第7章 第2节 万有引力定律-【重难点手册】2024-2025学年高中物理必修第二册（人教版2019 浙江专用）

第七章万有引力与宇宙航行么组 第2节万有引力定律 重点和难点 课标要求 1.知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范国. 重点：利用开普勒第三定律和向心力 2.理解万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆 公式推导太阳对行星的引力，猜想与严格求证的重要性」 理解万有引力定律 3.知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成 难点：天体运动的分析与计算，重力 了人类认识上的统一， 加速度的基本计算方法 4.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题.知道万有引力定律 公式中的物理意义，了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义， -01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1行星与太阳间的引力 (1)两个理想化模型 ①将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动. ②将天体看成质点，且质量集中在球心上 (2)太阳对行星的引力 设行星质量为m,速度为，行星到太阳的距离为r,则行星绕 太阳做匀速圆周运动的向心力F=m心 ① 目敲黑板 天文观测难以直接得到行星的速度，但可以得到行星的公 在研究太阳对行星的引 转周期了，它们之间的关系是一平。 ② 力时，k是一个与太阳质量有 由①②式得F=4rmr 关的常量，对于不同的行星， T2 ③ 行星质量虽不同，但4xk是 由开普勒第三定律得T=】 定值. ④ 由③④式得F=4x2k 2 结论：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星 和太阳间的距离的二次方成反比，即Fo四 (3)行星对太阳的引力 根据力的相互性，行星对太阳也应该有吸引力的作用.从这 79 国雕手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 个角度来说，太阳与行星的地位相同，行星对太阳的引力大小也 对点练 应与太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比， 太阳对地球有相当大的 即FcM为太阳的质量). 引力，地球对太阳也有引力作 用，为什么它们不靠在一起？ (4)由牛顿第三定律知，太阳对行星的引力F与行星对太阳 其原因是( 的引力F'大小相等，即Fc,写成等式就是F=G,式中G A.太阳对地球的引力与 地球对太阳的引力大小相等、 的大小与太阳、行星都没有关系.太阳与行星间引力的方向沿着 方向相反、互相平衡 二者中心的连线，指向施力物体。 B.太阳对地球的引力还 例①(2024·湖北宜昌爽陵中学高一期中)关于行星与太阳 不够大 间的引力，下列说法正确的是( C,不仅太阳对地球有引 A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力 力作用，太阳系中其他星球对 B.太阳对行星的引力大小与太阳的质量成正比，与行星的质 地球也有引力作用，这些力的 量无关 合力为0 C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力 D.太阳对地球的引力不 D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太 断玫变地球的运动方向，使得 阳距离的平方成反比 地球绕太阳运行 解析行星对太阳的引力和太阳对行星的引力都是万有引 [答案：D] 力，性质相同，故A正确；根据万有引力定律分析可知，行星对太 阳的引力与行星和太阳的质量的乘积成正比，与两者的质量都有 关，故B错误；由牛顿第三定律分析得到，太阳对行星的引力等于 行星对太阳的引力，故C错误；根据万有引力定律分析可知，行星 对太阳的引力与行星和太阳的质量的乘积成正比，与行星距太阳 距离的平方成反比，故D错误。 [答案A 知识点2月一地检验 1.牛顿的思考 (1)地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是 同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同 一种性质的力吗？ (2)日、地间引力与月、地间引力以及物体与地球间的引力是 同一种力，其大小都可由公式F=计算。 2.月一地检验 (1)根据上述引力公式，对于“月一地系统”和地面上的物体 分别可得到GMm1一m14H,GM=ma=ag,两式相 T地川 地 80 第七章万有引力与宇宙航行么组 比，得月球绕地球运动的向心加速度月=（维）g.