：由题意可得，， 于是，． 设切点分别为，，，， 则由函数具有性质，可得，即， 整理得， 将上式视为关于的方程，则其判别式：， 即△，注意到，， 则， 故，此时或， 代入方程可得，因此，． 另一方面，由，可设，，其中， 则， 即． 因此，． 故答案为：． 【点评】本题考查新定义问题，解题第一步都是模仿定义列式求解，此题难度不在于新定义，而在于式子的复杂性，一方面需要根据题意优先化简函数解析式，为求导后的计算打下基础；另一方面，在求导后的计算中，要将作为主元进行求解，因此展开方程即便系数复杂，也能看出方程本质为关的一元二次方程，最终按照一元二次方程性质解题即可，考查了分析问题解决问题的能力和运算求解能力，属于较难题目． 三．解答题（共25小题） 32．（2024•闵行区三模）已知函数．（其中为常数）． （1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由． 【分析】（1）当时，求得，得到（2）且（2），进而求得切线方程； （2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解； （3）当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数． 【解答】（1）解：当时，可得， 可得，所以（2）且（2）， 所以切线方程为，即， 所以曲线在点，（2）处的切线方程为． （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 1 0 极小值 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为； （3）解：当时，，令，解得，（舍去）所以函数在上有一个零点； 当时，与在区间的情况如下表： 1 0 0 极大值 极小值 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点． 【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题． 33．（2024•静安区二模）已知，记且． （1）当是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； （2）试讨论函数的奇偶性； （3）拓展与探究： ①当在什么范围取值时，函数的图像在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【分析】（1）求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案． （2）若为偶函数，这对于任意的，都有，即对于任意的，，解得；若为奇函数，这对于任意的，，解得，即可得出答案． （3）分析函数对称中心，即可得出答案． 【解答】解：（1）， 当时，，故函数在上为严格增函数， 函数在上无最值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上为严格减函数， 当时，，函数在上为严格增函数， 所以函数在上有最小值，无最大值， 综上所述，当时，函数在上为严格增函数，函数在上无最值， 当时，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，函数在上有最小值，无最大值． （2）因为“为偶函数” “对于任意的，都有”， 对于任意的，都有，并且， 对于任意的，， 所以是为偶函数的充要条件． 因为“为奇函数” “对于任意的，都有” 对于任意的，都有，并且； 对于任意的，． 所以是为奇函数的充要条件， 综上所述，时，函数为偶函数， 当时，函数为奇函数， 当时，是非奇非偶函数． （3）①当时，函数有对称中心，， 即当时，对于任意的，都有，并且， 证明：当时，令， 解得为函数的零点， 由得，． ②当时，函数有对称轴． 当 时，对于任意的，都有，并且． 证明：当时，由 得， ． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 34．（2024•嘉定区二模）已知常数，设． （1）若，求函数的最小值； （2）是否存在，且、、依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． （3）求证：“”是“对任意，，，都有”的充要条件． 【分析】（1）求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案． （2）根据题意可得，，则，分两种情况：当时，当时，讨论是否满足条件，即可得出答案． （3）由，得，令，则原①，证明充分性和必要性，即可得出答案． 【解答】解：（1）， ， 令，得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以（1）． （2）若、、依次成等比数列，则， 若、、成等差数列，则， 所以， 所以， 当时，成立， 当时，则，联立，得， ，即， 所以，与矛盾， 所以时，存在，，满足条件， 当时，不存在，，满足条件． （3）证明：，则， ， 所以， 又 ， 令， 上式 ①， 令，则恒成立， 单调递减， 所以（1）， 充分性：若，则，则恒成立， 必要性：要使得①式恒成立，则恒成立，即． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 35．（2024•奉贤区三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【分析】（1）直接根据“导控函数”的定义判断即可； （2）根据“导控函数”的定义可得恒成立，再根据恒成立问题求解即可； （3）分别证明①充分性：由若存在常数，使得恒成立，推到；②必要性：由，推到存在常数使得恒成立即可． 【解答】解：（1）因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由题意可知：恒成立， 令，则，所以，所以，即． 又因为恒成立，所以， 所以，．故“导控点”为2； （3）充分性：若存在常数，使得恒成立， 所以为偶函数，所以，即， 所以； 必要性：若，则，所以是偶函数． 又因为函数是函数的“导控函数”，所以， 又因为，，所以函数是函数的“导控函数”， 所以，即，所以， 综上可知：．记，则． 所以存在常数使得恒成立． 【点评】本题考查了新定义问题，导数的综合问题，是中档题． 36．（2024•崇明区二模）已知． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：； （3）若，，数列满足，．求证：当时，． 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明； （3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明． 【解答】解 （1）当时， 所以曲线在点处的切线方程为； 证明：（2）由，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 所以， 因为，所以，所以， （3）由题意，，所以 当时，，所以函数在区间上严格减， 当时，，所以函数在区间上严格增， 因为，所以（1），（1）， 以此类推，当时，（1）， 又， 所以函数在区间上严格减， 当时，（1），所以， 所以，即，故． 【点评】本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，属于中档题． 37．（2024•黄浦区校级三模）已知，，是自然对数的底数． （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 【分析】（1）当时，，求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值； （2）关于的方程有两个不等实根，等价于与有2个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可； （2）求出，得到在上单调递减，在上单调递增，所以，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可． 【解答】解：（1）当时，，定义域为， 则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取到极小值0，无极大值； （2）方程， 显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点， 则， 当或时，，在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，严格增，时，当时，取得最小值，（1）， 作出函数的图象，如下图所示： 与有2个交点， 则， 即的取值范围为； （3）证明：， 令，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意，则，， 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即，， 由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数在上严格增， 由，可得，即， 所以， 又函数在上严格减， 所以， 即得证． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 38．（2024•浦东新区校级四模）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 【分析】（1）求导，判定导数的符号可得单调区间； （2）分离参数，求解新函数的最值即可； （3）先证明，再求和可得证结论． 【解答】解：（1）当时，，定义域为， 则， 令可得；令可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由恒成立，可得恒成立， 令，则， 令得，的增区间为， 令得，的减区间为， 所以的最大值为，所以， 故的取值范围是； （3）证明：设，， ， 当时，，为减函数， 所以，即， 令，则， 所以，，，，， 以上各式相加可得． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式的放缩，属于中档题． 39．（2024•浦东新区校级模拟）已知，其中． （1）若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：． 【分析】（1）由题意，对函数进行求导，根据导数与函数曲线切线的关系以及直线垂直斜率的关系，列出等式即可求解； （2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案； （3）利用综合法，整理不等式，通过构建新函数，对新函数进行求导，利用导数研究函数单调性求最值． 【解答】解：（1）因为， 可得， 若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以， 解得； （2）因为，函数定义域为， 可得， 当时，， 所以有两异号实根， 不妨设为方程的正根， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 当时，函数取得极小值也是最小值，最小值， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以（1）． 综上，，的最大值为1； （3）证明：要证， 即证， 因为， 此时要证， 因为当，， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以函数在上单调递减， 要证， 需证， 即证， 又， 要证， 即证， 因为（1），在上单调递减， 极值， 因为，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 在时，，单调递增， 所以（1）， 又， 所以， 同理． 故． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 40．（2024•闵行区校级二模）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：有且只有一个零点； （3）求函数在，上的最小值． 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程； （2）当时，求得，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在，上的单调性，即可求得函数在，上的最小值． 【解答】解：（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为； （2）证明：当时，， 令，则或，且，列表如下： 0 0 0 增 极大值 减 极小值 增 函数的极大值为， 极小值为， 当时，， 又因为（2），由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点， 综上所述，当时，函数有且只有一个零点； （3）， ， ①当时，对任意的，，，则且不恒为零， 此时函数在，上单调递增，则； ②当时，由，可得，由，可得， 此时函数在，上单调递减，在，上单调递增， 则； ③当时，对任意的，，且不恒为零， 此时函数在，上单调递减，则． 综上所述，． 【点评】本题考查利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与零点问题，利用导数研究函数的最值，属中档题． 41．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，，令． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，，求的最小值； （3）若对一切都成立，求的取值范围． 【分析】（1）把代入，对函数求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）结合导数与单调性及最值关系分析函数的最小值的取得条件，即可求解； （3）已知不等式可转化为对一切都成立，结合已知不等式考虑构造函数，，从而有在上单调递增，结合导数与单调性关系可求． 【解答】解：（1）时，，， 故（1），（1）， 所以在处的切线方程为，即； （2），， 则， 因为， 当时，易得在，上单调递增，（1）， 当时，在，上单调递减，在，上单调递增， 故，不合题意； 当时，在，上单调递减，在，上的最小值（e）（1），不符合题意， 故的最小值为1； （3）若对一切都成立，则对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，， 则在上单调递增， 所以在时恒成立，即在时恒成立， 当时，在时恒成立，符合题意， 当时，因为过定点，对称轴，则只要△， 所以， 故的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档题． 42．（2024•宝山区三模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：． 【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义 求得切点，再分别求切线方程验证即可； （2）求出函数的导数，并设出切点，，，，求出，处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）利用“双重切线”的定义，分别设出，对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得． 【解答】解：（1）的定义域为，，， 求导得，直线的斜率为2， 令，解得， 不妨设切点，， 则点处的切线方程为，即， 点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线 的“双重切线”． （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，，，，则存在，使得， 则在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 因此，消去可得， ， 求导得， 则函数在上单调递增，又， 函数的零点为，因此，， 所以曲线的“双重切线”的方程为； （3）设对应的切点为，，，，， 对应的切点为，，，，， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得． 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为， 即函数在上存在零点，则有， 由，同理可得，而， 因此，于是，即有． 所以，即． 【点评】本题考查了利用导数求函数的切线，利用导数的性质求得方程的零点，是中档题． 43．（2024•黄浦区二模）若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”． （1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由； （2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”； （3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”． 【分析】（1）由正弦函数及对数函数的性质判断即可； （2）利用导数判断出是严格增函数，所以至多有一个零点，再结合零点存在定理证明只有一个零点即可；按照自公切线”的定义证明不存在即可； （3）按照‘同切点’的定义及充要条件的定义证明即可． 【解答】解：（1）因为直线是的图像的一条“自公切线”， 故函数的图像存在“自公切线”； 对于，是严格减函数， 故在不同点处的切线斜率不同， 所以函数的图像不存在“自公切线”， 所以的图像存在“自公切线”，函数的图像不存在“自公切线”； （2）证明：因为，， 所以在上恒成立，且仅当时， 故是严格增函数，可得它至多有一个零点． 令， 由的图像是连续曲线，且， 所以在上存在零点， 故在上，存在零点， 所以有唯一零点； 假设的图像存在“自公切线”， 则存在，且， 使得的图像在与处的切线重合， 故， 且， 由可得， 不妨设，将代入， 可得，， 在上图的单位圆中，，于， 可知，与矛盾． 故的图像不存在“自公切线”． （3）证明：必要性：对给定的，由（2）知有唯一零点，所以唯一确定． 又在点处的切线方程为， 即， 在点处的切线方程为， 若存在，使得点与是函数图像的一对“同切点”， 则， 又，故， 所以， 且， 从而存在，使得，代入， 可得，故， 所以是数列中的项； 充分性：若是数列中的项，则存在，使得，即， 由（2）中的严格增，可知严格增，又且， 可知，令， 则且，， 即，可得， 所以存在，使得点与是函数的图像的一对同切点”． 综上可知“存在，使得点与是函数图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”． 【点评】本题属于新概念题，考查了对数函数、三角函数的性质，考查了函数的零点、导数的综合运用及充要条件的证明，属于难题． 44．（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”． （1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由； （2）设，求证：存在无穷多条“切线”； （3）设，求证：对任意实数和正数，都是“函数”． 【分析】（1）记，设切点为，，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解． （2）将点，处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证； （3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可． 【解答】解：（1）记，则，设切点为，， 由切线方程为知，则，解得． 所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点， 将与函数联立，得． 记，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，（1）， 故函数只有一个零点，故是一条“切线”； （2）证明：因为，所以， 则点，处的切线方程为， 将点，处的切线的方程与联立得， 记， 则直线为“切线” 函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线” ，显然是的零点， 故只要没其它零点，此时， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在，上单调递增， 故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而， 故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性， 故函数存在无穷多条“切线”， （3）证明：因为，则， 设点，在函数的图象上， 则点的切线为，与联立得： ， 由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解， 则或， 若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为， 或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）， 若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）． 综上，，即证． 【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 45．（2024•黄浦区校级三模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【分析】（1）是的1度点，不是的1度点； （2）求导得，设，可得出曲线在点处的切线方程为，该切线过点时，，然后设，然后根据导数符号可判断在上单调递增，从而得出方程无解，这样即可得出要证明的结论； （3）求导得出，设，可得出曲线在处的切线方程为，设点为函数的2度点，从而得出关于的方程恰有两个不同的实数解，设，则有两个不同的零点，讨论时，可得出不合要求；时，，根据可求出的极大值和极小值，并可得出，，然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数的2度点构成的集合． 【解答】解：（1）由题意，设，则曲线在点处的切线方程为， 该切线过原点时，，解得，故原点是函数的一个1度点； 又因为该切线过点，所以， 设，则，令，得， 所以时，，单调递减；时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，且（1）， 所以无解，点不是函数的1度点； （2）证明：设，，则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点，当且仅当， 设，，时，， 故在区间上单调递增， 当时，，恒不成立，即点是的一个0度点； （3）， 对任意，曲线在点处的切线方程为， 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个2度点，当且仅当有两个不同的零点， 若，则在上严格增，只有一个零点，不合要求； 若，，令得或， 由或时，，得严格增；当时，，得严格减， 故在时取得极大值，在时取得极小值（a）， 又，， 当（a）时，由零点存在定理，在，，上各有一个零点，不合要求； 当（a）时，仅上有一个零点，不合要求； 当（a）时，仅上有一个零点，也不合要求； 故有两个不同零点当且仅当或（a）， 若，同理可得有两个不同零点当且仅当或（a）， 综上，函数的全体2度点构成的集合为或，． 【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数极大值和极小值的方法，函数零点个数的判断方法，考查了计算能力，属于难题． 46．（2024•闵行区校级三模）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记是自然对数的底数）．若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）分别讨论，，结合函数的奇偶性的定义，可得结论； （2）求得的导数，由极值点1可得（1），解得，求得的解析式和导数、极值，由题意可得介于极小值和极大值之间； （3）由的单调性可得对任意、，且时恒成立，可得在，递减；在，递增．再由导数判断单调性和最值，可得所求取值范围． 【解答】解：（1）当时，，满足，为偶函数； 当时，，且，没有奇偶性； （2）函数在处有极值， 可得，（1），即，解得， 所以，， 当时，，递减；当或时，，递增， 可得在处取得极小值，且为；在处取得极大值，且为， 的方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是； （3）在，递减，可得时，， ，即为， 即， 即为对任意、，且时恒成立． 所以在，递减；在，递增． 当在，恒成立时，可得，即在，恒成立． 由的导数为，可得在，递增，在，递减， 则的最大值为，则； 当在，恒成立时，可得，即在，恒成立． 由的导数为，可得在，递增，则最小值为1，则． 综上可得的取值范围是，． 【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，以及函数奇偶性的判断，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 47．（2024•黄浦区校级三模）已知函数，，． （1）（1），（1），求实数，的值； （2）若，，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）设，试利用结论，证明：若，，，，其中，，则． 【分析】（1）由题意，得到和（1）的值，对进行求导，得到（1）的值，结合（1），（1），列出等式即可求出实数，的值； （2）将，分别代入和解析式中，对进行求导，将不等式对任意恒成立，转化成对任意恒成立，利用换元法，令，构造新函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求出的取值范围； （3）将代入函数解析式中，易得，因为，所以，当且仅当 时，等号成立；同理得，当且仅当 时，等号成立，此时，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当 时等号成立，将，，，依次表达出来，再相加即可得证． 【解答】解：（1）已知，，，函数定义域为， 易知，（1）， 因为（1）， 所以，① 易知， 可得（1）， 因为（1）， 所以，② 联立①②，解得，； （2）若，， 此时，， 可得， 因为不等式对任意恒成立， 可得， 即 对任意恒成立， 不妨令，， 不妨设，函数定义域为， 易得， 当时， 恒成立， 所以函数在 上严格递增， 此时， 解得； （3）证明：当时， 此时， 可得 ， 因为， 所以， 当且仅当 时，等号成立； 而，当且仅当 时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 则，当且仅当 时等号成立， 故， ，， ， 以上个式子相加可得： ． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式的恒成立问题，考查了推理论证能力、分类与整合思想和转化思想等． 48．（2024•青浦区校级模拟）已知函数，其中为实数． （1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）记，若，为的两个驻点，当在区间上变化时，求的取值范围． 【分析】（1）对求导，直接由导数求出参数的范围即可． （2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果． （3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量代入，写出表达式再求导即可． 【解答】解：（1）由可知，函数的定义域为，， ①当且仅当时，恒成立，是定义域上的单调递增函数，符合题意； 而当时，既不恒正，也不恒负，即不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去； 所以实数的取值范围为，； （2）函数有两个不同的零点，不是定义域上的单调函数，即； 由①，得在上为单调递减函数，在，上为单调递增函数， 函数有两个不同的零点， 的取值范围为； （3），为的两个驻点， ，为一元二次方程的两个不同的正根，即， 则，解得， ， 令， 则， 在上为单调递增函数，则， 的取值范围为． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，驻点的定义，考查了转化思想和方程思想，属难题． 49．（2024•松江区校级模拟）已知函数的图像在处的切线与直线平行． （1）求实数的值； （2）若关于的方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． （3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所有的正整数的值，如果不存在，说明理由． 【分析】（1）根据的图像在处的切线与直线平行，可得，再求出的值即可； （2）由（1）可知，等价于，令，判断的单调性，求出最值，再得到的取值范围即可； （3）根据切线不等式放缩，可得，则只要，数列收敛于，因此只需，即可求出满足题意的所有的正整数的值． 【解答】解：（1）因为，所以． 因为的图像在处的切线与直线平行， 所以，解得． （2）由（1）知，所以原方程变形为． 令，则在，上有两个不相等的实数根， 等价于直线与曲线在，上有两个交点． 因为， 所以当，时，；当，时，， 所以（3）． 因为（2），（4）， 所以， 而，所以，即（4）（2）， 所以的取值范围为，． （3）设，则， 所以在上递增，在上递减， 所以（1），即． 所以，当且仅当时取等号． 若，则， 所以数列收敛到，满足题意． 因此只需即可，等价于． 设， 易知在，上递减，， 所以存在唯一的零点，使得， 所以在上递增，在，上递减， 所以， 又， ，， 当时，则， 由上可知，这样的正整数不存在． 综上，或且． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想与转化思想，属难题． 50．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求函数的单调性； （2）首先利用公切线的几何意义，变形得到，构造函数，利用导数求函数的值域，转化为与函数图象有2个交点问题，即可求解； （3）不等式等价于，构造函数，转化为，转化为利用导数求函数的最小值，结合不等式，即可求解． 【解答】解：（1）当时，， ，， 当时，，当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）设公切线切于点，，切于，， 则有，即， 得，代入 得． 构造函数，， ．当，，单调递减，当，，单调递增， ，又当时，，当时，， 即，得，即实数的取值范围是，． （3）函数， 令恒成立：可得， 令，显然在，上为增函数，则（1）． ①当时，得，，得在，上单增，（1）恒成立，故满足题意． ②当时，令，得，（舍． 得时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增，又（1）， 极小值，不可能恒成立，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题． 51．（2024•浦东新区校级模拟）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的（1）函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于： ：对任意，与恒成立， ：对任意正整数，都是上的函数， 问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论． 【分析】（1）求导，推导出在时恒成立，从而是上的（1）函数． （2）实数满足：，即，令，由于，且的为离散的点，从而为严格减函数，由，得． ，，由此能求出的取值范围． （3）推导出为的充分条件．若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的必要条件． 【解答】解：（1）设定义域为的函数在上可导，导函数为． 若区间及实数满足：对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ． 等价于，在时恒成立， 是上的（1）函数． （2）实数满足：， 即．① 特别地，在①中取，可知， 反之，当时，①成立． 令，由于，且的为离散的点， 故为严格减函数，又，所以． ，， 从而的取值范围是：且，． （3）若成立，则对任意正整数，有：， 即为上的函数，成立．故为的充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：②， 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与②矛盾． 这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，所以， 于是． 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：． 于是成立．故也为的必要条件． 【点评】本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 52．（2024•杨浦区校级三模）设函数（其中为非零常数，是自然对数的底），记． （1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值； （2）设函数，若对任意，，存在极值点，求证：点在一定直线上，并求该定直线方程； （3）是否存在正整数和实数，使，且对任意的正整数，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由． 