专题11 直线和圆的方程（真题8个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题11 直线和圆的方程（真题8个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考2、11题 直线的倾斜角、圆的标准方程 2023年秋考7题 2023年春考4题 圆的一般方程 圆的一般方程 2022春考16题 2022春考7题 直线与圆的位置关系 方程组解的个数与两直线的位置关系 2021年秋考3题 2021年春考5题 圆的一般方程 两直线的夹角与到角问题 2020年秋考20题 2020年春考7题 双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义 两条平行直线间的距离 一．直线的倾斜角（共1小题） 1．（2024•上海）直线的倾斜角大小为 　　． 二．方程组解的个数与两直线的位置关系（共1小题） 2．（2022•上海）若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 　　． 三．两条平行直线间的距离（共1小题） 3．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为 　　． 四．两直线的夹角与到角问题（共1小题） 4．（2021•上海）直线与直线的夹角为 　　． 五．圆的标准方程（共1小题） 5．（2024•上海）正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长 　　．（精确到 六．圆的一般方程（共3小题） 6．（2023•上海）已知圆的面积为，则　　． 7．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 　　． 8．（2021•上海）若，求圆心坐标为 　　． 七．其他形式的圆和圆弧的方程（共1小题） 9．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围． 八．直线与圆的位置关系（共1小题） 10．（2022•上海）设集合，， ①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧； ②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　 A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 一．选择题（共9小题） 1．（2024春•长宁区期末）圆与圆的位置关系是　　 A．相交 B．内切 C．相离 D．外切 2．（2024•浦东新区二模）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024春•虹口区期末）已知两条直线和，以下说法正确的是　　 A． B．与重合 C． D．与的夹角为 4．（2024•杨浦区校级三模）已知，直线，，则“”是“”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 5．（2024春•嘉定区期末）直线与直线的夹角为　　 A． B． C． D． 6．（2024•普陀区校级三模）已知圆，直线，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 7．（2024•普陀区模拟）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是　　 A．3 B．5 C．10 D．12 8．（2024•黄浦区校级三模）直线的倾斜角的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 9．（2024春•黄浦区校级期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共34小题） 10．（2024•嘉定区校级模拟）已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为 　　． 11．（2024•青浦区二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 　　． 12．（2024•黄浦区校级三模）直线与直线互相平行，则实数　　 13．（2024春•杨浦区期末）平行直线及之间的距离是 　　． 14．（2024春•杨浦区期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为 　　． 15．（2024•闵行区校级三模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线上的动点到原点的距离的取值范围是 　　． 16．（2024•嘉定区校级模拟）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 　　． 17．（2024•黄浦区校级三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线垂直，则　　． 18．（2024春•徐汇区校级期末）已知直线与直线垂直，则　　． 19．（2024春•虹口区期末）设实数和均是集合，2，3，中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为 　　． 20．（2024春•长宁区期末）直线与直线的夹角大小为 　　． 21．（2024春•徐汇区校级期末）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 　　． 22．（2024春•徐汇区校级期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 　　． 23．（2024春•宝山区期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为 　　． 24．（2024春•浦东新区校级期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 　　． 25．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为 　　． 26．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 　　． 27．（2024春•徐汇区校级期末）已知两点，所在直线的斜率为1，则　　． 28．（2024春•浦东新区校级期末）直线与直线的夹角大小为 　　． 29．（2024春•宝山区期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 　　． 30．（2024春•静安区期末）圆在点处的切线方程为 　　． 31．（2024•长宁区二模）直线与直线的夹角大小为 　　． 32．（2024•嘉定区校级模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 　　． 33．（2024•闵行区校级三模）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知圆及圆，设点为圆上的动点，则的最大值为 　　． 34．（2024•浦东新区校级四模）直线与圆相交所得的弦长为，则实数　　． 35．（2024春•宝山区期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一．比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点可得，方程的解为 　　． 