第7章 第3节 万有引力理论的成就-【重难点手册】2024-2025学年高中物理必修第二册（人教版2019 浙江专用）

第七章万有引力与宇宙航行么 第3节万有引力理论的成就 重点和难点 课标要求 1,理解“称量”地球质量的基本思路，了解万有引力定律在天文学上 重点：会计算中心天体的质量及天体的重要应用. 的密度，了解万有引力理论的 2.理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转 其他成就 换成相关模型后进行求解 难点：宇宙中的双星系统 3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认 识运动与相互作用观念 门-01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1“称量”地球的质量 1.合理假设：不考虑地球自转的影响. 已划重点7 2.称量原理：地面上物体所受的重力等于地球对它的万有引 1.利用环绕天体m绕中 力，即mg=Gm焦加 心天体M做匀速圆周运动只 R2 能求中心天体M的质量，而 3结果：m=密，其中g和R在卡文迪什之前就已经知道 不能求环绕天体m的质量， 2.在估算天体质量时，有 了，在卡文迪什准确测定了引力常量G后，就可以算出地球的质 些常识性知识可直接作为已 量，这意味着人们在实验室里测出了地球的质量： 知条件使用，如： 例①(2024·湖南石门一中高一期中)进入21世纪，我国启 地球公转周期T=1年， 动了探月计划—“嫦娥工程”.同学们也对月球有了更多的关 地球自转周期T=1天， 注 月球绕地球一周的周期 (1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球 T=27.3天. 绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运 动，试求出月球绕地球运动的轨道半径 (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速 度w竖直向上抛出一个小球，经过时间，小球落回抛出点.已知 月球半径为，引力常量为G,试求出月球的质量M. 解析(1)根据万有引力定律和向心力公式有 GMM=MR(停mg=G". R 联立以上两式得R= ERT V4π2· 91 国避令手细高中物理必修第二册（浙江专用】 (2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意有 %二8月 2mg月= GM月m 联立以上两式得M期=2二 Gt 知识点2计算天体的质量 1已知条件：知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距 园划重点 离r L.向心加速度a与轨道 2.建立模型：把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，由万有 半径r的关系 引力提供向心力. 向心力F是由万有引力 3列式分析：由m-m产得太阴质量为M一 GT2· 充当，有F=G以即Fex 4.求解太阳密度：由p= Mk可知，若求太阳的密度还需要 3πR美 4 向心加速度a由F=ma 知道太阳的半径R太， 得a,即aoc r 例2(2024·西南大学附中高一期末)如图所示，美国的“卡 2.线速度与轨道半径r 西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的 的关系 轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高 根据Gm山=m二得0 h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t,已知引力常 量为G,则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是 ). 3.角速度ω与轨道半径r 的关系 根据Gm山=mro得a A.M=(R)3(R+h) Ge GPR 4.周期T与轨道半径 B.M-4x2(R+h)2 3(R+h)2 的关系 G 0 GPR 根据GM=mr答得 C.M-R)() G Gn2R T=2x√即TcF. D.M=坛rR+'p3R G GPR 解析设探测器的质量为，由题意可知探测器的角速度为 。2,根据牛顿第二定律有GR=R十》，大星的 质量为M=pN=专mR,联立解得M-rRh》, 0 92 第七章万有引力与宇宙航行么9 3πn(R+h)3 GPR [答案D 知识点了万有引力理论的其他成就 1.发现未知天体 (1)发现并提出问题 18世纪，人们观测发现，1781年发现的太阳系的第七颗行 星一天王星的运动轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道 总有一些偏差，为何会存在偏差？ (2)提出各种猜想和假设 一是万有引力定律不正确，二是在天王星轨道外面还有一颗 未发现的行星影响了天王星的运行. (3)科学推理 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶 根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出了 这颗“新”行星的轨道。 (4)实践检验 1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近 发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”.后来，这颗行 星被命名为海王星.海王星的发现确立了万有引力定律的地位 2.哈雷彗星的“按时回归” 1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著 名彗星的轨道并正确预言了它的回归，这颗著名彗星就是哈雷 彗星 (1)哈雷彗星的周期：哈雷彗星的轨道半长轴约为地球公转 半径的18倍，由警一亮得T=76年 (2)哈雷彗星的下次回归将在2061年左右. 例③(2024·江苏常州一模)关于万有引力定律应用于天文 学研究的历史事实，下列说法中正确的是(). A.天王星和海王星都是运用万有引力定律，经过大量计算以 后发现的 B.在18世纪已经发现的七颗行星中，人们发现第七颗行 星一天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的 结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗 行星，是它的存在引起了上述偏差 93 国避令手细高中物理必修第二册)（浙江专用） C,第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大 量计算而发现的 D.天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文 学家勒维耶合作研究后共同发现的 解析天王星是在1781年发现的，而卡文迪什测出引力常量 是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意 义的计算，故A错误，B正确；太阳系的第八颗行星即海王星是英 国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒雏耶各自独 立地利用万有引力定律计算出轨道和位置，由德国的伽勒首先发 现的，故CD错误 答案B 重难拓展 重难点1天体质量的计算方法 天体质量的计算方法有两种： 园记方法司 1.环绕法 必须已知两个及两个以 上的圆周运动参量才能用环 建立环绕天体m绕待测的中心天体M做匀速圆周运动的环 绕法求M,一般选已知T与 绕模型，利用引力提供向心力可求中心天体的质量M, r,因为在天文观测中T比较 1)若已知圆周运动的T和r,可利用公式G=m答， 4π 容易测出 r2 求M. (2)若已知圆周运动的v和，可利用公式G恤=m号求M 、(3)若已知圆周运动的u和T,可利用公式r=和G 2 m()求M. 2.测g法 测g法是利用天体表面上引力等于重力，根据公式mg G得出M= C,而引力等于重力的条件是不考虑天体M 的自转 例④(2024·安徽淮北一中高一检测)观察神舟十八号载人 飞船在圆轨道上的运动，发现其每经过时间2通过的弧长为l, 该弧长对应的圆心角为（弧度），如图所示，已知引力常量为G, 由此可推导出地球的质量为() 94 第七章万有引力与宇宙航行收国9 神舟十八号 地味了 B210 GL C D. Go 折神舟十八号载人飞格的线速度如一轨道半径r= 0 根据G=m号，得地球的质量为M- 答泰A 重难点2宇宙中的双星系统 在宇宙中有这样的一些特殊现象，两颗靠得很近的天体，它 划重点 们绕其连线上的某点做匀速圆周运动，我们把这样的两颗星称为 双星系统的规律总结 双星系统，简称双星.双星系统的特点是双星运动的周期和角速 1.两颗星都在做匀速圆 度相等，这两颗星必须各自以一定的速率绕它们连线上的某一点 周运动. 转动，才不至于因万有引力作用吸在一起.如图所示，在该双星系 2.两颗星的向心力大小 统中，已知双星的质量分别为1、m2,且m:>2,各自的轨道半 相同，都是由两星之问的万有 径分别为r1、r2,相距L 引力提供的 3.两颗星的角速度相同， 周期相同，线速度之比等于轨 、 道半径之比. 4.两颗星绕共同的中心 在双星系统中，双星运动的周期和角速度都相等，对双星分 转动做圆周运动时总是位于 别列方程式有G=m禁n,G=m禁， ,4π 4 旋转中心的两侧，且三者在同 L 12 一条直线上 联立两式得m1n=12r2. 5.旋转中心离质量较大 因为1=的，所以m1n=2nr2,即m=i2边. 的星近，1t2三g:m1。 例5(2024·河南省实验中学高一期中)如图所示是一个双 6.宇宙空间存在大量这 星系统，两者之间相互围绕，同时蚕食着对方，使大质量星球的质 样的双星系统.如地一月系统 量进一步增大.若双星系统之间的距离不变，且总质量不变，则下 就是一个双星系统，只不过旋 列说法正确的是( . 转中心没有出地壳而已，在不 是很精确的计算中，可以认为 月球绕着地球的中心旅转。 A.双星系统的周期不变 B.大质量星球的线速度增大 95 国雕手细高中物理必修第二册)（浙江专用） C.小质量星球的向心加速度减小 D.双星系统之间的万有引力逐渐增大 解析设小质量星球的质量为m,大质量星球的质量为，双星 之间的万有引力提供两者概围周运动的向心力有心=m禁 42 2 =2.又L=+,解得=之=42，T= 4π 2r√Gm十)，故双星系统的周期不变，故A正确；大质量星 球的质量增大，则轨道半径减小，根据口罕，大质量星球的线递度 减小，故B错误：小质量星球的质量减小，则轨道半径增大，根据α= -()r小质量星球的向心加速度增大，故C错误；设小质量星 球转移给大质量星球的质量为k,万有引力F=Gm一)十) L四 而(m1一k)(m2十k)=m2十（一2）k一k2<m1m2,所以双星 系统之间的万有引力逐渐减小，故D错误。 [客案A 02关健能力提升。 