第8章 第4节 机械能守恒定律-【重难点手册】2024-2025学年高中物理必修第二册（人教版2019 浙江专用）

重避点手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 第4节 机械能守恒定律 重点和难点 课标要求 1,通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想 重点：机械能守恒的条件和机械能守 2.会用能量观念分析具体实例中动能与势能（包括弹性势能）之间 恒定律的表达式。 的相互转化 难点：机械能守恒定律的应用，功能 3.理解机械能守恒定律的推导过程， 关系的应用. 4,会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能 守恒定律解决有关问题，体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性 01以备知识梳理一。 基础梳理 知识点1追寻守恒量 1.用伽利略理想斜面实验探究能量 (1)实验装置（如图所示） B 划重点 (2)实验过程 理想实验法（又称思想实 让静止的小球沿斜面A滚下，小球将滚上对接斜面B. 验法)是科学研究中的一种重 (3)实验现象 要方法，它把可靠的事实和理 在没有空气阻力和摩擦力时（实际很小，可以忽略），无论斜 论思维结合起来，可以深刻地 面B陡一些，还是缓一些，小球总能到达斜面B上与释放点等高 揭示自然规律理想实验法的 的位置，即hA=hB. 核心是“可靠的事实”十“严密 (4)实验结论 的逻辑推理”，例如，在实验中 当小球沿斜面A滚下而又滚 这一事实说明了小球在运动过程中“某个量是守恒的”. 上斜面B时，小球在斜面B 2.能量概念的引入 上所达到的高度与它在斜面 在伽利略的理想斜面实验中，当小球沿某一斜面从一定高度 A上释放时的高度几乎相等 由静止滚下时，小球的高度不断减小，但速度不断增大，这说明小 (这是可靠的事实)，伽利略断 球凭借其位置而具有的物理量不断减少，但由于运动而具有的物 定高度上的这一微小差别是 理量不断增加.当小球从斜面底沿另一个斜面向上滚动时，小球 由于摩擦而产生的，若能将摩 的位置不断升高，而速度不断减小，说明小球凭借其位置而具有 擦完全消除的话，高度将恰好 的物理量不断增加，由于运动而具有的物理量逐渐减少，如果斜 相等（这属于逻辑推理）， 面是光滑的，当小球到达第二个斜面的同一高度时，速度为0，小 152 第八章 机械能守恒定律么 球好像“记得”自己起始的高度，说明某种“东西”在小球运动过程 中是不变的，这样人们就引入了能量概念. 例1(2024·安微铜陵三中高一阶段练习)在室内滑雪场， 游客们足不出户即可享受滑雪的乐趣，游客先乘自动扶梯至雪坡 顶端，然后顺坡滑下，滑到平地上后很快便停下来.从雪坡顶端到 最后停下来的整个过程中，下列说法中正确的是()， A.人的动能先增大后减小，动能与势能之和不变 B.人的动能先增大后减小，动能与势能之和一直减小 C.人的动能先增大后减小，动能与势能之和先变大后不变 D.人的动能先增大后减小，动能与势能之和先变大后减小 解析从雪坡顶端到最后停下来的整个过程中，人先在坡上 加速下滑，速度增大，则动能增大，后在平地上做减速运动，速度 减小，动能减小，即人的动能先增大后减小，由于摩擦力的原因 人的机械能不断减小，所以动能与势能之和一直减小.故B正确， ACD错误. 答案B 知迟点2动能与势能的相互转化 1.机械能 (1)概念：物体的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）统 刀对点练切 称为机械能 如图所示，一小球自A点 (2)表达式：E=Ek十E 由静止自由下落，到B点时与 (3)理解 弹簧接触，到C点时弹簧被压 ①机械能是一个状态量，做机械运动的物体在某一位置时， 缩到最短.若不计弹簧质量和 空气阻力，在小球由A·B 具有确定的速度，也就具有确定的动能和势能，即具有确定的机 C的过程中，小球的重力势 械能。 能，动能及弹簧的弹性势能将 ②机械能是一个相对量，其大小与参考系、零势能面的选取 如何变化？ 有关.而机械能的变化与参考系的选取无关 O-A ③机械能是标量，是系统共有的，但它有正负（因机械能具有 -B 相对性). --C 77 2.动能和势能的相互转化 [答案：小球的重力势能 (1)重力势能和动能的相互转化.在只有重力做功时，就只有 减小：动能先增大后减小：弹 重力势能和动能发生相互转化.重力做正功，重力势能向动能转 簧的弹性势能先不变后增大.] 化，重力做了多少正功，就有多少重力势能转化成了动能.重力做 负功，动能向重力势能转化，克服重力做了多少功，就有多少动能 转化成了重力势能. 153 国雕手细高中物理必修第二册)（浙江专用） (2)弹性势能和动能的相互转化.在只有弹力做功时，就只有 弹性势能和动能发生相互转化.