专题12 二次函数的存在性问题（七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题12 二次函数的存在性问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、特殊角度的存在性问题 1 类型二、等腰三角形的存在性问题 4 类型三、直角三角形的存在性问题 6 类型四、全等三角形的存在性问题 8 类型五、相似三角形的存在性问题 10 类型六、平行四边形的存在性问题 12 类型七、特殊平行四边形的存在性问题 14 压轴能力测评 16 类型一、特殊角度的存在性问题 例1．如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点．    (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式1-1．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)抛物线顶点为D，连接、、，求的面积及点D到的距离； (2)如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，求最大值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，是抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，问：是否存在点，使得面积有最小值，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线沿方向平移个单位长度，点是新抛物线与轴的交点，点是新抛物线上一点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 变式1-3．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、等腰三角形的存在性问题 例2．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式2-2．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 变式2-3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 类型三、直角三角形的存在性问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3-1．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 变式3-2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3．如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线过两点，点是位于直线下方抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、全等三角形的存在性问题 例4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-1．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 变式4-3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、相似三角形的存在性问题 例5．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式5-2．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、，A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接，将沿MN翻折得到． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P恰好落在边上，求t的值及点P的坐标； (3)在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型六、平行四边形的存在性问题 例6．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-1．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)直接写抛物线的解析式和对称轴； (2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-3．如图，已知抛物线过点，，． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并且确定其顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在抛物线上存在一动点，使得的面积为10，请求出点的坐标． (4)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、特殊平行四边形的存在性问题 例7．如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 变式7-1．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-3．【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 1．二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为抛物线上任意一点，过点作轴于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，当点在第二象限时，求面积的最大值； (3)是否存在这样的点，使得？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 3．如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，其中． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，连接，点是直线下方抛物线上的动点，点是轴上一动点，于点，当取最大值时，求点的坐标及此时能使得取最大值的点的坐标； (3)如图2，连接，将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线，取在（2）中使为最大值时的点E，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 7．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接、，求面积的最大值； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 13．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数的存在性问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、特殊角度的存在性问题 1 类型二、等腰三角形的存在性问题 18 类型三、直角三角形的存在性问题 27 类型四、全等三角形的存在性问题 36 类型五、相似三角形的存在性问题 44 类型六、平行四边形的存在性问题 57 类型七、特殊平行四边形的存在性问题 69 压轴能力测评 84 类型一、特殊角度的存在性问题 例1．如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点．    (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：把，，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则，      ∴， ∴； ∴当时，有最大值，此时； （3）存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∵， ∴轴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，全等三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 变式1-1．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)抛物线顶点为D，连接、、，求的面积及点D到的距离； (2)如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，求最大值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，到的距离为 (2)最大值为 (3)存在，或 【详解】（1）解：当时，， 当时，解得或， 抛物线的图象与轴交于，两点在左侧），与轴交于点， ∴，，，对称轴为直线， ∴，，， ∵当时，， ∴顶点， 如图，过作轴于，则，， ， 设到的距离为， ， 解得， ∴到的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴， 设解析式为， 代入，， 得， 解得， 的解析式为， 连接，作轴交于，如图， ， ， 设，则， 即， 则， ∴时，最大，最大值为； （3）存在，或． ∵，， ∴， ∴抛物线沿着射线平移，即为先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， 平移后的新抛物线， 假设上存在一点，使得， 即在轴上找点满足，则， 在和中， 则， ， ， ， 同理存在一点，使得，使得， 设， 将，代入， 得， 解得， ， 联立， 解得或（舍； 取中点，取一点，使，连接，， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 将，代入， 得， 解得， ， 联立， 解得或（舍， 或， 上存在一点，使得． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中求面积问题，全等三角形的判定与性质，掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，是抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，问：是否存在点，使得面积有最小值，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线沿方向平移个单位长度，点是新抛物线与轴的交点，点是新抛物线上一点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)的面积没有最小值，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）的面积没有最小值．理由如下： 由（1）知：抛物线的表达式为， 当时，得：， 当时，得：， 解得：或， ∴、， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接，设，其中，， ∵、，， ∴，，，，，， ∴ ， ∴的图像是抛物线， ∵，对称轴， ∴图像开口向上，图像上越接近对称轴的点的函数值越小， 但∵， ∴的面积没有最小值； （3）∵，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即直线与轴正方向的夹角为， 又∵，， ∴抛物线沿方向平移个单位长度相当于向右平移个单位向上平移个单位， ∴新抛物线解析式为，即， 当时，得， ∴， 如图，在取点，使，连接并延长交新抛物线于点，过点作于点，延长到点，使，连接交新抛物线于点，过点作轴于点，作轴于点， ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即点为符合条件的点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即点为符合条件的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，且，设， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 综上所述，符合条件的点坐标是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知识点．掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 变式1-3．