因为地球和 国问题探究 厂地月 如图所示，行星所做的匀 月球之间的距离r地月约为地球半径r地的60倍，所以a月= 速国周运动与我们平常生活 ()g=380×88m/=27x10m/3. 中见到的匀速圆周运动是否 遵循同样的动力学规律？如 (2)用观测的结果加以对照.根据天文观测，月球绕地球运动 果是，分析行星的受力情况 的周期T=27.3d,地球中心与月球中心间的距离r地月=3.8× 10°m,因此，从运动学公式可直接得到月球运动的向心加速度 a月=4 4π 产1=(27.3X86400)×3.8×10m/=2.7× 分析：行星所做的匀速圆 周运动与我们平常生活中见 10-3m/s2. 到的匀速圆周运动遵循同样 3.检验的结果 的动力学规律，合力提供向心 地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行 力，即F6=m =mo'r 星间的引力，是同一种性质的力，都遵循相同的规律。 r 例2(2024·河北石家庄一中高一期中)为了验证地面上物 加祭，行星微匀建调周运动 体的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力， 所需要的向心力由太阳对它 同样遵从平方反比规律的猜想，牛顿做了著名的“月一地检验”， 的引力提供. 并把引力规律做了合理的外推，完成了物理学的第一次大统一， 已知月球绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍.下列说 法中正确的是(). A.物体在月球轨道上运动的加速度大小大约是在地面附近 下落时的加速度大小的 B.物体在月球表面下落时的加速度大小是在地球表面下落 时的加速度大小的 C.月球绕地球运行的周期是近地卫星绕地球运行周期的60倍 D.月球绕地球运行的线速度大小是近地卫星绕地球运行线 速度大小的，高 解析由GM=ma可知a=G,所以加速度大小之比为 M 2 1:60,故A正确；由于不知道月球半径及质量，故B错误；由开 普勒第三定律有(=（份月）八，可知云=（份）=60t,故C错误： 由G=m号可知-月-√故D错说 答案A 81 国滩食手细高中物理必修第二册J(浙江专用) 知识点3万有引力定律 1.内容 冒敲黑板 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连 任何物体间的万有引力 线上，引力的大小与物体的质量m1和2的乘积成正比，与它们 都是同种性质的力，任何有质 之间距离r的二次方成反比 量的物体间都存在万有引力. 2.公式 一般情况下，质量较小的物体 之间的万有引力忽略不计，只 F=Gmime r2 考虑天体间、天体对附近或表 3.万有引力定律的适用条件 面的物体的万有引力 (1)严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用. (2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用该定律 来计算，其中r是两个球体球心间的距离. 2划重点 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，该定律也 对万有引力公式的几点说明 适用，其中r为球心到质点间的距离 1.公式中质量的单位用 (4)当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可 千克(kg),距离的单位用米 (m),力的单位用牛(N),G是 看成质点，直接使用公式计算 比例系数，叫作引力常量 4,对万有引力定律的理解 2.自然界中一般物体间 “四性 内容 的万有引力很小（远小于地球 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何 普遍性 对物体的引力和物体间的其 两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 他作用力)，因而可以忽略不 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总 相互性 计.但考虑天体运动和人造卫 是大小相等、方向相反、作用在两个物体上 星运动的问题时必须考虑万 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力 有引力，这种情况下万有引力 宏观性比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或 非常大，且正是这个万有引力 天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 提供了天体和卫星微匀速圆 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距 周运动所需的向心力 特殊性离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体 3.