24.1 旋转（8种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学沪科版九年级下册

24.1 旋转（8种题型基础练+能力提升练） 一．生活中的旋转现象（共2小题） 1．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【解答】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转后得到的图片是． 故选：． 【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键． 2．（2020•安徽模拟）如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案． 【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是． 故选：． 【点评】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 二．旋转的性质（共12小题） 3．（2023•繁昌县校级模拟）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板，将另一块三角板绕公共顶点顺时针旋转（旋转角度不超过．若两块三角板有一边平行，则三角板旋转的度数可能是　　 A．或 B．或或 C．或或 D．或或或 【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解． 【解答】解：设旋转的度数为， 若，则， ， 若，则， ， 若，则， ， 当点，点，点共线时， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 4．（2022春•定远县校级期中）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图①所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图②所示，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由平行线的性质可得，由外角的性质可求的度数． 【解答】解：如图，设与交于点， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 5．（2023•蚌山区校级开学）如图，中，，，将绕点顺时针方向旋转到△的位置，连接，则的长为　　 A． B． C． D．1 【分析】连接，延长交于点，证明△，得到；求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，延长交于点； 由题意得：，， 为等边三角形， ，； 在与△中， ， △， ， ，且； 由题意得：， ，， ； 由勾股定理得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的关键． 6．（2024春•天长市月考）如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是 　25　． 【分析】由旋转的性质可得，由，即可求的度数． 【解答】解：绕点逆时针旋转得到， ，， 又， ， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 7．（2024•镜湖区校级三模）如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先由旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：由旋转的性质可知， ， ， 故旋转的度数为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求出． 8．（2024•天长市二模）已知一副三角板如图所示放置，的三角板的直角顶点在三角板斜边的中点，点、分别是直角边、边上的两点，且，连接、，其所在的两条直线相交于点，连接，当三角板在绕旋转时，若，则的长度的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由“”可证△△，可得，由四边形内角和定理可求，即点在以为直径的圆上运动，则当点在上时，有最小值，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接， △是等腰直角三角形，点是的中点， ，， ， ， △△， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 当点在上时，有最小值， ， ， 点是的中点， ， ， 的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9．（2024•天长市模拟）如图，在四边形中，，，以为直角边作等腰直角，，点正好落在边上，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，交于，证明是等腰直角三角形，得，，进而证明，再由勾股定理得，然后证明，得，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点作，交于， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ，故选项不符合题意； ， ，故选项不符合题意； 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，故选项不符合题意，选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 10．（2024•蚌埠二模）如图，和是等腰直角三角形，，，，绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 【分析】由“”可证，可得，由三角形中位线定理可得，可得当为最小值时，有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，延长至，使，连接，，， 和是等腰直角三角形， ，，， 又， ， ， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 当为最小值时，有最小值， 当点在上时，有最小值为， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（2024•镜湖区一模）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：是由绕点顺时针旋转后得到的图形， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 12．（2024•安徽模拟）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是　　Ⅱ A．2 B． C． D． 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【解答】解：如图，取的中点，连接， 旋转角为， ， 又， ， 是等边的对称轴， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，时，最短，即最短， 此时，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 13．（2024•池州开学）如图，在中，，，点是上一点，将绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】在上截取，根据证明得出，当时，最小，即最小，据此即可推出结果． 【解答】解：如图，在上截取， 将绕着点按顺时针方向旋转得到， ，， ，， ，， ， ， ， 点是上一点， 当时，最小， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 即的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 14．（2024•花山区校级一模）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，反比例函数的图象经过点，交直线于． （1）求反比例函数解析式； （2）求的面积． 【分析】（1）证明，推出，，得到点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）先求出直线表达式为，再求出直线与双曲线交点，从而求出面积． 【解答】解：（1）、两点的坐标分别为，， ，， 由旋转得：， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， 反比例函数的解析式为； （2）设直线表达式为，把，代入， ， 解得：， 直线表达式为， ， 解得：， ， ． 