第20讲 用一次函数解决问题（2个知识点+2种题型+分层练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第20讲 用一次函数解决问题（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型强化 题型一．根据实际问题列一次函数关系式 1．（滨海县期末）等腰三角形周长为，底边长与腰长之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加米，宽增加米，则与的函数关系式是 　　，自变量的取值范围是 　　，且是的 　　函数． 3．（2023秋•兴化市校级月考）在弹性限度内， 弹簧长度是所挂物体质量的一次函数 ． 已知一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时的长度为，试求与的函数表达式 ． 题型二．一次函数的应用 4．（2023秋•句容市期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是　　 A．2 B． C． D．1 5．（2023秋•工业园区校级月考）杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加，秤砣到秤纽的水平距离就增加，请你写出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂重物之间的函数关系式：　． 6．（2023秋•亭湖区校级月考）2023年4月，无人快递车在我市的城市道路上正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中，两网点相距1000米．甲、乙两车分别从，两网点同时出发，匀速行驶去往目的地，．图中，分别表示甲、乙两车离地的距离（米与行驶时间（分钟）的函数关系图象． （1）直线的函数表达式为 　　； （2）出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ （3）甲快递车到网点后，再经过1分钟乙车也到网点，求，两网点间的距离． 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系内，直线与两坐标轴交于、两点，点为坐标原点，若在该坐标平面内有以点（不与点、、重合）为顶点的直角三角形与全等，且这个以点为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的点个数为（        ） A．9个 B．7个 C．5个 D．3个 2．已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 3．某市为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树万亩，以后每年比上一年增加一万亩，以植树时间年数x（年）为自变量，植树总数y（万亩）是x的一次函数．此函数的图象为（　　） A． B． C． D． 4．在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论错误的是（　　） A．甲车的行驶速度是60千米/小时 B．乙车的行驶速度是90千米/小时 C．A，B两地的路程为240千米 D．出发4.5小时，甲、乙两车同时到达B地 5．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．    有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 6．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（km）与时间（）之间的关系．对于以下说法：①乙出发1小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是13km/h；④当乙出发2小时时，两人相距km．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队独自完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度（米）与维修时间（时）之间的函数图象如图所示． 下列说法中：（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米；（2）乙一共工作2小时；（3）；（4）甲队调离后与之间的函数关系式为． 正确的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C是x轴上一个动点，过点B作直线BH⊥AC于点H，过点C作CD∥y轴，交BH于点D，点C在x轴上运动的过程中，点D不可能经过的点是（　　） A．（2，﹣3） B．（1，﹣3） C．（4，0） D．（0，﹣4） 9．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，根据图中信息，下列说法正确的有几个（    ） ①前10分钟，甲比乙的速度慢；    ②经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 ③甲的平均速度为0.08千米/分钟；    ④经过30分钟，甲比乙走过的路程少 A．1 B．2 C．3 D．4 10．有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法 （1）施工6小时，甲队比乙队多施工了10米； （2）施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同； （3）施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则每条路面铺设任务的长度为110米．其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．直线在y轴上截距是 ． 12．如图，的方格摆放在平面直角坐标系中，其中两边分别与轴和轴重合，经过原点的直线将格点六边形分成和两部分，且，则直线的解析式为 ．      13．北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表: 北京市居民用水阶梯水价表    单位: 元/立方米 分档水量 户年用水量 （立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水 处理费 第一阶梯 0-180（含） 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 181-260（含） 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费 元. 14．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 ． 15．在直角坐标系中，如图所示，把∠BAO放在直角坐标系中，使射线AO与x轴重合，已知BAO=30°，OA=OB=1，过点B作BA1⊥OB交x轴于A1，过点A1作B1A1⊥BA1交直线AB于点B1，过B1作B1A2⊥B1A1交x轴于点A2，再过A2依次作垂直…．则△A6B6A7的面积为 . 16．某绿化组承担了某地绿化任务，工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴，轴分别交于点，，当轴上的动点到直线的距离与到点的距离之和最小时，则点的坐标是 ． 18．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线与直线的内部作等腰，使，边轴，轴，在直线上，点C在直线上，CB的延长线交直线于点，作等腰，使轴，轴，点在直线上，按此规律，则等腰的腰长为 ． 三、解答题 19．某商店计划一次性购进A，B两种型号的电脑100台，其中B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍．已知每销售1台A型电脑的利润为100元，每销售1台B型电脑的利润为150元．问：该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使售完这100台电脑的总利润最大？最大利润是多少？ 20．某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表： 月租费（元/部） 通讯费（元/分钟） 备注 A种收费标准 50 0.4 通话时间不足1分钟按1分钟计算 B种收费标准 0 0.6 设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题： （1）分别写出按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用的关系式； （2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？说说你的理由； （3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？说说你的理由； 21．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门，乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由． 22．某服装公司有型童装80件，型童装120件，分配给下属的“万达”和“万象城”两个专卖店销售，其中140件给万达店，60件给万象城店，且都能卖完，两商店销售这两种童装每件的利润（元）如表： 型利润（元） 型利润（元） 万达店 100 80 万象城店 80 90 （1）设分配给万达店型产品件（），请在下表中用含的代数式填写： 型分配量（件） 型分配量（件） 万达店 ______ 万象城店 ______ ______ 若记这家服装公司卖出这200件产品的总利润为（元），求关于的函数关系． （2）现要求总利润不低于18140元，请说明有多少种不同分配方案，并写出各种分配方案． 23．某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． (1)求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ (2)该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ (3)为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 24．某健身俱乐部每次健身费用为25元，暑期将至，其面向学生推出优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身（次），按照方案一所需总费用为（元），且；按照方案二所需总费用为（元），且，其函数图象如图所示： (1)求和的值，并说明它们的实际意义； (2)求出与的函数关系式； (3)八年级学生艾国计划暑假前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，直线与轴、、分别交于点、、．，过点作，交于点． （）点的坐标为__________．（结果保留根号） （）求证：点、关于轴对称． （）若，求直线对应的函数表达式． 26．为了进一步推进“乡村振兴”计划，提高农民收入．某村根据当地的地理条件，计划要在一座最大海拔高度为1000米的山上，选一处山坡，开垦150亩的农田，用于种植甲、乙两种农作物．为了提高种植农作物的经济效益，相关工作人员对这两种作物的市场销售情况及种植条件进行了如下调研： ①甲作物的价格随时节波动较大，工作人员从一年中随机抽取30天进行调查，并绘制了这30天销售价格（单位：万元/t）的频数分布直方图，如图1所示；乙种作物的市场销售价格基本保持在0.6万元/t． ②甲种作物的年平均产量（单位：t/亩）随种植高度（单位：m）变化的大致图象（图象由线段和线段组成），如图2所示． 乙种作物的年平均产量为2（单位：t/亩），种植高度（单位：m）对产量的影响忽略不计． ③由于建设灌溉系统、物质运输等会产生种植成本，工作人员在山坡上选取了部分有代表性的地点测算平均种植成本（单位：万元/亩），数据如表3： 表3 种植高度 （单位：m） 0 50 200 400 600 700 平均种植成本 （单位：万元/亩） 0.3 0.315 0.36 0.42 0.48 0.51 根据以上信息，解决下列问题： (1)当种植高度为600m时，求甲种作物的年平均产量； (2)若要求甲种作物的种植面积不少于乙种作物的2倍，为了使农民获得更高的利润，请你为该村规划种植方案，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 用一次函数解决问题（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型强化 题型一．根据实际问题列一次函数关系式 1．（滨海县期末）等腰三角形周长为，底边长与腰长之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确的取值范围即可． 【解答】解：， ，则， 解得：， 由两边之和大于第三边，得， 解得：， 综上可得： 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键． 2．（2022秋•吴江区月考）一个长为120米，宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加米，宽增加米，则与的函数关系式是 　　，自变量的取值范围是 　　，且是的 　　函数． 【分析】正方形的边长相等，所以等量关系为：原长原宽． 【解答】解：依题意有， 则， 不能是负数，， 符合一次函数的一般形式． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．一次函数的一般形式为，是常数，且． 3．（2023秋•兴化市校级月考）在弹性限度内， 弹簧长度是所挂物体质量的一次函数 ． 已知一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时的长度为，试求与的函数表达式 ． 【分析】首先假设出一次函数解析式， 进而利用待定系数法求一次函数解析式即可 ． 【解答】解：一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时的长度为， 设与的函数表达式为：， ， 解得：， 与的函数表达式为：． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式， 得出，的值是解题关键 ． 题型二．一次函数的应用 4．（2023秋•句容市期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是　　 A．2 B． C． D．1 【分析】延长，与轴相交，过点作轴的垂线（法线），根据平行线的性质及光的反射定律，利用证明三角形全等，从而求得延长线与轴的交点坐标，将它代入的函数关系式，求出的值即可． 【解答】解：延长，交轴于点，过点作轴． 轴， ，， ， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， 点的坐标为． 将坐标代入， 得， ． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握平行线的性质和光的反射定律是本题的关键． 5．（2023秋•工业园区校级月考）杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加，秤砣到秤纽的水平距离就增加，请你写出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂重物之间的函数关系式：　． 【分析】根据题意即可写出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂重物之间的函数关系式． 【解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 6．（2023秋•亭湖区校级月考）2023年4月，无人快递车在我市的城市道路上正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中，两网点相距1000米．甲、乙两车分别从，两网点同时出发，匀速行驶去往目的地，．图中，分别表示甲、乙两车离地的距离（米与行驶时间（分钟）的函数关系图象． （1）直线的函数表达式为 　　； （2）出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ （3）甲快递车到网点后，再经过1分钟乙车也到网点，求，两网点间的距离． 【分析】（1）设直线的函数表达式为，由点的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的函数表达式； （2）设直线的函数表达式为，由点，的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的函数表达式，联立两直线函数表达式组成方程组，解之即可得出结论； （3）根据“甲快递车到网点后，再经过1分钟乙车也到网点”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，两网点间的距离，结合，两网点相距1000米，即可求出，两网点间的距离． 【解答】解：（1）设直线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为． 故答案为：； （2）设直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为． 联立两直线函数表达式组成方程组， 解得：， 出发后甲快递车行驶分钟，与乙快递车相遇； （3）根据题意得：， 解得：， ， ，两网点间的距离为（米． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系内，直线与两坐标轴交于、两点，点为坐标原点，若在该坐标平面内有以点（不与点、、重合）为顶点的直角三角形与全等，且这个以点为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的点个数为（        ） A．9个 B．7个 C．5个 D．3个 【答案】B 【分析】可先求得A、B两点的坐标，再分以AB为公共边，以OA为公共边和OB为公共边进行分别讨论求其坐标即可． 【详解】解：在y=x+3中，令x=0则y=3，令y=0则x=-4， ∴A为（-4，0），B为（0，3），可求得AB=5， （Ⅰ）当以AB为公共边时，分两种情况： （1）当PA=3，PB=4时，当P在x轴上方时，如图1， 可知∠PBA=∠BAO， ∴PB∥OA， ∴P点坐标为（-4，3）， 当P点在x轴下方时，如图2，设PB交AO于点C，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴， ∵△PAB≌△OBA， ∴PB=AO=4，PA=OB=3， 设P点坐标为（x，y），则PE=DO=-x，PD=-y，AD=4+x，BE=3-y， 在Rt△PEB中，由勾股定理可得（-x）2+（3-y）2=42，整理可得x2+y2-6y=7①， 在Rt△ADP中，由勾股定理可得（4+x）2+y2=32，整理可得x2+y2+8x=-7②， 由①、②可解得x=-，y=-， ∴此时P点坐标为（-，-）； （2）当PA=4，PB=3时， 当P在x轴上时则与O点重合， 当P在x轴上方时，如图3，过P作PF⊥x轴，过B作BG⊥PF于点G， ∵△PAB≌△OBA， ∴PB=BO=3，PA=OA=4， 设P点坐标为（x，y），则PF=y，FO=BG=-x，AF=4+x，PG=y-3， 在Rt△AFP中，由勾股定理可得y2+（4+x）2=42，整理可得x2+y2+8x=0③， 在Rt△PGB中，由勾股定理可得x2+（y-3）2=32，整理可得x2+y2-6y=0④， 由③、④可解得x=-，y=， ∴此时P点坐标为（-,）； （Ⅱ）当以AO为公共边时，分两种情况： 当P点在x上方时，与（-4，3）重合，如图4， 当P点在x下方时，当AP=BO=3时，可求得P点坐标为（-4，-3）， 当PO=BO=3时，可求得P点坐标为（0，-3）， （Ⅲ）当以BO为公共边时，分两种情况： 当P点在y轴左侧时，与（-4，3）重合，如图5， 当P点在y轴右侧时，当BP=AO=4时，可求得P点坐标为（4，3）， 当OP=OA=4时，可求得P点坐标为（4，0）， 综上可知满足条件的P点共有七个，坐标分别为（-4，3）、（-，-）、（-,）、（-4，-3）、（0，-3）、（4，3）、（4，0）．共7点. 故选B 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直线的交点、勾股定理等知识的综合应用．分类讨论是这类问题的解题思想，先确定出P点的位置是解题的关键，设出点的坐标利用勾股定理得到坐标的方程是解题中的困难．本题数据比较繁琐，很容易出错．情况比较多，注意不重不漏． 2．已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键． 由已知函数图象得到，，然后根据第二象限点的坐标特点求解即可． 【详解】∵一次函数的图象如图所示， ∴， ∵小兔子在第二象限 ∴横坐标为负，纵坐标为正， ∴点A的坐标可能是． 故选：D． 3．某市为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树万亩，以后每年比上一年增加一万亩，以植树时间年数x（年）为自变量，植树总数y（万亩）是x的一次函数．此函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出：总面积y（万亩）是x的一次函数，，代入求得特殊点，判定函数的图象即可． 【详解】解：根据题意，总面积y（万亩）是x的一次函数，， 当，， 所以选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，与一次函数的图象，根据函数解析式找出图象上的点是正确判定的关键． 4．在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论错误的是（　　） A．甲车的行驶速度是60千米/小时 B．乙车的行驶速度是90千米/小时 C．A，B两地的路程为240千米 D．出发4.5小时，甲、乙两车同时到达B地 【答案】D 【分析】根据题意结合图象可判断线段OF为甲车距出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，折线O—M—N—E为乙车距出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，再逐项计算判断即可． 【详解】根据题意结合图象可判断线段OF为甲车距出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象， 折线O—M—N—E为乙车距出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象． ∴甲车的速度为：600÷10=60千米/小时，故A正确，不符合题意； 由题意可知乙车从C地到达B地所用时间为小时， ∴乙车的速度为：360÷4=90千米/小时，故B正确，不符合题意； A，B两地的路程为600-360=240千米，故C正确，不符合题意； 甲车到达B地所用时间为240÷60=4小时，乙车到达B地所用时间为360÷90=4小时， ∴出发4小时，甲、乙两车同时到达B地，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意，看懂图象是解题的关键． 5．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．    有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意用待定系数法分别求出甲、乙的函数关系，图形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意可知，设甲车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为， ∴当时，，则， ∴甲的函数关系式为， 设乙车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为， ∴当时，；当时，； ∴，解得，， ∴乙的函数关系式为， ∴结论①两城相距， 根据图示可得，结论①正确； 结论②乙车比甲车晚出发，却早到， 根据图示可得，结论②正确； 结论③乙车出发后追上甲， 令，则，解得，， ∴当时，甲乙相遇，乙行驶的时间为（）， ∴乙车出发后追上甲，故结论③错误； 结论④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了， 令，则，解得，， ∵当时，甲乙相遇， 令相遇后，则，解得，， ∵当时，，此时乙还未出发；当时，乙已经到达地，甲离地的路程为，若甲、乙相距，则甲需要行驶到时，则， ∴当或或或时，甲、乙相距，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数与行程的综合运用，掌握待定系数法求一次函数解析式，图形结合分析是解题的关键． 6．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（km）与时间（）之间的关系．对于以下说法：①乙出发1小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是13km/h；④当乙出发2小时时，两人相距km．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再求出当时，的值即可判断①；根据，的交点的纵坐标即可判断②；根据速度等于路程除以时间分别求出甲、乙的速度即可判断③；根据它们的速度分别求出时，甲、乙所走的路程，由此即可判断④． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 则乙出发1小时后甲才出发，结论①正确； 由函数图象可知，当时，两人相遇，他们离开地，结论②正确； 甲的速度为， 乙的速度为，则结论③错误； 当时，甲所走的路程为，乙所走的路程为， 则当乙出发2小时时，两人相距，结论④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、从函数图象获取信息，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 7．甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队独自完成了剩余的维修任务．已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面30米．甲、乙两队在此路段维修路面的总长度（米）与维修时间（时）之间的函数图象如图所示． 下列说法中：（1）甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米；（2）乙一共工作2小时；（3）；（4）甲队调离后与之间的函数关系式为． 正确的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象即可判断（1）（2），根据题意得出甲乙两队维修路面的总长即可解答（3），设的函数关系式为，用待定系数法即可解答（4）． 【详解】解：（1）由图像知：甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为150米，故（1）正确， （2）由图象可知，甲乙共同工作3小时，乙又工作了2小时，乙总共工作小时，故（2）错误， （3）甲乙共同工作3小时共维修150米，甲维修米， 乙队每小时维修路面米， 乙2小时维修路面为米， 米，故（3）正确， （4），设的函数关系式为， ， ， 解得， ，故（4）正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C是x轴上一个动点，过点B作直线BH⊥AC于点H，过点C作CD∥y轴，交BH于点D，点C在x轴上运动的过程中，点D不可能经过的点是（　　） A．（2，﹣3） B．（1，﹣3） C．（4，0） D．（0，﹣4） 【答案】B 【分析】利用特殊值法解决问题即可； 【详解】当点C坐标为（2，0）时，直线AC的解析式为y=﹣2x+4，直线BC的解析式为 ∵CD∥y轴， ∴D（2，﹣3）， 当点C的坐标为（4，0）时，点D与点C重合，D（4，0）， 当点C的坐标为（0，0）时，点D与点B重合中，D（0，﹣4）， ∴点D的坐标可以为（2，﹣3），（4，0）（0，﹣4）， 故选B． 