第二十三章 旋转章节压轴题模拟训练-2024-2025学年九年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

第二十三章 旋转章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（    ） A．4 B． C．6 D． 2．把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 二、填空题 8．将抛物线绕原点旋转，则得到的抛物线的函数表达式为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ． 10．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 11．如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标 ． 12．如图，在中，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值为 ． 13．如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ． 14．矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 三、解答题 15．综合探究 如图1，老师指导同学们对正方形进行探究，在正方形中，过点C作射线，点P在射线上． 【动手操作】 （1）如图2，若点P是线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系：　　　　　． 【问题探究】 （2）若点P在线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长． 16．已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接．当为等腰三角形时，直接写出长； 17．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 18．如图，二次函数的图象与y轴交于点，且顶点P的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接，将线段绕点Q逆时针旋转，点C的对应点为F（不与点P重合），直线交抛物线于另一点E，求点E的坐标． 19．问题探究：如图1，在中，，，D、E在上，，为了探究、、之间的等量关系，现将绕A顺时针旋转得，连接，经探究，得到的、、之间的等量关系是 ； 问题迁移：如图2，在中，，，D、E在线段上，，若，求的度数． 问题拓展：如图3，直线上从左至右依次有B，E，C，D四点，且，以为边作等边，若， ，则的长是 ． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点，点是线段延长线上的一个点，的面积为15． (1)求直线解析式和点的坐标； (2)在（1）的条件下，直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，当点为直线上的一个动点时，将绕点逆时针旋转得到，连接与．点随着点的运动而运动，请求出的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 将边绕点逆时针旋转至点， ， 由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则， 在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ，则， 在中，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 2．把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据正方形的性质，可知，结合正方形绕点逆时针旋转得到正方形，可知在上，所以四边形的面积为，然后计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示 四边形是正方形， ， 正方形绕点逆时针旋转得到正方形， 在上，， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为 故选：C． 3．如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键．先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：，， ，． 在中， ． ，且轴， 点的坐标为． ， 每旋转四次，点对应点的坐标循环出现． 余1， 点的坐标与点的坐标相同． 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ，， ， 点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：A 4．如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，可得垂直平分，即得，设，则，，，再根据中，，列出方程即可得到的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转可得，，， ∵， ∴为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，，然后可证得，和为等腰直角三角形，进而可求得，，，的长，然后根据图中阴影部分的面积即可求得答案． 【详解】解： ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，等角对等边，等式的性质，对顶角相等，垂线的定义，三线合一，三角形的面积公式，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，， 由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 7．如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 根据轴对称可知：，∴， ∵两点之间线段最短， ∴当在点E处时，最小，且最小值为的长度， ∴最小值为：， ∴的周长最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 二、填空题 8．将抛物线绕原点旋转，则得到的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据绕原点O旋转得到图形关于原点对称横纵坐标互为相反数，代入求解即可得到答案； 本题考查图形的旋转及函数图像上点的问题，解题的关键是根据旋转得到中心对称将点代入． 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴在旋转后的图形上， ∴， 化简得：， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 将绕点A顺时针旋转得到，连接并延长，交x轴于点E，过点C作轴于点F．根据性质的性质可证得，得到，，从而在中求得，，，从而求出，的长，进而在中求出，，进而即可解答． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，连接并延长，交x轴于点E，过点C作轴于点F． 由旋转得， ， ∴ 即 ， ， ∴． ， ， ， ∴ ． ， ∴， ， ∴点C的坐标为． 10．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键． 分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ， 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，； 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 11．如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设抛物线与轴的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∵将线段绕点旋转，得到线段，点在抛物线上，横坐标， ∴当点与点重合时，点与点重合， 此时，点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴， 解得（不合舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或 ， 故答案为：或 ． 12．如图，在中，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，取的中点，过点作，且使，连接，，根据证明得出，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：，，取的中点，连接， ， 如图，过点作，且使，连接，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 13．如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】设交于点N，连接，作于点Q．由旋转可知由等边三角形的性质可知，，证明，得到，则点F的运动轨迹为，且，证明，则当时，取得最小值4，证明为等边三角形，得到，则得到，则即可． 【详解】解：设交于点N，连接，作于点Q． ∵将绕点C逆时针旋转得到 ∴， ∵是等边三角形，于点D， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹为，且， ∴， 即， ∴当时，取得最小值4， 此时∴， ∴为等边三角形， ， ， ． ∴最低点的横坐标为． 