【点评】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，利用反比例函数计算图形的面积，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 三．旋转对称图形（共1小题） 15．（2022•繁昌县校级开学）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转后，能与原图形完全重合的是　　 A． B． C． D． 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【解答】解：、最小旋转角度． 、最小旋转角度． 、最小旋转角度． 、最小旋转角度． 综上可得：顺时针旋转后，能与原图形完全重合的是． 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 四．中心对称（共1小题） 16．（2024•全椒县三模）如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形的对称中心处，折痕为．若菱形的边长为4，，则的值是　　 A． B．2 C． D．4 【分析】连接，．证明是等边三角形，推出，再证明是的中位线，可得结论． 【解答】解：连接，． 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， 沿折叠与重合， ，平分， ， ， 、分别为、的中点， 为的中位线， ， 故选：． 【点评】本题考查轴对称，菱形的性质，翻折变换，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 五．中心对称图形（共4小题） 17．（2023•五河县一模）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解． 【解答】解：选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 18．（2022秋•芜湖期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是　　 A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 19．（2024•镜湖区一模）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为　　 A．2 B．4 C． D． 【分析】在直角中根据角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解． 【解答】解：在中，，， ， 根据中心对称的性质得到． 故选：． 【点评】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 20．（2024•萧县一模）下列函数的图象是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的对称性分析判断即可得解． 【解答】解：、反比例函数，图象是双曲线，是中心对称图形，符合题意； 、，图象是抛物线，不是中心对称图形，不符合题意； 、，图象是射线，不是中心对称图形，不符合题意； 、，图象是抛物线，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象．熟练掌握相关函数的性质是关键． 六．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 21．（2023•庐江县一模）如图，若将（点与点重合）绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标是　　． 【分析】解题的关键是应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 【解答】解：由图知点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向顺时针，旋转角度，画图，从而得点坐标为． 【点评】本题涉及图形变换旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 22．（2023•雨山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，则点的坐标为 　　． 【分析】过点作轴，过点作轴，先求出，再证明△，推出，，从而求出点的坐标． 【解答】解：过点作轴，过点作轴， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到△， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键． 七．作图-旋转变换（共4小题） 23．（2024•安徽模拟）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和点在网格图中的位置如图所示． （1）画出将线段先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后得到的线段； （2）画出将线段绕点旋转得到的线段，其中点对应点； （3）若点的坐标是，则点的坐标为 　　． 【分析】（1）根据平移规则，画出线段即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据点的坐标，确定原点的位置，进而得到点的坐标即可． 【解答】解：（1）如图：线段即为所求； （2）如图：线段即为所求； （3）点的坐标是，建立坐标系如图， 由图可知：； 故答案为：． 【点评】本题考查图形变换—平移与旋转，掌握坐标与图形的变换是解题的关键． 24．（2024•蚌埠模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点，，，为格点． （1）以点为对称中心，作关于点的对称图形△，作出△； （2）用无刻度的直尺作，其中在线段上． 【分析】（1）连接，延长使，连接，延长使，连接，延长使，即可得△； （2）根据网格的特点作出交于点即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求； （2）如图2所示，即为所求； 【点评】此题考查了作关于已知点中心对称的图形，利用网格作垂线． 25．（2023•合肥二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．，，． （1）先将竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到△，请画出△； （2）将绕点逆时针旋转，得到△，请画出△． 【分析】（1）根据平移的性质，确定点、、平移后的对应点即可； （2）根据旋转的性质，确定点、旋转后的对应点即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求． 【点评】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 26．（2023•雨山区校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△，请画出△； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转，得到△，请画出△． 【分析】（1）根据平移的方式确定出点，，的位置，再顺次连接即可得到△； （2）根据旋转可得出确定出点，，的位置，再顺次连接即可得到△． 【解答】解：（1）如图，△即为所作； （2）如图，△即为所作． 【点评】本题主要考查了作图旋转变换以及作图平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 八．利用旋转设计图案（共2小题） 27．（2022•瑶海区校级开学）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断． 【解答】解：、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意； 、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意； 、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． 、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 28．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转 　45　度形成的． 【分析】利用旋转中的三个要素①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度． 【解答】解：本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成． 