不能将公式中的r做 无关 纯数学处理而违背物理事实， 5.万有引力定律建立的重要意义 如认为r趋于0时，引力F趋 万有引力定律是17世纪自然科学最伟大的成果之一，它把 于无穷大，这是错误的，因为 地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，对以后物 当物体间的距离r趋于0时， 理学和天文学的发展有深远的影响，而且它第一次揭示了自然界 物体不可以被看成质点，公式 中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了 下=Gm四不再适用。 r 一座里程碑。 例③(2024·安徽合肥一六八中学高一期中)金星是太阳系 的八大行星中的第二颗行星，在中国古代称为太白、长庚或大嚣。 82 第七章万有引力与宇宙航行收9 如果金星的公转周期为T,自转周期为T,半径为R,金星到太阳 的距离为，引力常量为G,则( A金星质量为灯 E B金星质量为 GTE C太阳质量为： GT? D.太阳质量为4x GT 解析设金星质量为m,太阳质量为M,根据万有引力提供向 心力有G=mr祭，解得M=茶，故C正确，D错误：根据 2 行星绕恒星运行的公转周期、轨道半径可以计算中心天体的质 量，而不能计算行星质量可知，根据题中条件无法求出金星的质 量，故AB错误. 答案C 知识点4引力常量 1.引力常量G的说明 (1)测量引力常量的理论公式：G-,单位为N·m/kg. 刀划重点 (2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的 引力常量测量的意义 质点相距1m时的相互吸引力. 1.卡文迪什利用扭秤装 置通过改变小球的质量和距 (3)由于引力常量G很小，我们日常接触的物体的质量又不 离，证实了万有引力的存在及 是很大，所以我们很难觉察到它们之间的引力.例如，两个质量各 万有引力定律的正确性. 为50kg的人相距1m时，他们相互间的引力相当于几粒尘埃的 2.引力常量的确定使万有 重力.但是，天体之间存在巨大的引力，太阳对地球的引力甚至可 引力定律能够进行定量的计 以将直径为几千米的钢柱拉断. 算，显示出真正的实用价值 3.卡文迪什扭拜实脸是物 2.引力常量的测量 理学上非常著名和重要的实 (1)卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生 险，扭秤实验巧妙地利用等效 力矩，如图所示，此力矩与金属丝力矩平衡.万有引力力矩使T形 法合理地将微小量进行放大， 架转动，T形架转动时带动平面镜也发生转动，进而使在镜面上 开创了测量弱力的新时代 反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的 距离，进而计算偏转角度，利用金属丝扭转力矩和扭转角度的关 系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力，利用F= G,即G= 一，比较准确地得出了G的数值.目前推荐的标 m 准值为G=6.67408×101N·m/kg,通常取G=6.67× 10-11N·m/kg2. 83 重避台手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 对点练 (多选)关于引力常量G, 下列说法正确的是( A在国际单位制中，G的 (2)卡文迪什扭秤实验利用了放大法. 单位是N·kg/m 例4(2024·山东菏泽一中高一期中)物理学领域中具有普 B在国际单位制中，G的 数位等于两个质量均为1kg 适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是 的质点相距1m时万有引力 其中之一.1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确 的大小 地测量出了引力常量.下列说法错误的是( C,计算宇航员在不同星 A.引力常量不易测量的一个重要 余属丝 球表面受到的万有引力，G的 原因就是地面上普通物体间的引力太 M 取值是不一样的 微小 D,引力常量G是由卡文 B.