【点睛】本题考查轨迹、坐标与图形性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型． 9．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，根据图中信息，下列说法正确的有几个（    ） ①前10分钟，甲比乙的速度慢；    ②经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 ③甲的平均速度为0.08千米/分钟；    ④经过30分钟，甲比乙走过的路程少 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解函数图象是解题关键．根据函数关系图算出前10分钟，甲的速度，乙的速度，可判断①；观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过20分钟，甲、乙走的路程，即可判断②；根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，即可判断③；经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，即可判断④． 【详解】解：前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故①说法正确； 经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故②说法正确； 根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故③说法正确； 经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故④说法错误． 所以说法正确的有3个． 故选：C． 10．有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法 （1）施工6小时，甲队比乙队多施工了10米； （2）施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同； （3）施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则每条路面铺设任务的长度为110米．其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据图中的信息可从中找到甲、乙两队各组数据，并且利用待定系数法即可确定函数关系式进而逐一各个选项判断即可． 【详解】解：①施工6小时，甲队比乙队多施工了60−50＝10米，正确； 设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y＝k1x， 由图可知，函数图象过点（6，60）， ∴6 k1＝60，解得k1＝10， ∴y＝10x， 设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b， 由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴，解得：， ∴y＝5x＋20， ②由题意，得10x＝5x＋20， 解得x＝4． ∴当x=4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，正确； ③把x＝5代入解析式y＝10x＝50， 把x＝5代入解析式y＝5x＋20＝45， 45＋50＝95，施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米，正确； ④设路面铺设任务的长度为m米， 则， 解得：m=110， 路面铺设任务的长度为110米，正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解函数图像上点的坐标的实际意义是解题的关键． 二、填空题 11．直线在y轴上截距是 ． 【答案】7 【分析】先求出直线与y轴的交点，即可求解． 【详解】令x=0,y=7 ∴直线与y轴的交点是（0，7） ∴直线在y轴上截距是7 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是求出直线与y轴的交点． 12．如图，的方格摆放在平面直角坐标系中，其中两边分别与轴和轴重合，经过原点的直线将格点六边形分成和两部分，且，则直线的解析式为 ．      【答案】 【分析】要求得直线的解析式，必须要求得点C的坐标，所以设，再根据题目中给的面积之比，即可解得m，然后求出解析式． 【详解】解：设， 解得： 过 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到关键点C，并通过已知的面积比列式． 13．北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表: 北京市居民用水阶梯水价表    单位: 元/立方米 分档水量 户年用水量 （立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水 处理费 第一阶梯 0-180（含） 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 181-260（含） 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费 元. 【答案】970 【详解】解：180×5+（190-180）×7=970（元）； 故答案为：970． 14．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧剩下的长度与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 ． 【答案】， 【分析】根据题意，点燃后每小时耗去6cm，则x小时后，耗去6xcm，而蜡烛原长为18cm，易得y与t之间的函数关系式，又根据实际意义，可得，计算可得x的范围. 【详解】根据题意，点燃后每小时耗去6cm，则x小时后，耗去6xcm，而蜡烛原长为18cm， ∴y与x之间的函数关系式是y=18-6x， 又∵y=18-6x，可得 ， 故答案为：，. 【点睛】此题考查一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数的关系式是解题的关键. 15．在直角坐标系中，如图所示，把∠BAO放在直角坐标系中，使射线AO与x轴重合，已知BAO=30°，OA=OB=1，过点B作BA1⊥OB交x轴于A1，过点A1作B1A1⊥BA1交直线AB于点B1，过B1作B1A2⊥B1A1交x轴于点A2，再过A2依次作垂直…．则△A6B6A7的面积为 . 【答案】． 【分析】根据OA的长即可求出A的坐标，根据OB和∠BOA1=60°，即可求出B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解；推出∠BAC=∠ABO=30°，求出∠BOC=60°，∠BA1O=30°，求出BA1=，求出A1B1=×、B1A2=3=××，同理求出A6B6=12个相乘，B6A7=13个相乘，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】∵OA=1， ∴A（-1，0）， 易求B（，）． 