36．（2024•徐汇区模拟）若两圆与相内切，则　 　． 37．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，，则的最小值为 　　． 38．（2024•虹口区模拟）已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则　　． 39．（2024•浦东新区校级四模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 　　． 40．（2024春•虹口区期末）直线被圆所截得的弦长为 　　． 41．（2024春•徐汇区校级期末）已知圆，，是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率　　． 42．（2024春•黄浦区校级期末）过圆上一点的圆的切线方程为　 　． 43．（2024春•徐汇区校级期末）已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 　　． 三．解答题（共3小题） 44．（2024春•长宁区期末）（1）已知直线方程，，求出实数分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线的方程为，求过点且与曲线相切的直线方程． 45．（2024春•宝山区期末）已知直线和直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 46．（2024春•黄浦区校级期末）如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． （Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心； （Ⅱ）当时，求直线的方程； （Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 直线和圆的方程（真题8个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考2、11题 直线的倾斜角、圆的标准方程 2023年秋考7题 2023年春考4题 圆的一般方程 圆的一般方程 2022春考16题 2022春考7题 直线与圆的位置关系 方程组解的个数与两直线的位置关系 2021年秋考3题 2021年春考5题 圆的一般方程 两直线的夹角与到角问题 2020年秋考20题 2020年春考7题 双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义 两条平行直线间的距离 一．直线的倾斜角（共1小题） 1．（2024•上海）直线的倾斜角大小为 　　． 【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小． 【解答】解：由直线变形得：， 设直线的倾斜角为，即， 因为，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题． 二．方程组解的个数与两直线的位置关系（共1小题） 2．（2022•上海）若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 　4　． 【分析】根据题意，分析可得直线和平行，由此求出的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，若关于，的方程组有无穷多解， 则直线和重合，则有，即，解可得， 当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意， 当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意， 故． 故答案为：4 【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题． 三．两条平行直线间的距离（共1小题） 3．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为 　　． 【分析】由求得的值，再根据两平行线间的距离计算即可． 【解答】解：直线，， 当时，，解得； 当时与重合，不满足题意； 当时，此时，； 则与的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题． 四．两直线的夹角与到角问题（共1小题） 4．（2021•上海）直线与直线的夹角为 　　． 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【解答】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 五．圆的标准方程（共1小题） 5．（2024•上海）正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长 　2.73　．（精确到 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论． 【解答】解：以为原点，线段所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 易知，． 不妨设中点为直线中垂线所在直线方程为， 化简得． 所以可设圆心为，半径为，且经过，点， 即， 化简得，求得． 结合题意可得，． 故有圆的周长． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，圆的标准方程，属于中档题． 六．圆的一般方程（共3小题） 6．（2023•上海）已知圆的面积为，则　　． 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可． 【解答】解：圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为1， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题． 7．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 　1　． 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径． 【解答】解：根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为， 故圆的圆心为，半径为1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题． 8．（2021•上海）若，求圆心坐标为 　　． 【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可． 【解答】解：由，可得圆的标准方程为， 所以圆心坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题． 七．其他形式的圆和圆弧的方程（共1小题） 9．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围． 【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得； （2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； （3）设直线，求得到直线的距离，判断直线与圆的关系：相切，可设切点为，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线才能与曲线有两个交点，解不等式可得的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围． 