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2），，由题意得到，方程两边同时加上即可得证； （3）由无解，得到；①当时，；②当时，，即或2，利用单调性即可求解． 【解答】解：（1）， ， 即， ； 证明：（2） ， ， 因为都存在极值点， 所以， 方程两边同时加上得 ， 即，在直线上； 解：（3）无解，所以， ①当时， ， 而当时，严格减且（1）， 在上严格增，在上严格减， （1）恒成立，所以单调减， 综上所述，存在满足条件； ②当时，，即或2， 当时，（舍， 当时，单调减，且时，， 在上严格增，在上严格减，而（2） 存在使得在上，，在上， 在上，在上严格减，在上严格增，在上严格减，不合题意舍， ； 综上①②所述：存在满足条件． 【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题． 53．（2024•普陀区模拟）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与 “具有性质”． （1）判断函数，，与是否“具有性质（2）”，并说明理由； （2）若函数，，与 “具有性质”，求的取值范围； （3）若函数与 “具有性质（1）”，且函数在区间上存在两个零点，，求证． 【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可； （2）根据，，与 “具有性质”，可得对，，恒成立，再求出的范围即可； （3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可． 【解答】解：（1）由，，，且，得，， 则，， ， 函数，，与 “具有性质（2）”． （2）由函数，，与 “具有性质”， 得，，，，且， 即，， 则对，，恒成立． 又，，，，则，， 即，， 的取值范围为，． （3）证明：由在有两个零点，，可得， 又与 “具有性质（1）”， ，， ， 令，则， 令，则， ， 则当时，；当时，， 函数在上单调递增，在区间上单调递减． 要证，即证，设，只需证， 只需证，即证， 设，则， ，函数在是减函数，且（1）， 又，则（1）， 即，则， 故． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，利用综合法和分析法证明不等式，考查了转化思想，属难题． 54．（2024•松江区二模）已知函数为常数），记． （1）若函数在处的切线过原点，求实数的值； （2）对于正实数，求证：； （3）时，求证：． 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义求出在处的切线方程，将原点坐标代入即可求解的值； （2）设函数，利用导数求出的最小值，即可证明不等式； （3）分析可得只需证，令，利用导数只需证明即可． 【解答】解：（1）因为，所以，所以（1）， 又因为，所以在处的切线方程为：． 将点代入切线方程可得． （2）证明：设函数， 所以，所以． 所以， 令，得：， 所以在上严格递增；在上严格递减； 所以的最小值为，即总有：， 而， 所以． （3）证明：当时，即证， 由于，，故，只需证， 令，只需证明， 而， 因为，所以，令，得，令，得， 所以在处取得极大值，也是最大值， 所以（1）， 故在上恒成立，结论得证． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 55．（2024•虹口区二模）若函数满足：对任意，，，都有，则称函数具有性质． （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）首先判断的奇偶性，依题意可得是严格增函数，则恒成立，再分、、三种情况讨论． （3）依题意只要证明对任意实数，，对任意实数，设，则由具有性质知：当时，，设，分，两种情况讨论，结合零点存在性定理证明即可． 【解答】解：（1）不具有性质． 理由：取，，有， 具有性质． 理由：对任意，，有， （2）函数具有性质，故对，，，都有， 而是奇函数，故， 即是严格增函数，恒成立， 若，则，解得； 若，则恒成立； 若，则，解得； 综合上述，实数的取值范围为； 证明：（3）因函数的定义域为，要证明是奇函数， 只要证明：对任意实数，即可． 对任意实数，设，则由具有性质知：当时，①， 设， 当，即时，由①得， 即当，时，．② 当，即时，由①得， 即当时，．③ 于是由曲线的连续性，函数在上存在零点， 即．④ 由函数在上严格增知：函数在上严格增； 所以由②知，由③知，故， 故由④得：， 即对任意对任意实数，均有； 因此，函数是奇函数； 另证：（3）由具有性质，知：当时， 当时， 由零点存在定理知，即． 下面用反证法证明是奇函数． 假设存在使得， 不妨设，则由在上严格增，知， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在使得， 即； 而在上严格增，同样由单调性知， 从而有，与具有性质矛盾． 若，构造函数， 同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立， 即对任意都有，故是奇函数． 【点评】本题考查利用导数研究函数单调性问题，函数的奇偶性证明问题，考查逻辑和运算能力，属于难题． 56．（2024•闵行区校级模拟）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，，则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求（1）的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点，处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义，即可求解； （2）求出函数在处的切线方程，再利用切线的定义求解即得； （3）求出函数的导数，由曲线在点，处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解． 【解答】解：（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 则该切线的斜率为， 因此（1）． （2）由求导得， 则曲线在处的切线方程为：， 令， 整理得， 此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即， 所以曲线的切线仅有一条，为． （3）由， 得曲线在点，处的切线方程为：，即， 令， 求导得，由，得， 对，当时， ，为严格增函数； 当时， ，为严格减函数， 函数所有的极大值为，当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0， 函数所有的极小值为， 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点，处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点，处的切线为切线． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 导数（真题3个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考21题 基本不等式、极值、最值、导数的应用 2023春考21题 导数的综合应用 2022秋考18题 2022春考12题 抽象函数的性质应用 极限及其运算 一．极限及其运算（共1小题） 1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　　． 二．利用导数研究函数的单调性（共1小题） 2．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 三．利用导数研究函数的最值（共1小题） 3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 一．选择题（共9小题） 1．（2024•徐汇区校级模拟）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 2．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是　　 A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 3．（2024•闵行区校级三模）计算：　　 A．0 B． C． D． 4．（2024•浦东新区校级四模）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•青浦区二模）如图，已知直线与函数，的图像相切于两点，则函数有　　 A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 6．（2024•金山区二模）设，有如下两个命题： ①函数的图像与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图像上． 则下列说法正确的是　　 A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 7．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为　　 A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 8．（2024•闵行区校级三模）已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是　　 A． B． C． D． 9．（2024•闵行区校级二模）已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共22小题） 10．（2024•嘉定区二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为 　　 11．（2024•静安区二模）已知物体的位移（单位：与时间（单位：满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻　　（单位：． 12．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　． 13．（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　． 14．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，则（1）　　． 15．（2024•宝山区三模）若直线与曲线相切，则实数的值为 　　． 16．（2024•普陀区校级三模）曲线在点，处的切线方程是 　　． 17．（2024•浦东新区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 　　． 18．（2024•黄浦区校级三模）（文曲线在点处的切线倾斜角为　 　． 19．（2024•金山区二模）设，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 　　． 20．（2024•虹口区二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 　　． 21．（2024•闵行区校级三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 　　． 22．（2024•徐汇区模拟）如图，两条足够长且互相垂直的轨道、相交于点，一根长度为8的直杆的两端点、分别在、上滑动、两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 　　． 23．（2024•黄浦区校级三模）函数的表达式为，如果（a）（b）（c）且，则的取值范围为 　　． 24．（2024•徐汇区模拟）已知函数在处有极值0，则　　． 25．（2024•闵行区校级二模）已知函数，，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是　 　． 26．（2024•杨浦区校级三模）若函数在上存在最小值，则实数的取值范围是 　　． 27．（2024•浦东新区校级三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 　　． 28．（2024•黄浦区校级三模）已知，，若（a）（b），且的最小值为3，则实数的值为 　　． 29．（2024•黄浦区校级模拟）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 　　． 30．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 　　． 31．（2024•浦东新区校级模拟）若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 　　． 三．解答题（共25小题） 32．（2024•闵行区三模）已知函数．（其中为常数）． （1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由． 33．（2024•静安区二模）已知，记且． （1）当是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； （2）试讨论函数的奇偶性； （3）拓展与探究： ①当在什么范围取值时，函数的图像在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 34．