弹力做正功，弹性势能向动能转 化，弹力做了多少正功，就有多少弹性势能转化成了动能.弹力做 负功，动能向弹性势能转化，克服弹力做了多少功，就有多少动能 转化成了弹性势能。 例2(2024·湖南岳阳一中高一期末)如图所示，无人机在 空中匀速上升时，不断增加的能量是( A.动能 B.动能、重力势能 C.重力势能、机械能 D.动能、重力势能、机械能 解析无人机匀速上升，所以动能保持不变，故ABD错误；高 度不断增加，所以重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人 机做正功，所以无人机的机械能不断增加，故C正确. 答案C 知识点3机械能守恒定律 1.机械能守恒定律的理论推导 由大量的实例分析可知，动能和势能之间的相互转化是通过 重力或弹力做功来实现的.动能和势能之间的相互转化遵循什么 规律呢？下面以自由落体运动为例，从理论上探究这个问题， 设一个质量为m的小球自A点开始自由下落，经过高度为 h1的B点时速度为v1,下落到高度为h2的C点时速度为v2,如 图所示.在自由落体运动中，小球只受到重力作用，重力做正功， 从B点到C点的过程中，设重力所做的功为W。, 由动能定理可得 CA 已划重点 w-=m-m. ① B 对机械能守恒定律的理解 1.由于组成机械能的势 即重力所做的功等于小球动能的增加量 能是系统具有的，因而机械能 由重力做功与重力势能变化的关系可得 守恒定律的研究对象是物体 FU. Wc=mgh1一mghz ② w7777T 所组成的系统.对地球表面单 即重力所做的功等于小球重力势能的减少量。 个物体往往也应用机械能守 由①②式得号mn话-之m=mgh,一mgh, ③ 恒定律，这是因为在地球和物 体相互作用过程中地球几乎 即小球在自由落体运动过程中，动能的增加量等于重力势能 不动，就不考虑地球的动能和 的减少量。 势能的变化 154 第人章 机械能守恒定律蓝9 ③式移项后得2m十mgh,=m+mgh1, 2.机械能守恒时，物体并 不是只能受重力或弹力作用， 即Eka十Ee=Ek1十Eo ④ 也可以受其他力作用，但其他 ④式表明在自由落体运动过程中，小球只受到重力作用，只 力不做功或做功的代数和 有重力做功：动能和势能相互转化时，动能和势能之和不变，即机 为0. 械能守恒. 3.机械能守恒定律强稠 2.机械能守恒定律 除重力或弹力外，其他力不做 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能 功或做功的代数和为0，但物 可以互相转化，而总的机械能保持不变. 体所受合力为0，机械能也不 (2)表达式：E。十Eu=Ee十Ee,即系统初态的机械能等于 一定守恒，例如，物体沿粗糙 系统末态的机械能。 斜面匀速下滑，物体所受合力 △E=一△E。,即系统减少（或增加）的总动能等于系统增加 为0，但由于摩擦力做功，机械 (或减少)的总势能， 能不守恒 △E,=一△E,即系统内一物体机械能的增加（或减少）量等 于系统剩余物体机械能的减少（或增加）量， (3)适用条件：只有重力或弹力做功，其他的力不做功.这里 的弹力狭义地指弹簧的弹力. 例3(2024·浙江杭州二中高一月考)如图所示是课本中的 四幅插图，四幅图表示的运动过程中物体机械能不守恒的是 州 内 A.图甲中，滑雪者沿光滑斜面自由下滑 B.图乙中，过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道 C.图丙中，小球在水平面内做匀速圆周运动 D.图丁中，石块从高处被斜向上抛出后在空中运动（不计空 气阻力) 解析滑雪者沿光滑斜面自由下滑时，斜面的支持力不做功， 只有重力做功，其机械能守恒，过山车关闭油门后通过不光滑的 竖直圆轨道，阻力做负功，其机械能减小，机械能不守恒.小球在 水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能也不变，两者之和 不变，其机械能守恒。石块从高处被斜向上抛出后在空中运动时 不计空气阻力，只受重力，其机械能一定守恒.故B符合题意 答案B 155 重雕点手细高中物理必修第二册)（浙江专用）】 雨难拓展 重难点1对机械能守恒条件的理解及实例分析 1.对守恒条件的理解 刀记方法 物体系统内只有重力或弹力做功（其他力不做功）时机械能 机械能是否守恒的 守恒.对于该条件可具体理解如下： 三种判断方法 系统内部只有重力或弹力做功，没有摩擦力和其他内力（如 1,用做功来判断 炸弹爆炸时化学物质的作用力等)做功，即系统内部除发生重力 (1)对于一个物体，若只 有重力做功，而其他力不做功 势能或弹性势能与动能的相互转化之外，不会引起发热、发光或 (包括弹力)，则该物体的机械 化学反应等非力学现象的发生.具体情况有： 能守恒。 (1)物体只受重力或弹力，不受其他力，如自由落体运动和各 (2)对于由两个或两个以 种抛体运动 上物体（包括弹簧在内）组成 (2)物体除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功， 的系统，如果系统内只有重力 如物体沿光滑固定的斜面或圆弧面下滑，物体受重力和支持力作 或弹力做功，则系统的机械能 用，但支持力不做功。 守恒 (3)对于物体系统来说，除系统内的重力和弹力做功之外，外 2.用能量转化来判断 力不做功，有内力做功，但内力做功的代数和为0. 若系统中只有动能和势 2.常见实例分析（见下表） 能的相互转化而无机械能与 其他形式的能的转化，则系统 做功或能量 物理情境 研究对象 转化情况 结论 机械能守恒 3.用能量增减情况来判断 做抛体运动的物体（不计 运动过程中物体 物体 只有重力做功 若系统的动能与势能均 空气阻力) 的机械能守恒 增加或均减少，则系统的机械 能不守恒：若系统内各个物体 如图，不计空气阻力，小 的机减能均增加或均减少，则 球来回摆动的过程 系统的机械能也不守恒， LEEEEEEEEAEEELLEELLE 只有重力做功（绳小球摆动过程中， 小球 的拉力不做功) 机械能守恒 除重力外还有弹 该过程小球的机 如图，不计空气阻力，小 小球 力做功 械能不守恒 球来回摆动的过程 L42 0000 该系统内只发生 小球和弹 该过程小球和弹 簧组成的 重力势能、动能、 簧组成系统的机 弹性势能间的转 系统 械能守恒 化 156 第人章 机械能守恒定律么9 续表 敲黑板 做功或能量 物理情境 研究对象 转化情况 结论 判断机械能是否守恒 应注意的问题 如图，A、B间及B与地 除重力外还有弹 该过程A(或B)的 面间摩擦力不计，A沿斜 A(或B) 1.合力为0是物体处于 力做功 机械能不守恒 面自由下滑的过程 平衡状态的条件，物体受到的 ④ 该系统内只发生 该过程A与B组 合力为0时，它一定处于匀速 A与B组 动能和重力势能成系统的机械能 B 成的系统 运动状态或静止状态，但它的 间的相互转化 守恒 机械能不一定守恒」 2.合力做功为0是物体 如图，忽略一切摩擦力， 也不计绳（不可伸长）与 除重力外还有绳该过程A(或B)的 动能不变的条件，合力对物体 滑轮的重力，在A向下、 A(或B) 的拉力做功 机械能不守恒 不做功，它的动能一定不变， B向上运动的过程中 但它的机械能不一定守恒. tL 3.只有重力做功或系统 该系统内只发生该过程A与B组 内弹力做功是机械能守恒的 A与B组 成的系统 动能与重力势能成系统的机械能 条件，只有重力对物体做功 间的相互转化 守恒 时，物体的机械能一定守恒： 只有重力或系统内弹力做功 例4(2024·浙江余姚中学高一期未)在如图所示的物理过 时，系统的机械能一定守恒 程示意图中，图甲为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角的位 4.对单个物体而言，从做 置释放后小球绕光滑支点摆动：图乙为末端固定有A、B两小球 功的力的特，点去分析比较方 的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动： 便；对某个系统而言，从能量 图丙为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右 转化的角度去分析相对比较 的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B 简单 车运动：图丁为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用 细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动.关于这几个物 理过程（空气阻力忽略不计），下列判断正确的是( j30 2L 乙 A.图甲中小球的机械能守恒 B.图乙中小球A的机械能守恒 C.图丙中两车组成的系统机械能守恒 D.图丁中小球的机械能守恒 解析甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒：图乙中 A、B两球通过杆相互影响（例如开始时A球带动B球转动），轻 157 国滩白手细高中物理必修第二册J(浙江专用) 杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机 械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时系统的机械能守恒： 图丙中细绳绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变 有内能转化，机械能不守恒：图丁中细绳也会拉动小车运动，取地 面为参考系，小球的运动轨迹不是圆孤，细绳会对小球做功，小球 的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒.故 A正确. 答案A 重难点2机械能守恒定律的表达式及应用 1.