第十四章 整式的乘法与因式分解 压轴题模拟训练-2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 4．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 6．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 7．若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 二、填空题 8．已知，，则的值是 ． 9．如图，在中，，分别以为直角边作等腰直角、，若，与的面积和为8，则的面积为 ． 10．已知，，求 ． 11．若，则的值是 ． 12．已知，则 ． 13．，，，则 ． 14．已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 15．分解因式： ． 三、解答题 16．分解因式：． 17．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 18．（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，求的长． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 19．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 20．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． (2)观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． (3)两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 21．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的个数是（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算以及幂的运算性质，根据相关运算法则计算出各式的结果后再进行判断即可． 【详解】解：①和不是同类项，不能合并，故①错误； ②与不是同类项，不能合并，故②错误； ③，计算正确，故③符合题意； ④，计算正确，故④符合题意； ⑤，计算错误，故⑤不符合题意； ⑥，计算错误，故⑥不符合题意； ⑦，计算正确，故⑦符合题意； 综上，正确的是③④⑦，共3个， 故选：A． 2．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 3．已知实数 满足：，求代数式的值（  ） A．6 B．2 C．-4 D．-8 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 变形为，将其代入整理得，再根据偶次方的非负性求出，的值，再求出a的值，再代入计算即可. 【详解】解: ， ∴， ， ， ， ， 故选：B 4．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 5．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 6．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含a，b，c的式子表示出，，，，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：C． 7．若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于的最高次项是，而的最高次项是，因此可设 ，将按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可． 熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键． 【详解】设， ， ， 解得，，，， ， 故选：A． 二、填空题 8．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用，先把已知两式相减，求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ ， 故答案为：． 9．如图，在中，，分别以为直角边作等腰直角、，若，与的面积和为8，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的性质等知识． 要求的面积，只要求的值，即的值，通过，与的面积和为8，利用完全平方公式即可求出，由此得解． 【详解】解：、是等腰直角三角形， ，， 与的面积和为8， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 10．已知，，求 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先求出，再利用完全平方公式把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．首先将等号左边部分进行整理，可得，即可获得答案． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法；本题直接利用乘法展开求各系数计算复杂，利用当和时，可以直接得到系数之间关系，再将看作一个整体求解即可． 【详解】解：当时；①， 当时；②， 由①-②得， ∴， 故答案为． 13．，，，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把所求式子变形为，再利用完全平方公式得到原式，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：12． 14．已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用．以及三角形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握分组法分解因式，求出三角形的三边a，b，c的长度各是多少． 根据，得到，且三角形的三边a，b，c都是整数，得到，求出，然后根据等边三角形面积的求法，求出此三角形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的三边a，b，c都是整数， ∴， 解得，， ∴此三角形是边长为1的三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：． 15．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，利用完全平方公式与平方差公式是解题的关键；先把前两项凑成完全平方式，再利用平方差公式分解，再对每一个因式继续利用平方差公式分解；把一个二次根式表示成一个实数的平方是解题的关键． 【详解】解： ． 三、解答题 16．分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 17．阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)0 (3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 18．（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，求的长． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据与的周长相等可得出，再由，联立求解方程组即可解出的长； （2）设，则，根据与的周长相等得出，从而设，可得出的表达式，设，可得出的表达式，进而求出的值． 【详解】解：（1）∵与的周长相等， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）设，则， ∵与的周长相等， ∴， 设， ∴， ∴， 设，同理可得， ∴， ∵即， ∴． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式及多项式的乘法以及线段的和差关系，解答本题的关键是仔细审题，细化解题思路，难度较大． 19．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 20．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． (2)观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． (3)两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)2，5，11； (2)； (3)8． 【分析】（1）根据题意，得，结合A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为，解答即可． （2）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答． （3）根据题意，得，结合，，表示阴影的面积解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为， ∴需要A号卡片2张，B号卡片5张，C号卡片11张． 故答案为：2，5，11． （2）解：根据题意，得， 故答案为：． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，多项式乘以多项式，完全平方公式变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 21．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$