24.4 直线与圆的位置关系（5种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学沪科版九年级下册

24.4 直线与圆的位置关系（5种题型基础练+能力提升练） 一．直线与圆的位置关系（共6小题） 1．（2023•定远县校级开学）如图，于点，若以点为圆心，的长为半径作圆，所得的圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（2024•瑶海区校级三模）已知点在半径为3的圆上，如果点到直线的距离是6，那么圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 3．（2023秋•潜山市期末）在同一平面内，已知的半径为4，圆心到直线的距离为6，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是　　 A．2 B．6 C．10 D．14 4．（2024•怀远县模拟）已知的半径为6，圆心到直线距离为5，则直线与的位置关系是 　　． 5．（2023秋•安庆期末）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 　　． 6．（2024•安徽模拟）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，求的半径． 二．切线的性质（共8小题） 7．（2024•阜阳模拟）直线与相切于点，弦，若是上的一个动点，且使，则下列结论错误的是　　 A．的最大值是4 B．当时， C．的最小值是2 D．当时， 8．（2024•镜湖区校级三模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 9．（2024•庐江县校级模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，为优弧上任意一点，若，则　　 A． B． C． D． 10．（2024•霍邱县模拟）如图，四边形内接于，，与分别相切于，，若，则　　． 11．（2023•包河区三模）如图，直线与半径为8的相切于点，点在上，连接、，且，弦，则的长为 　　． 12．（2024•埇桥区校级三模）如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 13．（2024•安庆二模）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，与交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求长． 14．（2024•芜湖二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 三．切线的判定（共4小题） 15．（2023秋•凤台县校级期中）如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是　　 A． B． C． D． 16．（2024•蚌埠模拟）如图，在中，，，点为以为直径的上一点，且，连接，，已知，． （1）求的周长； （2）求证：是的切线． 17．（2022秋•安徽月考）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）徽徽猜想，徽徽的猜想正确吗？请说明理由； （2）若，米，求车轮的直径的长． 18．（2023春•六安月考）如图，为的直径，直线交于、两点，点在上，平分，于点．求证：直线是的切线． 四．切线的判定与性质（共8小题） 19．（2024•安徽模拟）如图，是的直径，，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的半径． 20．（2023春•六安月考）如图，在中，，平分交于点，的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的半径． 21．（2024•埇桥区校级模拟）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 22．（2024•马鞍山校级一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、、于点． （1）求证：为的切线； （2）如图2，当时，若，，求的长． 23．（2023秋•包河区期末）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 24．（2023秋•安庆期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为，的半径为10，求的长． 25．（2023春•淮北月考）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26．（2024•肥东县模拟）如图，为的直径，是的一条弦，为弧的中点，过点作，垂足为的延长线上的点．连接、． 求证：是的切线； （2）延长交的延长线于，若，，求的半径． 五．切线长定理（共3小题） 27．（2022秋•田家庵区校级月考）如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．15 B．12 C．20 D．30 28．（2022秋•凤台县期末）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为　　 A． B． C． D．随直线的变化而变化 29．（2023秋•金安区校级期末）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是 　　． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•安徽一模）如图，在直角三角形中，，，分别是，上两点，以为直径作圆与相切于点，且，．若，，则的长度为　　 A． B． C．5 D． 2．（2024•安徽一模）如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C． D．若的半径为5，，则 3．（2024•鸠江区一模）如图，点是上一点，点是外一点，且，与相切于点，连接交于点，若，，则弦的长为　　 A． B． C．6 D．8 4．（2024•怀远县一模）如图，已知，以为弦的与相切于点，直径交于点，连接、，是上一点，连接交于点，则下面结论不一定成立的是　　 A． B． C．若为直径，，，则 D．若平分，，，则 二．填空题（共5小题） 5．（2024•蚌埠二模）如图，与相切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为 　　． 6．（2024•合肥模拟）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为 　　． 7．（2024•淮北校级二模）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为 　　． 8．（2024•瑶海区一模）如图所示，是的直径，弦，垂足为，过点作的切线交的延长线于点，若，，则　　． 9．（2024•安徽模拟）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 　　． 三．解答题（共14小题） 10．（2024•潜山市校级一模）如图，是的直径，点在直径上与，不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切． （1）求证：； （2）若是的中点，，求的长． 11．（2024•合肥模拟）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 12．（2024•镜湖区一模）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 13．（2024•瑶海区校级模拟）如图，为的直径，为的切线，且，垂足为点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 14．