所以旋转角为． 故答案为：45． 【点评】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•固镇县三模）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图．若，，则面积的最大值是　　 A．8 B．16 C． D． 【分析】由，，，连接，，，得，绕逆时针旋转得，得，，由，，分别为，，的中点，得，，得是等腰直角三角形，得面积，由，，得，，由，即可得面积的最大值． 【解答】解：由，，，连接，，， 得，绕逆时针旋转得， 得，， 由，，分别为，，的中点， 得，， 得是等腰直角三角形， 得面积， 由，， 得，， 由， 得面积的最大值． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质． 2．（2024春•金安区校级月考）如图，在等边中，点为边上一动点，连，将绕着逆时针旋转得到，连，取中点，连，，则下列结论不正确的是　　 A．当点是中点时， B． C． D．当时， 【分析】过点作，交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，求得，即可判断选项；连接并延长到点，使，连接，，证明可得，，根据等边三角形的性质可得，设，，则，再根据旋转的性质可得，，从而可得，可证得，，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质即可判断；根据等腰三角形的判定可得，从而证，可得，，再根据三角形的内角和定理可得，再根据直角三角形的性质即可判断；由全等三角形的性质可得，再由，，即可判断． 【解答】解：过点作，交于点， 是等边三角形， ， ， ， 点是中点， ，即， ， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ，故选项不符合题意； 连接并延长到点，使，连接，， 点是的中点， ， ，， ， ，， 是等边三角形， ， 设，， ， ， 由旋转的性质可得，，， ， 又， ， ， ， ，， ， 又，， ， 点是的中点， ， ，故选项不符合题意； ，， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，故选项不符合题意， ， ， ， ， 又， ， ，即， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．（2024春•庐江县校级期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点，与相交于，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，，，得，得，，即可得． 【解答】解：由将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，，， 得， 得， ， 得． 故选：． 【点评】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质． 4．（2024•桐城市校级三模）如图边长为4的正方形中，为边上一点，且，为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C． D． 【分析】过点作于，作于，根据证，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可． 【解答】解：过点作于，作于， 四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， 则，，， ， ， ， ， 当时，取最小值，其最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出关于的代数式并求出最值是解题的关键． 5．（2024•淮北校级二模）如图，等边的边长为12，是的高，点为高上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则下列说法中不正确的是　　 A． B．线段的最大值为 C．周长的最小值是 D．若，则线段的长为 【分析】分析已知，可证明，得，可知点在外，使的射线上，根据将军饮马型，求得的最小值便可求得本题结果． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形，是高， ，， 即， 故选项是正确的； ， ， 当运动到点时，有最大值， 且为， 则线段的最大值为， 故选项是正确的； ，且， ， 此时过点作，如图所示： ，，， ， 解得， ， 等边的边长为12，是的高， ， ， ， ， 故选项是错误的； 过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，， 则，， ， 为等边三角形， ， 垂直平分， ，， ， ， 当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：， 的周长的最小值为． 故选项是正确的； 故选：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定点运动轨迹． 6．（2024•宣城模拟）如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】取，作延长线于，由，，，得是等边三角形，得，得，得，设，则，，由，得，得的面积，故当时，的面积的最大值为． 【解答】解：取，作延长线于， 由，，， 得是等边三角形， 得， 得， 得， 设，则，， 由， 得， 得的面积， 故当时，的面积的最大值为， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，解题关键是构造全等三角形． 7．（2024•安徽模拟）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△若点是边上不与，重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，则为等腰直角三角形，所以，利用垂线段最短，当时，的长度最小，然后利用面积法求出的最小值为，从而得到线段长度的最小值． 【解答】解：，，， ， 将绕点逆时针旋转得到△， ，， 为等腰直角三角形， ， 长度最小时，线段长度的最小， 当时，的长度最小， 此时， 解得， 即的最小值为， 线段长度的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8．（2024•潜山市开学）如图，点是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据得到，则点在以为直径的圆上，取中点，当过点时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【解答】解：在正方形中，， ， ， ， 点在以为直径的圆上， 取中点，连接，当过点时，有最小值， 又按逆时针方向旋转得到， ， 此时也取最小值， ，为的半径，即， 此时， ， 即的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 9．（2024•安徽模拟）如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为　　 A． B．7 C．9 D． 【分析】过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图1知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 如图2，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小， 点关于直线的对称点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 设，由图1知， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力． 10．（2023春•淮北月考）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，过点作于点，先确定出当点，，三点共线时，最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则当点，，三点共线时，最小， 由旋转的性质得：，， 是等边三角形， 点是的中点，， ， 又，点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 二．填空题（共4小题） 11．（2024•金安区校级二模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△． （1）如图1，当对应点落在线段延长线上时，　　． （2）如图2，当为线段中点，为线段上动点，点的对应点在旋转过程中最大值与最小值差为 　　． 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数； （2）由①当在上运动至垂足点，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小；②当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值． 【解答】解：（1）如图1，依题意得：△． ，． ． ； 故答案为：． （2）线段长度的最大值为8，长度的最小值1． 解题过程如下：①如图，过点作，为垂足， 为钝角三角形， 点在线段上， 在中，， 当点在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小， 最小值为：； ②当点在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大， 最大值为：． 综上所述，线段长度的最大值为8，长度的最小值1． 点的对应点在旋转过程中最大值与最小值差为7． 故答案为：7． 【点评】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系． 12．（2024•瑶海区校级一模）如图，中，，，，点是中点，点是射线上的一个动点，以为一边向右构造等边，连接． （1）当点与点重合时，的长度为 　　； （2）在点的运动过程中，长度的最小值为 　　． 【分析】（1）画出点与点重合时的图形，利用勾股定理即可解决问题． （2）以为边，在右侧构造等边三角形，利用全等三角形的性质得出点的轨迹，再根据垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：（1）当点与点重合时，如图所示， 是等边三角形， ，． 点为的中点， ． ， ． 在中， ， ． 故答案为：． （2）以为边，在右侧作等边，如图所示， 连接， ， ． 在和中， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上． ，且，， 垂直平分， ， ， 则，，三点共线． 过点作的垂线，垂足为， 当点在点处时，取得最小值． 在中， ， ， ． ， ， ， ， 即长度的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图象旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2024•谯城区二模）如图，在中，，，．请解决下列问题： （1）的长是 　　； （2）若点是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点在运动过程中，线段的长的最小值是 　　． 【分析】（1）在中，根据可得答案． （2）取的中点，连接，，则．结合等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质可得．则当时，线段最短，即线段的值最小．在中，可得，即可得出答案． 【解答】解：（1），，， ． 故答案为：． （2）如图，取的中点，连接，， 则． ，， ． ， ， 是等边三角形， ． ， ． 是等边三角形， ， ， ． 当时，线段最短，即线段的值最小． 在中，，， ， 线段的长的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查旋转的性质、含30度角的直角三角形、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、垂线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（2024•安徽一模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点为的中点时，线段的长是 　1　； （2）当点在边上运动时，线段的最小值是 　　． 【分析】（1）根据已知条件得到，推出点也会在的中点，于是得到，； （2）设，作于，作于，得到，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，①当时，，，②当，，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）当为的中点时， ， 点也会在的中点， ，； （2）设，作于，作于， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ①当时，，， ， 当时，取最小值， ； ②当，，， ， 当时，取最小值， ； 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． 三．解答题（共9小题） 15．（2024•蚌山区三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的△； （2）把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的△； ②在线段上确定一点，使． 【分析】（1）分别找出对应点、、即可求解； （2）①分别找出对应线段、即可求解；②根据三角形同底时面积比等于高之比即可找到点． 【解答】解：（1）分别将点、、向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、，连接各点，得平移后的△，如图所示： （2）①利用网格特点，分别将、以为中心顺时针旋转找出对应线段、，连接，得旋转后的△，如图所示： ②如图，点即为所求的点，理由如下： 由图可知，△中边上的高为2，△、边上的高为1， 【点评】本题考查了网格作图，平移作图、旋转作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2024•金寨县模拟）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将线段先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，请画出线段． （2）将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请画出线段． 【分析】（1）根据所给平移方向作图即可； （2）根据所给旋转方式作图即可． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求， （2）如图，线段即为所求， ． 【点评】本题考查了平移作图，旋转，根据题意结合网格特点画出图形是解此题的关键． 17．（2024•安徽三模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）根据线段垂直平分线的定义作出图形即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，直线即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，线段垂直平分线的性质，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． 18．（2024•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，三点都在小方格的格点（网格线的交点）上，位置如图所示． （1）将线段绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段； （2）连接，将线段进行平移，使点平移到点的位置，画出平移后的线段； （3）连接线段并延长，交于点，连接，则△的面积为 　27　．（请直接写出答案） 【分析】（1）利用网格特点和旋转性质得到点的位置即可； （2）利用平移性质得到点的位置即可； （3）根据题意得到点的位置，再根据网格特点和平行线的性质，利用割补法求解即可． 【解答】解：（1）线段如图所示． （2）线段如图所示． （3）线段是线段平移得到的， ， △和△同底等高， ， 故答案为：27． 【点评】本题主要考查旋转和平移变换，正确作出图形是关键． 19．（2024•淮北三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出△，使△与关于原点成中心对称； （2）将绕原点顺时针旋转得到△，画出△； （3）连接，过点作，垂足为点．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）以为锐角顶点构造直角边为3，4的，交于点，点即为所作． 【解答】解：（1）△如图1所示； （2）△如图所示； （3）点即为所作． 【点评】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 20．（2024•蚌山区三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，进而由旋转的性质可得，即可求解； （2）过点作于点，证明得到即可求证； （3）证明得到，设，则，，即得，求出即可求解． 