7.1 角与弧度（八大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

7．1 角与弧度 课程标准 学习目标 （1）知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定义的合理性；能说出两种度量制之间的换算关系是，并能准确进行角的两种度量之间相互转化；了解其中蕴含的数形结合的数学思想方法，和数学知识之间的联系性； （2）能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁． （1）掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. （2）熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． （3）理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. （4）掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 知识点01 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 知识点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点诠释： （1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练1】（2024·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【答案】D 【解析】因为A={| 为锐角}， D={|为小于的正角}， 对于集合，小于的角包括零角与负角， 对于集合，C={|为第一象限角}， 所以A=D， 故选：D 知识点02 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点诠释： （1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． 【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 题型一：角的概念 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 【典例1-2】（2024·高一·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 【方法技巧与总结】 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【变式1-1】（2024·高一·甘肃兰州·期末）下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【答案】D 【解析】A选项：终边与始边重合的角为，故A错； B选项：终边和始边都相同的两个角可能相差的整数倍，故B错误； C选项：小于的角可能是，还可能是负角，所以C错误； D选项：集合内的角包含直角，所以不一定是钝角，D正确； 故选：D 【变式1-2】（2024·高一·宁夏银川·阶段练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错； ，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错． 正确个数是2， 故选：B． 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 【答案】D 【解析】为第一象限角，显然不是锐角，A错误； 为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误； 与的终边相同，C错误； 两角相等终边相同，D正确. 故选：D 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【解析】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 题型二：终边相同的角的表示 【典例2-1】（2024·高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【解析】（1） 是第一象限的角, 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角, 是第三象限的角; （3） 是第四象限的角, 是第四象限的角; （4） 是第二象限的角, 是第二象限的角. 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知． (1)把α写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且． 【解析】（1），它是第三象限角． （2）令， 取就得到符合的角． 当时，； 当时，． 故或． 【方法技巧与总结】 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【变式2-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【解析】（1）（1）当（）时，，与45°角的终边重合； 当（）时，，与135°角的终边重合； 当（）时，，与225°角的终边重合； 当（）时，，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角. （2）由，得． 又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3． 所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是： –315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°． （3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为，． 【变式2-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【解析】（1）由除以，得商为5，余数为， ∴取，，， 又是第三象限的角，、终边相同， ∴为第三象限的角； （2）与终边重合的角：（）， 令（）， 解得（）， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值为. 【变式2-3】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边在直线上， (1)写出角的集合； (2)写出集合中适合不等式的元素. 【解析】（1）角的终边在直线上 且直线与轴正半轴的夹角为， 角的集合. （2）在中， 取，得，取，得， 取，得，取，得， 取，得，取，得， 中适合不等式的元素分别是. 【变式2-4】（2024·高一·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【解析】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 题型三：角所在象限的研究 【典例3-1】（2024·高三·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【解析】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 【典例3-2】（2024·高一·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 【方法技巧与总结】 已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 【变式3-1】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限； 故选：C. 【变式3-2】（2024·高三·新疆·学业考试）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【解析】因为在第三象限 所以， 所以， 所以在第二、四象限. 故选：C. 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【解析】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故选：D 【变式3-4】（2024·高一·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置.由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 【变式3-5】（2024·高一·湖北武汉·期末）已知角是第一象限角，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或轴的非负半轴上 【答案】D 【解析】∵由角是第一象限角,∴可得, ∴. 即的终边位于第一或第二象限或轴的非负半轴上. 故选:D. 题型四：象限角的判定 【典例4-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，故与的角终边相同， 其中在第四象限，故角的终边落在第四象限. 故选：D 【典例4-2】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】是第三象限角， 故选：C． 【方法技巧与总结】 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【变式4-1】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为 所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限， 所以的终边在第二象限． 故选： 【变式4-2】（2024·高一·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 【变式4-3】（2024·高一·全国·单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【解析】因为为第二象限角，则， 因此， 而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角， 当为偶数时，为偶数，则为第二象限角， 所以的终边所在的象限是第二、四象限. 故选：D 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意得，， 故， 因为，所以，， 因为18分钟时回到出发位置，所以， 故，可得，所以， 因为，所以或， 或， 即或. 故选：C. 题型五：区域角的表示 【典例5-1】（2024·高一·江西上饶·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    【答案】． 【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分（包括边界）的角的集合为. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 【方法技巧与总结】 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 【答案】 【解析】在范围内，终边落在阴影内的角满足或， 所以所有满足题意的角的集合为： ． 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【答案】 【解析】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 . 故答案为： 【变式5-3】（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ． 【答案】 【解析】因为终边落在射线OA上的角的集合是为， 终边落在射线OB上的角的集合为． 所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是． 故答案为： 【变式5-4】（2024·高一·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 【答案】 【解析】因为终边落在y轴上的角为， 终边落在图中直线上的角为； ， 即终边在直线上的角为，， 所以终边落在阴影部分的角为， 故答案为： 【变式5-5】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 【答案】③ 【解析】当时，集合，当时，集合， 则可得出角所表示的取值范围为③. 故答案为：③. 题型六：弧度制与角度制的互化 【典例6-1】（2024·高一·全国·课前预习）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 【解析】（1）． （2）． 【典例6-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【方法技巧与总结】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 【典例7-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 【典例7-2】（2024·高一·山东·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由弧长为的弧所对的圆心角为，得扇形所在圆半径， 所以扇形面积为. 故选：D 【方法技巧与总结】 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【变式7-1】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–， ∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）． 故选：C． 【变式7-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 【变式7-3】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为 ，且弦， 可得，， 扇形的面积为． 故选：B 【变式7-4】（2024·高一·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【解析】（1）由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. （2）由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ， 所以，. 题型八：扇形中的最值问题 【典例8-1】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【解析】（1）， 则． 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立． 此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 【典例8-2】（2024·高一·广东清远·期中）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【解析】（1）由，则扇形的弧长(cm). （2）由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. （3）设弓形面积为，由，得， 所以. 【方法技巧与总结】 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 【变式8-1】（2024·高一·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【解析】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 【变式8-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【解析】（1）由，则，， 所以，即，， . （2）由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 【变式8-3】（2024·高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 【解析】（1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解. 【详解】 （1）， 故扇形的周长为； （2）扇形的周长为20， 则，所以， 则扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度. 1．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合13次. 故选：C. 2．（2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 【答案】A 【解析】如图，设弧长为，弧长为, 因为该扇形的中心角的弧度数为， 所以, 即， 又因为， 所以， 又因为，解得， 所以该扇环的外弧线长为． 故选：A. 3．（2024·高一·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A 4．（2024·高一·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【解析】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 5．（2024·高一·江西宜春·开学考试）在平面直角坐标系中，给出下列命题： ①终边经过点的角的集合是； ②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ③若是第三象限角，则是第二象限角； ④若，则． 其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】对于①，若角的终边过，则角的终边为一、三象限的分角线， 终边对应的角的集合为，故①正确. 对于②，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，故②正确. 对于③，取，则为第三象限角，而， 故为第四象限角，故③错误. 对于④，因为任意，而，故， 故，故，故④正确. 故选：A. 6．（2024·高一·甘肃白银·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，把圆分成24等份，每一等份为，从寒露到冬至经历了5个节气，所以地球公转的弧度数约为． 故选： 7．（2024·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为， 车轮转过的角度为点的初始位置为，设车轮的中心为，当 时，作，垂足为，如图， 则到铁轨表面的距离为； 当时，，作，垂足为，如图， 则， 到铁轨表面的距离为； 当在其它范围均可得到，点到铁轨上表面的距离为. 故选:B. 8．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．9 B．10 C．24 D．25 【答案】C 【解析】设，由，得，即， 所以 故选：C. 9．（多选题）（2024·高一·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【解析】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 10．（多选题）（2024·高一·甘肃陇南·期末）下列结论错误的是（    ） A．集合的真子集有8个 B．设是两个集合，则 C．与角的终边相同的角有无数个 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，集合的真子集有（个），所以A选项错误； 对于B，对于集合，若，所以B选项错误； 对于C，与角的终边相同的角用集合可以表示为， 这样的角有无数个，所以C选项正确； 对于D，若，则，所以不一定等于，故D选项错误． 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·高一·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【答案】ACD 【解析】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 12．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【解析】如图所示，过作于，的延长线交于. 则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 13．（2024·高一·广东潮州·期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 . 【答案】/ 【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得（负值已舍去），所以，解得. 故答案为： 14．（2024·高一·四川内江·阶段练习）一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 【答案】2 【解析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为， 因为扇形的周长为16，所以， 所以， 所以当时最大，此时， 故答案为：2. 15．（2024·高一·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【解析】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 16．（2024·高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【解析】（1）因为弧度， 所以； （2）由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 17．（2024·高一·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【解析】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 18．（2024·高一·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【解析】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 19．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 【解析】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米. 因为，所以，所以. 因为厘米，所以厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以， 所以，解得，即弧的长度为160厘米. （2）因为，所以，所以， 则扇形的面积，扇形的面积， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以 所以， 则，从而，当且仅当时，等号成立， 故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．1 角与弧度 课程标准 学习目标 （1）知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定义的合理性；能说出两种度量制之间的换算关系是，并能准确进行角的两种度量之间相互转化；了解其中蕴含的数形结合的数学思想方法，和数学知识之间的联系性； （2）能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁． （1）掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. （2）熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． （3）理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. （4）掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 知识点01 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 知识点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点诠释： （1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练1】（2024·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 知识点02 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点诠释： （1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． 【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 题型一：角的概念 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】（2024·高一·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法技巧与总结】 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【变式1-1】（2024·高一·甘肃兰州·期末）下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【变式1-2】（2024·高一·宁夏银川·阶段练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 题型二：终边相同的角的表示 【典例2-1】（2024·高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知． (1)把α写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且． 【方法技巧与总结】 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【变式2-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【变式2-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【变式2-3】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边在直线上， (1)写出角的集合； (2)写出集合中适合不等式的元素. 【变式2-4】（2024·高一·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 题型三：角所在象限的研究 【典例3-1】（2024·高三·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【典例3-2】（2024·高一·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 【变式3-1】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式3-2】（2024·高三·新疆·学业考试）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【变式3-4】（2024·高一·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【变式3-5】（2024·高一·湖北武汉·期末）已知角是第一象限角，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或轴的非负半轴上 题型四：象限角的判定 【典例4-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例4-2】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【方法技巧与总结】 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【变式4-1】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（2024·高一·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-3】（2024·高一·全国·单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（    ） A． B． C．或 D．或 题型五：区域角的表示 【典例5-1】（2024·高一·江西上饶·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【变式5-3】（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ． 【变式5-4】（2024·高一·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 【变式5-5】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 题型六：弧度制与角度制的互化 【典例6-1】（2024·高一·全国·课前预习）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 【典例6-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧与总结】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 【典例7-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高一·山东·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【变式7-1】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【变式7-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2024·高一·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 题型八：扇形中的最值问题 【典例8-1】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【典例8-2】（2024·高一·广东清远·期中）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【方法技巧与总结】 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 【变式8-1】（2024·高一·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【变式8-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【变式8-3】（2024·高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 1．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 3．（2024·高一·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 5．（2024·高一·江西宜春·开学考试）在平面直角坐标系中，给出下列命题： ①终边经过点的角的集合是； ②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ③若是第三象限角，则是第二象限角； ④若，则． 其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·高一·甘肃白银·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．9 B．10 C．24 D．25 9．（多选题）（2024·高一·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（多选题）（2024·高一·甘肃陇南·期末）下列结论错误的是（    ） A．集合的真子集有8个 B．设是两个集合，则 C．与角的终边相同的角有无数个 D．若，则 11．（多选题）（2024·高一·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 12．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    13．（2024·高一·广东潮州·期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 . 14．（2024·高一·四川内江·阶段练习）一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 15．（2024·高一·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 16．（2024·高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 17．（2024·高一·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 18．（2024·高一·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 19．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$