（2024•包河区一模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15．（2024•凤台县三模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，，且，，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 16．（2024•宣州区校级三模）如图，是半圆的直径，与半圆相切于点，于点，与半圆相交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 17．（2024•涡阳县三模）如图，四边形内接于，是的直径，，两点关于对称，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，且，求线段的长． 18．（2024•望江县三模）如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． （1）如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； （2）如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 19．（2024春•金安区校级月考）如图，已知内接于，为的直径，过点作的垂线，与相交于点，与过点的的切线相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，，求的长． 20．（2024•阜阳二模）已知直线是的切线，点是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长交于点，连接，若，，求的长． 21．（2024•蜀山区校级开学）如图，点是以为直径的上一点，是切线，在的延长线上，作于． （1）求证：平分； （2）若，求的半径； （3）请探索：线段，，之间有何数量关系？请证明你的结论． 22．（2024•镜湖区校级一模）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）为上一点，连接交于点，若，求的长． 23．（2024•颍泉区校级四模）如图，已知是以为直径的的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4 直线与圆的位置关系（5种题型基础练+能力提升练） 一．直线与圆的位置关系（共6小题） 1．（2023•定远县校级开学）如图，于点，若以点为圆心，的长为半径作圆，所得的圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：于， ， 以点为圆心，为半径的圆与直线相交． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．若直线和相交；直线和相切；直线和相离． 2．（2024•瑶海区校级三模）已知点在半径为3的圆上，如果点到直线的距离是6，那么圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答． 【解答】解：点在圆上，已知圆的半径是3，点到直线的距离是6， 圆与直线的位置关系可能是相切或相离， 故选：． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 3．（2023秋•潜山市期末）在同一平面内，已知的半径为4，圆心到直线的距离为6，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是　　 A．2 B．6 C．10 D．14 【分析】根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为2，最长距离为10，据此判断即可． 【解答】解：如图， 由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是． 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是14． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解决问题的关键． 4．（2024•怀远县模拟）已知的半径为6，圆心到直线距离为5，则直线与的位置关系是 　相交　． 【分析】根据若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离解答即可． 【解答】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交． 故答案为：相交． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系． 5．（2023秋•安庆期末）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 　相切或相交　． 【分析】由条件可知点在上，则可知直线与相切，可求得答案． 【解答】解：，， ， 点在直线上，， 点到直线的距离， 直线与相切或相交， 故答案为：相切或相交． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点在圆上是解题的关键． 6．（2024•安徽模拟）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，求的半径． 【分析】（1）利用证明，得出，根据“过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明相切即可； （2）设，根据勾股定理得出，，根据，代入求解即可． 【解答】解：（1）相切，理由如下， 以为直径作，点为上一点， ， 在和中， ， ， ， ， 直线是的切线， 直线与相切； （2）由（1）过程得，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点评】本题考查了圆切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握圆切线的判定定理、利用正切列方程求解是解题的关键． 二．切线的性质（共8小题） 7．（2024•阜阳模拟）直线与相切于点，弦，若是上的一个动点，且使，则下列结论错误的是　　 A．的最大值是4 B．当时， C．的最小值是2 D．当时， 【分析】根据切线和平行线的性质推出，则，进而得出，则当点、、在同一条直线上时，取最大值，即可判断；通过证明是等边三角形，则，当点在上时，，即，即可判断；连接，，易得，，则点、、共线，得出，即可判断；通过证明是等边三角形，得出，即可判断． 【解答】解：、如图：，相交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点、、在同一条直线上时，取最大值，此时， 故正确，不符合题意； 、， ， ， ， 是等边三角形， ， 当点在上时，，即， 故不正确，符合题意； 、连接，， ，， ， 当时，， 为直径，则， ， ，即点、、共线， ， ， 故正确，不符合题意； 、当时， ， 是等边三角形，则， ，， ， ，即， 故正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确画出图形，熟练掌握相关性质定理． 8．（2024•镜湖区校级三模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、，则， 是的直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（2024•庐江县校级模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，为优弧上任意一点，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由切线的性质求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（2024•霍邱县模拟）如图，四边形内接于，，与分别相切于，，若，则　150　． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据切线性质求出，计算即可． 【解答】解：连接，， 四边形内接于， ， 由圆周角定理得，， ，与分别相切于，， ， ， ， ， 故答案为：150． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 11．（2023•包河区三模）如图，直线与半径为8的相切于点，点在上，连接、，且，弦，则的长为 　　． 【分析】如图，连接与．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知；又，可知，最后解直角三角形可将的长求出． 【解答】解：如图，连接和，且与的交点为． ， ． 与相切， ， 又， ，即为直角三角形． 在中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．（2024•埇桥区校级三模）如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）等弧所对的圆周角相等，得到，直径，得到，根据等角的余角相等，即可得证； （2）证明，求出的长，勾股定理求出的长，三角函数，推出，切线得到，解直角三角形，求出的长即可． 【解答】（1）证明：， ， 是的直径， ， ，， ； （2）解：，， ， ， ， （负值舍去）； ， ， ， ，， ， 过点作的切线，交的延长线于点， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 13．（2024•安庆二模）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，与交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求长． 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得，则可证明，所以，然后利用得到； （2）连接，如图，根据圆周角定理得到，利用正弦的定义求出，再利用得到，接着证明，然后利用正弦的定义求出的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 切于， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 14．（2024•芜湖二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，证得，再根据切线的性质得，据此即可得出结论； （2）连接，根据得，在中根据，得，然后由勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）证明：连接，如图1所示： ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ； （2）解：连接，如图2所示： ， ， 又， ， ， 由（1）可知：； 在中，， ， ， 由勾股定理得：． 【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形是解决问题的关键． 三．切线的判定（共4小题） 15．（2023秋•凤台县校级期中）如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可． 【解答】解：、，， 是△的中位线， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； 、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意； 、， ， ， ， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； 、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 16．（2024•蚌埠模拟）如图，在中，，，点为以为直径的上一点，且，连接，，已知，． （1）求的周长； （2）求证：是的切线． 【分析】（1）根据题意推出，根据相似三角形的性质推出，则的直径为4，根据圆的周长公式求解即可； （2）连接，结合（1）等量代换得到，根据圆周角定理及直角三角形的性质得出，结合等腰三角形的性质推出，根据切线的判定定理即可得解． 【解答】（1）解：， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 的周长； （2）证明：连接， 由（1）得，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． 17．（2022秋•安徽月考）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）徽徽猜想，徽徽的猜想正确吗？请说明理由； （2）若，米，求车轮的直径的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，，进而证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：（1）徽徽的猜想正确， 理由如下：如图②，连接， 与相切， ， ，， ， ， 为的直径， ， ， 由圆周角定理得：， ， ； （2），， ， ，即， 解得：，， 答：车轮的直径的长1米． 【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 18．（2023春•六安月考）如图，为的直径，直线交于、两点，点在上，平分，于点．求证：直线是的切线． 【分析】先连接，根据，即可得到，再根据，可得，进而得出直线是的切线 【解答】证明：如图所示，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线． 【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形． 四．切线的判定与性质（共8小题） 19．（2024•安徽模拟）如图，是的直径，，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的半径． 【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明，，进而得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，解得到；再解得到，则由勾股定理可得，即可得到的半径为10． 【解答】（1）证明：如图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：，， ， 在中， ， ； 在中， ， ， ， 的半径为10． 【点评】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及勾股定理． 20．（2023春•六安月考）如图，在中，，平分交于点，的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的半径． 【分析】（1）连接，由垂直平分线的性质可知，，易知经过点，由平分，可知，由，可知，，进而得，可知，易知，得证是的切线； （2）由（1）易证，可得．设的半径为，则，解出方程即可得的半径． 【解答】（1）证明：连接， 的垂直平分线交于点， ， 经过点， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ． 设的半径为，则， 解得，（舍去）， 经检验，是原分式方程的解， 故的半径为3． 【点评】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，通过作辅助线，与圆心相连是解决问题的关键． 21．（2024•埇桥区校级模拟）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【分析】（1）连接，由平分，，可得，，根据，即可证明是的切线； （2）由是的中位线，得，再证明，得，即，从而可得． 