【解答】（1）解：在矩形中，， ， 是由旋转所得， ， ， ； （2）证明：过点作于点，如图， 由（1）知， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即为的中点； （3）解：，为的中点， ， 为等腰三角形， 又， 为等腰三角形， 两个等腰三角形有公共底角， ， ， ， 由（2）知， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 在中，，， ， ， 矩形的周长为． 【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（2022•淮北模拟）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： （1）如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数表示第个三角形数），由图形可得，，，，　15　； （2）为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，　　；（用含的代数式表示） （3）根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【分析】（1）根据规律求出即可； （2）利用规律，解决问题即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：15； （2）由题意，， 故答案为：； （3）28是三角形数， 理由：， ， ， 【点评】本题考查中心对称，列代数式，规律型：图形的变化类等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（2022•宣州区校级一模）（1）如图（a），在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 　②　． （2）如图（b），在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．将向左平移6个单位，作出它的像△； （3）如图（b），求作一个△，并画出△，使它与△关于点成中心对称． 【分析】（1）根据中心对称图形的特点可得将②涂黑可使得其与图中阴影部分构成中心对称图形； （2）分别将点、、向左平移6个单位，然后顺次连接； （3）分别作出点、、关于点成中心对称的点，然后顺次连接． 【解答】解：（1）应该将②涂黑； （2）所作图形如图所示： （3）所作图形如图所示． 故答案为：②． 【点评】本题考查了根据旋转变化和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． 23．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． （1）若三角形内任意一点的坐标为，点经过这种变换后得到点，根据你的发现，点的坐标为　　． （2）若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积． （3）直接写出与轴交点的坐标　　． 【分析】（1）依据点与点关于原点对称，即可得到点的坐标； （2）依据三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位即可得到三角形，进而得出三角形的面积． （3）先求得直线解析式为，当时，，即与轴交点的坐标为． 【解答】解：（1）如图，点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：； （2）如图，△即为所求， ； （3）设直线解析式为， 把，代入，可得 ， 解得， 直线解析式为， 当时，，即与轴交点的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了几何变换的类型，利用已知对应点坐标特点得出是解题关键．在平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1 旋转（8种题型基础练+能力提升练） 一．生活中的旋转现象（共2小题） 1．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是　　 A． B． C． D． 2．（2020•安徽模拟）如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是　　 A． B． C． D． 二．旋转的性质（共12小题） 3．（2023•繁昌县校级模拟）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板，将另一块三角板绕公共顶点顺时针旋转（旋转角度不超过．若两块三角板有一边平行，则三角板旋转的度数可能是　　 A．或 B．或或 C．或或 D．或或或 4．（2022春•定远县校级期中）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图①所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图②所示，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023•蚌山区校级开学）如图，中，，，将绕点顺时针方向旋转到△的位置，连接，则的长为　　 A． B． C． D．1 6．（2024春•天长市月考）如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是 　　． 7．（2024•镜湖区校级三模）如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024•天长市二模）已知一副三角板如图所示放置，的三角板的直角顶点在三角板斜边的中点，点、分别是直角边、边上的两点，且，连接、，其所在的两条直线相交于点，连接，当三角板在绕旋转时，若，则的长度的最小值为　　 A． B． C． D． 9．（2024•天长市模拟）如图，在四边形中，，，以为直角边作等腰直角，，点正好落在边上，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 10．（2024•蚌埠二模）如图，和是等腰直角三角形，，，，绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 11．（2024•镜湖区一模）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 12．（2024•安徽模拟）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是　　Ⅱ A．2 B． C． D． 13．（2024•池州开学）如图，在中，，，点是上一点，将绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 14．（2024•花山区校级一模）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，反比例函数的图象经过点，交直线于． （1）求反比例函数解析式； （2）求的面积． 三．旋转对称图形（共1小题） 15．（2022•繁昌县校级开学）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转后，能与原图形完全重合的是　　 A． B． C． D． 四．中心对称（共1小题） 16．（2024•全椒县三模）如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形的对称中心处，折痕为．若菱形的边长为4，，则的值是　　 A． B．2 C． D．4 五．中心对称图形（共4小题） 17．（2023•五河县一模）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 18．（2022秋•芜湖期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是　　 A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线 19．（2024•镜湖区一模）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为　　 A．2 B．4 C． D． 20．（2024•萧县一模）下列函数的图象是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 六．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 21．（2023•庐江县一模）如图，若将（点与点重合）绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标是　 　． 