专题11 二次函数的线段、周长、面积的最值问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题11 二次函数的线段、周长、面积的最值问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、单线段的最值 1 类型二、线段之和差的最值 3 类型三、三角形周长的最值 5 类型四、四边形周长的最值 7 类型五、面积的最值问题 9 压轴能力测评 11 类型一、单线段的最值 例1．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的的取值范围． (3)P是线段上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值． 变式1-1．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点 、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点 D ，求线段的最大值及此时点的坐标． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D为直线上方抛物线上的动点，于点E，求线段的最大值． 变式1-3．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 类型二、线段之和差的最值 例2．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 变式2-1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 变式2-2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 变式2-3．如图，抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．连接，，求的最小值． 拓展设问  如图，过点C作轴，交抛物线于点E，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值． 类型三、三角形周长的最值 例3．如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 变式3-1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，的取值范围是，求的取值范围； (3)如图2，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，直接写出周长的最大值． 变式3-2．综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 变式3-3．抛物线与轴交于点，，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为线段上方抛物线上的一动点点不与点，重合，过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 类型四、四边形周长的最值 例4．如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 变式4-1．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ． 变式4-2．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 变式4-3．如图，抛物线经过点，点，且．点、为直线上的两个动点，且，点在点的上方．当四边形的周长最小时，求点的坐标． 类型五、面积的最值问题 例5．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时二次函数的最大值与最小值的差为 (3)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； 变式5-1．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，C，且交x轴负半轴于点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)连接，在直线上方的抛物线上是否存在点M，使得四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 变式5-2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点E． 若，求点D的坐标； (3)直线与抛物线交于F，H两点，取点，连接、，求面积的最小值． 变式5-3．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作轴，交x轴于点E，交线段于点，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值． 2．如图，已知抛物线与直线：相交于，两点，抛物线与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当时自变量x的取值范围是： ；当或时，_______（填“>”，“=”，“<”）； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 3．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    4．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 5．如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点，在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，则该矩形周长的最大值 ． 6．已知二次函数的图象经过三点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出m的取值范围． (3)点D是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点F．当D点运动时，求周长的最大值． 7．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 8．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，，两点的坐标分别为和． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)若点是第一象限的抛物线上的点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，设点的横坐标为，求线段的长度与的函数关系． (3)过点作交于点，求的最大值． 9．已知抛物线经过点、、三点，抛物线与y轴相交于点C，直线经过点B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)不等式的解集是 　； (3)点P为对称轴上一点，当的值最小时，求出点P的坐标． 10．已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿轴水平向右平移，平移过程中当点再次落在抛物线上的位置记作，求的坐标和的值； (3)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 13．如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数的线段、周长、面积的最值问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、单线段的最值 1 类型二、线段之和差的最值 8 类型三、三角形周长的最值 14 类型四、四边形周长的最值 22 类型五、面积的最值问题 26 压轴能力测评 35 类型一、单线段的最值 例1．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的的取值范围． (3)P是线段上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为，且过点D ， B ． ，解得：， 抛物线解析式为； （2）解：，， 使一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或， 故答案为：或； （3）解：点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得， 解得， 直线解析式为， 设点横坐标为，则，， ， 当，长度的最大值为． 变式1-1．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点 、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点 D ，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)最大值为2.25，此时 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由抛物线的顶点式得：， 设的解析式为：， 则， 解得：， ∴的解析式为：， 令与轴交于点， 当时，， 解得：，则， ∴的面积为：； （3）设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴的解析式为：， ∴点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴， 设点，（） 则， ∴， ∴当时，有最大值，为2.25， ， 此时． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D为直线上方抛物线上的动点，于点E，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【详解】（1）将点，代入抛物线解析式中，得 ， 解得：． ∴抛物线的解析式为． （2）作点G关于y轴的对称点，连接，交y轴于点H，此时的周长最小． ∵， ∴顶点， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点H的坐标为． （3）在图2中，过点D作轴，垂足为F，交于点M． 当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 设点D的坐标为，则点M的坐标为， ∴． 在中，，， ∴． ∵轴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 变式1-3．