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使的坐标为)或 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，过点Q作轴，交于点， 在中，令得， 解得：或， ， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：， ∴直线的函数表达式为， ， ， 当点Q在直线下方时：， 即，无解； 当点Q在直线上方时： ， 即，解得：或； 综上，此时，点Q的坐标为或； （3）解：存在点，使， 理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于， 当在上方时，如图： ， ∴顶点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ∵ 设直线函数表达式为，则， 解得， 故直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在下方时，同理可得， 可得函数表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，待定系数法等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 类型二、等腰三角形的存在性问题 例2．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵已知抛物线（）与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴； （2）存在， ∵， ∴， 若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上， 如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接， 则，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴， 设直线得到的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴点的坐标为：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 变式2-1．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴． （2）设点D的坐标为， ∵的面积为10， ∴，即， 解得． ①当时，， 解得：，， ∴D或． ②当时，， 此方程无实数根， 综上所述，点D的坐标为或． （3）存在， ①当时，， ∴M点与A点重合， ∴； ②当时，， 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得或． ∴或． ∵M点在对称轴的左侧， ∴M点坐标为． 如图2，当P点在M点下方时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得（舍）或， ∴． 综上所述：M点的坐标为或或． 变式2-2．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线解析式得 ， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线对称， ∴与对称轴的交点即为点，如下图， 则此时为最小， 设直线经过，两点， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为； 当时，， ∴点； （3）解：∵， ∴， ∴， 当为顶角的顶点时， 则， ∴点的坐标为或； 当为顶角的顶点时， 则， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 当为底边时， 则，即点在线段的垂直平分线上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度． 变式2-3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 类型三、直角三角形的存在性问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点； (3)点的坐标为：或或或 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 变式3-1．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 设，则，，， ，， 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ，， ，，， 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得，， 此时点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 变式3-2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【详解】（1）解：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，得，即点A的坐标为， 令，得，即点B的坐标为， 将，代入， 得， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设第三象限内的点F的坐标为， 则，， ， 对称轴为直线，顶点D的坐标为， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，则，， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， 以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， ， 点F的坐标为； （3）解：设点P坐标为， ，， ， 分两种情况: ①如图2，若，则， 即， 解得， 点P的坐标为； ②如图3，若，则， 即， ， 点P的坐标为； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的面积问题，二次函数与直角三角形问题,运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键． 变式3-3．如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线过两点，点是位于直线下方抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)最大值，此时点 (3)存在，点的坐标为：或或或 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设直线的计算为，代入，得， 解得： 直线的解析式为：， 设)，则)， ， ()， 当时，的长取最大值，此时点()． （3）存在，对称轴为直线， 设)， 又)，) ，，， ①若要点为直角顶点，， ， 解得：，即； ②若要点为直角顶点，， ， 解得：，即； ③若要点为直角顶点，， ， 解得：或，即或； 综上所述，点的坐标为：或或或． 类型四、全等三角形的存在性问题 例4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）存在， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与△APH全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等． 变式4-1．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴． ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵，， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或, 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或, 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 变式4-3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 类型五、相似三角形的存在性问题 例5．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 或． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免漏解． 变式5-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，有最大值，最大值为8，此时 (3)存在，Q的坐标为或． 【详解】（1）将，，代入得， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为为 ∵， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴点F的纵坐标为， 将代入得， 得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时； （3）如图所示，当时，    ∵ ∴抛物线对称轴为 ∵直线的解析式为， ∴将代入 ∴ ∴设 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时，    ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，线段最值问题，相似三角形存在性问题，勾股定理等，掌握相关解题方法是解题的关键． 变式5-2．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 变式5-3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、，A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接，将沿MN翻折得到． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P恰好落在边上，求t的值及点P的坐标； (3)在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或或或 【详解】（1）解：∵当和时二次函数的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为， 又∴， ∴， 设抛物线的解析式为，将代入得： 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 又 为等边三角形， 由翻折的性质可知为等边三角形， ， 如图所示：过点作轴，垂足为， ， ， ， ， 解得：， ， （3）由翻折的性质可知， 又∵， ∴平分 ， ， 如图所示： 当时， ， ， ， ， ， ， ； 如图所示：当 ，， ， ， ， ， ， 如图所示：当时， ，， ， ， ， ， 当时, 设， 可得， ， 解得， ， 如图，延长交对称轴于，当时 可得， 综上所述，当 或或或时，二次函数图象的对称轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、翻折的性质、相似三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 类型六、平行四边形的存在性问题 例6．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点E的坐标为； (3)点的坐标为或或． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则，， 将，代入抛物线解析式可得： ， 解得， 即； （2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，∴当时，有最小值，最小值为3； 此时点E的坐标为； （3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即， 当为边时，点到点的水平距离是4， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是5或， 代入抛物线解析式可得，，， 即点的坐标为或， 当为对角线时，点到点的水平距离是3， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去）， 则，即点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 变式6-1．