专题4-1 幂函数，指数与指数函数13类题型总结- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题4-1 幂函数与指数函数13类题型总结 总览 题型解读 【题型1】分数型指数幂的取值范围问题 【题型2】二重根式的化简 【题型3】求函数解析式 【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值 【题型5】 大致图象的判断及利用图形性质求参数范围 【题型6】指数幂比大小 【题型7】指数幂结合基本不等式求最值 【题型8】指数函数的实际应用 【题型9】指数型函数的奇偶函数模型 【题型10】指数型函数的值域问题 【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题 【题型12】指数型复合函数单调性 【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】分数型指数幂的取值范围问题 一、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 二、分数指数幂的意义 （1）分数指数幂的意义 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 1． 函数的定义域为_________. 【巩固练习1】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数的定义域为______. 【题型2】二重根式的化简 二重根式化简，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现! ，要化简，则 2． 求值_______． 3． 化简________. 【巩固练习1】化简（ ） A． B． C．2 D． 【巩固练习2】化简下列根式： （1） （2） （3） 【巩固练习3】化简=_________. 【题型3】求函数解析式 一、指数函数图象都经过点，指数型函数恒过定点． 二、所有的幂函数图象都过点(1,1) 三、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. 4． 已知是指数函数，若，则___________. 5． 已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式 6． 知幂函数在为减函数，则___________. 7． 若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【巩固练习2】如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【巩固练习3】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值 【方法技巧】 （1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解. （2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母． 实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 8． 已知，则______． 9． （1）化简： （2）已知，分别求的值. 10． 化简或求值： （1）； （2）； （3）； （4）（且）. 11． 已知，，且，则______． 【巩固练习1】已知＝5，则的值为_________． 【巩固练习2】已知，求下列各式的值. （1）； （2）； （3）. 【巩固练习3】若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【巩固练习5】已知，求： (1) (2). 【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围 一、幂函数 （1）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，的图象(如图)． 幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增（重要）； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 二、指数函数的图象与性质 图象 第1象限底大图高 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 12． 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 13． 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 14． 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15． 若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（       ） A．， B．， C．， D．， 16． 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 17． （多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ） A． B． C．； D．． 【巩固练习2】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【巩固练习3】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习4】（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（多选）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型6】指数幂比大小 比较指数幂的大小 常用方法有： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 18． 若，则a､b､c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 19． 设 ，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20． 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21． 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 22． 已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 23． 设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】定义在R上的偶函数对都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知偶函数在上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型7】指数幂结合基本不等式求最值 指数幂结合基本不等式求最值是一类常见的数学问题，通常涉及到指数函数、幂函数以及基本不等式的应用，通过变形和转换，将指数幂表达式转化为可应用不等式的形式，从而求得表达式的最大值或最小值。 24． 已知，，若，则的最小值为 25． （23-24高一上·浙江温州·期中）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．27 B．81 C．6 D．9 26． 已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 【巩固练习1】（23-24高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 【巩固练习2】已知，求的最小值为（    ） A． B．6 C． D．12 【巩固练习3】已知正数满足，则的最小值为 . 模块二 中档题型 【题型8】指数函数的实际应用 1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变等。 2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。 指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。 27． 人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 28． 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 29． 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍 30． 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（    ） A．0.015克 B．克 C．0.925克 D．克 31． 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 32． 友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 33． 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（    ）（参考数据） A．0.72 B．0.70 C．0.68 D．0.66 【巩固练习1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（    ） A．150 B．128 C．122 D．61 【巩固练习3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【巩固练习4】（重庆·高一重庆巴蜀中学校考）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【巩固练习5】（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为________ 【题型9】指数型函数的奇偶函数模型 一、常见奇偶性函数模型 奇函数：函数①：或函数． 函数②：． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：函数①． 函数②：类型的一切函数． ③若为奇函数，则为偶函数 二、运算函数的奇偶性规律： 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；（加减要同性） 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.（同性为偶，异性为奇） 三、复合函数奇偶性 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 34． 已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值. 35． 函数为偶函数，则实数的值为 . 36． 函数的图象大致为（    ） A． B．  C．  D．   37． 已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【巩固练习1】已知函数是定义在上的奇函数，求实数的值. 【巩固练习2】函数的部分图像大致为（    ） A． B． C．  D．   【巩固练习3】已知定义域为的函数是奇函数，求，的值. 【巩固练习4】若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【题型10】指数型函数的值域问题 解决步骤 第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数． 第二步：由自变量的范围求内层函数的值域． 第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域． 38． 函数，的值域是( ) A． B． C． D． 39． 已知函数，，则函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 40． 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习1】函数在上的值域为___________. 【巩固练习2】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题 简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解 2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解 41． 若x满足不等式，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 42． 已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 . 43． 已知函数，则不等式的解集为______． 44． 若，则实数a的取值范围是（ ） A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，] 45． 若 ，求a的取值范围. 46． 已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【巩固练习2】不等式的解集是______． 【巩固练习3】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习6】不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【题型12】指数型复合函数单调性 判断复合函数单调性的原则是“同增异减”. 解决步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：将函数分解成内层函数和外层函数． 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性． 第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性． 47． 函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 48． 函数的单调递增区间为________ 49． 函数的单调递增区间是_________． 50． 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______． 51． 设函数在区间单增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52． 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】函数的单调递增区间是_________． 【巩固练习4】设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（重庆巴蜀中学高一校考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【巩固练习7】（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解； （2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决． 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 53． 已知函数是R上的奇函数. (1)求m的值；(2)比较与0的大小，并说明理由. 54． 已知函数为奇函数. (1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； (2)求不等式的解集. 55． 已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 56． 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57． 已知函数，则的解集为 ． 58． 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【巩固练习1】函数为奇函数. (1)求的值;(2)判断的增减性，并证明. 【巩固练习2】已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式；(2)求当时，函数的值域． 【巩固练习3】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值；(2)若存在，使成立，求的取值范围． 【巩固练习4】已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（多选）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题4-1 幂函数与指数函数13类题型总结 总览 题型解读 【题型1】分数型指数幂的取值范围问题 【题型2】二重根式的化简 【题型3】求函数解析式 【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值 【题型5】 大致图象的判断及利用图形性质求参数范围 【题型6】指数幂比大小 【题型7】指数幂结合基本不等式求最值 【题型8】指数函数的实际应用 【题型9】指数型函数的奇偶函数模型 【题型10】指数型函数的值域问题 【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题 【题型12】指数型复合函数单调性 【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】分数型指数幂的取值范围问题 一、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 二、分数指数幂的意义 （1）分数指数幂的意义 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 1． 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】，解得 【巩固练习1】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且，因此的定义域是．故选：B. 【巩固练习2】函数的定义域为______. 【答案】 【解析】由可知其定义域为. 【题型2】二重根式的化简 二重根式化简，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现! ，要化简，则 2． 求值_______． 【答案】4 【解析】. 3． 化简________. 【答案】6 【解析】. 【巩固练习1】化简（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】，故选：D． 【巩固练习2】化简下列根式： （1） （2） （3） 【答案】（1），（2），（3） 【详解】（1） （2） （3） 【巩固练习3】化简=_________. 【答案】 【解析】= 因为，所以.所以原式 【题型3】求函数解析式 一、指数函数图象都经过点，指数型函数恒过定点． 二、所有的幂函数图象都过点(1,1) 三、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. 4． 已知是指数函数，若，则___________. 【答案】 【解析】设， 因为，即，解得， 所以，即 5． 已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式 【答案】 【解析】在上增函数，，解得 又,， 由为偶函数知，； 6． 知幂函数在为减函数，则___________. 【答案】 【解析】为幂函数， 所以，解得：或. 当时，为R上的增函数； 当时，为R上的减函数. 所以，所以. 7． 若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【详解】由，用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得，， 所以，，则． 【巩固练习1】已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案． 【详解】解得， 又函数在上单调递增，则， 【巩固练习2】如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 【巩固练习3】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，则，所以， 又因为函数是奇函数，所以， 所以当时． 【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值 【方法技巧】 （1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解. （2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母． 实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 8． 已知，则______． 【答案】3 【解析】由，可得，， ． 9． （1）化简： （2）已知，分别求的值. 【答案】（1）；（2）3，47 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得； （2）由完全平方公式，结合指数幂性质计算即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，由，可得； 将两边平方，即，即，则. 10． 化简或求值： （1）； （2）； （3）； （4）（且）. 【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4） 【解析】（1）原式=. （2） =21. （3） . （4）. 11． 已知，，且，则______． 【答案】 【解析】由题意，， 所以， 故答案为：. 【巩固练习1】已知＝5，则的值为_________． 【答案】23 【解析】因为＝5， 所以. 【巩固练习2】已知，求下列各式的值. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）7；（2）47；（3） 【解析】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． （3）∵，，， ∴， ∴． 【巩固练习3】若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，，即， 又，且， 所以，故选：A. 【巩固练习4】（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 【巩固练习5】已知，求： (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则 【题型5】 大致图象的判断及利用图形性质求参数范围 一、幂函数 （1）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，的图象(如图)． 幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增（重要）； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 二、指数函数的图象与性质 图象 第1象限底大图高 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 12． 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而， 所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C. 13． 幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的性质， 在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：，故选：D 14． 若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可； 【详解】， 由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得 15． 若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以， 又由，可得，可得， 结合选项，只有C项适合.故选：C. 16． 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 17． （多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 【巩固练习1】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ） A． B． C．； D．． 【答案】B 【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图， 所以，故选：B 【巩固练习2】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的， 结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D. 【巩固练习3】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由函数的图像可知， 函数在定义域上单调递减， ，排除AB选项； 函数图像是由向左平移所得， ，.故D选项正确. 【巩固练习4】（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 【巩固练习5】（多选）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件对a值进行分类讨论函数的单调性及0一侧的函数值，再结合图象与y轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当时，函数图象与y轴交点在点上方，排除B，C， 而，因此，在上递减，且x<0时，0<f(x)<1，D不满足，A满足； 当时，函数图象与y轴交点在原点上方，点下方，排除A，D， 而，因此，f(x)在上递增，且x>0时，0<f(x)<1，B不满足，C满足，所以给定函数的图象可能是AC. 【题型6】指数幂比大小 比较指数幂的大小 常用方法有： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 18． 若，则a､b､c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以，即，故选：A 19． 设 ，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断的大小即得. 【详解】因函数为减函数，故， 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得. 20． 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则，综上. 21． 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数奇偶性、单调性，以及指数函数单调性来比较大小； 【详解】由题意知函数为定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则，且在上单调递增，所以， 因为， 所以，即 22． 已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，即， 所以，又， 所以，而递增， 故，故选：D 23． 设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故，所以. 【巩固练习1】已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是减函数，，所以， 又，∴．故选：C． 【巩固练习2】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ， 故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 【巩固练习3】定义在R上的偶函数对都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的单调性，并比较的大小，再结合函数是偶函数，即可判断选项. 【详解】由题意可知，任意，， 所以函数在区间单调递增， 因为函数为偶函数，所以在区间上单调递减， ，， 所以， 所以，再根据函数是偶函数， 可得. 【巩固练习4】已知偶函数在上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性及单调性得到在上单调递减，比较出，结合，比较出. 【详解】因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减． ，所以只需比较的大小即可． 因为，所以，即． 又因为，所以，即，故． 而在上单调递减，所以，即． 【巩固练习5】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件确定函数的奇偶性及单调性，然后比较大小. 【详解】因为是R上的奇函数，所以，即是R上的偶函数， 又在R上是增函数，而，所以时，， 于是时，单调递增， 则偶函数在上是增函数，在上是减函数. 因为，而， 所以，即. 【题型7】指数幂结合基本不等式求最值 指数幂结合基本不等式求最值是一类常见的数学问题，通常涉及到指数函数、幂函数以及基本不等式的应用，通过变形和转换，将指数幂表达式转化为可应用不等式的形式，从而求得表达式的最大值或最小值。 24． 已知，，若，则的最小值为 【答案】4 【分析】利用，可求最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 25． （23-24高一上·浙江温州·期中）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．27 B．81 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，所以. 26． 已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由指数幂的运算律得，再由基本不等式求最值. 【详解】由正数m，n满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号. 【巩固练习1】（23-24高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】由已知可得，，两边同除得， 所以． 当且仅当时等号成立 【巩固练习2】已知，求的最小值为（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】由，将变形，利用基本不等式即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当即时，取等号， 所以的最小值为6 【巩固练习3】已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 模块二 中档题型 【题型8】指数函数的实际应用 1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变等。 