月球上的引力常量等于地球上 迪什利用扭秤实验测出来的 的引力常量 [答案：BD] C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度 D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物 体间距离的平方成正比 解析地面上普通物体间的引力太微小，这个力很难测量，故 不易通过万有引力定律公式直接计算G,A正确：引力常量是一 个常数，与物体所在的位置及物体的质量、物体间的距离无关，月 球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正确，D错误；地面 上普通物体间的引力太微小，扭矩引起的形变很小，该形变不易被 测量，而题图所示装置利用放大原理，提高了测量精度，故C正确 答秦D 重难拓展 重难点 万有引力的计算 1在应用F=Gm心进行计算时，需要注意： (1)两物体可视为质点，或者两物体是匀质球（可视为在球心 处的质点). (2)r是指两质点之间的距离。 2.当物体间的作用力不符合万有引力的适用条件时，可采用 以下方法： (1)如果能填补符合万有引力使用条件的情况，可以采用填 补法进行等效计算。 84 第七章万有引力与宇宙航行收组 (2)若不能填补，则可以使用微元法 把物体分成若干部 记方法 分，求出每部分之间的万有引力，然后求它们的合力.这种方法是 割补法的基本思路 “分割求和”的思想方法，但此处的“和”是矢量和 1.找到原来物体所受的 3.万有引力定律的两个重要推论 万有引力、割去部分所受的万 推论一：在匀质球层的空腔内的任意位置处，质点受到球壳 有引力、剩余部分所受的万有 引力之间的关系。 万有引力的合力为0，即∑F=0. 2.若割去的部分为规则 推论二：在匀质球体内部距离球心？处，质点受到的万有引 球体，剩余部分不再为球体时 力等于半径为r的球体对质点的引力，即F=GMm 适合应用制补法：若所割去部 r2 分不是规则球体，则不适合应 证明推论一，可采用微元法思想，把球壳分成若干部分，求出 用割补法 每部分对质点的引力，然后再求F合，证明F合=0. 证明如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度可以 不计的匀质球壳组成.任取一个球壳，设球壳内有一质量为m的 划重点 质点，某时刻该质点在P(任意位置)处，以质点(m)所在位置P 证明推论二，利用割补法 为顶点，作两个底面积足够小的对顶圆锥.这时，两圆锥底面不仅 的思想，把匀质球体看成一个 可以视为平面，还可以视为质点， 半径为r的球和厚度为R一 △m1=xR0 的球壳两个部分 证明如图所示，设匀质 球体的质量为M,半径为R: 其内部半径为·处的匀质球 △m2=πRp 体的质量为M',与球心相距r 处的质点m受到的万有引力 设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为r1、2,两 可以视为厚度为R一厂的匀质 圆锥底面的半径分别为R1,R2,底面密度均为®.根据万有引力定 球层和半径为厂的匀质球体 律，两圆锥底面对质点的引力可以表示为 的引力的合力.由于匀质球层 △F,=G△mm-=GRm 对质点的引力为0，所以质点 ri ri 受到的万有引力就等于半径 △F2=G△mm=GRm 为r的匀质球体的引力，则 r F'=GM'm 根据相似三角形对应边成比例，有尽_B r广1r2 M 则两个万有引为之比为公架-1 R 因为两引力方向相反，所以引力的合力△F,十△F2=0.依此 M 类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为0，整个球壳 对质点的合引力为0，故由球壳组成的球层对质点的合引力也为 0,即∑F=0. 85 国避令手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 例⑤(2024·江苏盐城中学高一期中)如图所示，阴影区域 是质量为M、半径为R的匀质大圆球挖去一个小圆球后的剩余部 分，所挖去的小圆球的球心0和大圆球球心O间的距离是求球 体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引 力（已知引力常量为G,质点P在两球球心O连线的延长线上）. -2R 照面根据m=pV=p·音，龙去部分的小国球的半径是 大圆球半径的一半，则质量是大圆球质量的日，所以小圆球的质 量M=日M.挖之前，大圆球对质点P的万有引力F=G Mm 2R)· 小圆球对质点P的万有引力F,=GMm GMm /5R)2 50R2· 2 则剩余部分对质点P的引力大小F=F,一F2= 23GMm 100R2· 重难点2重力与万有引力的区别和联系 刀划重点 1.万有引力与重力 我们知道地球和物体之间的吸引力也是 1.由mg=G0,化简得 R 万有引力，而重力是由于地球的吸引而产生 gR=GM.gR=GM通常叫 的，那么它们究竞有什么关系呢？由于地球在 作黄金代换式，适用于任何天 不停地自转，地球上的物体随地球一起绕地轴 体，主要用于某星体的质量M 做匀速圆周运动.地球表面上的物体所受的万 未知的情况下，用该星体的半 径R和表面的“重力加速度 有引力F可以分解成物体随地球自转做匀 g”代换M. 速圆周运动的向心力F向（方向指向地轴的某一点）和所受的重力 2.