1.1锐角三角函数（7大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 1.1 锐角三角函数 知识点一 锐角三角函数 ◆1、正切、正弦、余弦 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ,sin A＝. 余弦 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 在Rt△ABC中， ∠C＝90°, cos A＝. 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ＝． 在Rt△ABC中， ∠C＝90°, tan A＝. 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． ◆2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． ◆3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= 知识点二 特殊角的三角函数 ◆30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 题型一 正切、正弦、余弦的相关概念 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ＝． 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 1．（2024秋•宝山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（　　） A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA 2．（2023秋•长宁区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（　　） A．a•tanα B．a•cotα C． D． 3．（2024秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定 4．（2024•绥化模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 5．（2023秋•东明县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么下列各式中不正确的是（　　） A．cosA B．sinA C．tanA D．cosB 6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，表示sinB错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 题型二 根据定义求锐角函数值 解题技巧提炼 1、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值. 2、在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他所有锐角的三角函数值. 1．（2024秋•肇源县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin∠B的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•工业园区校级月考）如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，则cosA的值 为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•道里区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列等式正确的 是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 6．（2024•雅安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4．则tanA＝　 　． 7．（2023秋•济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，则cosB等于 　 ． 8．（2024•津南区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 题型三 构造直角三角形求锐角函数值 解题技巧提炼 当所求的锐角三角函数值对应的角不在直角三角形中时，一般先构造含所求角的直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解. 1．（2023秋•南岳区校级期末）等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（2023秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（　　） A．1 B．9 C． D． 3．（2023秋•辽宁期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝θ，AB＝5，BC＝8，则tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•金乡县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•溆浦县校级月考）在直角△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是边AC的中点，则sin∠DBA＝　 　． 6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 题型四 特殊锐角三角函数的计算 解题技巧提炼 先求出特殊角的三角函数值，然后按照实数的运算顺序和法则进行计算即可解答. 1．（2023秋•天桥区期末）tan45°的相反数是（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣2 2．（2023秋•遵化市期中）（sin45°）2+tan60°sin60°的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（2024秋•工业园区校级月考）计算： （1）sin45°+cos45°； （2）tan45°﹣sin30°cos60°． 4．（2024•望花区三模）计算： （1）sin60°•cos30°﹣tan45°； （2）3tan30°﹣tan60°+2cos60°． 5．（2023秋•周村区期中）求下列各式的值： （1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°． 6．（2023秋•姑苏区校级月考）计算： （1）； （2）3tan30°+cos245°﹣2sin60°． 7．（2023秋•西岗区期末）计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 8．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 题型五 根据特殊角的三角函数值求角的度数 解题技巧提炼 根据特殊角的三角函数值求角的度数，首先要看准三角函数的类别，同样的函数值，不同类别，角的度数可能不一样. 1．（2023秋•甘井子区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝1，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（2023秋•裕华区期末）已知α为锐角，且，则α等于（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 3．（2024•仁和区一模）在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（2023秋•平果市期末）已知α为锐角，且2sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（2024•梅县区一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．（2023秋•拱墅区校级月考）在△ABC中，若，则∠C为　　 度． 7．（2023秋•市北区期末）在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且（，则∠C＝　　 度． 8．（2023秋•城关区校级期末）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数． 9．（2023秋•长岭县期末）在△ABC中，|cos∠A|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C 的度数． 题型六 利用特殊角的三角函数判断三角形的形状 解题技巧提炼 首先利用非负性求出特殊角的三角函数值，然后应用三角形的内角和定理来判断三角形的形状. 1．（2023秋•深圳校级月考）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．（2024秋•工业园区校级月考）在△ABC中，tanA＝1，cosB，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 3．（2024秋•茌平区校级月考）在△ABC中，若∠A，∠B满足0，则△ABC是（　　） A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（2023秋•南关区校级期末）在△ABC中，已知两锐角A、B，且cos，则△ABC是　 　 三角形． 5．（2024春•醴陵市校级期末）在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA，tanB．则△ABC的形状为　 　． 6．（2023秋•蓬莱区期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA|+（cosB）2＝0，则△ABC是　 三角形． 7．（2023•东阿县校级开学）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝sinB，则△ABC 是 　 三角形． 8．在△ABC中，∠A、∠B满足|sinA|+（1tanB）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 9．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且|2sinA|+（2cos2B）2＝0，判断△ABC的形状． 题型七 由锐角三角函数值求三角形的边长 解题技巧提炼 已知一边及其邻角或对角的锐角三角函数时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 1．（2023秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝4，则AB的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，BC＝6，则AC等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2023秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝29°，AB＝8，则BC为（　　） A． B．8sin29° C． D．8cos29° 4．（2023秋•合川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，BC＝3，则AB边的长度为 　 　． 5．（2023秋•工业园区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝　 　． 6．（2023秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，那么AB的长为 　 　． 7．（2023秋•利辛县期末）在△ABC中，∠C＝90°，，若c＝2，则a＝　 　． 8．（2024•安阳二模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为 　 ． 9．（2023秋•肇源县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA，求AC． 10．（2023秋•淮阴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 1.1 锐角三角函数 知识点一 锐角三角函数 ◆1、正切、正弦、余弦 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ,sin A＝. 余弦 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 在Rt△ABC中， ∠C＝90°, cos A＝. 正切 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ＝． 在Rt△ABC中， ∠C＝90°, tan A＝. 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． ◆2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． ◆3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= 知识点二 特殊角的三角函数 ◆30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 题型一 正切、正弦、余弦的相关概念 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ＝ ＝． 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 1．（2024秋•宝山区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（　　） A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∴cotB，sinB，sinA，cosA， 即b，b＝csinB，c，b＝ccosA， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 2．（2023秋•长宁区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（　　） A．a•tanα B．a•cotα C． D． 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【解答】 解：cot∠A， ∴AC＝BC•cotA＝a•cotA， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 3．（2024秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变， ∴∠A的正弦值不变． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 4．（2024•绥化模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可． 【解答】解：A、sinB， 则b＝csinB，本选项说法错误； B、b＝csinB，本选项说法正确； C、tanB， 则b＝atanB，本选项说法错误； D、b＝atanB，本选项说法错误； 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握正弦、正切的定义是解题的关键． 5．（2023秋•东明县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么下列各式中不正确的是（　　） A．cosA B．sinA C．tanA D．cosB 【分析】利用勾股定理求出AC的长，最后根据锐角三角函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC3， ∴cosA，故A不符合题意； sinA，故B不符合题意； tanA，故C不符合题意； cosB，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，表示sinB错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D， ∴sinB， 故选：D． 【点评】此题考查锐角三角函数的定义，关键是根据正弦函数是对边与斜边的比进行解答． 7．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 题型二 根据定义求锐角函数值 解题技巧提炼 1、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值. 2、在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他所有锐角的三角函数值. 1．（2024秋•肇源县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin∠B的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理，正弦定义是解题的关键． 2．（2024秋•工业园区校级月考）如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，则cosA的值 为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用锐角三角函数中余弦的定义，得到cosA，从而得到结果． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5， ∴cosA． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数中余弦的定义，结合图象，在直角三角形中得到相应边长的比是解题的关键． 3．（2024秋•道里区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义计算即可． 【解答】解：由题意可得：， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，正确进行计算是解题关键． 4．（2023秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列等式正确的 是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 那么sinA，则A不符合题意； cosA，则B不符合题意； tanA，则C不符合题意； cotA，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据正切函数的定义求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， ∴tanB． 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义． 6．（2024•雅安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4．则tanA＝　 　． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4， ∴tanA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．（2023秋•济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，则cosB等于 　 ． 【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25，AC＝7， ∴AB25， ∴cosB． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握余弦的定义是解决问题的关键． 8．（2024•津南区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值． 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC8， 所以sinA，cosA，tanA． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，注意：已知△ACB中，∠C＝90°，那么sinA，cosA，tanA． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 【分析】利用勾股定理得出AB，BC的长，再利用锐角三角函数关系得出即可． 【解答】解：如图（1）：∵AC＝5，BC＝3， ∴AB， ∴sinA， sinB， 如图（2）：∵AC＝1，BA， ∴BC＝2， ∴sinA， sinB． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确利用边角关系求出是解题关键． 题型三 构造直角三角形求锐角函数值 解题技巧提炼 当所求的锐角三角函数值对应的角不在直角三角形中时，一般先构造含所求角的直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解. 1．（2023秋•南岳区校级期末）等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 【分析】根据等腰三角形的周长，底边长，可得腰长，根据勾股定理，可得底边上的高，根据正切函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，周长为36cm， 则AB＝AC＝（36﹣10）÷2＝13cm． 作AD⊥BC于D点，则BD＝CD＝5cm， 由勾股定理得，AD＝12cm， 所以底角的正切值tan∠ABC． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出底边上的高是解题的关键． 2．（2023秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（　　） A．1 B．9 C． D． 【分析】根据题意，表示出∠B的正切即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中， tanB， 又因为，BC＝3， 所以， 解得AC＝1． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 3．（2023秋•辽宁期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝θ，AB＝5，BC＝8，则tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质求出BDBC＝4，根据勾股定理求出AD＝3，根据锐角三角函数定义求解即可． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，BC＝8， ∴BDBC＝4， ∴AD3， 在Rt△ABD中，tan， 故选：A． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义、等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（2023秋•金乡县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出BD、AD，再利用直角三角形的边角间关系求出∠BAD的余弦，最后利用直角三角形的两个锐角互余说明∠BAD＝∠BDE． 【解答】解：连接AD． ∵AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BDBC＝3． ∴∠BAD＝90°﹣∠B， AD4． ∵DE⊥AB， ∴∠BDE＝90°﹣∠B． ∴∠BAD＝∠BDE． 在Rt△ABD中，cos∠BAD， ∴cos∠BDE＝cos∠BAD． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一、“直角三角形的两个锐角互余”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 5．（2023秋•溆浦县校级月考）在直角△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是边AC的中点，则sin∠DBA＝　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，将求sin∠DBA的问题转化到Rt△BDE中求解，即求的值，设AB＝2x，则AC＝x，BC，又△ABC，△ADE都是30°的直角三角形，可求DE，用勾股定理可求BD． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴sinA， 设AB＝2x，则AC＝x，BC， 又∵D是边AC的中点， ∴AD＝CD， 在Rt△DBC中，BD2＝BC2+CD2， ∴BD， 在Rt△ADE中，DE＝AD•sinA， 在Rt△BDE中，sin∠DBA． 故本题答案为：． 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值． 6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝8，结合CD的长度，即可得出BC的长． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AB＝10，sinB， ∴， ∴AD＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝（2）2﹣62＝16， ∴CD＝4， ∴tanC； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴由勾股定理得BD＝8， 由（1）得CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝12． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系． 题型四 特殊锐角三角函数的计算 解题技巧提炼 先求出特殊角的三角函数值，然后按照实数的运算顺序和法则进行计算即可解答. 1．（2023秋•天桥区期末）tan45°的相反数是（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣2 【分析】根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解． 【解答】解：∵tan45°＝1， ∴tan45°的相反数是﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2023秋•遵化市期中）（sin45°）2+tan60°sin60°的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解：（sin45°）2+tan60°sin60° ＝（）2 ＝2， 故选：B． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角函数值是解题的关键． 3．（2024秋•工业园区校级月考）计算： （1）sin45°+cos45°； （2）tan45°﹣sin30°cos60°． 