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，时，有最大值，最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式6-2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)直接写抛物线的解析式和对称轴； (2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2)存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点时，点；当点时，点或 【详解】（1）解：（1）将、代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线； （2）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴， ∴设解析式为，代入得，解得， ∴解析式为， ∵将直线向上平移，得到过原点O的直线， ∴解析式为， ∴设， （Ⅰ）若平行四边形以为边时，则， ∴在直线上， 点是直线与对称轴的交点，即， 当四边形是平行四边形时， ∴平移到与平移到的平移方式一致， ∵向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度到， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度到， 当四边形是平行四边形时， ∴平移到与平移到的平移方式一致， ∵向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度到， ∴向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度到； （Ⅱ）若平行四边形以为对角线时，与互相平分，即与中点是同一个点， 设，， ∵，， ∴中点坐标为，中点坐标为， ∴， ， ，， 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 当点的坐标为时，点的坐标为或； 当点的坐标为时，点的坐标为． 变式6-3．如图，已知抛物线过点，，． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并且确定其顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在抛物线上存在一动点，使得的面积为10，请求出点的坐标． (4)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)此抛物线的函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 (4)存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵， ∴点在直线上， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （3）当点在轴左侧时，设，交轴于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 整理可得， 解得或（舍去）， ∴； 当点在轴右侧时，设，交轴于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 整理可得， 解得或（舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为或； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 类型七、特殊平行四边形的存在性问题 例7．如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 变式7-1．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 变式7-2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如图，过点作轴，垂足为，交于点， 当时， 解得， ∴， 当时，得， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意分三种情况： ①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 此时四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 同①可得四边形是正方形，， ∴； ③如图，∵是等腰直角三角形， ∴点与点重合， ∴作点关于直线的对称点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 综上，存在，或或． 变式7-3．【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，点C的坐标为或；（3）存在，或． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交于M， ∴， 设点C的坐标为， ∴， ∴． 解得， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 1．二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为抛物线上任意一点，过点作轴于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，当点在第二象限时，求面积的最大值； (3)是否存在这样的点，使得？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，面积的最大值为8． (3)或． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， 二次函数的表达式为． （2）解：将代入得，， 点， 设直线所在直线的表达式为，则 ， 解得：， 直线的表达式为， 如图，设与线段交于点， 设， 轴交于点， ， ， 过点作，则，， ， ， 当时，有最大值，面积的最大值为8． （3）解：如图，设与轴交于点，连接，，，当在轴上方时， ∵轴， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设所在直线表达式为， ， 解得：， 直线的表达式为． 令， 解得：，， 当时，， ∴； 此时：，， ∴， 当在轴下方时，如图， 设，而， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上： 或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，锐角三角函数的应用，面积问题，角度问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 3．如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 当时，， 解得，，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解； 当时，，，如图1， ∴关于对称轴直线对称， ∴； 当时，如图2，记的交点为， ∴， 解得，， ∴，， 综上所述，存在，点F 的坐标为或或． 4．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，其中． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，连接，点是直线下方抛物线上的动点，点是轴上一动点，于点，当取最大值时，求点的坐标及此时能使得取最大值的点的坐标； (3)如图2，连接，将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线，取在（2）中使为最大值时的点E，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点使，点的坐标为，，，， 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过作轴于，交于点， ∵， ∴， ∵轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， ∴直线解析式为 设， ∵过作轴于，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时最大，此时， ∵， ∴当、、三点共线时最大， 设直线解析式为， 代入，可得，解得， ∴直线解析式为， 令可得， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线 ∴将抛物线沿着向左移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度射得到新抛物线， ∴新抛物线解析式， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在下方时，取点，则，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为直线与抛物线的交点， 联立，解得， ∴，； 当在上方时，直线交与点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴设直线解析式为， 联立，解得， ∴，， 综上所述，存在点使，点的坐标为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数图象及性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与线段最值，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 6．已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 【答案】(1) (2) (3)点坐标分别为或，点的坐标为或． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 又函数过点、， 则，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点关于抛物线对称轴的对称点是， 直线与抛物线对称轴的交点就是点， 抛物线的对称轴是， 把代入得，，即点； （3）解：即， 又抛物线的对称轴为， 将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或． 在中，当时，；当时， 点坐标分别为或， 又点的纵坐标为．则的纵坐标为或， 对称轴上的点的坐标为或，， 综上所述：点坐标分别为或，点的坐标为或． 7．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即原函数向右平移2个单位，向上平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得， ∴ ∴两条抛物线交点M的坐标为， 设，，连接， ，，， ①如图，以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ②以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ③如图，以为对角线，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴或， 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 8．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入得： 解得：； （2）解：， 抛物线的表达式为：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 10．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接、，求面积的最大值； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【详解】（1）解：在中，令，则，即， 设， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴面积， ∴面积的最大值为：； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，，即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，， 此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合面积问题，勾股定理的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 12．如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】(1)抛物线为，直线为 (2) (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， 解得， 故抛物线为； 又设直线为过点及， 则， 解得， 故直线为； （2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点， 设，则， ， 又， ∴面积的最大值为； （3）解：设，则， 当时， 如图，则， 解得：或（舍去）， 故点的坐标为； 当时， 如图，则， ， 则， 解得：（舍去）或， 故点的坐标为； 故若是等腰直角三角形，则点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 13．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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