设直线AB的解析式是：y=kx+b， 把A（-1，0），B（，）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=x+． ∵OB=OA=1， ∴∠BAC=∠ABO=30°， ∴∠BOC=60°， ∴∠BA1O=30°， ∴BA1=， 同理∠BB1A1=30°， ∴B1A1=3=×， 同理：B1A2=3=××， … A6B6=××…×（12个相乘）， B6A7=××…×（13个相乘）， ∴△A6B6A7的面积是：A6B6×B6A7=×（××…×）×（××…×） =， 答：△A6B6A7的面积是． 【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的应用，关键是能根据求出的数据得出规律，题目比较好，但是有一定的难度． 16．某绿化组承担了某地绿化任务，工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，先根据图像求出第二段解析式，计算出的函数值，从而求出，即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， 设函数解析式为：， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 当时， ， ∴， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴，轴分别交于点，，当轴上的动点到直线的距离与到点的距离之和最小时，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据两点之间线段最短、垂线段最短确认所求的点E在直线上的位置，再根据等腰直角三角形的判定与性质求出点坐标，然后由等腰三角形的三线合一性可得为斜边上的中线，从而可得点F坐标和的长，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点P作，作点A关于x轴的对称点，连接 由轴对称的性质得： 过点作，交x轴于点 由两点之间线段最短、垂线段最短得：最小值为，即最小值为此时，点P与点重合，点E与点重合，则点的坐标即为所求 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， 过点作轴于点F 则在等腰中，为斜边上的中线 坐标为，即； 则点的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，依据题意，利用轴对称性、两点之间线段最短、垂线段最短确认所求的点E的位置是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线与直线的内部作等腰，使，边轴，轴，在直线上，点C在直线上，CB的延长线交直线于点，作等腰，使轴，轴，点在直线上，按此规律，则等腰的腰长为 ． 【答案】 【分析】设AB=a，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，利用y=x求出A 11点的坐标，A1B1=b，则利用y=2x求出点C1（，），从而得到A1B1的长度，以此类推，求出A2B2、A3B3，从而得出即可得到结果． 【详解】解：设， 直线与直线的内部作等腰，是，边轴，轴，点在直线上， ，，， 点在直线上， ， 解得， 等腰的腰长为， ，， 的坐标为，， 设，则，， 点在直线上， 解得， 等腰△的腰长为 ， ，， 设，则，， 点在直线上， ， 解得， 等腰△的腰长为， 以此类推， ，即等腰△的腰长为， ，即等腰△的腰长为， ，等腰△的腰长为， ∴的腰长为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 三、解答题 19．某商店计划一次性购进A，B两种型号的电脑100台，其中B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍．已知每销售1台A型电脑的利润为100元，每销售1台B型电脑的利润为150元．问：该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使售完这100台电脑的总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使售完这100台电脑的总利润最大，最大利润是13300元； 【分析】设购进A型电脑x台，则B型电脑台，由B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍可得x的取值范围；求得总利润的表达式再结合一次函数的增减性计算求值即可； 【详解】解：设购进A型电脑x台，售完这100台电脑的总利润为y元， 根据题意得购进B型电脑台， ∵B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍， ∴， 解得， 总利润 ∵比例系数， ∴y随x的增大而减小， 又x为正整数， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时B型电脑的数量为台， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使售完这100台电脑的总利润最大，最大利润是13300元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式和一次函数的实际应用，掌握一次函数增减性的判定是解题关键． 20．某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表： 月租费（元/部） 通讯费（元/分钟） 备注 A种收费标准 50 0.4 通话时间不足1分钟按1分钟计算 B种收费标准 0 0.6 设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题： （1）分别写出按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用的关系式； （2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？说说你的理由； （3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？说说你的理由； 【答案】（1）WA=50+0.4x；WB=0.6x；（2）应选择A种计费标准，更合适更省钱；（3）应该选用B种计费标准． 【分析】（1）根据手机费=月租费+通话费列出两种方式的用户应缴纳手机费用的解析式即可； （2）分别计算出两种方式通话300分钟时应付的手机费，通过比较可得出用哪种方式省钱合适； （3）根据题（1）的解析式，比较哪种方式通话时间长就选择哪种收费方式． 【详解】解：（1）设按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用为WA、WB，由题意得： WA=50+0.4x；WB=0.6x； （2）该用户每月通话时间为300分钟时， 按A类收费标准，该用户应缴纳手机费用为：WA=50+0.4×300=170（元）； 按B类收费标准，该用户应缴纳手机费用为：WB=0.6×300=180（元）； 因为WA＜WB，所以应选择A种计费标准，更合适更省钱； （3）该用户每月手机费用不超过90元时，选用A种计费标准通话时长最长为： （90-50）÷0.4=100（分钟）； 选用B种计费标准通话时长最长为：90÷0.6=150（分钟）， 因为选用A种计费标准通话最长时长＜选用B种计费标准通话最长时长， 所以应该选用B种计费标准． 