2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。 指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。 27． 人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 28． 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位， 根据经过N年衰减为原来的一半，则，即， 且生物体内碳14原有初始质量为Q 所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为 即 29． 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】构造指数函数模型，计算即可. 【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为，则， 经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： 经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍. 30． 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（    ） A．0.015克 B．克 C．0.925克 D．克 【答案】D 【分析】设每年减少的比例为x，由题意得出指数关系，求出x，再计算三年后剩余量即可. 【详解】设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余克， 依题意得，所以， 3年后剩余为，将x的值代入，得结果为 31． 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 32． 友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得出时的函数解析式，然后解不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，过点， 则，解得，所以， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克， 当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低， 由，解得， 又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作. 33． 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（    ）（参考数据） A．0.72 B．0.70 C．0.68 D．0.66 【答案】D 【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可. 【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为． 【巩固练习1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系. 【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍， 则， ， 所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是 【巩固练习2】心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（    ） A．150 B．128 C．122 D．61 【答案】C 【分析】根据已知可求出，再代入即可求出. 【详解】由题可得，则， 所以， 即该学生在从能记忆的单词个数为122. 【巩固练习3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 【巩固练习4】（重庆·高一重庆巴蜀中学校考）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时. 【巩固练习5】（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为________ 【答案】 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 【题型9】指数型函数的奇偶函数模型 一、常见奇偶性函数模型 奇函数：函数①：或函数． 函数②：． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：函数①． 函数②：类型的一切函数． ③若为奇函数，则为偶函数 二、运算函数的奇偶性规律： 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；（加减要同性） 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.（同性为偶，异性为奇） 三、复合函数奇偶性 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 34． 已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值. 【答案】 【解析】由于是定义在R上的奇函数， 所以， 所以， 由于是奇函数，所以， 所以， 即， 所以. 35． 函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由函数为偶函数可得恒成立，由此求n的值 【详解】解：根据偶函数的定义可得，对定义域的任意都成立， 即对定义域内的任意的都成立， 整理可得，， 36． 函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 又，当时， 所以，， 又，所以， 所以，故排除B. 37． 已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 解得， 又， 所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 因为， 所以，故. 【巩固练习1】已知函数是定义在上的奇函数，求实数的值. 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得. 【巩固练习2】函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D. 【详解】因为定义域为， ， 所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B； 因为，，所以，故C错误，D正确 【巩固练习3】已知定义域为的函数是奇函数，求，的值. 【巩固练习4】若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可. 【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数， 所以， 故， 由，为奇函数，满足题设. 所以. 【题型10】指数型函数的值域问题 解决步骤 第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数． 第二步：由自变量的范围求内层函数的值域． 第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域． 38． 函数，的值域是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 则， 则，故选：A. 39． 已知函数，，则函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数，， 令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为.故选：B 40． 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果. 【详解】由得：， 令，则当时，，， ，解得：，即实数的取值范围为. 【巩固练习1】函数在上的值域为___________. 【答案】 【解析】 ∵则令 在递增 ∴ 【巩固练习2】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式变形为，求出的最小值后可得范围． 【详解】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 【巩固练习3】若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题 简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解 2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解 41． 若x满足不等式，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析由可得， 因为在上单调递增，所以即，解得：， 所以，即函数的值域是，故选：B. 42． 已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】变换，再利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】恒成立，即，， 当且仅当，即时等号成立，故，即. 43． 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】因为，定义域为，且，故为奇函数； 又均为单调增函数，故是上的单调增函数； 则，即，也即， 故，，解得. 故不等式的解集为. 故答案为：. 44． 若，则实数a的取值范围是（ ） A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，] 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】不等式可化为： ，解得：. 45． 若 ，求a的取值范围. 【答案】 【解析】的定义域为，且在上是减函数， 原不等式等价于，即， ，的取值范围是. 46． 