【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，； （2）由题意可得，为曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可得，又，， 所以，因为，则， 所以， 在△中，由余弦定理可得 ， 由，可得； （3）设直线，可得原点到直线的距离， 所以直线是圆的切线，设切点为， 所以，并设与圆联立，可得， 可得，，即， 注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点， 由，可得， 所以有，解得或（舍去）， 因为为在上的投影可得，， 所以， 则，． 【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 八．直线与圆的位置关系（共1小题） 10．（2022•上海）设集合，， ①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧； ②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　 A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【分析】分，，，求出动点的轨迹，即可判定． 【解答】解：当时，集合，，， 当时，集合，，， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心在直线上，半径单调递增， 相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为， 因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确， 若直线斜率不存在，显然不成立， 设直线，若考虑直线与圆的焦点个数， ，， 给定，，当足够大时，均有， 故直线只与有限个圆相交，②错误． 故选：． 【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题． 一．选择题（共9小题） 1．（2024春•长宁区期末）圆与圆的位置关系是　　 A．相交 B．内切 C．相离 D．外切 【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标和半径，再由第二个圆的方程找出圆心的坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，发现，从而判断出两圆位置关系是内切 【解答】解：把圆化为标准方程得：， 圆心的坐标为，半径， 由圆，得到圆心坐标为，半径， 两圆心间的距离， ，即， 则两圆的位置关系是内切． 故选：． 【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断方法为：当时，两圆内含；当时，两圆内切；当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆相离表示两圆心间的距离，及分别表示两圆的半径）． 2．（2024•浦东新区二模）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解． 【解答】解：若，则两条直线分别为，， 显然两条直线相互平行，充分性成立； 若直线与直线平行， 则，且， 所以，必要性成立． 故选：． 【点评】本题考查直线平行的应用，属于基础题． 3．（2024春•虹口区期末）已知两条直线和，以下说法正确的是　　 A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【分析】根据题意，将两条直线都化成斜截式，然后比较它们的斜率与截距，可得正确结论． 【解答】解：直线，即；直线，即． 因为直线与直线的斜率相等，且它们在轴上的截距不相等， 所以，项的结论正确． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题． 4．（2024•杨浦区校级三模）已知，直线，，则“”是“”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【分析】根据两条直线平行与方程的关系，对两个条件进行正反推理论证，结合充要条件的定义判断出正确结论． 【解答】解：当时，直线，直线， 两条直线的斜率都等于，且在轴上的截距不相等，所以； 当时，可得，且，解得或0． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了两条直线平行与方程的关系、充要条件的定义与判断等知识，属于基础题． 5．（2024春•嘉定区期末）直线与直线的夹角为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角． 【解答】解：因为直线的斜率不存在，故倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故两直线的夹角为． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，由两条直线的倾斜角求出两条直线的夹角，是基础题． 6．（2024•普陀区校级三模）已知圆，直线，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件． 【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1． 因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交， 所以圆心到直线的距离，解得． 其必要不充分条件是把的取值范围扩大， 所以选项中只有是的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题． 7．（2024•普陀区模拟）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是　　 A．3 B．5 C．10 D．12 【分析】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． 【解答】解：设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以，即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为直线过定点， 所以当圆与直线相切于点处时，圆半径最小， 此时，化简得， 则或5， 当时，圆心在内，不合题意； 当时，即圆半径的最小值为5，周长的最小值为． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，直线方程的应用，属于中档题． 8．（2024•黄浦区校级三模）直线的倾斜角的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：①当时，斜率不存在，即倾斜角为； ②当时，直线的斜率， ， 即直线的倾斜角的取值范围为． ③当时，直线的斜率， ， 即直线的倾斜角的取值范围为． 综上，直线的倾斜角的取值范围为， 故选：． 【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键． 9．（2024春•黄浦区校级期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【解答】解：根据题意得：为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示， 当直线与圆相切时，有， 解得：（舍去）或， 把代入，得， 的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属中档题． 