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，证明点F的运动轨迹为是解题的关键 ． 14．矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得：，，结合角平分线的定义可推出，根据旋转和三角形的外角性质可推出，由，可得，推出，得到，结合三角形的外角性质可推出，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 三、解答题 15．综合探究 如图1，老师指导同学们对正方形进行探究，在正方形中，过点C作射线，点P在射线上． 【动手操作】 （1）如图2，若点P是线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系：　　　　　． 【问题探究】 （2）若点P在线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长． 【答案】（1）轶闻见解析，；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）求出，，取的中点，连接，证明，得出； （2）过点作交于点，证出，，同理，则可得出结论； （3）若点在线段上时，过点作交于点，由（2）可知，，，，由直角三角形的性质可得出结论；若点在线段的延长线上时，过点作交于点，同理可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示 ； 理由如下：正方形， ，，， ， ，， 取的中点，连接， 点是线段中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）还成立， 理由如下，过点作交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即，， 同理， ； （3）若点在线段上时，过点作交于点， 由（2）可知，，，， ， ， ， ， ，， ． 若点在线段的延长线上时，过点作交于点， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，，， 同理， ； ， ， ，， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接．当为等腰三角形时，直接写出长； 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】（1）由勾股定理可求，由折叠的性质得，，设，由勾股定理得，即可求解； （2）延长、交于，由等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得， ，即可求解； （3）①当时，过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质即可求解；②当时，可判定四边形是正方形，由正方形的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 由折叠得：，，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ； （2）如图，延长、交于， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， ； （3）由旋转得：， ， ， ， ， ①当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ； ②当时， 由①得：， ∴，即点H和点D重合， ∴， ∵， ∴E、D 、P三点共线， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∵， ， 四边形是正方形， ； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握折叠的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 17．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）保持不变，理由见解析；（3）的面积为或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理； （1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得； （2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到； （3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论． 【详解】解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当在点左边时，如图 ， ∴； 综上所述，的面积为或． 18．如图，二次函数的图象与y轴交于点，且顶点P的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接，将线段绕点Q逆时针旋转，点C的对应点为F（不与点P重合），直线交抛物线于另一点E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点 【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，旋转的性质； （1）用待定系数法即可求解； （2）当点在点的下方时，证明（），得到，，则点，求出直线的表达式，进而求解； 【详解】（1）解： 设抛物线的表达式为：， 则， 将点代入，解得：， 故抛物线的表达式为：①； （2）设点，过点作轴的平行线交轴于点，交过点且与轴平行的直线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 点， 设直线的解析式为， 则 解得 故直线②，联立①②， 得，（不合题意的值已舍去）， ∴点． ②当点在点的上方时， 同理可得：点的坐标为， 由点、的坐标得：直线的表达式为，同情况①， 故点； 综上，点的坐标为． 19．问题探究：如图1，在中，，，D、E在上，，为了探究、、之间的等量关系，现将绕A顺时针旋转得，连接，经探究，得到的、、之间的等量关系是 ； 问题迁移：如图2，在中，，，D、E在线段上，，若，求的度数． 问题拓展：如图3，直线上从左至右依次有B，E，C，D四点，且，以为边作等边，若， ，则的长是 ． 【答案】问题探究：；问题迁移：；问题拓展： 【分析】问题探究：将绕A顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质、全等的性质可得，，，，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理得出，即可判断，根据勾股定理得出，证明，得出，即可得出结论； 问题迁移：将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接，根据旋转的性质、全等的性质可得，，，，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理得出，即可判断，证明是等边三角形，得出，，根据等边对等角和三角形外角的性质得出，则，证明，得出，即可求解； 问题拓展：将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接，根据旋转的性质、等边三角形的性质、全等的性质可得，，，，根据等边对等角和三角形外角的性质得出，则，设，根据勾股定理得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：问题探究： ， 理由：将绕A顺时针旋转得，连接， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 问题迁移： 将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； 问题拓展： 在等边中，，， ∴， 将绕A顺时针旋转得，连接，取中点G，连接， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点，点是线段延长线上的一个点，的面积为15． (1)求直线解析式和点的坐标； (2)在（1）的条件下，直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，当点为直线上的一个动点时，将绕点逆时针旋转得到，连接与．点随着点的运动而运动，请求出的最小值． 【答案】(1)的表达式为，点 (2)点的坐标为或或或 (3)的最小值为 【分析】（1）的面积，即可求解； （2）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可； （3）证明，求出点，当时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，解得：， 故点， 令，则，则， 将点的坐标代入，解得：， 故直线的表达式为：， 则点， 的面积， 解得：， 故点； （2）解：设点的坐标为，点， 由（1）知，点的坐标分别为，则， ①当是边时， 当点在点的上方时，则， 即， 解得：， 则点的坐标为或， 点在点的正下方5个单位， 则点或； 当点在点的上方时，则， 即， 解得：（舍去）或4， 同理可得，点； ②当是对角线时，则的中点即为的中点且， 则， 解得， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． （3）解：如图，分别过点作轴的垂线，垂足为， 设点， ， ， ∵， ， ， 故， 故点， 令， 则， 设该直线与x轴，y轴的交点分别为， 则， 即， 当时，最小， 则， 即， 解得：， 即的最小值为； 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、菱形的性质，面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$