已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解. 【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且， 所以是上的奇函数， 注意到幂函数都是上的增函数， 所以是上的增函数， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 【巩固练习1】已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可知函数为减函数，由，可得， 整理得，解得， 所以不等式的解集为．故选B. 【巩固练习2】不等式的解集是______． 【答案】 【解析】． 【巩固练习3】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 【巩固练习4】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 【巩固练习5】若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意化为对任意恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式可得结果. 【详解】由，得， 令，因为，所以， 所以对任意恒成立， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以，所以. 【巩固练习6】不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集. 【详解】定义域为，且在与上均为减函数， 且当上，恒成立，当上，恒成立， 故①或②或③， 解①得：， 解②得：， 解③得：， 综上：不等式的解为. 【题型12】指数型复合函数单调性 判断复合函数单调性的原则是“同增异减”. 解决步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：将函数分解成内层函数和外层函数． 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性． 第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性． 47． 函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，在单调递增，在单调递减， 在单调递增， 根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A. 48． 函数的单调递增区间为________ 【答案】 【解析】设，函数的单调减区间是 由于在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为 49． 函数的单调递增区间是_________． 【答案】 【解析】 令， ， 当时，即，单调递增； 当时，即，单调递减； 因为单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 50． 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在区间上单调递增， 又由函数， 根据复合函数的单调性的判定方法， 可得函数在上单调递增，在区间上单调递减， 因为函数在上单调递减，则， 可得实数的取值范围是. 51． 设函数在区间单增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性得到在上单调递减，由对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】在R上单调递减，由复合函数单调性可知， 在上单调递减， ，解得. 52． 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 【巩固练习1】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域内是单调递减函数， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得： 的单调递减区间为.故选：D 【巩固练习2】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，解得：， 即定义域为， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在R上单调递减， 因此，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为.故选：C 【巩固练习3】函数的单调递增区间是_________． 【答案】 【解析】 令， ，对称轴为 当时，即，单调递增； 当时，即，单调递减； 因为单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 【巩固练习4】设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案. 【详解】函数分为外函数：，内函数：； 根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增， 且外函数单调递减，则内函数在也单调递减； 为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以. 【巩固练习5】（重庆巴蜀中学高一校考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可. 【详解】令, 则， 当时，单调递增，且， 当时，，当时单调递增， 则函数在上单调递增，符合题意； 当时，的对称轴为， 由题意， 当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，不符合题意，综上，. 【巩固练习6】设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可. 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 【巩固练习7】（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解； （2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决． 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 53． 已知函数是R上的奇函数. (1)求m的值； (2)比较与0的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质列式求解； （2）先判断函数的单调性，利用单调性与奇偶性即可解题. 【详解】（1）因为是上的奇函数， 所以，得， 时，， 满足为奇函数，所以. （2）设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数， 所以函数在上为增函数． ， 即，即， 因为是上的奇函数，则， 即． 54． 已知函数为奇函数. (1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)；函数在上是增函数证明见解析，(2) 【详解】（1）∵是奇函数，定义域为， ∴，则，， 所以，符合为奇函数， 证明：任取，且， 则， 由，可得，则，， ∴，即， ∴函数在上是增函数. （2）∵函数在上是奇函数 ∴ 又函数在上是增函数 ∴ 令为，则解得即∴不等式的解集为 55． 已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在定义域内单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 56． 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 57． 已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得， 故不等式解集为. 58． 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数解析式可令，且是上的增函数并关于点成中心对称，将不等式变形即可求得，解得. 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知，可得, 即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即，由可得； 所以，利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 【巩固练习1】函数为奇函数. (1)求的值;(2)判断的增减性，并证明. 【答案】(1)1 (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数性质解得，并代入检验即可； （2）根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为奇函数， 则，解得； 若，则， 可得， 即，可知为奇函数； 综上所述：. （2）是增函数，理由如下： 任取，令， 则， 因为，则，可得， 则，即， 所以为定义在上的增函数. 【巩固练习2】已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 【巩固练习3】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由及即可求解； （2）求出函数的单调性，不等式可转化为，根据二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，又因为， 所以将代入，解得， 经检验符合题意，所以，，. （2）由（1）知：函数， 所以函数在上是减函数. 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数，所以， 所以，令， 题意可知：问题等价转化为， 又因为，所以,故的取值范围为. 【巩固练习4】已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， ∴，即为奇函数， 又在R上均为减函数， ∴为减函数， 由得：， ∴，即，解得.故选：D. 【巩固练习5】（多选）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 46 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$