故答案为（1）WA=50+0.4x；WB=0.6x；（2）应选择A种计费标准，更合适更省钱；（3）应该选用B种计费标准． 【点睛】本题考查代数式的运用，一次函数的解析式，设计方案的选择，解答时求出函数的解析式是关键． 21．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门，乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由． 【答案】(1)甲方案：，乙方案： (2)当购买5000千克时，两种购买方案付款相同，当购买质量大于5000千克时，乙方案付款少，当购买质量小于5000千克时，甲方案付款少 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，（1）根据甲、乙方案的等量关系，列等式即可求解； （2）根据比较和的大小关系，求出不等式的解集即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，甲方案：，乙方案：； （2）解：根据题意得，当， 解得， ∴当购买5000千克时，两种购买方案付款相同， 当， 解得， ∴当购买质量大于5000千克时，乙方案付款少， 当， 解得， ∴当购买质量小于5000千克时，甲方案付款少． 22．某服装公司有型童装80件，型童装120件，分配给下属的“万达”和“万象城”两个专卖店销售，其中140件给万达店，60件给万象城店，且都能卖完，两商店销售这两种童装每件的利润（元）如表： 型利润（元） 型利润（元） 万达店 100 80 万象城店 80 90 （1）设分配给万达店型产品件（），请在下表中用含的代数式填写： 型分配量（件） 型分配量（件） 万达店 ______ 万象城店 ______ ______ 若记这家服装公司卖出这200件产品的总利润为（元），求关于的函数关系． （2）现要求总利润不低于18140元，请说明有多少种不同分配方案，并写出各种分配方案． 【答案】（1）填表见详解，； （2）分配方案有三种： 方案一：给万达店型产品78件，型产品62件，给万象城店型产品2件，型产品58件； 方案二：给万达店型产品79件，型产品61件，给万象城店型产品1件，型产品59件； 方案三：给万达店型产品80件，型产品60件，给万象城店型产品0件，型产品60件． 【分析】（1）根据万达店共需140件，已经有型x件，所以需要B型（140-x）件，A型一共80件，所以万象城店需要分配A型（80-x）件，需要分配B型[120-（140-x）]=（x-20）件；根据“总利润=万达店AB两种型号利润和+万象城店AB两种型号利润”即可列出函数关系式，并根据表格各量实际意义可以确定自变量取值范围； （2）根据总利润不低于18140列出不等式，解不等式，根据（1）自变量取值范围，进一步确定x取值范围，根据x为整数，即可确定方案． 【详解】解：（1）设分配给万达店型产品件（），填表如下： 型分配量（件） 型分配量（件） 万达店 万象城店 ， 整理，得， 即关于的函数关系式是. （2）由题意，可得， 解得， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，79，80． ∴分配方案有三种： 方案一：给万达店型产品78件，型产品62件，给万象城店型产品2件，型产品58件； 方案二：给万达店型产品79件，型产品61件，给万象城店型产品1件，型产品59件； 方案三：给万达店型产品80件，型产品60件，给万象城店型产品0件，型产品60件． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，用含x的式子表示出AB型号的童装在两店数量，结合各自单件利润确定函数解析式，并确定自变量取值是解题关键． 23．某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． (1)求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ (2)该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ (3)为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 【答案】(1)甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个 (2)一共有5种进货方案，其中购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元 (3)或 【分析】（1）设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个，根据题意列出不等式组求出m的取值范围，求出整数a的值，即可得出方案；设利润为w元，求出，利用一次函数的性质求解即可； （3）分别求出两函数的解析式，然后根据相差列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个， 根据题意，得， 解得， 答：甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个； （2）解：设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为80，81，82，83，84，共5个 ∴一共有5种进货方案； 设利润为w元， 则 ， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值为， 此时， ∴购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元； （3）解：设甲所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴， 设乙所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴ 根据题意，得， 解得或， 答：这两个遥控飞机高度相差时上升的时间或． 24．