（2024•嘉定区二模）已知常数，设． （1）若，求函数的最小值； （2）是否存在，且、、依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由． （3）求证：“”是“对任意，，，都有”的充要条件． 35．（2024•奉贤区三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 36．（2024•崇明区二模）已知． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：； （3）若，，数列满足，．求证：当时，． 37．（2024•黄浦区校级三模）已知，，是自然对数的底数． （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 38．（2024•浦东新区校级四模）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 39．（2024•浦东新区校级模拟）已知，其中． （1）若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：． 40．（2024•闵行区校级二模）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：有且只有一个零点； （3）求函数在，上的最小值． 41．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，，令． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，，求的最小值； （3）若对一切都成立，求的取值范围． 42．（2024•宝山区三模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：． 43．（2024•黄浦区二模）若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”． （1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由； （2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”； （3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”． 44．（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”． （1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由； （2）设，求证：存在无穷多条“切线”； （3）设，求证：对任意实数和正数，都是“函数”． 45．（2024•黄浦区校级三模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 46．（2024•闵行区校级三模）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记是自然对数的底数）．若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围． 47．（2024•黄浦区校级三模）已知函数，，． （1）（1），（1），求实数，的值； （2）若，，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）设，试利用结论，证明：若，，，，其中，，则． 48．（2024•青浦区校级模拟）已知函数，其中为实数． （1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）记，若，为的两个驻点，当在区间上变化时，求的取值范围． 49．（2024•松江区校级模拟）已知函数的图像在处的切线与直线平行． （1）求实数的值； （2）若关于的方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． （3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所有的正整数的值，如果不存在，说明理由． 50．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 51．（2024•浦东新区校级模拟）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断是否为上的（1）函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于： ：对任意，与恒成立， ：对任意正整数，都是上的函数， 问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论． 52．（2024•杨浦区校级三模）设函数（其中为非零常数，是自然对数的底），记． （1）求对任意实数，都有成立的最小整数的值； （2）设函数，若对任意，，存在极值点，求证：点在一定直线上，并求该定直线方程； （3）是否存在正整数和实数，使，且对任意的正整数，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由． 53．（2024•普陀区模拟）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与 “具有性质”． （1）判断函数，，与是否“具有性质（2）”，并说明理由； （2）若函数，，与 “具有性质”，求的取值范围； （3）若函数与 “具有性质（1）”，且函数在区间上存在两个零点，，求证． 54．（2024•松江区二模）已知函数为常数），记． （1）若函数在处的切线过原点，求实数的值； （2）对于正实数，求证：； （3）时，求证：． 55．（2024•虹口区二模）若函数满足：对任意，，，都有，则称函数具有性质． （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 56．（2024•闵行区校级模拟）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，，则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求（1）的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点，处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$