机械能守恒定律常用的三种表达式 刀记方法运 (1)守恒式：E=E2或Ek十E=E2十E2.(E、E2分别表 应用机械能守恒定律的 基本思路 示系统初、末状态时的总机械能) 1,应用机械能守恒定律 (2)转化式：△Ek=一△E。或△E=△E.(表示系统势能的 解题的一般步骤： 减少量等于动能的增加量) (1)明确研究对象和它的 (3)转移式：△EA=一△EB或△EA增=△E碱，（表示系统只有 运动过程： A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能) (2)分析研究对象在运动 过程中的受力情况，弄清系统 2.机械能守恒定律与动能定理的比较 内是否只有重力或弹力做功， 判定机械能是否守恒： 机械能守恒定律 动能定理 (3)确定物体运动的初、 在只有重力或弹力做功的物体力在一个过程中对物体做的 末状态，选定零势能面： 内容 系统内，动能与势能可以互相转功，等于物体在这个过程中 (4)根据机械能守恒定律 化，而总的机械能保持不变 动能的变化 列出方程，统一单位后求出 研究对象 一般是物体组成的系统 质点 结采 说明：利用守恒定律列式 表达式 Ex+E=Ek+Eve W=Ek-Ek △E=-△E或△E=-△En, 标量式，要分清做功的正负 则不需要选取零势能面. 特点 标量式，但要选定参考平面 及动能的变化 2.如果物体运动由几个 条件 只有重力或弹簧弹力做功 无条件限制 不同的物理过程组成，则应分 析每个过程机械能是否守恒， ①无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应 还要分析过程中连接点有无 用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节 应用范围 ②对于单个物体而言，能用机械能守恒定律解决的问题一般 能量损失，只有无机械能损失 都能用动能定理解决：能用动能定理解决的问题不一定都能 时才能对整体列机械能守恒 用机械能守恒定律解决 式，否则只能给出每段相应的 守恒关系 结论 动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍 例司(2024·浙江杭州余杭高级中学高一阶段练习)如图所 示，质量为2m和m可看作质点的小球A、B,用不计质量的不可 158 第人章 机械能守恒定律么组 伸长的细线相连，跨在固定的半径为R的光滑圆柱两侧，开始时 刀对点练 A球和B球与圆柱轴心等高，然后释放A,B两球，则B球到达最 如图所示，可视为质点的 高点时的速率是多少？ 小球A,B用不可伸长的细款 轻线连接，跨过固定在地面上 半径为R的光滑圈柱，A的质 量为B的2倍.当B位于地面 时，A恰与圆柱轴心等高.将 A由静止释放，B上升的最大 解析选取轴心所在水平线为势能零，点，则刚开始时系统机 高度是( 械能为0，即E=0. 当B球到达最高，点时，系统机械能为 EmR2mg2m 7777777777777777777 4 2 A.2R B 5R 由于=E,即0=mgR+m-2mg×2+号×2m2 3 c D.2R 3 解得v一 2 3gR(x-1). [答案：C 02关建能动提升。口 题型1单个问题的机械能守恒 mg·2R+7m,即要使小球能运动到C处， 例①(2024·四川成都七中高一月考)如 图所示，用细圆管组成的光滑轨道AB部分平 且从C端出来，必须满足t>0,即2m6> 直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半 mg·2R,解得w>2gR 圆，圆管截面半径《R.有一质量为m、半径比r (2)以AB所在平面为零势能面，则小球到 略小的光滑小球以水平初速度射入圆管. 达C处时的重力势能为2mgR,从B到C由机 械能守恒定律可得号m6=2mgR+ 2m呢. R 小球在C处受重力mg和细管竖直方向的 作用力F、,根据牛颜第二定律得 B mg十FN=mR (1)若要小球能从C端出来，初速度w需 多大？ 联立解得FN=mF -5mg. (2)在小球从C端出来的瞬间，管壁对小 讨论：丑.当小球受到向下的压力时， 球的压力为号mg,那么小球的初速度应为 R-mg,w=唱R 多少？ b.当小球受到向上的压力时， 解缸(1)由机栽能守恒定律得2m暖- 9 FN=- 2mg,w=√2gR. 159 国避点手册高中物理必修第二册)（浙江专用） 题型2连接体的机械能守恒 题型3链条、绳索类质点系机械能守恒 例2(2024·重庆一中高一期末)（多选） 例3(2024·湖南长沙一中高一期末)如 如图所示，在倾角0=30°的光滑固定斜面上， 图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α 放有质量分别为1kg和2kg的小球A和B, 的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB 且两球之间用一根长L=0.3m的轻杆相连， BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为 小球B距水平面的高度h=0.3m.