题型1计算天体的质量和密度 “蝶城四号”绕月运行时Gm-m号，解得 2 例①(2024·山东聊城二中高三开学考 试)（多选）已知月球的半径为R,月球表面的重 GM gR ,联立解得U一√，故A错误，B正确： 力加速度为g,引力常量为G,“嫦娥四号”离月 球中心的距离为r,绕月周期为T.根据以上信 “暗娘四号”绕月运行时有Gm=m祭，解 息可求出( 得M=4xr C,由M=p·3R解得p 4 A“鳖镜网号“绕月运行的速度为震 GTR,故C错误，D正确。 3π B“嫦娥四号”绕月运行的速度为，√一 答案BD C月球的平均密度为系 题型2天体运动问题的分析与求解 例已(2024·江苏如阜高三开学考试)我 D月球的平均密度为票尺 国中继卫星“鹊桥”是运行于地月拉格朗日L 解物根据GY-mg,则有GM=Kg, 点的通信卫星，L2点位于地球和月球连线的延 长线上，“鹊桥”可以在几乎不消耗燃料的情况 96 第七章万有引力与宇宙航行么组 下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，如图所 B.若实验观测得到星体的半径为R,则星 示.已知“鹊桥”质量远小于月球质量，可忽略 体表面的重力加速度为g=GR 71 “鹊桥”对月球的影响，地球与月球的中心距离 C.星体做匀速圆周运动的周期为T= 为r,L2点与月球的中心距离为，月球绕地球 √2a 公转周期为T,引力常量为G.求： 2ma N(1+2w2)Gm D.每个星体做匀速圆周运动的向心力大 月球¤鹄桥 地球 小为6器 解析根据题意可知四星系统模型如图所 (1)“鹊桥”在Lg点的加速度大小a. 示，四边形顶点到对角线交点O的距离即为星体 (2)地球质量与月球质量的比值， 做圆周运动的半径r,根据图中几何关系可得r 解析(1)“鹊桥”在L2点的加速度a= Qsin45二a,故A正确，物体在星体表面所受的 R=某(+月 重力等于星体对其施加的万有引力，设物体质量 (2)设“鹊桥”质量为m,地球质量为M, 为m根据万有引力定律有mg=G,解得 月球质量为M. 对“鹊桥”有 g一C侵，故B正确根据题意可知，任意一个星体 GiMmGMmmo() 都受到其他三个星体的引力作用，根据对称性可 (+》 ( 知每个星体所受引力合力大小相等，且指向对 对月球有GMM=Ma 角线的交点O.对图中右上角星体受力分析，可 知其所受万有引力合力大小为下=Gm2十 韩效产兴 (2a)2 题型3多星系统问题 sn46X2=1+22Gr,里体微匀建 G 2a 例B(2024·湖北黄冈中学高一期末) 圆周运动，根据牛顿第二定律有F=m 4π T (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由 质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽 22ma心，联立两式可得T 2·42 72 略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的 V(1+2V2)Gm 质量均为m,四颗星稳定地分布在边长为a的 √2a 2na ，故C正确，D错误 正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正 V(1+2√2)Gm 方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量 色 为G.则下列说法正确的是() A.星体做匀速圆周运动的轨道半径为 2 2 答案ABC 97 重雕点手细高中物理必修第二册 划（浙江专用） 03核心素养聚焦一。 考向1天体质量的计算 由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的 例1(2021·全国 1994 1995 公转周期T。=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半 1996 乙卷)科学家对银河系 径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R的关 1997 1998 中心附近的恒星S2进 系是P=1O00R,地球绕太阳的向心力由太阳 ◆1099 行了多年的持续观测， 2000 对地球的引力提供，由向心力公式可知G R 给出1994年到2002年黑洲 y2001 间S2的位置如图所 =mRa=mR ,解得太阳的质量为M 2002 示.科学家认为S2的 4π2R GT ,同理，S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的 运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球 的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在 万有引力提供，由向心力公式可知GM,m' r2 超大质量黑洞.这项研究工作获得了2020年 诺贝尔物理学奖.若认为S2所受的作用力主 mm=r(停，解得黑洞的质量为M, 要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为 4π2 GT,综上可得M,=3.90X10M M,可以推测出该黑洞质量约为( A.4×101M B.4×105M 答案B C.4×10M D.4X101M 命题意图 考查天体质量的计算 解析可以近似把S2看成匀速圆周运动， 核心素养 科学思维 素养水平 水平3 98