【解答】（1）证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）是的中点，且， 是的中位线，， ， ， 是的直径， ， 又， ， ，即， ． 【点评】本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段． 22．（2024•马鞍山校级一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、、于点． （1）求证：为的切线； （2）如图2，当时，若，，求的长． 【分析】（1）连接，证出．由切线的判定可得出结论； （2）证明，得出，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【解答】（1）证明：连接， 是等腰三角形，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ， ， 如图所示，连接，， ，，， 由勾股定理可得： ， ， ， ，， ． ， ， ， 即， 解得， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（2023秋•包河区期末）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【分析】（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在△中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2）解：设的半径，则， ， 在△中，由勾股定理得， ， ， 解得，或（舍去）， 的半径为3． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． 24．（2023秋•安庆期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为，的半径为10，求的长． 【分析】（1）连接，由圆周角定理可求得，，则，可证明直线是的切线； （2）若于点，根据垂径定理可证明，在中，，，则，已知的半径，则，根据勾股定理可以求出的长，进而求出的长． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ，， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：如图，是的直径，且于点， ， ，， ， ， ， ． 【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 25．（2023春•淮北月考）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理得到，再证，从而得到，最后证得结论； （2）设与交于点，连接，由圆周角定理得到，在中，根据三角函数的定义和勾股定理求得，证得是的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出． 【解答】（1）证明：如图，连接，， 是的直径， ，点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：设与交于点，连接， 是直径， ， ， 不妨设，，则， ， ， 解得，． ，， ． 点是的中点， 为的中点， 是的中位线， ． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键． 26．（2024•肥东县模拟）如图，为的直径，是的一条弦，为弧的中点，过点作，垂足为的延长线上的点．连接、． 求证：是的切线； （2）延长交的延长线于，若，，求的半径． 【分析】（1）连接，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则得出答案． 【解答】（1）证明：连接， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为半圆的切线； （2）解：， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为2． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 五．切线长定理（共3小题） 27．（2022秋•田家庵区校级月考）如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．15 B．12 C．20 D．30 【分析】直接利用切线长定理得出，，，进而求出答案． 【解答】解：为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、， ，，， ，的周长为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了切线长定理，得出的周长为：是解题关键． 28．（2022秋•凤台县期末）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为　　 A． B． C． D．随直线的变化而变化 【分析】利用切线长定理得出，，，进而得出答案． 【解答】解：设、分别是的切点， 是一张三角形的纸片，，是它的内切圆，点是其中的一个切点，， ，则， 故，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了切线长定理，得出是解题关键． 29．（2023秋•金安区校级期末）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是 　　． 【分析】先画图，根据题意求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得，从而得出光盘的直径． 【解答】解：， ， 和与相切， ， ， ， 由勾股定理得， 光盘的直径是． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线长定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•安徽一模）如图，在直角三角形中，，，分别是，上两点，以为直径作圆与相切于点，且，．若，，则的长度为　　 A． B． C．5 D． 【分析】连接，由可得为的直径，即，即可证明，得到，求出，再利用勾股定理即可得到的长度． 【解答】解：连接， ， ， 为的直径， 与相切于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，推导出是的直径是解题的关键． 2．（2024•安徽一模）如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C． D．若的半径为5，，则 【分析】根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可判断选项，根据直径所对的圆周角是直角和切线性质，证明，即可判断选项，结合已知条件证明即可判断选项，无条件证明选项正确． 【解答】解：，， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ，故选项正确； ， ， ， 为的直径， ， ， 是的切线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故选项正确； 的半径为5，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 选项正确， ，， ， 无已知条件证明， 但不一定等于，故选项不成立，该选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，熟练运用性质进行推理是解答本题的关键． 3．（2024•鸠江区一模）如图，点是上一点，点是外一点，且，与相切于点，连接交于点，若，，则弦的长为　　 A． B． C．6 D．8 【分析】根据切线的性质和垂直的定义得到，即得到，然后根据勾股定理得到、的长，然后根据解题即可． 