专题12 几何证明基础题分类训练（8种类型60道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题12 几何证明基础题分类训练（8种类型60道） 目录 【题型1 平移模型】 1 【题型2 轴对称模型】 2 【题型3 旋转模型】 3 【题型4 角平分线模型】 4 【题型5 三垂直模型】 6 【题型6 一线三等角模型】 10 【题型7 手拉手模型】 12 【题型8 “8”字模型】 16 【题型1 平移模型】 1．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 2．如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 3．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    4．如图，C是的中点，，．求证：． 5．已知：如图，，，．求证：． 【题型2 轴对称模型】 6．如图，、、、四点共线，且，，，求证：． 7．如图，已知，且，，求证：． 8．A，B分别是线段上的点，．求证． 9．如图，已知，求证：． 10．如图，， ，垂直平分．求证：．（提示：连接、） 【题型3 旋转模型】 11．如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 12．如图，已知点A在上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 13．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，，，．求证：． 14．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)求证：． 15．如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【题型4 角平分线模型】 16．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 18．如图，在 中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 20．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若的面积为，，，求的长． 21．如图，交于点O，．求证：． 22．如图，中，平分，平分，于点E， 于点F． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 23．如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 24．如图，在中，平分，，于点，于点，求证：．    25．如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 【题型5 三垂直模型】 26．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 27．如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 28．如图，中，，点P在上，，，垂足分别为D，E，已知． (1)试说明； (2)求BE多长？ 29．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 30．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 31．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，． (1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明． (2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由； 32．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 33．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 34．在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 35．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，且AD=CE； （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC． （2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明． 【题型6 一线三等角模型】 36．如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 37．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 38．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 39．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 40．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【题型7 手拉手模型】 41．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 42．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 43．如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 44．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 45．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 46．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 47．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 48．在中，且． (1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由； (2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积． 49．如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求∠BOD的度数； (3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？　 　（填“改变”或“不改变”） 50．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．    (1)求证：AC=BD； (2)求证：∠APB＝∠AEB． 【题型8 “8”字模型】 51．如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 52．如图1，和中，，，，连、． (1)求证：； (2)如图2，延长交于F，连，求的度数． 53．如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点G使，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 54．如图所示，在中，，，，，试判断与的关系，并说明理由．    55．如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H (1)填空： (2)求证：； (3)猜想线段与的数量关系，并说明理由． 56．如图，为的高，为上的一点，交于点，且有，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 57．如图，在中，，，延长至点D，使，连接，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 58．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 59．如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 60．在中，，，点D在射线上运动，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°，得到，连接． (1)观察发现：当D在线段上时（不与点B重合），如图1所示，请你直接写出线段和的数量关系和位置关系是___________，___________； (2)猜想论证：当D在线段的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断； (3)拓展延伸：若，，请直接写出线段的长． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 几何证明基础题分类训练（8种类型60道） 目录 【题型1 平移模型】 1 【题型2 轴对称模型】 3 【题型3 旋转模型】 6 【题型4 角平分线模型】 10 【题型5 三垂直模型】 18 【题型6 一线三等角模型】 32 【题型7 手拉手模型】 41 【题型8 “8”字模型】 57 【题型1 平移模型】 1．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质．先根据，利用两直线平行，同位角相等，可得，再结合，，利用可证，从而有． 【详解】证明：∵， ， 又，， ∴在和中， ， ∴， ． 2．如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，根据，得到，再结合，得到，即可得到答案． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 3．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，C是的中点，，．求证：． 【答案】证明详见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵C是的中点， ∴ 在和中， ， ∴． 5．已知：如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：， ， .                      ， ，                                                          又，                                                            ． 【题型2 轴对称模型】 6．如图，、、、四点共线，且，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由，可得，结合，，可证明，即可解答． 【详解】证明： 、、、四点共线，且， ，即， ，， 在和中， ， ， ． 7．如图，已知，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要根据证明，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．A，B分别是线段上的点，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直接利用证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 9．如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴． 10．如图，， ，垂直平分．求证：．（提示：连接、） 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定和线段垂直平分线的性质，解题的关键在于连接、构造三角形全等，再利用全等三角形性质即可解题． 【详解】证明：连接、，如图所示：    是的垂直平分线， ， 在与中， ， ． 【题型3 旋转模型】 11．如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ． 12．如图，已知点A在上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ． 13．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定，先由两直线平行，内错角相等得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 14．