二．填空题（共34小题） 10．（2024•嘉定区校级模拟）已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为 　　． 【分析】设直线，，利用两平行线间的距离公式，求得的值． 【解答】解：根据直线与两直线和平行且距离相等，可设直线，， ，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式． 11．（2024•青浦区二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 　　． 【分析】由直线的方程，可得它的倾斜角，由题意可得直线的倾斜角的大小，进而求出直线的斜率． 【解答】解：直线的倾斜角为， 由题意可得直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题． 12．（2024•黄浦区校级三模）直线与直线互相平行，则实数　2　 【分析】根据两直线平行的条件列出方程求得的值． 【解答】解：直线与直线互相平行， 则， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题． 13．（2024春•杨浦区期末）平行直线及之间的距离是 　2　． 【分析】根据两平行直线间的距离公式，求解即可． 【解答】解：平行直线及之间的距离是． 故答案为：2． 【点评】本题考查了两平行线间的距离计算问题，是基础题． 14．（2024春•杨浦区期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为 　　． 【分析】把圆的方程化为标准方程，即可求解圆心的坐标． 【解答】解：因为圆的方程为可化为， 则圆心的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆心坐标的求解，属于基础题． 15．（2024•闵行区校级三模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线上的动点到原点的距离的取值范围是 　　． 【分析】先设曲线上的动点为，则，再令，，计算可得的范围． 【解答】解：由题意知，， 设曲线上的动点为，到原点的距离为， 则， 令，则，，则， 可得，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题． 16．（2024•嘉定区校级模拟）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 　　． 【分析】先求出直线的斜率，由此能求出直线的倾斜角大小． 【解答】解：是直线的一个方向向量， 直线的斜率， 直线的倾斜角大小为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的方向向量、斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（2024•黄浦区校级三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线垂直，则　　． 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小． 【解答】解：直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，，可知． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题． 18．（2024春•徐汇区校级期末）已知直线与直线垂直，则　2　． 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果． 【解答】解：当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 19．（2024春•虹口区期末）设实数和均是集合，2，3，中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为 　12　． 【分析】由于集合，2，3，中的元素不能选出成比例的两对，所以任取实数、，得到的直线都不与其它直线重合，由此利用计数原理算出答案． 【解答】解：从集合，2，3，中取出两个数作为、，得到方程，共有种方法， 因为这12个方程对应的直线中任意两条直线都不重合，所以方程所表示的不同直线有12条． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查直线的方程、计数原理的应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 20．（2024春•长宁区期末）直线与直线的夹角大小为 　　． 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可求解． 【解答】解：因为直线的斜率为，则其倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，属于基础题． 21．（2024春•徐汇区校级期末）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 　　． 【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点到直线距离，根据函数最值即可求解． 【解答】解：点是曲线上一点， 则可设， 则点到直线的距离为， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题． 22．（2024春•徐汇区校级期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 　　． 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解． 【解答】解：由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题． 23．（2024春•宝山区期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为 　　． 【分析】由题可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求出的值，即可得解． 【解答】解：设与直线平行的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 所以经过点，且与直线平行的直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题． 24．（2024春•浦东新区校级期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 　　． 【分析】先求得已知圆的圆心和半径，再根据外切的性质可得所求圆的半径，进而得解． 【解答】解：将圆化为标准方程为， 则其圆心坐标为，半径为2， 设所求圆的半径为， 则，解得， 可得所求圆的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系以及圆的方程，考查运算求解能力，属于基础题． 25．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为 　　． 【分析】根据题意将圆方程整理，可得，利用圆系方程得出：圆经过圆与直线的交点，进而可得直线的方程． 