【解答】解：与相切于点， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 在中， ， ， ， 过点作于点， 则，， ，即， 解得：， ， 故选． 【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 4．（2024•怀远县一模）如图，已知，以为弦的与相切于点，直径交于点，连接、，是上一点，连接交于点，则下面结论不一定成立的是　　 A． B． C．若为直径，，，则 D．若平分，，，则 【分析】利用圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理和角平分线的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：与相切于点， ， ， ， 是的直径， ，， ， 选项正确，不符合题意； ，， ， 选项正确，不符合题意； 如图，连接， 是的直径， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，，， 设，则，由勾股定理得， ， 即：， 解得：， 即：， ， 在中，，， ， 选项正确，不符合题意； 如图2，连接，过点作于点，如图， 平分， 即， ， ， 由题意：， ， ， ． ，， ， ． 过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ． 选项的结论错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 5．（2024•蚌埠二模）如图，与相切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为 　　． 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用圆周角定理可得，再利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2024•合肥模拟）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为 　　． 【分析】连接、，则，由，，得，所以，则，由为的直径，得，则，求得，由切线的性质得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、，则， ， ，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、切线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等往右，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2024•淮北校级二模）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为 　　． 【分析】连接，证明，进而根据切线的性质，直角三角形中两个锐角互余，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ，的平分线交于点， ，， ， 是的切线， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 8．（2024•瑶海区一模）如图所示，是的直径，弦，垂足为，过点作的切线交的延长线于点，若，，则　　． 【分析】连接，由，，求得，则，所以，由切线的性质得，而，所以，则，求得，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， 是的直径，，， ， ， ， 与相切于点， ， 于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查圆的有关概念及性质、切线的性质定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024•安徽模拟）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 　　． 【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可． 【解答】解：如图， ， ， ， ， ， 是的切线，点是切点， ， 即， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键． 三．解答题（共14小题） 10．（2024•潜山市校级一模）如图，是的直径，点在直径上与，不重合），且，连接，与交于点，在上取一点，使与相切． （1）求证：； （2）若是的中点，，求的长． 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，所以，由，得，则，而，所以，则； （2）连接，由是的直径，得，而，所以，则，由是的中点，，求得，，则，因为，所以，则． 【解答】（1）证明：连接，则， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 是的中点，， ，， ， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11．（2024•合肥模拟）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得即可； （2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到的长，再根据直角三角形的边角关系求出，由勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：设半径为，即，则， 在中， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 12．（2024•镜湖区一模）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，证明，即可得到结论． （2）连接，证明，从而可得，再代入求值即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， 点是弧的中点， 弧弧， ． ， ． ， ． ， 半径． 是的切线； （2）解：连接， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了圆的综合应用，熟练掌握切线的判断定理以及扇形面积的求法是解题的关键． 13．（2024•瑶海区校级模拟）如图，为的直径，为的切线，且，垂足为点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，而于点，所以，得，则，即可证明； （2）由，得，而，，则，由，求得． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 为的切线， ， 于点， ， ， ， ． （2）解：， ， ，， ， 为的直径， ， ， ，， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（2024•包河区一模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则可证明，加上，从而得到，然后证明得到结论； （2）利用勾股定理计算出，设，则，证明，利用相似比计算出，则，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）在中，， 设，则， ， ， ，即，解得， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质． 15．（2024•凤台县三模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，，且，，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【分析】（1）连接，延长交于点．