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形的判定定理和性质定理，等式的性质等知识，正确找到对应边和角是解题的关键． （1）由推导出，即可证明结论； （2）由得，即可证得，得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识． （1）由全等三角形的性质，通过可证明； （2）结合（1）中的结论得，根据平行线的性质可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即：， ∵在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【题型4 角平分线模型】 16．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 18．如图，在 中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质 （1）连接．根据等腰三角形三线合一的特性，可知也是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，那么； （2）由可求得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求得、的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ，， ∴点是边上的中点， 平分， 、分别垂直、于点和． ； （2）解：，， ， 于，于． ， ， ． 19．如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （1）作于，根据角平分线的性质证明结论； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：如图所示，作于， 、分别为的两个外角平分线，，，， ，， ； （2）证明：由（1）， ∵，， 点在的平分线上． 20．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若的面积为，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再由“”证，得，然后再结合即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∵， 是的垂直平分线； （2）解：结合图形，得， ， ，， ， 解得：， 即的长为6． 21．如图，交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分享】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定．熟练掌握角平分线的判定是解题的关键．证明，则，由，可知平分，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 22．如图，中，平分，平分，于点E， 于点F． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了角平分线的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据角平分线的性质得出，再利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵，， ， ∴． （2）∵平分，，，， ∴． ∵， ∴． 23．如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，由，可知平分，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 24．如图，在中，平分，，于点，于点，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等、全等三角形的证明及性质、等腰三角形的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据题意还知道，，从而得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】平分，于点，于点， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出， 又，， ∴， ， ． 25．如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质．根据角平分线的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定，即可求证． 【详解】证明：过点G作于点H，于点M，于点N， ∵分别平分和， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 【题型5 三垂直模型】 26．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 27．如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）先证得，，根据证，推出，即可； （2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到； （3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 28．如图，中，，点P在上，，，垂足分别为D，E，已知． (1)试说明； (2)求BE多长？ 【答案】(1)见解析， (2)2． 【分析】（1）根据已知易得，再由，，利用同角的余角相等易得，进而证明； （2）由全等三角形性质可知． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）由（1）得， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键． 29．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 30．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)CE＝BE且CE⊥BE (2)成立，理由详见解析 【分析】（1）根据已知条件即可证明，然后根据全等三角形的性质即可证明CE与BE的关系为垂直且相等； （2）根据已知条件证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到结论； 【详解】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． （2）解：（1）中结论成立，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握并熟练使用相关知识，并注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 31．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，． (1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明． (2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由； 【答案】(1)，理由见解析； (2)改变，，理由见解析． 【分析】（）由“”可证，可得，，即可求解； （）由“”可证，根据全等三角形的性质得到，，由线段的和差关系可求解； 本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）改变，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即． 32．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解： ， . 又，， . 33．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． （3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 34．在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 35．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，且AD=CE； （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC． （2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD+BE；见解析；（3）AD=DE+BE 【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，再利用HL证明Rt△ADC≌Rt△CEB，得到∠DAC=∠BCE，再根据余角的定义得到∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°，可得结论； （2）根据Rt△ADC≌Rt△CEB得到DC=BE，从而利用等量代换得到DE=AD+BE； （3）同理可证：Rt△ADC≌Rt△CEB，利用等量代换可得AD=DE+BE． 【详解】解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， 在Rt△ADC和Rt△CEB中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB（HL）， ∴∠DAC=∠BCE， ∵∠ADC=90°，即∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°， ∴AC⊥BC； （2）DE=AD+BE， 理由如下： ∵Rt△ADC≌Rt△CEB， ∴DC=BE， ∵AD=CE， ∴DE=DC+CE=AD+BE； （3）AD=DE+BE， 同理可证：Rt△ADC≌Rt△CEB（HL）， ∴CD=BE， ∴AD=CE=DE+CD=DE+BE， ∴即AD=DE+BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边、对应角相等． 【题型6 一线三等角模型】 36．如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证． （2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明． 【详解】（1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 37．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 38．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 39．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析 【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出结论; （2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出结论． 【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF， 证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°， ∵∠BCA = 90°, ∴∠BCE＋∠ACF= 90°, ∵∠BCE＋∠CBE =90°， ∴∠ACF = ∠CBE， ∵AC = BC, ∴△BCE≌△CAF, ∴BE =CF,CE = AF, ∵CF =CE＋EF, ∴EF= CF -CE=BE-AF； ②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180° 当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立; 理由是：如题图2， ∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°, 又∵ ∴∠CBE= ∠ACF, 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS), ∴BE =CF,CE = AF， ∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ； （2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下 ∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA, 又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° , ∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF ∴∠EBC = ∠ACF， 在△BEC和△CFA中 ∴△ABE≌△CFA(AAS) ∴AF = CE，BE = CF ∵EF= CE+CF, ∴EF= BE＋AF． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键． 40．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 【详解】（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 【题型7 手拉手模型】 41．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 42．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键．根据条件证即可求解． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质及角的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， 在与中， ． （2），理由如下： 设交于点O， 由（1）得， ， ， ， ． 43．如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)不发生变化，见解析 (3)①，见解析；②能，60° 【分析】（1）延长交于点，证明，得到，，推出，即可； （2）证明，得到，，进一步推出，即可； （3）①证明即可；②证明，得到，，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， 理由如下：延长交于点． ， ． 在 和 中， ， ，．   ，   ． ， ， ， ． （2）不发生变化． 理由如下：  ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． （3）① ，理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ． ②能． 与 所成的夹角的度数为  ． 理由如下： 和 是等边三角形， ，，， ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， 即 与 所成的夹角的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 44．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 45．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 46．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 47．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 48．在中，且． (1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由； (2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)32 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后利用“角边角”证明与全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）先根据证明，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后证明，再根据三角形内角和定理可得，从而证明； （3）把四边形的面积分成与两个三角形，然后根据三角形的面积公式列式整理为四边形的面积等于，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴ ， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，．理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，以及旋转变换的性质，准确识图，找出三角形全等的条件是解题的关键． 49．如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求∠BOD的度数； (3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？　 　（填“改变”或“不改变”） 【答案】(1)证明见解析 (2)∠BOD＝120° (3)不改变，理由见解析 【分析】（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE即可； （2）由全等三角形的性质得∠ADC＝∠BEC，再由三角形的外角性质得∠AOB＝60°，即可求解； （3）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根据三角形外角求出∠AOE=120°，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°，BC＝AC，EC＝CD， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中 ∵， ∴△BCE≌△ACD（SAS）． （2）解：∵△BCE≌△ACD， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC， ∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°， ∵∠AOB+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝120°． （3）解：不改变，理由如下： 同（1）得：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠AOE＝∠ABO+∠OAB ＝∠ABO+∠DAC+∠BAC ＝∠ABO+∠EBC+∠BAC ＝∠ABC+∠BAC ＝120° ∴∠BOD＝∠AOE＝120°， 即∠BOD的度数不改变． 故答案为：不改变． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，对顶角性质，证明△ACD≌△BCE是解题的关键． 50．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．    (1)求证：AC=BD； (2)求证：∠APB＝∠AEB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证∠BED=∠AEC，再利用SAS证明三角形全等即可； （2）由全等可得∠EBD=∠EAC，根据三角形内角和和∠BOE=∠AOP即可证明． 【详解】（1）证明：∵∠AEB=∠DEC， ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED， ∴∠BED=∠AEC， 在△BED与△AEC中， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴AC=BD． （2）证明∵△BED≌△AEC， ∴∠EBD=∠EAC， ∵ ∠EBD+∠BOE+∠AEB=∠AOP+∠APB+∠EAC=180°， 又∵∠BOE=∠AOP， ∴∠AEB=∠APB． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS，ASA，SAS，AAS和HL，熟练掌握判定方法是解题的关键． 【题型8 “8”字模型】 51．如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用即可得证； （2）与垂直，理由为：根据（1）的结论得到，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2），理由为： 由（1）得 ∴， 又， ∴， 则． 52．如图1，和中，，，，连、． (1)求证：； (2)如图2，延长交于F，连，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）根据得到，证明即可得到答案； （2）过A作，交的延长线于M，于N，根据，得到，根据得到，从而得到，即可得到即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴； （2）解：设交于O，过A作，交的延长线于M，于N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 53．如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点G使，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的高的概念得到，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，得到； 【详解】（1）证明：，分别是，边上的高， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； 54．如图所示，在中，，，，，试判断与的关系，并说明理由．    【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，先证明，得出，，再由三角形内角和定理即可判断出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 55．如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H (1)填空： (2)求证：； (3)猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理即可证明≌； （3）由全等三角形的性质得到，导角证明，进而证明，即可证明． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 56．如图，为的高，为上的一点，交于点，且有，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 57．如图，在中，，，延长至点D，使，连接，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 58．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据即可证明； （2）延长交于点F，交于点N，由全等三角形的性质得，由可证，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）延长交于点F，交于点N ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 59．如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，又由，即可证明； （2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论； （3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过A分别做，垂足分别为点M，点N， 由（1）知， ∴， 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴ ∴ 60．在中，，，点D在射线上运动，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°，得到，连接． (1)观察发现：当D在线段上时（不与点B重合），如图1所示，请你直接写出线段和的数量关系和位置关系是___________，___________； (2)猜想论证：当D在线段的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断； (3)拓展延伸：若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 (3)的长为：或； 【分析】（1）先证明，，再证明，再进一步可得答案； （2）先证明，，再证明，再进一步可得答案； （3）结合（1）（2）的结论可得答案． 【详解】（1）解：结论：，．理由如下： 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论，成立，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当在线段上时，结合（1）可得： ， ∵， ∴， 当在线段的延长线上时，结合（2）可得： ， ∵， ∴， 综上：的长为：或； 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$