22．（2023•雨山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，则点的坐标为 　　． 七．作图-旋转变换（共4小题） 23．（2024•安徽模拟）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和点在网格图中的位置如图所示． （1）画出将线段先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后得到的线段； （2）画出将线段绕点旋转得到的线段，其中点对应点； （3）若点的坐标是，则点的坐标为 　　． 24．（2024•蚌埠模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点，，，为格点． （1）以点为对称中心，作关于点的对称图形△，作出△； （2）用无刻度的直尺作，其中在线段上． 25．（2023•合肥二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．，，． （1）先将竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到△，请画出△； （2）将绕点逆时针旋转，得到△，请画出△． 26．（2023•雨山区校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△，请画出△； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转，得到△，请画出△． 八．利用旋转设计图案（共2小题） 27．（2022•瑶海区校级开学）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 28．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转 　　度形成的． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•固镇县三模）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图．若，，则面积的最大值是　　 A．8 B．16 C． D． 2．（2024春•金安区校级月考）如图，在等边中，点为边上一动点，连，将绕着逆时针旋转得到，连，取中点，连，，则下列结论不正确的是　　 A．当点是中点时， B． C． D．当时， 3．（2024春•庐江县校级期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点，与相交于，，，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•桐城市校级三模）如图边长为4的正方形中，为边上一点，且，为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C． D． 5．（2024•淮北校级二模）如图，等边的边长为12，是的高，点为高上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则下列说法中不正确的是　　 A． B．线段的最大值为 C．周长的最小值是 D．若，则线段的长为 6．（2024•宣城模拟）如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 7．（2024•安徽模拟）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△若点是边上不与，重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是　　 A． B． C． D． 8．（2024•潜山市开学）如图，点是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　　 A． B． C． D． 9．（2024•安徽模拟）如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为　　 A． B．7 C．9 D． 10．（2023春•淮北月考）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 11．（2024•金安区校级二模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△． （1）如图1，当对应点落在线段延长线上时，　　． （2）如图2，当为线段中点，为线段上动点，点的对应点在旋转过程中最大值与最小值差为 　　． 12．（2024•瑶海区校级一模）如图，中，，，，点是中点，点是射线上的一个动点，以为一边向右构造等边，连接． （1）当点与点重合时，的长度为 　　； （2）在点的运动过程中，长度的最小值为 　　． 13．（2024•谯城区二模）如图，在中，，，．请解决下列问题： （1）的长是 　　； （2）若点是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点在运动过程中，线段的长的最小值是 　　． 14．（2024•安徽一模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点为的中点时，线段的长是 　　； （2）当点在边上运动时，线段的最小值是 　　． 三．解答题（共9小题） 15．（2024•蚌山区三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的△； （2）把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的△； ②在线段上确定一点，使． 16．（2024•金寨县模拟）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将线段先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，请画出线段． （2）将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请画出线段． 17．（2024•安徽三模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 18．（2024•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，三点都在小方格的格点（网格线的交点）上，位置如图所示． （1）将线段绕点顺时针旋转，画出旋转后的线段； （2）连接，将线段进行平移，使点平移到点的位置，画出平移后的线段； （3）连接线段并延长，交于点，连接，则△的面积为 　　．（请直接写出答案） 19．（2024•淮北三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出△，使△与关于原点成中心对称； （2）将绕原点顺时针旋转得到△，画出△； （3）连接，过点作，垂足为点．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） 20．（2024•蚌山区三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 21．（2022•淮北模拟）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： （1）如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数表示第个三角形数），由图形可得，，，，　　； （2）为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，　　；（用含的代数式表示） （3）根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 22．（2022•宣州区校级一模）（1）如图（a），在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 　　． （2）如图（b），在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．将向左平移6个单位，作出它的像△； （3）如图（b），求作一个△，并画出△，使它与△关于点成中心对称． 23．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． （1）若三角形内任意一点的坐标为，点经过这种变换后得到点，根据你的发现，点的坐标为　　． （2）若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积． （3）直接写出与轴交点的坐标　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$