某健身俱乐部每次健身费用为25元，暑期将至，其面向学生推出优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身（次），按照方案一所需总费用为（元），且；按照方案二所需总费用为（元），且，其函数图象如图所示： (1)求和的值，并说明它们的实际意义； (2)求出与的函数关系式； (3)八年级学生艾国计划暑假前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)，的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元． (2) (3)选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键． （1）直接根据函数的图象结合实际意义进行解答； （2）根据打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得及解析式 ； （3）根据（1）（2）分别计算时的函数值，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：的图象过点和点， ∴， ∴． ∴， 的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元． b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元． （2）打折前的每次健身费用为25元， ． ∴， （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： ∵．． 当时，，． ∵， ∴艾国暑期前往该俱乐部健身8次，选择方案一所需费用更少． 25．如图，在平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，直线与轴、、分别交于点、、．，过点作，交于点． （）点的坐标为__________．（结果保留根号） （）求证：点、关于轴对称． （）若，求直线对应的函数表达式． 【答案】（）．（）证明见解析．（） 【详解】试题分析：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据等边三角形的性质可知：AO=3，∠AOM=60°，在Rt△AMO中利用30°角的对边为斜边的一半结合勾股定理可求出AM、OM的长，从而得出点A的坐标； （2）由EF∥OA利用平行线的性质可得出∠BFE=∠BOA=60°，结合∠OBA=60°可得出△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出BE=BF可得出BE=BF、BO=BA，进而即可得出AE=OF，再由OC=AE即可得出OC=OF，从而证出点C、F关于y轴对称； （3）设OC=OF=x，根据边与边的关系找出∠OCD=∠ODC，再根据平行线的性质即可得出∠CEF=∠CDO=∠ECF，进而可得出CF=EF，由此即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值，进而可得出点C、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线l对应的函数表达式． 试题解析：解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，如图1所示． ∵△A0B是边长为3的等边三角形，∴AB=OB=OA=3，且∠AOM=60°． 在Rt△AMO中，OA=3，∠AOM=60°，∴∠OAM=30°，∴OM=OA=，AM==，∴点A的坐标为（，）． （2）证明：若证C、F关于y轴对称，只需证OC=OF即可． ∵EF∥OA，∴∠BFE=∠BOA=60°，∵∠OBA=60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF． ∵△AOB是等边三角形，∴BO=BA，∴AE=AB﹣BE=OB﹣BE=OF，又∵0C=AE，∴OC=OF，∴点C、F关于y轴对称． （3）设OC=OF=x，∵OB=3，∴BF=EF=3﹣x，∵AD=EF，∴AD=3﹣x． ∵OA=3，∴OD=x，∴∠OCD=∠ODC． ∵OA∥EF，∴∠CEF=∠CDO=∠ECF，∴EF=CF，即3﹣x=2x，解得：x=1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（，）． 设直线l对应的函数表达式为y=kx+b，将点C（﹣1，0）、点D（，）代入直线l对应的函数表达式中，得，解得：． 故直线l对应的函数表达式为． 点睛：本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）在Rt△AMO中求出AM、OM的长；（2）证出AE=OF；（3）求出点C、D的坐标．本题属于中档题，整体难度不大，解决该题型题目时，根据等边（等腰）三角形的性质找出相等的边，再通过30°角以及勾股定理找出各边长是解题的关键． 26．为了进一步推进“乡村振兴”计划，提高农民收入．某村根据当地的地理条件，计划要在一座最大海拔高度为1000米的山上，选一处山坡，开垦150亩的农田，用于种植甲、乙两种农作物．为了提高种植农作物的经济效益，相关工作人员对这两种作物的市场销售情况及种植条件进行了如下调研： ①甲作物的价格随时节波动较大，工作人员从一年中随机抽取30天进行调查，并绘制了这30天销售价格（单位：万元/t）的频数分布直方图，如图1所示；乙种作物的市场销售价格基本保持在0.6万元/t． ②甲种作物的年平均产量（单位：t/亩）随种植高度（单位：m）变化的大致图象（图象由线段和线段组成），如图2所示． 乙种作物的年平均产量为2（单位：t/亩），种植高度（单位：m）对产量的影响忽略不计． ③由于建设灌溉系统、物质运输等会产生种植成本，工作人员在山坡上选取了部分有代表性的地点测算平均种植成本（单位：万元/亩），数据如表3： 表3 种植高度 （单位：m） 0 50 200 400 600 700 平均种植成本 （单位：万元/亩） 0.3 0.315 0.36 0.42 0.48 0.51 根据以上信息，解决下列问题： (1)当种植高度为600m时，求甲种作物的年平均产量； (2)若要求甲种作物的种植面积不少于乙种作物的2倍，为了使农民获得更高的利润，请你为该村规划种植方案，并说明理由． 【答案】(1)当种植高度为600m时，甲种作物的年平均产量为t/亩 (2)综上所述建议该村在海拔高度为600m处种植甲种作物100亩，乙种作物50亩时，农民可获得最高利润 【分析】（1）待定系数法求得的解析式，即可求解； （2）先求得甲种作物平均销售价格为（万元/t），待定系数法求得，关键一次函数的性质可得随的增大而增大，从而求得，设甲、乙两种作物的总利润为，乙种作物种植面积为亩，则甲种作物种植面积为亩，根据题意列式求得；即可求得，根据一次函数的性质可得随的增大而增大，当时，此时利润最大为，根据一次函数的性质可得随的增大而增大，结合的取值范围，即可求得利润最大值． 【详解】（1）解：设的解析式为， 将，代入得， 解得：， 所以的解析式为， 当时，； 答：当种植高度为600m时，甲种作物的年平均产量为t/亩． （2）解：甲种作物平均销售价格为：（万元/t）， 由表3数值可以估计，是的一次函数，设， 将，代入得， 解得：， 所以， 因为，所以随的增大而增大， 当时，甲种作物年平均产量下降，但甲、乙两种作物平均成本上升， 所以， 设甲、乙两种作物的总利润为，乙种作物种植面积为亩，则甲种作物种植面积为亩， 依题意可知且， 所以； 所以 整理得：， 因为， 所以， 所以随的增大而增大， 所以在一定高度上，当时，此时利润最大，即种植甲种作物100亩，乙种作物50亩， 因为， 又因为， 所以随的增大而增大， 因为， 所以当时，， 所以在甲种作物100亩，乙种作物50亩的基础上，种植高度时，利润有最大值． 答：综上所述建议该村在海拔高度为600m处种植甲种作物100亩，乙种作物50亩时，农民可获得最高利润． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$