【解答】解：圆，可化为， 由此可得：圆是经过圆与直线的交点的一个圆， 因此，直线就是直线，即直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 26．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由已知结合两圆位置关系的条件建立关于的不等式，即可分别求解． 【解答】解：因为圆可化为，圆心，半径为1， 圆可化为，圆心，半径为3，， 若两圆相交，则，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题． 27．（2024春•徐汇区校级期末）已知两点，所在直线的斜率为1，则　0　． 【分析】根据两点的斜率公式计算可得． 【解答】解：因为两点，所在直线的斜率为1， 所以，解得． 故答案为：0． 【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题． 28．（2024春•浦东新区校级期末）直线与直线的夹角大小为 　　． 【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，由此可得它们的夹角大小． 【解答】解：直线的倾斜角为，直线的斜率为，则其倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为． 故答案为：． 【点评】本题考查两直线的夹角求解，考查运算求解能力，属于基础题． 29．（2024春•宝山区期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 　　． 【分析】根据题意，取两个不同的值得到两条直线，然后解方程组得到两条直线的交点坐标，再加以验证即可得出答案． 【解答】解：当时，直线为；当时，直线为． 由，解得，即两条直线的交点为， 将代入方程的左边，得，恒成立， 因此，直线经过的定点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程、含有参数的直线方程的性质等知识，属于基础题． 30．（2024春•静安区期末）圆在点处的切线方程为 　　． 【分析】设所求切线为，根据点在圆上，得到，由此利用垂直的关系算出的斜率，进而求出切线的方程． 【解答】解：设所求切线为，由在圆上，可知， 因为的斜率，所以切线的斜率， 可得切线的方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程、圆的切线的性质等知识，属于基础题． 31．（2024•长宁区二模）直线与直线的夹角大小为 　　． 【分析】根据题意，先求出两条直线的斜率，然后利用两角差的正切公式算出夹角的正切值，进而可得答案． 【解答】解：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，满足，，，， 因为，所以，即两条直线的夹角大小为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、两角差的正切公式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 32．（2024•嘉定区校级模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 　　． 【分析】根据题意作出示意图形，可得点在正方形的边上运动，结合题意分析，的最大值，即可求出本题的答案． 【解答】解：设，由题意得：，即， 而表示的图形是正方形，其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当，取到最小值时，，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得，； ②点在线段上运动时，此时与同向，取，则，． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 33．（2024•闵行区校级三模）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知圆及圆，设点为圆上的动点，则的最大值为 　3　． 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得． 【解答】解：由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点为圆上的动点，所以， 所以的最大值为． 故答案为：3． 【点评】本题考查两圆的位置关系，涉及圆上的点与圆心的距离的最值问题，属于中档题． 34．（2024•浦东新区校级四模）直线与圆相交所得的弦长为，则实数　2　． 【分析】将圆方程化成标准方程，求出圆心为，半径，然后根据直线被圆截得的弦长为，由弦长公式建立关于的方程，解之可得实数的值． 【解答】解：圆，化成标准方程得， 可知圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交所得弦长为， 所以，即，解得（舍负）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于中档题． 35．（2024春•宝山区期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一．比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点可得，方程的解为 　　． 【分析】根据题意，先求出以、为焦点，实轴长为的双曲线方程，然后设该双曲线与直线交于点，由双曲线的定义推出的纵坐标是方程的解，进而由直线与双曲线的方程解出的值，即可得到所求方程的解． 【解答】解：设动点满足， 若，，则，， 可得，可知点在以、为焦点的双曲线上， 双曲线的焦距，可得，由，可得， 所以，双曲线的方程为， 设该双曲线与直线交于点， 由双曲线的定义得，点的纵坐标是方程的解， 在中令，得，解得，所以方程的解是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两点间的距离公式、双曲线的定义与标准方程等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题． 36．（2024•徐汇区模拟）若两圆与相内切，则　　． 【分析】求出两圆的圆心坐标分别为、，半径分别为1和2．根据两圆内切，利用两点的距离公式建立关于的等式，解之即可得到正数的值． 【解答】解：将圆化为标准方程，得， 圆的圆心为、半径， 同理可得圆的圆心为、半径， 两圆内切，两圆的圆心距等于它们的半径之差， 可得，解之得或， 故答案为：． 【点评】本题给出含有字母参数的圆方程，在两圆内切的情况下求参数的值．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和两圆的位置关系等知识，属于中档题． 37．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，，则的最小值为 　8　． 【分析】由向量的运算，结合圆的性质求解． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，， 则， 则． 故答案为：8． 【点评】本题考查了向量的运算，重点考查了圆的性质，属中档题． 38．（2024•虹口区模拟）已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则　　． 【分析】根据点与圆的位置关系，可求得的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于的方程，求解即可． 【解答】解：由点在圆内， 所以，又，解得， 过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为， 又，， 所以，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题． 39．（2024•浦东新区校级四模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 　　． 【分析】分，，，几种情况，结合图象的变换知识即可求的取值范围． 【解答】解：当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点， 当，过点，求导可得，， 所以在处的切线方程为， 此时的圆心到直线的距离， 所以直线与圆只有一个公共点，此时与只有一个交点， 当向左移动时，即时，与一定没有交点， 当时，与一定有两个交点， 故曲线与有两个交点时的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查了分类讨论思想，是中档题． 40．（2024春•虹口区期末）直线被圆所截得的弦长为 　2　． 【分析】根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长． 【解答】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为3， 所以点到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：2． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 41．（2024春•徐汇区校级期末）已知圆，，是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率　　． 【分析】根据题意可设直线，直线，结合垂径定理求弦长，列式求解即可． 【解答】解：因为圆， 即为， 可知圆心为，半径， 由题意知：直线，的斜率存在，且不为0， 设直线， 则直线， 则圆心到直线，的距离分别为， 由题意可得：， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题． 42．（2024春•黄浦区校级期末）过圆上一点的圆的切线方程为　　． 【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出与圆心的距离判断出在圆上即为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和的坐标求出确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为，求出切线的斜率，根据坐标和求出的斜率写出切线方程即可． 【解答】解：由圆，得到圆心的坐标为，圆的半径， 而，所以在圆上，则过作圆的切线与所在的直线垂直， 又，得到所在直线的斜率为2，所以切线的斜率为， 则切线方程为：即． 故答案为：． 【点评】此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题． 43．（2024春•徐汇区校级期末）已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 　　． 【分析】设，则，其中，由余弦定理求得，再由平方关系得，然后由导数求得最大值． 【解答】解：设，则，其中． 因为，，所以， 由余弦定理得：， 因为，所以， 所以， 记， 则， 所以令，解得：，函数递增； 令，解得：，函数递减； 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 三．解答题（共3小题） 44．（2024春•长宁区期末）（1）已知直线方程，，求出实数分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线的方程为，求过点且与曲线相切的直线方程． 【分析】（1）先分别求出平行、重合以及垂直时的值，然后再利用直线的位置关系以及补集的概念即可求得相交时的范围； （2）分所求直线斜率是否存在进行讨论，由圆心到直线的距离等于半径即可列式求解． 【解答】解：（1）若与平行，则，解得或， 当时，与平行，故满足假设， 当时，与重合，故不满足假设， 所以当且仅当时，与平行， 若与垂直，则，解得， 而如果与不平行，也不重合时，那么与相交， 换言之若与相交，则当且仅当且； （2）圆的圆心为，半径为； 过点且斜率不存在的直线为，圆心到直线的距离等于半径1，故满足题意， 过点且斜率为的直线为，若它与题设圆相切， 则有，解得，此时所求直线为，即， 综上所述，所求直线为或． 【点评】本题考查了直线的斜率与直线位置之间的关系、方程与不等式的解法，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题． 45．（2024春•宝山区期末）已知直线和直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证． 【解答】解：（1）若，则 ，解得或2； （2）若，则 ，解得或1． 时，，，满足， 时，，，此时与重合， 所以． 【点评】本题考查直线平行与垂直的计算，属于基础题． 46．（2024春•黄浦区校级期末）如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点． （Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心； （Ⅱ）当时，求直线的方程； （Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线的方程为．将圆心代入方程易知过圆心． （Ⅱ）过的一条动直线．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进行验证．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心到弦的距离．从而解得斜率来得出直线的方程为． （Ⅲ）同样，当与轴垂直时，要对设，进行验证．当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定的代数表达式，再讨论是否为定值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，故， 所以直线的方程为． 将圆心代入方程易知过圆心．（3分） （Ⅱ）当直线与轴垂直时，易知符合题意；（4分） 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于， 所以．由，解得． 故直线的方程为或．（8分） （Ⅲ）当与轴垂直时，易得，， 又则，，故．即．（10分） 当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得． 则，， 即，． 又由得， 则． 故． 综上，的值为定值，且．（14分） 另解一：连接，延长交于点，由（Ⅰ）知．又于， 故．于是有． 由，得． 故．（14分） 另解二：连接并延长交直线于点，连接，，由（Ⅰ）知，又， 所以四点，，，都在以为直径的圆上， 由相交弦定理得．（14分） 【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般． （2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解． （3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 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