现让两球 L的均匀柔软链条开始时静止地放在ABC面 从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有 上，其一端D至B的距离为L一a,其中a未 细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时 知.现自由释放链条，当链条的D端滑到B点 的机械能损失，g取10m/s.则下列说法中正 时，链条的速率为，求a 确的是( 77777777777777 A.从开始下滑到A进入圆管的整个过程， 解析设链条质量为m,可以认为始末状 小球A、B与地球三者组成的系统机械能守恒 态的重力势能变化是由L一a段下降h引起的. B.在B球未进入水平圆管前，小球A与 地球组成的系统机械能守恒 h=(a+22)sma-L生ina. 2 C.两球最后在光滑圆管中运动的速度大 该部分的质量为m'=(L一a), 小为√7m/s 由机械能守恒定律可得 D.从开始下滑到A进人圆管的整个过程， 轻杆对B球做功为一1J (L-a)gh- m, 解析从开始下滑到A进入圆管的整个过 解得a=入 L 程，除重力做功外，杆对系统做功为0，小球A、 gsin a B与地球三者组成的系统机械能守恒，故A正 题型4弹簧问题中的机械能守恒 确；在B球未进入水平圆管前，只有重力对A 例④(2024·湖北武汉二中高一期末)如 做功，小球A与地球组成的系统机械能守恒， 图所示，固定在竖直平面内的轨道由高为H 故B正确：以A、B组成的系统为研究对象，系 0.8m的平台、斜面BC、半径R=0.8m的竖 统机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh十 直圆轨道DFE(轨道在DE处稍微错开)及倾 mgh十Lsin)=m十m),代入鼓据解 角为0=30°的斜面PM组成，一劲度系数为k =8N/m的弹簧一端固定在斜面PM的最高 得=√7m/s,故C正确；以A球为研究对象， 点M,其下端距离地面h2=0.5m.一质量为m 由动能定理得mg(h十Lsim0)十W=2m, =0.2kg的滑块（可视为质点）从平台末端A 代入数据解得W=一1J,则轻杆对B做正功， 以速度=2√6m/s水平飞出，恰好无碰撞地 WB=一W=1J,故D错误. 从B点沿斜面向下滑行，B离地高度为h1 答案ABC 0.35m.已知滑块与PM斜面间的动摩擦因数 160 第八章机械能守恒定律么9 为停，其余摩擦不计，不计滑块经轨道转折点 kx>>umgcos 0, 故滑块会继续下滑，设滑块滑到水平面的 的能量损失及空气阻力，最大静摩擦力认为等 速度为，则 于滑动摩擦力.当弹簧压缩量为x时，弹簧具 有的弹性势能为E=2k.(或可以用Fx图 2m-2m-2pong 像下的面积求变力做功》 解得2m=1J<mgR. 故滑块不能到达圆周轨道圆心等高线。 H 又mf=1J=mgh,故滑块再次滑上斜 DE) 面后不会接触弹簧。 (1)求B与A间的水平距离. 设滑块再次滑上斜面的最大位移为，有 (2)滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块 的压力. --mglsin 0-pmnglcos 0. (3)滑块沿右侧PM斜面第一次到达最高 解得1=0.5m. 点时弹簧的弹性势能。 之后由于mgsin0=gcos0,所以滑块静 (4)滑块最终静止的位置到P端的距离. 止在该位置，即滑块最终静止的位置到P的距 解析(1)从抛出到落至斜面的时间1 离为0.5m. 2(H=h①D=0.3s,故x=0.6y6m g 题型5机械能守恒中的图像问题 (2)滑块从抛出到斜面底端C过程由动能 例固(2024·安徽合肥八中月考)（多选） 定理有t之mt-之m6=mgH, 物块在高3m、长5m的斜面顶端从静止开 始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离 得c=2√10m/s. s的变化如图中直线I、Ⅱ所示，重力加速度取 由C到F过程中，由动能定理有 10m/s2.下列说法中正确的是( na味-mt--2mgR, 1 在F点时有FN十mg= R 联立解得Fv=O. (3)设滑块第一次上滑到最高点时，弹簧 3 的最大压缩量为x,则一多m=一mg（十 A.物块质量为1kg B.物块下滑过程中机械能守恒 C.物块下滑时加速度的大小为2m/s 解得x=0.5m. D.当物块下滑2m时机械能损失了12J, 故弹簧弹性势能的最大值Er=1儿. 动能增加了4J (4)滑块第一次在最高点时，因为mgsin0 解析物块在高3m处，重力势能为E,= 161