根据垂径定理可得，再根据切线的性质可得，即；然后证得，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图，连接．先证，由相似三角形的性质可得，然后代入相关数据即可解答． 【解答】（1）证明：如图，连接，延长交于点． ，， ， ． 是的切线， ， ． ， ， ， ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ， ， ． ， ． 【点评】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 16．（2024•宣州区校级三模）如图，是半圆的直径，与半圆相切于点，于点，与半圆相交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）连接交于，根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，，得到，设 ，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：与半圆相切于点， ， 于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接交于， 平分， ， ， ， 是半圆的直径， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设 ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．（2024•涡阳县三模）如图，四边形内接于，是的直径，，两点关于对称，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，且，求线段的长． 【分析】（1）由圆周角定理得，由切线的性质得，再由轴对称的性质得到，即可求证； （2）可证是等边三角形，再通过三角形的外角得到，则．在中，． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ． 与相切，是的直径， ， ． ，两点关于对称， ，， ， ． （2）解：如图，连接． ，， ， ， 是等边三角形， ． ， ． ， ． ． 在中， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 18．（2024•望江县三模）如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． （1）如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； （2）如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 【分析】（1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点作于点，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【解答】解：（1）如图1，连接， 是的切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图2，过点作于点， ， ． ，， ， ， 四边形是矩形， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 19．（2024春•金安区校级月考）如图，已知内接于，为的直径，过点作的垂线，与相交于点，与过点的的切线相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，，求的长． 【分析】（1）连接．由圆周角定理可得，再由切线的性质可得答案； （2）连接．由切线的性质可得，设的长为，则的长为．利用勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）连接． 是的直径， ． ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ． ； （2）连接． 与相切于点， ， ，， ，． ， ， ． ， ， 设的长为，则的长为． 在 中，有勾股定理有， 解得， 的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2024•阜阳二模）已知直线是的切线，点是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长交于点，连接，若，，求的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，然后根据直角三角形的性质可求出； （2）连接，，得．证明是等边三角形，是等边三角形，利用角三角形的性质即可求出． 【解答】解：（1）如图1，连接． 直线是的切线， ， ． ， ，， ， ． 在中，． （2）如图2，连接，，则． 由（1）知， ． ，， ． ， ， 是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ，， ． 在中，，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质及判定、角三角形的性质． 21．（2024•蜀山区校级开学）如图，点是以为直径的上一点，是切线，在的延长线上，作于． （1）求证：平分； （2）若，求的半径； （3）请探索：线段，，之间有何数量关系？请证明你的结论． 【分析】（1）连接，由是切线，得到，根据平行线的性质得到，有等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接，由三角函数的定义得到，得到，于是得到，由是的直径，得到，解直角三角形即可得到结论； （3）根据余角的性质得到根据相似三角形的性质得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， 即平分； （2）解：连接， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 的半径是； （3）， 证明：，， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，余角的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（2024•镜湖区校级一模）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）为上一点，连接交于点，若，求的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，根据直角三角形的性质得到，，求得，等量代换得到，根据角平分线的定义得到平分； （2）连接，，过作于，根据圆周角定理，得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， 是的切线，点是切点， ， 即， ， ，是直径， ，， ， ， ， ， 即平分； （2）解：连接，，过作于， 是的直径，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ．， 在中，， ， 解得（负值舍去）， ． 【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键． 23．（2024•颍泉区校级四模）如图，已知是以为直径的的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由切线的性质可知，由直角所对的圆周为可知，根据同角的余角相等可知，然后由等腰三角形的性质可知，由对顶角的性质可知，故此可知； （2）题意可知，，，由勾股定理可知，由，可知，故此可得到，故此可求得，于是可求得． 【解答】解：（1）是圆的切线， ． 是圆的直径， ． ，， ． ， ． 又． ． （2）， ． ， ，． 在中，由勾股定理得． ，， ． ，即． 解得：． ． 【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$