第三章 代数式章节压轴题模拟训练-2024-2025学年人教版七年级数学上册

第三章 代数式章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则 的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（　　） A． B． C． D． 4．峰原制药厂1月份产值为m，为让惠于民，产品单价下调，2月份产值下降，3月份制药厂加大推广，产品销售量有较大提高，3月份产值比2月份增加，则该制药厂2，3月份的总产值为（    ） A． B． C． D． 5．实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．加油站的汽油单价会出现波动，一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则（   ） A．按方式①加油更划算 B．按方式②加油更划算 C．两种加油方式一样划算 D．无法比较哪种加油方式更划算 7．当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 8．已知四个不同的整数满足等式，则的值为（    ） A．0 B．2015 C．2058 D．2067 9．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 10．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 二、填空题 11．若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是 ． 12．已知，则 ． 13．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，我们发现第一次得到的结果为，第次得到的结果为，……，请你探索第次得到的结果为 ． 14．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．图1所示的是“和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    （1）= ，= ． （2）如图2是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母表示的数是 ； （3）图3所示是“积幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，则 ． 15．如图，某校的图书码共有7位数字，它是由6位“数字代码”和1位“校验码”构成，其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图1所示的图书码为例，其算法为： 第1步，计算前6位数字中从左向右数偶数位上的数字之和为，即； 第2步，计算前6位数字中从左向右数奇数位上的数字之和为，即； 第3步，计算与的和为，即； 第4步，取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 第5步，计算与的差就是校验码，即． 如图2，某个图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则的值为 ． 16．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 17．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 18．从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应的手指为 ；当第n次数到食指时，数到的数是 （用含n的代数式表示）． 三、解答题 19．（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 20．已知代数式，记，当时，的值为． (1)求的值； (2)已知当时，的值为，试求的值； (3)已知当时，的值为． ①求时，的值； ②若，试比较与的大小． 21．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：A：买一只茶壶送一只茶杯；B：按总价的付款．现有一顾客需购买4只茶壶，茶杯若干只(不少于4只)，设购买的茶杯x只． 求： (1)按A、B两种方法购买应分别付款多少元？(用含x的式子表示) (2)若购买茶杯16只，则A、B两种办法中哪一种更省钱？请计算说明． 22．某中餐厅，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式． 第一种方式： 第二种方式： (1)当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐________人，第二种摆放方式能坐________人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐________人，第二种摆放方式能坐________人； (3)某天中午餐厅要接待一个70人的游客团队共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有20张这样的餐桌．若你是这个餐厅的经理，你打算选择上述两种方式中的哪种来摆放餐桌？为什么？ 23． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 24．如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八方数”，并把数分解成的过程，称为“石光分解”． 例如：，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，是“八方数”． 又如：，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，不是“八方数”． (1)最小的“八方数”是_________； (2)判断192，624是否是“八方数”?并说明理由； (3)把一个“八方数”M进行“石光分解”，即，A与B之和记为，A与B的差的绝对值记为，令，当能被6整除时，求出所有满足条件的M的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字、相反数的定义、求代数式的值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】解：由图可知： 2与相对，与相对，与相对， 正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ，，解得，， ． 故选：B． 2．已知，则的值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，根据推出，，将原式变形为，通过等量代换即可求解． 【详解】解：， ，， ， 故选B． 3．一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字规律问题，通过观察已有代数式得到规律是解题的关键． 观察各式子可以得到符号为奇数位负，偶数为正，分子满足，分母为，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第奇数个式子的符号为“负”， 第偶数个式子的符号为“正”， ∴第n个式子的符号可用表示． ∵分母中单项式的系数分别为1，2，3...n，字母a的指数分别是1，3，5...7... ， ∴第n个式子的分母可表示为：． ∵分子分别是2，5，8，11...，∴第n个式子的分子可表示为：． ∴第n个式子为：． 故选：D． 4．峰原制药厂1月份产值为m，为让惠于民，产品单价下调，2月份产值下降，3月份制药厂加大推广，产品销售量有较大提高，3月份产值比2月份增加，则该制药厂2，3月份的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的相关知识，读懂题意，理解增长与减少的产值表示是解决问题的关键．根据题意分别表示出2月份产值和3月份产值，即可得到2，3月份的总产值． 【详解】解：由题知，2月份产值下降，2月份产值为， 3月份产值比2月份增加， 3月份产值为， 2，3月份的总产值为， 故选：C． 5．实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选D． 6．加油站的汽油单价会出现波动，一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则（   ） A．按方式①加油更划算 B．按方式②加油更划算 C．两种加油方式一样划算 D．无法比较哪种加油方式更划算 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，准确理解题意，并根据题意设出未知数列出代数式是解题的关键． 【详解】解：设两次汽油单价分别为，， 记①中每次所加的油量固定为，②中每次加油的付款额固定为， 则①中平均单价为， ②中平均单价为， ∵当时，，且，均为正数， ，即， 即方式②平均油价更低． 故选：B． 7．当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出． 先把代入，得到；再把代入得到，整理为，然后利用整体代入的思想计算即可． 【详解】解：∵时，代数式， ∴， 把代入代数式得 ． 故选：D． 8．已知四个不同的整数满足等式，则的值为（    ） A．0 B．2015 C．2058 D．2067 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，求代数式的值，将数字9分解成4个互不相同的整数的乘积是解答本题的关键．不妨设，数字9分解成4个互不相同的整数的乘积，则，，，各自等于对应的值，由此求得a，b，c，d的值，代入即得答案． 【详解】不妨设， 因为， 所以， 解得 ． 故选C． 9．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可找出规律：，从而可将化为，对其进行裂项运算，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 第个图：； ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 10．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 二、填空题 11．若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是 ． 【答案】−2 【分析】本题考查有理数的混合运算、相反数、倒数，根据a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】∵a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数， ∴，，， ∴ ， 故答案为：−2． 12．已知，则 ． 【答案】30 【分析】当时，得，当，，根据已知x的系数为1，则，得到，计算即可． 本题考查了求代数式的值，取合理的x的值，构造所需的代数式是解题关键． 【详解】当时，得， 当，， 根据已知x的系数为1，则， 得到， 故． 故答案为：30． 13．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，我们发现第一次得到的结果为，第次得到的结果为，……，请你探索第次得到的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题中图给出的计算程序、找出规律．程序中有两种运算方式，反复输入时要根据输入数的奇偶性，转换计算方式，总结出规律． 【详解】解：按照程序：当时， 第一次输出的数为， 第二次输出的数为， 第三次输出的数为， 第四次输出的数为， 第五次输出的数为， 第六次输出的数为， 第七次输出的数为， 第八次输出的数为， 第九次输出的数为， 第十次输出的数为， 第十一次输出的数为， 第十二次输出的数为， 第十三次输出的数为， 可见，输出数自第二个数开始每个数循环一次，， 第次得到的结果为， 故答案为：． 14．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．图1所示的是“和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    （1）= ，= ． （2）如图2是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母表示的数是 ； （3）图3所示是“积幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，则 ． 【答案】 7 【分析】（1）本题考查列代数计算，根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案；（2）本题考查列代数计算，根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案；（3）本题考查列代数计算，根据题意由“积幻方”直接列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴，， 故答空1答案为，答空2答案为； （2）由题意可得， ， 解得：，    ∴， 解得：，， ∴， 解得：， 故答空3答案为：7； （3）由题意可得， ， 解得：，， ∴， 故答空4答案为：． 15．如图，某校的图书码共有7位数字，它是由6位“数字代码”和1位“校验码”构成，其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图1所示的图书码为例，其算法为： 第1步，计算前6位数字中从左向右数偶数位上的数字之和为，即； 第2步，计算前6位数字中从左向右数奇数位上的数字之和为，即； 第3步，计算与的和为，即； 第4步，取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 第5步，计算与的差就是校验码，即． 如图2，某个图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查列代数式．根据题干给定的算法，列出代数式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∵为10的整数倍， ∴的个位数只能为6， ∴； 故答案为：2． 16．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查数字类规律探究，代数式求值，根据给出的数字，概括出，进而求出的值，求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2024． 17．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． （ 1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式； （ 2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】解：（1）∵第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（ 1）得，第个等式：， 故答案为：． 18．从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应的手指为 ；当第n次数到食指时，数到的数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 无名指 或 【分析】本题考查规律型数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊探究规律、发现规律、利用规律解决问题，属于中考常考题型．先探究规律，发现规律后利用规律即可解决问题． 【详解】解：如题意可知，八次为一个循环体重复出现， ， 当数到2022时，对应的手指与第6次对应的一样为：无名指； 第一个循环体出现食指时，数到的数是：，； 第二个循环体出现食指时，数到的数是：，； 第三个循环体出现食指时，数到的数是：，； 当第n次数到食指时，数到的数是，， 故答案为：无名指，或． 三、解答题 19．（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 【答案】（1）11；（2）32 【分析】本题考查代数式求值，结合已知条件将代数式进行适当的变形是解题的关键． （1）由题意可得，然后将变形后代入已知数值计算即可； （2）将代入可得，整理可得，然后将变形后代入已知数值计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 则， 那么； （2）将代入可得， 则， 那么． 20．已知代数式，记，当时，的值为． (1)求的值； (2)已知当时，的值为，试求的值； (3)已知当时，的值为． ①求时，的值； ②若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查代数式得求值以及实数的大小比较； （1）当时代入，求得； （2）由（1）知的值，将时，代入，即可求得的值； （3）①当时，，可得，则，当时，，即； ②由（1）知，当时，，则，若，故，即可比较与的大小． 【详解】（1）由， 当时，则 ； （2）由（1）知， 时，， ， ； （3）①当时，，可得， 则， 故当时， ； ②由（1）知， 当时，， 则， 若， ， ， ， ， ， ． 21．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：A：买一只茶壶送一只茶杯；B：按总价的付款．现有一顾客需购买4只茶壶，茶杯若干只(不少于4只)，设购买的茶杯x只． 求： (1)按A、B两种方法购买应分别付款多少元？(用含x的式子表示) (2)若购买茶杯16只，则A、B两种办法中哪一种更省钱？请计算说明． 【答案】(1)A：；B： (2)A种办法更省钱 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题关键是理清两种优惠办法，难度不大． （1）根据题干中两种优惠办法列出它们的花费即可； （2）分别求出当购买茶杯16只时，两种优惠办法的花费再比较大小即可． 【详解】（1）设购买茶杯只，则两种优惠方法应付的钱分别为： A种方法：， B种方法：， （2）当时，， ， ∵，∴购买茶杯16只，则A种办法更省钱． 22．某中餐厅，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式． 第一种方式： 第二种方式： (1)当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐________人，第二种摆放方式能坐________人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐________人，第二种摆放方式能坐________人； (3)某天中午餐厅要接待一个70人的游客团队共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有20张这样的餐桌．若你是这个餐厅的经理，你打算选择上述两种方式中的哪种来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)18，12 (2)， (3)选用第一种摆放方式，见解析 【分析】本题考查了列代数表达式以及已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，结合图形进行作答即可； （2）第一种摆放方式，有张桌子时是，第二种摆放方式，有张桌子时是，即可作答． （3）把分别代入和，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：结合图形， 当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐人， 第二种摆放方式能坐人， 故答案为：18，12； （2）解：第一种摆放方式，第一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人． 即有张桌子时是； 第二种摆放方式，第一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即有张桌子时是， 故答案为：，； （3）解：打算用第一种摆放方式来摆放餐桌． ∵当时，第一种摆放方式：， 第二种摆放方式：， ∴选用第一种摆放方式． 23． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 24．如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八方数”，并把数分解成的过程，称为“石光分解”． 例如：，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，是“八方数”． 又如：，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，不是“八方数”． (1)最小的“八方数”是_________； (2)判断192，624是否是“八方数”?并说明理由； (3)把一个“八方数”M进行“石光分解”，即，A与B之和记为，A与B的差的绝对值记为，令，当能被6整除时，求出所有满足条件的M的值 【答案】(1)187 (2)是“八方数”，不是“八方数”；理由见详解 (3)的值为572或575或560或或或 【分析】（1）由题意可知，最小的“八方数”十位数字是1，个位数字分别为1和7，即，求解即可； （2）根据新定义的“八方数”即可得出答案； （3）设的十位数为，个位数为，则为，根据能被6整除求出的可能的值，再由的值求出的值即可得出答案． 本题是新定义题，主要考查了列代数式，关键是准确理解“八方数”含义，能把和用含和的式子表示出来． 【详解】（1）解：由题意可知，最小的“八方数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， 最小的“八方数”是， 故答案为：187； （2）解：，且， 是“八方数”， ，， 不是“八方数”； （3）解：设，则， ，， 能被6整除， ，为整数， ， 是3的倍数， 满足条件的有2，5，8， 若，则，为整数， ， 是4的因数， ，4，，， 满足条件的有6，8，0，2，5，3 ，或，或，或，，或，，或， 若，则，为整数， ， 是9的因数， ，1，，， 的值有3，5，1，7，13（舍去），（舍去） 满足条件的有3，5，1，7， ，或，或或 若，则，为整数， ， 是14的因数， ，2，，， 的值有2，6，（舍去），18（舍去），11（舍去），（舍去） 满足条件的有2，6， ，或， 综上，的值为572或575或560或或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$