精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分.考试时间100分钟.祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1. 已知直线 ， 下列说法正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 倾斜角为 C. 方向向量可以是 D. 方向向量可以是 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的一般式可得斜率，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】因为直线 的方程为， 所以直线的斜率， 又， 所以直线的倾斜角为， 故A正确，B错误; 对于 C， 若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故C错误; 对于D，若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故D错误; 故选：A 2. 已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴，设出方程，结合题干条件列出方程组，求出，得到椭圆方程. 【详解】因为椭圆的焦点在轴，所以设椭圆方程为， 则，且， 解得：， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D 3. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，：，：， 若两直线平行，则， 解得或. 当时，：，：， 此时两直线重合，不符合. 当时，：，：，符合题意. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 在平行六面体中，若，且与所成的角均为，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由表示出，然后平方把模转化为数量积的运算求解． 【详解】由题意， 所以 ， ． 故选：C． 6. 已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解. 【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称， 得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为， 所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得， 所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为. 故选：C 7. 已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 8. 已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题错误的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标为 B. 若，则 C. 的周长为16 D. 设，则的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程可得到椭圆的焦点坐标，判断A；根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，判断B；由椭圆定义判断C；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M在A的上方时有最大值，判断D. 【详解】 A项：，，即曲线C的焦点坐标为，故A项正确； B项：先推导焦点三角形面积公式： 在中，设，，，由余弦定理得 ， ∴,即， ∴=． 又，解得，（负值舍去） 故B项错误； C项：三角形周长为：，故C正确； D项：在三角形中,,则， 当 三点共线，并且在的上方时，有最小值， 即 ，故D项正确. 故选：B 9. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【详解】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. 第Ⅱ卷（非选择题共73分） 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2.本卷共11题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 11. 直线与之间的距离的最大值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 12. 若椭圆的离心率为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】结合离心率公式，分焦点在轴上和在轴上进行分类讨论即可求解. 【详解】若焦点在轴上，则， 若焦点在轴上，则. 故答案为：或. 13. 如图，在三棱柱中，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式，即可求解. 【详解】， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为： 14. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理将角度的范围转化为关于椭圆离心率的不等式即可. 【详解】因为是以为底边的等腰三角形， 所以，所以， ，， 在中，由余弦定理得：， 故，即， 即， 不等式，即， 解得(舍去)或 不等式，即 所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知的顶点. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求； （2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求. 【小问1详解】 线段的中点为， 则中线所在直线方程为：，即. 【小问2详解】 设两坐标轴上的截距为， 若，则直线经过原点，斜率， 直线方程为，即； 若，则设直线方程为，即， 把点代入得，即，直线方程为； 综上，所求直线方程为或. 17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：侧面为正方形，， 直三棱柱， 平面， 平面， 平面， 平面 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线与平面所成的角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 又由， 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，于是， 又由， 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 18. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 【答案】（1） （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. （1）证明：平面PAD； （2）求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； （3）在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3）存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； 【小问3详解】 设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 20. 如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q． （i）当时，求直线的斜率； （i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）(i)； (ii)不存在，理由如下： 圆心(0,0)到直线的距离为， 则， 所以， 整理，得，显然，， 所以不存在直线，使得． 【解析】 【分析】(1)根据椭圆可知，由椭圆的离心率求出，由求出即可； (2)(i)设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为，联立椭圆方程消去y，利用韦达定理可得，结合弦长公式即可求得； (ii)根据垂径定理求出圆的弦长，把代入方程，解之即可得出结论. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点A在圆上，所以， 又离心率为，所以，所以， 所以，所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设点，显然直线存在斜率， 由，设直线的方程为， 得，消去y，得， 因为-4为方程的一个根，所以， 所以， 由， 代入得到，解得， 所以直线的斜率为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分.考试时间100分钟.祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目） 1. 已知直线 ， 下列说法正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 倾斜角为 C. 方向向量可以是 D. 方向向量可以是 2. 已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平行六面体中，若，且与所成的角均为，则（ ） A. 5 B. C. D. 6. 已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则下列命题错误的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标为 B. 若，则 C. 的周长为16 D. 设，则的最小值为 9. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共73分） 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2.本卷共11题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 11. 直线与之间的距离的最大值为______. 12. 若椭圆的离心率为，则______． 13. 如图，在三棱柱中，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知的顶点. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. （1）证明：平面PAD； （2）求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； （3）在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 20. 如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q． （i）当时，求直线的斜率； （i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $