专题10 二次函数中的图象变换问题（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题10 二次函数中的图象变换问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二次函数的平移问题 2 类型二、二次函数的翻折问题 7 类型三、二次函数的对称问题 12 类型四、二次函数的旋转问题 18 压轴能力测评 25 一、二次函数的平移变换 平移方式（) 一般式 顶点式 平移口诀 向左平移个单位 左加 向右平移个单位 右减 向上平移个单位 上加 向下平移个单位 下减 二、二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 三、二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 绕顶点旋转180° 变号，均不变 绕原点旋转180° 均变号 沿x轴翻折 变号，不变 沿y轴翻折 不变，变号 类型一、二次函数的平移问题 例1．已知二次函数，点． （1）函数y的最小值为 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段有两个交点，则k的取值范围为 ． 变式1-1．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且．将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线是抛物线与y轴的交点．过点C作射线轴，交抛物线于D，E两点，点D在点E的左侧．若，求a的值． 变式1-3．已知抛物线与x轴交于点，且过点． (1)求指物线的解析式和顶点坐标； (2)请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 类型二、二次函数的翻折问题 例2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数的图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是_______； (3)若点在函数的图象上，求出的值； (4)当时，函数的最大值与最小值的差是时，直接写出的取值范围． 变式2-1．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是 ． 变式2-2．将函数的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的即是新函数的图象． （1）抛物线与轴的两个交点分别为和，则 ； （2）若该新函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 变式2-3．有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． (1)请根据以上信息求出二次函数表达式； (2)将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 类型三、二次函数的对称问题 例3．如图，抛物线L：经过，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线L的表达式； (2)抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-1．已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线，关于直线对称，那么应将抛物线向 平移 个单位． 变式3-2．已知抛物线与x轴相交于和两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线L的函数表达式． (2)若抛物线与抛物线L关于原点O对称，F是抛物线位于第四象限的点，过点F作轴于点E，连接．若与相似，求点F的坐标． 变式3-3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 类型四、二次函数的旋转问题 例4．已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为　　　． 变式4-1．如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 变式4-3．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 1．已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是 ． 2．已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ． 3．如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 4．如果抛物线的顶点在抛物线上，并且抛物线的顶点也在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联． (1)已知抛物线①，抛物线②，判断这两条抛物线是否关联，说明理由； (2)把抛物线绕顶点旋转180°得到抛物线，把抛物线M先向上平移4个单位，再左右平移若干个单位得抛物线Q，若抛物线L与Q关联，请求出抛物线Q的解析式． 5．如图，将抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线与图象G有两个公共点．求m的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)当点到轴的距离是时，求的值； (3)在（2）的条件下，且取有理数时，将抛物线绕点旋转得到抛物线，设与轴交于两点（点在点的左侧），求长度． 7．如图1，抛物线与x轴的负半轴交于点A；过顶点D的直线交第一象限的抛物线于另一点E． (1)求点D的坐标； (2)若的面积为15，求直线的解析式； (3)如图2，将抛物线的顶点移到原点，直线与平移后的抛物线交于M，N两点，P是直线上一动点，直线，分别交抛物线于另一点G，H，连接交于点F．在点P的运动过程中，点F的位置是否发生变化?若不变，求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 8．已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若和为抛物线上不同的两点，当时，求的取值范围； (3)若把抛物线沿轴平移（）个单位，当时，的最小值为，求的值． 9．已知抛物线与x轴于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线与抛物线关于y轴对称，过点C作轴交抛物线于点D，P是抛物线上的一个动点，连接、、、．若，求点P的坐标． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，证明：对于y轴上任意一点，都存在过点D的直线交抛物线于E，F两点，使得； (3)将该抛物线在之间的部分图象记为Ω，将图象Ω在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图像，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值的取值范围是，求和的值； (3)当时，解决下列问题： ①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，请求出的取值范围． 12．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数中的图象变换问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二次函数的平移问题 2 类型二、二次函数的翻折问题 7 类型三、二次函数的对称问题 12 类型四、二次函数的旋转问题 18 压轴能力测评 25 一、二次函数的平移变换 平移方式（) 一般式 顶点式 平移口诀 向左平移个单位 左加 向右平移个单位 右减 向上平移个单位 上加 向下平移个单位 下减 二、二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 三、二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 绕顶点旋转180° 变号，均不变 绕原点旋转180° 均变号 沿x轴翻折 变号，不变 沿y轴翻折 不变，变号 类型一、二次函数的平移问题 例1．已知二次函数，点． （1）函数y的最小值为 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段有两个交点，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：（1）由题意，∵二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 故答案为：． （2）由（1）可得，二次函数为， 又∵二次函数沿y轴方向平移个单位长度， ∴平移后二次函数为． 又∵， ∴直线为． 又∵平移后与线段有两个交点， ∴结合图象可得，当过A时有两个交点，当与相切时仅有一个． 联立方程组， ∴． ∴． ∴． 又过时，则， ∴． 又∵二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段有两个交点， ∴． 变式1-1．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ． 【答案】 1 【详解】解：直线经过点， ，解得， 直线为， 把代入得， 点在直线上； 直线经过点，直线与抛物线都经过点，∴点，，在直线上， ∵直线与抛物线不可能有三个交点， ，两点的横坐标相同， 抛物线只能经过、两点， 把，代入，得 ． 解得，． ． 抛物线的解析式为， 设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，， 顶点仍在直线上， ， ， 抛物线与轴的交点的纵坐标为， ， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 故答案为：1；． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且．将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线是抛物线与y轴的交点．过点C作射线轴，交抛物线于D，E两点，点D在点E的左侧．若，求a的值． 【答案】或 【详解】解：设则是方程的两根， ∴，        ∵， ∴，            解得 ∴． ∴：, 向左平平移个单位得到抛物线：， 当时，， ∴，直线：， 与联立得， ∴， 解得，， ∴， 当时，，，， ∵, ∴， ∴， 当时，，，， ∴， ∴， 综上可得的值为或． 变式1-3．已知抛物线与x轴交于点，且过点． (1)求指物线的解析式和顶点坐标； (2)请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 【答案】(1)， (2)①向下平移5个单位，，②向左平移个单位， 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，可设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 即， ∵， ∴顶点坐标； （2）平移方法有： ①向下平移5个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∵顶点坐标； ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为， 即向下平移5个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上； ②向左平移个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∴向左平移个单位，抛物线的顶点为， 即向左平移个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上． 类型二、二次函数的翻折问题 例2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数的图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是_______； (3)若点在函数的图象上，求出的值； (4)当时，函数的最大值与最小值的差是时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 (4)或 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：或（舍去） ∴； （2）解：∵，则顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵翻折， ∴在部分的图象的顶点坐标为，解析式为： ∴的解析式为 观察函数图象可得，函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是或 （3）当时，，解得：或 当时，，解得：或 ∵点在函数的图象上， ∴或或或； （4）解：①当即时，依题意 解得：或（舍去） ②当时即时，依题意， 解得：（舍去）或（舍去） ③令， 解得：或 ∴当时，函数值的最大值为最小值为，符合题意， ∴ 解得： 综上所述，的取值范围为：或 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，求函数值，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式2-1．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：当时，， 解得，则， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 则方程整理为：， 则 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围为． 故答案为： 变式2-2．将函数的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的即是新函数的图象． （1）抛物线与轴的两个交点分别为和，则 ； （2）若该新函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 1 或 【详解】解：①令， 解得：，， 故答案为：1． ②由①知，函数图象与轴交点坐标为，， 如图，直线经过， 将代入，得， 解得， 增大，直线向上移动，当直线经过时，如图， 将代入，得， 解得， 满足题意． 直线向上移动，当直线与抛物线有1个交点时，如图， 令， 整理得，， ， 解得：， 增大满足题意， ， 综上所述，的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特点，解一元二次方程的方法，一元二次方程根据根的情况求参数，解题关键是掌握二次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点． 变式2-3．有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． (1)请根据以上信息求出二次函数表达式； (2)将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，， 【详解】（1）解：由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为： 设二次函数表达式为：． 该图象过 ，解得． 表达式为； （2）解：如图所示： 由已知条件可知直线与图形“”要有三个交点， ，，应当在直线的下方，且在过顶点且平行于的直线的上方， ， 当直线与轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求， ． 当直线过的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为 令时，解得或（舍去） ． 综上所述． 类型三、二次函数的对称问题 例3．如图，抛物线L：经过，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线L的表达式； (2)抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【详解】（1）解：∵抛物线L：经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形，理由如下： ∵，， ∴直线为， ∵点 ∴点A关于直线的对称点为， ∵抛物线与抛物线L关于直线对称， ∴点、在抛物线的图象上， 设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线与抛物线L关于直线对称的解析式， 设，则， ∵点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N． ∴，， ∵四边形为长宽之比是的矩形， ∴或， 整理得或， 解得，或，， ∵P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点， ∴， ∴或， 即点P的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特性、轴对称的性质、正方形的性质，根据题意得到关于m的方程是解题的关键． 变式3-1．已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线，关于直线对称，那么应将抛物线向 平移 个单位． 【答案】 右 5 【详解】解：抛物线：， 抛物线对称轴为． 抛物线与轴的交点为． 则与点关于直线对称的点是．． 若将抛物线平移到，并且，关于直线对称，就是要将点平移后与点关于直线对称． 则点平移后坐标应为． ∴将抛物线向右平移5个单位． 故答案为：右，5． 变式3-2．已知抛物线与x轴相交于和两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线L的函数表达式． (2)若抛物线与抛物线L关于原点O对称，F是抛物线位于第四象限的点，过点F作轴于点E，连接．若与相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：将两点代入中， 得 解得 ∴抛物线L的函数表达式为． （2）解：对于，当时，， ∴ 在中，．        又 ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线与抛物线L关于原点O对称， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 设点F的坐标是． 当与相似，则或，即或2， 则或， 解得，                     ∴点F的坐标为或或或 变式3-3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，C的坐标为； (3)点G的坐标为，，． 【详解】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． （3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴， ∴， 综上：点G的坐标为，，． 类型四、二次函数的旋转问题 例4．已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为　　　． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线，绕其顶点旋转， 则开口朝下形状不变，顶点为，得出， 故答案为． 变式4-1．如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，得， ， 令，得， ， ，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：． 变式4-2．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）①点始终在抛物线上， ， 抛物线的解析式为， ， ， 的面积， 解得或（舍， ； ②抛物线绕点旋转得到抛物线， 抛物线的解析式为， ， 中，当时，， 解得或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 如图1，过作轴交于，过作轴交于， ，，，， ， ， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 如图2，当在下方时， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 综上所述：直线的解析式为或． 变式4-3．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或或 (3)的值或取值范围是或 【详解】（1）解：由题意得：图像的函数解析式为， 当时，， ， 故答案为：； （2）解：， 顶点坐标为， 图像的顶点坐标为， 的解析式为， 在 的“青一对称”图像上， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或， 的值为或或； （3）解：， 顶点坐标为， 将的图像绕着原点旋转得到图像， 的顶点坐标为， 的解析式为， ①当直线与：相切时，即直线与的图像只有一个交点，则， 整理得：， ， 解得：， 此时的解析式为：， 联立直线与的解析式得：， 整理得：， 此时， 直线与的图像只有两个交点， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； ②当时， 的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 此时直线与的图像只有一个交点， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 当时，的图像与直线有两个交点和， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线只有三个交点； 当时，的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和，， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有四个交点； 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； 综上所述，的值或取值范围是或． 1．已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是 ． 【答案】4 【详解】解：设原抛物线为，则点在抛物线上，平移后的抛物线为， ∵点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴点在平移后的抛物线上， 把代入得到，， 解得， ∴， 当时，则， 解得或． ∴新抛物线与x轴两个交点间的距离是：， 故答案为：4． 2．已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：令，即，解得：， 故，两点的坐标分别为，． 如图，当直线经过点时，，可得， 当直线经过点时，，可得， 所以的取值范围为：； 翻折后的二次函数解析式为二次函数． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 所以的取值范围为：． 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 故答案为：或． 3．如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得： 则 解得：，， 平移后抛物线解析式为：或． 故答案为：或． 4．如果抛物线的顶点在抛物线上，并且抛物线的顶点也在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联． (1)已知抛物线①，抛物线②，判断这两条抛物线是否关联，说明理由； (2)把抛物线绕顶点旋转180°得到抛物线，把抛物线M先向上平移4个单位，再左右平移若干个单位得抛物线Q，若抛物线L与Q关联，请求出抛物线Q的解析式． 【答案】(1)抛物线①、②是关联的，理由见详解 (2)或 【详解】（1）解：∵①抛物线的顶点坐标为， ∴对于抛物线②，当时，， ∴在抛物线②上； ∵抛物线②，其顶点坐标为， 对于抛物线①，时，， ∴在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的； （2）解：， 第一种情况是把抛物线先向上平移4个单位，再左平移个单位得抛物线， 把抛物线的顶点代入抛物线Q得到， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线Q的解析式为； 第二种情况是把抛物线先向上平移4个单位，再右平移个单位得抛物线， 把抛物线的顶点代入抛物线Q得到， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线Q的解析式为； 综上所示：抛物线Q的解析式为或． 5．如图，将抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线与图象G有两个公共点．求m的取值范围． 【答案】或 【详解】解：由，解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴当时，直线与图象G有两个公共点； ∵， ∴翻折后的抛物线为， 由得， 当时，，解得， ∴当时，直线与图象G有两个公共点， 综上所述，或时，直线与图象G有两个公共点． 6．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)当点到轴的距离是时，求的值； (3)在（2）的条件下，且取有理数时，将抛物线绕点旋转得到抛物线，设与轴交于两点（点在点的左侧），求长度． 【答案】(1) (2)或或 (3)1 【详解】（1）解：点在抛物线上， ； （2）解：， ， ，或， 解得或或； （3）解：存在，理由如下， 依题意，m为有理数， ，抛物线解析式为， 令，解得， ， 抛物线绕点旋转得到抛物线，与轴交于两点（点在点的左侧）， 与大小形状相同，顶点坐标相同为，开口向下， 解析式为， 令， 解得，， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，将二次函数一般式化为顶点式，抛物线的旋转，抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图1，抛物线与x轴的负半轴交于点A；过顶点D的直线交第一象限的抛物线于另一点E． (1)求点D的坐标； (2)若的面积为15，求直线的解析式； (3)如图2，将抛物线的顶点移到原点，直线与平移后的抛物线交于M，N两点，P是直线上一动点，直线，分别交抛物线于另一点G，H，连接交于点F．在点P的运动过程中，点F的位置是否发生变化?若不变，求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点F的位置不变， 【详解】（1）解：， ∴点D的坐标为； （2）当时，，解得，， ∴点A的坐标为， 设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点D作轴交于点Q， 当时，， ∴点Q得坐标为， ∴， 解得：或（舍去） ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：由题意得平移后的抛物线为：， 联立与， 得：， 解得：或， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 同理可求：，， 联立直线的表达式 得：， 解得：， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 联立直线的表达式， 得：， 解得：， 将代入， 得：， ∴， 故点的位置不变． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的平移，三角形的面积，两个一次函数图像的交点问题掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若和为抛物线上不同的两点，当时，求的取值范围； (3)若把抛物线沿轴平移（）个单位，当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：由的对称轴为直线， 即， ， 将代入解析式， 得：， ， ； （2）解：将代入得， ， 将代入得：， ， ， 解得：或； （3）解：由（1）可得的对称轴为1， 且抛物线在范围内随的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值， ， 将代入得：， 或， 向左平移， ， ； ②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； 当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ， 综上所述，或． 9．已知抛物线与x轴于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线与抛物线关于y轴对称，过点C作轴交抛物线于点D，P是抛物线上的一个动点，连接、、、．若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴于点，， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式的解析式为：； （2）由（1）得：，即抛物线的顶点坐标为， 当时，，即：， ∵轴，由抛物线对称性可得：， ∴， 设直线的解析式为：，将，，代入， 可得，解得，∴， ∵已知抛物线与抛物线关于y轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， 即抛物线的解析式为：， 设，过点作轴，则，则， 即：，∴ 当在点下方时， ， 当在点上方，下方时， ， 当在点上方时， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 当时，解得：或， 当时，此时无解， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积综合性较强，解题时要注意数形结合思想，方程思想． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，证明：对于y轴上任意一点，都存在过点D的直线交抛物线于E，F两点，使得； (3)将该抛物线在之间的部分图象记为Ω，将图象Ω在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图像，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵，点A在点B的左侧, 将B点代入，解得， ∴． （2）解：如图1，过E作轴，过D作轴，过F作轴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴关于m的方程总有两个不相等的实数根， ∴存在E、F点使得． （3）解：原函数的顶点为，则翻折后的函数顶点, ①如图2，当N点在G点下方时，,此时， ∴， ∴， ∴； ②如图3，当N点在G点上方时，则， ，此时， ∴， ∴， ． 综上所述：t的取值范围为． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值的取值范围是，求和的值； (3)当时，解决下列问题： ①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①或；② 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线 故答案为： （2）解：∵当时，函数值的取值范围是， 且， ∴抛物线的顶点坐标为 将代入得：， 解得：， ∴ ∵ ∴当时，； 解得： （3）解：①当时，； ∵抛物线上一点到轴的距离为6，顶点坐标为 ∴点在轴上方 令，解得： ∴点的坐标为或； ②设图象折叠后，顶点的对称点为， ∴； ∵当时，； ∴ 若点在点下方，则的最高点为，最低点为; ∴，解得：； 若点在点上方，则的最高为，最低点为; ∴，解得：； 综上所述： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及了二次函数的对称轴、二次函数的最值、二次函数与翻折问题，掌握数形结合的数学思想是解题关键． 12．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 【答案】(1)①② (2)的值为或或或； (3) 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得， ∴或， ∴当时，当时，， ∴的图象上存在“平衡点”和， 同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”； 故答案为：①②； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有个“平衡点” 有两个相等实数根， ，即， ， ∴的纵坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$