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值是 【详解】（1）解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； （2）解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小， 所以的周长最小值为， 中，， 中，， 周长的最小值为； （3）解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 类型二、线段之和差的最值 例2．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 变式2-1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 【答案】(1) (2)1， (3) 【详解】（1）解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A， ∴A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角底边上的高， ∴， ∴． 把代入，解得：， ∴抛物线的解析式为即． （2）解：设直线的函数解析式为， ∵， ∴的函数解析式为． 设，，   ， ∴当时，最大为1， ∴． （3）解：∵在抛物线上， ∴． ∵是此抛物线的对称轴， ∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，; ∴最短． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 变式2-2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入，得，即， 将代入，得，解得，即， 对称轴为直线，点关于对称轴对称， ， 设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，， 当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长， 将代入直线的函数解析式，得， 此时． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 变式2-3．如图，抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．连接，，求的最小值． 拓展设问  如图，过点C作轴，交抛物线于点E，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值． 【答案】（1）；（2）；拓展设问：， 【详解】解：（1）抛物线的顶点为， ， 将点A的坐标代入解析式得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）点C为的中点， 中点坐标式得C， 设点， 四边形为平行四边形， 则点， 如图，过点B作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接， 则， 当D，B，三点共线时，的值最小， 则的最小值为． 拓展设问： 解：根据题意，作图如下： 由（2）知点C横坐标为，代入，得， 点E的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， O点和A点关于直线对称， ， ， 当O，E，M三点共线时，即式子取等号，值最大， 的最大值为的长， ∴， 直线的表达式为， ∴当时，，此时点M的坐标为， 点M的坐标为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，坐标与图形，三角形三边关系，平行四边形性质，轴对称性质，勾股定理，线段中点坐标，解题的关键在于利用轴对称和三角形三边关系找出线段和差的最大最小值情况． 类型三、三角形周长的最值 例3．如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 【答案】D 【详解】解：设直线解析式为，则有，解得， ∴直线解析式为； 设，则点H的坐标为， ∴， 配方得：， 当时，有最大值； ∵，， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误； ∴由勾股定理得； ∵， ∴，由勾股定理得， 即 ∴的最大值均为， 故选项A、B错误； ∵周长为， ∴当最大时，周长也最大，且最大值为：， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键． 变式3-1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，的取值范围是，求的取值范围； (3)如图2，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，直接写出周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将代入中， 可得：，解得， ∴； （2）当时，或， ， 当时，，且当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 结合图象，可知当时，的取值范围是， ∴； （3）当时，，则， 设的解析式为，代入，， 得，解得， ∴的解析式为， ∵，， ∴，，则， ∴，， 设点， ∵轴，则， ∴， ∴， ， ∴的周长， 当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象及其性质，解直角三角形及其应用，掌握二次函数的顶点式、配方法求二次函数的最值，列出的长与的函数关系式是解题的关键． 变式3-2．综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)①当时，；②周长的最大值为9 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， 将点分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）①设，则， 过点作轴的平行线，与直线交于点， 令， 解得或． ②当点在轴上方时，， 或（舍去） 当时，； ②由①得 ， 当点在轴下方时，， 点 当时，的周长最大，最大值为9． 变式3-3．抛物线与轴交于点，，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为线段上方抛物线上的一动点点不与点，重合，过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)周长的最大值为，此时． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，，即， ∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线解析式为，将，代入得， 解得： ∴ （2）解：由（1）可得，， ，， ， 如图，作轴于，    设，则， ，， ， 要使，则， ， ， 当时， 整理得：， 解得：或， ， ； 当， 整理得：， 解得：或， ， ； 当点在点的左下方时，恒成立，而恒成立，故点不能在点的左下方， 综上所述，或； （3）解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 设，则， ∴， 当时，最大，的最大值为， 又∵轴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，最大，周长的最大， 此时，即． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、正切的定义、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型四、四边形周长的最值 例4．如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，则，， 令四边形的周长为，则， ， 时，取最大值，为6． 故选：D． 变式4-1．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F， 连接交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值， 将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴点B坐标为， 则点， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 所以所在直线解析式为． 当时，， ． 故答案为：． 变式4-2．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，四边形周长的最小值为9 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）存在． 因为、， 所以抛物线的对称轴为直线， 连接交直线于点，如图，则，，此时最短， 所以此时四边形的周长最小， 因为， 所以四边形周长的最小值为． 变式4-3．如图，抛物线经过点，点，且．点、为直线上的两个动点，且，点在点的上方．当四边形的周长最小时，求点的坐标． 【答案】 【详解】解：在轴上取点，使，连接，交直线于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，． ，， ， 直线为抛物线的对称轴， ， ， 的最小值为， 四边形的周长最小值为：， ，， 直线， 令，则 的坐标． 类型五、面积的最值问题 例5．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时二次函数的最大值与最小值的差为 (3)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； 【答案】(1) (2) (3) (),S的最大值为 【详解】（1）解：对于直线l：， 令，，令，有，解得：， ∴，， 把代入，得：，解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：， ∵，抛物线的开口向上， ∴时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时二次函数的最大值为，最小值为，差为， 故答案为：； （3）解：如图，连接， ∵点M是抛物线上的一个动点，且横坐标为m， ∴点的坐标为， ∵当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∵点M在第三象限内， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴当时，取得最大值． 因此，S与m的函数表达式为：，(),S的最大值为． 变式5-1．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，C，且交x轴负半轴于点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)连接，在直线上方的抛物线上是否存在点M，使得四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，四边形面积的最大值为 【详解】（1）解：在中，令，则，即， 令，则，解得，即， 将，代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，四边形面积的最大，为． 