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）sin45°+cos45° ； （2）tan45°﹣sin30°cos60° ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2024•望花区三模）计算： （1）sin60°•cos30°﹣tan45°； （2）3tan30°﹣tan60°+2cos60°． 【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解：（1）sin60°•cos30°﹣tan45° 1 1 ； （2）3tan30°﹣tan60°+2cos60° ＝32 1 ＝1． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．（2023秋•周村区期中）求下列各式的值： （1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°． 【分析】（1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可； （2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：（1） ＝1； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230° ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数，关键是掌握实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值． 6．（2023秋•姑苏区校级月考）计算： （1）； （2）3tan30°+cos245°﹣2sin60°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，即可计算． 【解答】解：（1）原式＝1 ＝11 ． （2）原式＝32 ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特殊角的三角函数值． 7．（2023秋•西岗区期末）计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【解答】解：（1）原式＝31+2 1 ＝21； （2）原式＝1 ． 【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 8．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题． （2）根据特殊角的三角函数值解决此题． 【解答】解：（1）6sin30°tan60°+cos245 ． （2）tan45° ． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 题型五 根据特殊角的三角函数值求角的度数 解题技巧提炼 根据特殊角的三角函数值求角的度数，首先要看准三角函数的类别，同样的函数值，不同类别，角的度数可能不一样. 1．（2023秋•甘井子区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝1，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可求得答案． 【解答】解：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝1，tan45°＝1， 则∠A＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2023秋•裕华区期末）已知α为锐角，且，则α等于（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值． 【解答】解：∵sin（α﹣10°）， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 3．（2024•仁和区一模）在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴tanC，sinB， ∴∠C＝60°，∠B＝45°， ∴∠A＝75°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 4．（2023秋•平果市期末）已知α为锐角，且2sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：∵α为锐角，且2sin（α﹣10°）， ∴sin（α﹣10°）， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 5．（2024•梅县区一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB，BC， ∴sinA， ∴∠A＝45°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．（2023秋•拱墅区校级月考）在△ABC中，若，则∠C为　　 度． 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得，sinA0，cosB＝0，从而求出∠A＝30°，∠B＝30°，然后根据三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： sinA0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，以及特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．（2023秋•市北区期末）在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且（，则∠C＝　　 度． 【分析】根据非负数的性质求出tanA和sinB的值，然后求出∠A、∠B的度数，最后求出∠C． 【解答】解：由题意得，tanA＝1，sinB， 则∠A＝45°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故答案为：75． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 8．（2023秋•城关区校级期末）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数． 【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：∵|sinA|+（cosB）2＝0， ∴sinA0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．（2023秋•长岭县期末）在△ABC中，|cos∠A|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C 的度数． 【分析】先根据非负数的性质得到cos∠A0，1﹣tan∠B＝0，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数． 【解答】解：∵|cos∠A|+（1﹣tan∠B）2＝0， ∴cos∠A0，1﹣tan∠B＝0， 即cosA，tanB＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 题型六 利用特殊角的三角函数判断三角形的形状 解题技巧提炼 首先利用非负性求出特殊角的三角函数值，然后应用三角形的内角和定理来判断三角形的形状. 1．（2023秋•深圳校级月考）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【分析】先由三角函数sin30°，cos30°，得出∠A与∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，即可得出答案． 【解答】解：∵cosB， ∴∠B＝30°， ∵sinA， ∴∠A＝30°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴△ABC是钝角三角形， 故选：B． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2024秋•工业园区校级月考）在△ABC中，tanA＝1，cosB，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cosB求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，tanA＝1，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 3．（2024秋•茌平区校级月考）在△ABC中，若∠A，∠B满足0，则△ABC是（　　） A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值∠A和∠B，即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：sinA0且cosB0， 则sinA，cosB， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了：①特殊角的三角函数值；②非负数的性质．正确以及特殊角的三角函数值是关键． 4．（2023秋•南关区校级期末）在△ABC中，已知两锐角A、B，且cos，则△ABC是　 　 三角形． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：由两锐角A、B，且cos，得 45°，两边都乘以2，得 A+B＝90°， ∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°， 故答案为：直角． 【点评】本题考查了特殊角三家函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 5．（2024春•醴陵市校级期末）在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA，tanB．则△ABC的形状为　 　． 【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，然后判断形状． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠A，∠B为锐角，sinA，tanB， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， 则∠C＝120°， 故△ABC为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 6．（2023秋•蓬莱区期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA|+（cosB）2＝0，则△ABC是　 三角形． 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算，再利用等边三角形的判定方法得出答案． 【解答】解：∵|tanA|+（cosB）2＝0， ∴tanA0，cosB0， 则tanA，cosB， 故∠A＝60°，∠B＝60° 则△ABC是等边三角形． 故答案为：等边． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质、等边三角形的判定，正确记忆相关数据是解题关键． 7．（2023•东阿县校级开学）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝sinB，则△ABC 是 　 三角形． 【分析】根据正弦是的角是30°，可得答案． 【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝sinB， 得∠A＝∠B＝30°， 故答案为：钝角． 【点评】本题考查了余角，利用直角三角形的判定是解题关键． 8．在△ABC中，∠A、∠B满足|sinA|+（1tanB）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：由题意得，sinA0，1tanB＝0， 解得：sinA，tanB， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， 则∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 故△ABC为直角三角形． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 9．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且|2sinA|+（2cos2B）2＝0，判断△ABC的形状． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【解答】解：∵|2sinA|+（2cos2B）2＝0， ∴2sinA0，2cos2B0， 则sinA，cosB， 故∠A＝∠B＝60°， 则△ABC是等边三角形． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 题型七 由锐角三角函数值求三角形的边长 解题技巧提炼 已知一边及其邻角或对角的锐角三角函数时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 1．（2023秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝4，则AB的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， 则sinA， 那么ABBC4＝5， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，BC＝6，则AC等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出AC的长． 【解答】解：如图所示： ∵∠C＝90°，tanA＝0.75， ∴tanA， ∵BC＝6， ∴AC＝8． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确画出图形是解题关键． 3．（2023秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝29°，AB＝8，则BC为（　　） A． B．8sin29° C． D．8cos29° 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝29°，AB＝8， ∴sinA， ∴BC＝8sin29°． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2023秋•合川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，BC＝3，则AB边的长度为 　 　． 【分析】先根据三角形内角和计算出∠C＝90°，然后根据30度的正弦求AB的长． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝90°， ∴sinA， ∴AB6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 5．（2023秋•工业园区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，则AC＝　 　． 【分析】先利用三角函数求出AB的长，在根据勾股定理可以求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴，即， ∴AB＝20， 由勾股定理得：， 故答案为：16． 【点评】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确理解正弦函数和勾股定理的应用． 6．（2023秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，那么AB的长为 　 　． 【分析】用三角形的边长表示出sinA即可． 【解答】解：在Rt△ABC中， sinA， 因为sinA，BC＝6， 所以， 则AB＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 7．（2023秋•利辛县期末）在△ABC中，∠C＝90°，，若c＝2，则a＝　 　． 【分析】根据正切的定义得到b＝2a，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， 则， ∴b＝2a， 由勾股定理得，a2+b2＝c2，即a2+（2a）2＝22， 解得，a． 故答案为：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 8．（2024•安阳二模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为 　 ． 【分析】分情况讨论，当∠EDA＝90°时，利用中位线的性质即可得到结论，当∠AED＝90°时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论． 【解答】解：①当∠EDA＝90°时， ∵AE＝3，∠A＝30°， ∴AD， ∵AC的中点为D， ∴BC＝3； ②当∠AED＝90°， ∵AE＝3，∠A＝30°， ∴AD＝2， ∵Rt△ABC的直角边AC的中点为D， ∴AC＝2AD＝4， ∴BC＝4． 故答案为：3或4． 【点评】本题考查锐角三角函数．正确记忆相关知识点是解题关键． 9．（2023秋•肇源县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA，求AC． 【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA，再把BC＝3，tanA代入即可算出AC的值． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴tanA， ∵BC＝3，tanA， ∴， 解得：AC． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 10．（2023秋•淮阴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB． 【分析】利用三角函数的定义可以求得AB的长，再利用勾股定理可求得AC即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴sinA， ∵BC＝10，sinA， ∴， ∴AB＝26， ∴AC24． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$