重力是万有引力的一 mg其中，=6，Pa=m,重力只是万有引力的一个分 个分力，故受力分析时不能重 复分析，即分析万有引力时就 力.万有引力F、重力mg和物体由于自转所需要的向心力F向， 不必再分析重力 三个力的关系如图所示. 3.对相对于地面的运动， (1)物体在一般位置（不在赤道和两极）时，F向=mw,F向、 通常只分析重力：对随地球的 F引、mg不在一条直线上 自转运动或卫星问题只分析 (2)当物体在赤道上时，F向达到最大值Fmx,且F向mx= 万有引力. 86 第七章万有引力与宇宙航行收9 mR,此时重力有最小值，为F一Fa=G加-mR. R (3)当物体在两极时，F向=0，mg=Fg,重力达到最大值，最 大值为G,可见只有在两极时，重力等于万有引力，在其他位 置时重力均小于万有引力： 园向题探究 2.忽略地球自转影响，地球表面的重力等于万有引力 物体随地球转动时，所需向心力F=wr很小，在一般计算 赤道和两极上的物体受 到的万有引力与重力分别有 中，可认为万有引力等于重力：即G=g,g一，因此g值 R 什么关系？ 是由星球质量和物体所处位置决定的，与物体质量无关。 分析：在赤道上的物体受 刷⑥(2024·云南昆明实验中学高一阶段练习)已知地球的质 到地球的万有引力一方面提 量约为M=6.0×10kg,地球半径为R=6370km,地球表面的重力 供物体的重力，另一方而提供 物体随着地球自转的向心力， 加速度g=9.8m/s2,引力常量G=6.67×101N·m/kg.求： (1)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的重力G是多少？ 即=g十m祭r在两 r (2)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的万有引力是 极上的物体不随地球自转，故 多少（保留一位小数）？ 万有引力提供重力，即Gm (3)比较同一个物体在地球表面所受的重力和万有引力，说 明了什么？ =mg. 解析(1)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的重力为 G=mg=98 N. (2)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的万有引力为 F-GMm-98.6 N. R (3)比较同一个物体在地球表面所受的重力和万有引力，说 明了万有引力比重力略大一些，万有引力的一个分力提供了物体 随地球做圆周运动所需的向心力，另一个分力才是物体所受的重力. 重难点3地球重力加速度g及其变化 1.地球表面的重力加速度 在地球表面处万有引力近似等于重力，则=mg,所以 g一(R为地球半径.M为地球质量)， 2.某高度处的重力加速度 设离地球表面高A处的重力加速度为g,则分=， R 所以g=)=尔士b),可见重力加速度随高度的增加而 减小 87 国滩白手细高中物理必修第二册)（浙江专用） 3.某深度处的重力加速度 P拓视野 设商地球表面深1处的重力加速度为g,则》=。 假设地球是一个半径为 R,质量分布均匀的实心球体， 所以g ① 球心为O,距球心O为r处的 重力加速度g随r变化分布 注意，因为在匀质球的空腔内任意位置处，质点所受球的万 如图所示 有引力的合力为0，所以M为刨去深度d的球壳质量后地球剩下 年g 的质量，且有 M-(RR4)M. ② R GM g=R2 ③ 其表达式为： 联立①②③式得g_Rg,可见重力加速度随深度的增加 G g= R(0≤rR), 而减小 g-g≥R. 例7(2024·江西师大附中高一期未)引力波的形成与中子 地球表面处的重力加速 星有关.通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的 度城大：共值为8一兴 微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引 力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降 现有中子星（可视为均匀球体），它的自转周期为T。时恰能维持 星体的稳定（不因自转而瓦解），则当中子星的自转周期增为T 2T。时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力 的比值为(). A.1:2 B.2:1C.3:4 D.4:3 解析设位于“赤道”处的物体质量为m,物体受到的中子星 的万有引力恰好提供向心力，这时中子星恰不瓦解，由万有引力 定律结合牛领第二定律得G=加答R当中子星的自转周期增 为T=2T时，“赤道”处的物体所需的向心力为F%=m(2R, 则其在~素道”所变的重力为G=G-F=m系R,物体在 中子星“两教所会重力为G=60=加答R,所以物体在中子 星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为4：3，故D正 确，ABC错误. 答索D 88