变式5-2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点E． 若，求点D的坐标； (3)直线与抛物线交于F，H两点，取点，连接、，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴， ∴， 如图，过点D作x轴的平行线，交于点M， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）解：∵直线过定点，记为点Q， 又∵， ∴轴且， ∴， ∴， ∴， 由韦达定理得，， ∴， ∴当时，有最小值， ∴面积的最小值． 【点睛】本题考查二次函数最值问题、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的性质与判定、平行线的性质、用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式5-3．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作轴，交x轴于点E，交线段于点，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点P的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于、两点， ∴ ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：过点P作轴，交于点，如图，    ∵抛物线交y轴于点C， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为． 2．如图，已知抛物线与直线：相交于，两点，抛物线与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当时自变量x的取值范围是： ；当或时，_______（填“>”，“=”，“<”）； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)， (3)． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， ， 解得， 故抛物线为； 又设直线：过点及得： ，解得 故直线为； （2）当时，， 解得， ∴抛物线与x轴交于点，， 由图象开口向下，可知当时自变量x的取值范围是， 当或时，的图象在直线：的下方， ∴当或时，； 故答案为：， （3）如图，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点， 设，则 又， 当时，面积的最大值为． 3．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 4．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 5．如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点，在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，则该矩形周长的最大值 ． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， 解得， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，， ， 矩形的周长， 矩形的周长， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 故答案为：． 6．已知二次函数的图象经过三点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出m的取值范围． (3)点D是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点F．当D点运动时，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意设二次函数表达式为， 把带入二次函数得：， 解得：， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为：， 对称轴为， 关于对称的点为， 二次函数的图象上有两点，且， 由图象可得的取值范围为； （3）解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则点， 则， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴当时，最大为． 7．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②的最小值为 【详解】（1）解：∵的两根分别是，， ∴抛物线交x轴于，， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上， ∴设，则， 即点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得，， ∵点P不与点B重合， ∴； ②∵点，， ∴直线的方程为， 抛物线在平移过程中的顶点坐标为， ∵顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，即顶点始终在直线上， ∴， 即， ∵抛物线与相交于点Q，      ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∵ ， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 8．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，，两点的坐标分别为和． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)若点是第一象限的抛物线上的点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，设点的横坐标为，求线段的长度与的函数关系． (3)过点作交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把和分别代入得： ， 解得：， 抛物线所对应的函数解析式为． （2）设直线的解析式为， 把和分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ， 即； （3）∵，两点的坐标分别为和． ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵点作垂直于直线交于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． 9．已知抛物线经过点、、三点，抛物线与y轴相交于点C，直线经过点B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)不等式的解集是 　； (3)点P为对称轴上一点，当的值最小时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【详解】（1）∵抛物线经过点、、三点 ∴设抛物线的表达式为， 即， 将点代入可得：， 解得：， 故抛物线的函数解析式为： （2）观察函数图象知，不等式的解集是，或， 故答案为：，或 （3）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线， 如图： 点A与点B关于对称轴直线对称，连接，交抛物线对称轴于点P，连接，即点P为所求点，此时的值最小， 由、的坐标得：直线的函数解析式为， 当时，， ∴P点的坐标为：． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、不等式的求解、点的对称性等，有一定的综合性． 10．已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿轴水平向右平移，平移过程中当点再次落在抛物线上的位置记作，求的坐标和的值； (3)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)， (3)，最小值 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 则， 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：在中令，得， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 把代入得： ， 解得：，， ， 过点作于，连接，如图所示： ， 解得， ∵， ∴， ． （3）解：如图，过点作轴，垂足为， 则是等腰直角三角形，由题意可知， ，即， 又， ， ， 当、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴， 即 ， 当时，四边形的面积取得最小值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求角的正切值，勾股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合，作出辅助线． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 令，则，即， 令，则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，线段长度取得最大值， ， 过点作关于轴的对称点，则，连接， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， ，， ， 周长的最小值为； （3）解：由（2）可知，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 设平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点，且与x轴的左交点为， ，解得：， 平移后的抛物线解析式为， 令，则， 解得：或， ， ，， ， 如图，连接，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 设， ①若点在轴上方，此时， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为． ②若点在轴下方，此时或， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为， 综上可知，符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 13．如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点横坐标为或或或 (3) 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$