精品解析：北京市第十九中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

北京市第十九中学2024-2025学年第一学期期中考试试卷 高一数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题纸相应位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求交集即可. 【详解】集合， . 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选:C. 3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例可判断ABD；利用作差法可判断C，进而可得正确选项. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，若，，，，则，B错误； 对于C，若，则，即，C正确； 对于D，若，，，，则，D错误. 故选：C 5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案. 【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误. 函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误. 函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确. 故选：B 6. 已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 7. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ） A. 2080 B. 20 C. D. 400 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】依题意，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当最小时，的值为20. 故选：B 8. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【详解】由，则，所以，即得， 所以由， 当时，有，但，即由不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 9. 对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，，则 【答案】C 【解析】 【分析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，设Z，则， 或. 当时，， 此时，； 当时，，， 此时，， 综上，，故B正确. 对于C，当，，，，故C错误； 对于D，若，设Z，则， ，从而，故D正确； 故选：C. 10. 设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可. 【详解】由题意，，，，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中尽量小， 所以集合，，，，中的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设，，，，， 则有， 当时，， 当时，， 所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可， 故的最大值为11. 故选：B. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分.） 11. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】解：根据题意，要使函数有意义， 则需满足，解得且. 所以函数的定义域为： 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题. 12. 绝对值不等式的解集为________.. 【答案】 【解析】 【分析】两边平方转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，整理得，解得或， 所以的解集为. 故答案为： 13. 已知函数的图象如图所示，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象求得正确答案. 【详解】由图可知，所以. 故答案为： 14. 已知函数.若，则________；若的值域是，则实数的取值范围是________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】把代入，判断并求出函数值；根据给定的值域，分段讨论求出实数的取值范围. 【详解】当时，，所以； 函数的定义域为，值域为， 显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此， 函数在上单调递减，在上的值域为，于是， 则，从而，当时，，当且仅当时取等号， 又，因此，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为：1； 【点睛】思路点睛：已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行缩小，直至求解出答案. 15. 函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】①：当时， ， 当时，该函数单调递增，所以有， 当时， 因为， 所以，因此当时，； 当时，，此时函数单调递增， 所以有， ，所以有， 所以的值域是，故①正确； ②：不妨设，由， 所以该函数是实数集上的增函数， 由①可知：该函数在时，单调递增，且， 当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确； ③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； ④：当时， ， ， ， ， ， 于是有，因此，故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键. 三、解答题（共4小题，共40分，解答应可出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知全集，，，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交并补运算求解； （2）由可得，再根据子集关系求解出的取值范围. 【小问1详解】 由，解得， ，或， ，. 【小问2详解】 由可得， 当时，即，即； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 17. 已知函数. （1）证明：为奇函数； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）证明：任取，则， ，所以是奇函数； （2）证明：设，且是上的任意两个实数， ，，，， 则， 即， 所以在区间上是减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据减函数的定义证明； （3）利用奇偶性变形不等式，再由单调性化简即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式化为， 是奇函数，则， 又在区间上是减函数， 所以，解得． 18. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案； （2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【小问1详解】 由，则二次函数的对称轴， 由二次函数的最小值为，则其顶点为， 可设二次函数，由，则， 所以. 【小问2详解】 由题意可得，则，解得. 【小问3详解】 由不等式，整理可得， 令，则其对称轴， ①当，即时，在上单调递增， 则， 令，解得，可得； ②当，即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，解得，可得； ③当，时，在上单调递减， ， 令，解得，此时无解； 综上所述，. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数. （1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是，不是，理由如下： 对于函数，因为，， 所以函数为区间上的增长函数； 对于函数，当时，， 所以函数不为区间上的增长函数. （2）9； （3）. 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可. （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可. （3）作出的图象，再借助函数图象变换列式求解. 【小问1详解】 为区间上的增长函数；不为区间上的增长函数. 理由略； 【小问2详解】 依题意，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，而，则函数在上单调递增， ，因此，又，解得， 所以正整数的最小值为9. 【小问3详解】 依题意， 当时，，当时，， 而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示： 于是， 又是R上的增长函数，则对任意的，都有， 而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图， 观察图象知，当且仅当，即时，恒成立， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增函数，即转化为对恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十九中学2024-2025学年第一学期期中考试试卷 高一数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题纸相应位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ） A. 2080 B. 20 C. D. 400 8. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，，则 10. 设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分.） 11. 函数的定义域为_____________. 12. 绝对值不等式的解集为________.. 13. 已知函数的图象如图所示，则的值为______. 14. 已知函数.若，则________；若的值域是，则实数的取值范围是________. 15. 函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 三、解答题（共4小题，共40分，解答应可出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知全集，，，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）证明：为奇函数； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 18. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数. （1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $