精品解析：甘肃省酒泉市金塔县等4地2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年高一上学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 0 5. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为和 B. 有3个根 C. 的解集为 D. 当时， 11. 已知函数，则下列判断错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图像与直线有两个交点 C. 的值域是 D. 在区间上是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为_________. 13. 已知函数则不等式的解集为______. 14. 已知正数满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知在上有意义，单调递增且满足． （1）求证：； （2）求不等式的的解集． 17. 已知函数，点，是图象上的两点. （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 18. 已知函数. （1）求与，与的值； （2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； （3）求的值. 19. 已知满足 ，且时， （1）判断的单调性并证明； （2）证明：； （3）若，解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一上学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集运算即可求解. 【详解】由题意可得集合，因为， 且，则，故D正确. 故选：D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；举反例判断BCD. 【详解】对于选项A：若，由不等式的性质可得，故A正确； 对于选项BD：例如，可得，，故BD错误； 对于选项C：利用，可得，即，故C错误； 故选：A. 3. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】代入分段函数解析式计算即可得出结果. 【详解】易知， 所以. 故选：B. 5. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间上的单调性，即可得出结论. 【详解】函数是奇函数，在区间上单调递减，故A不符合题意； 函数是非奇非偶函数，在区间上单调递增，故B不符合题意； 函数是偶函数，在区间上单调递增，故C不符合题意； 函数的定义域为，且满足， 又函数和均在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，即函数既是奇函数， 又在区间上单调递增，符合题意. 故选：D. 6. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题意结合奇函数的定义判断是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以是奇函数，且，故，解得， 故当时，，由奇函数性质得， 而，故，故A正确. 故选：A 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得时函数的值域为，再由基本不等式可求得当时，函数的值域为，即可得出结论. 【详解】根据题意当时，， 令，可得，所以，因此可得； 由二次函数性质可得当，即时，取得最大值， 此时的值域为； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为5，因此的值域为； 综上可得，函数的值域为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分和必要条件，全称量词命题的否定、不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A，若，则；若，则有可能是负数，此时不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，正确，符合题意； 选项B，命题“，”的否定是“”，错误，不符合题意； 选项C，若，则，正确，符合题意； 选项D，若，，且， 则， 当且仅当，即，时，取等号， 故的最小值为9，正确，符合题意. 故选：ACD 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为和 B. 有3个根 C. 的解集为 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求得时的解析式判断选项D；求得的单调递增区间判断选项A；求得的根的个数判断选项B；求得的解集判断选项C. 【详解】由是定义在上的奇函数知，对任意，. 当时，，又当时，， 所以，故D错误. 由上可知 又抛物线的对称轴为直线，开口向上， 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 结合二次函数的性质知的单调递增区间为和，故A正确. 由可得或 解之得，或或，故B正确. 由，可得或 解得或，故C正确. 故选：ABC. 11. 已知函数，则下列判断错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图像与直线有两个交点 C. 的值域是 D. 在区间上是减函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可. 【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确； 函数图象与直线有一个交点，故B错误； 函数的值域为，且在区间上是减函数，即C、D正确； 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值. 【详解】若不等式在上恒成立，则， 解得， 所以该命题为假命题时实数的取值范围是， 所以实数的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）. 13. 已知函数则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】在同一直角坐标系中，作出函数及的图象，即可求得不等式的解集. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数及的图象如下： 由图可知不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知正数满足，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）,; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. 【小问2详解】 因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知在上有意义，单调递增且满足． （1）求证：； （2）求不等式的的解集． 【答案】（1）证明:因为，令，得到， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 又函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 17. 已知函数，点，是图象上的两点. （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【小问1详解】 因为点，是图象上的两点， 所以，解得. 【小问2详解】 设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 18. 已知函数. （1）求与，与的值； （2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； （3）求的值. 【答案】（1）），，， （2）猜想：， 证明：∵对于任意的，都有 ∴. 故. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可； （2）根据（1）的结果猜想，计算的值即可证明； （3）根据（2）的结果可得，根据规律计算即可求解. 【小问1详解】 因为，故，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 故，，， 所以 . 19. 已知满足 ，且时， （1）判断的单调性并证明； （2）证明：； （3）若，解不等式． 【答案】（1） 是上的减函数，证明如下： 对任意且，则，所以； 又即，所以. 所以是上的减函数. （2） 由，令，得； 再令可得； 即. （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索与之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ，即，又是上的减函数， 所以，解得：或， 所以不等式的解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $