模拟04 2024—2025学年北师大版九年级上册数学期中模拟考试考前集训卷（提高卷，重庆适用）

2024—2025学年北师大版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （提高卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 中考题型含部分七八年级知识 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知是关于x的一元二次方程，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（ ） A．28，48 B．20，24 C．28，24 D．20，48 4．在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 6．用配方法解方程:，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 8．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，与交于点O，平分，交于点E，交于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的根是 ． 12．已知：如图，在中，点在边上，点在边上，要使，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可） 13．已知方程的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ． 14．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 15．如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，的中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是 ． 16．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于x的方程有解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 18．对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解方程： (1)； (2)． 20．如图，四边形是菱形，，垂足为点． (1)用尺规完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点只保留作图痕迹． (2)在（1）所作的图形中，求证：． 证明：四边形是菱形， ______， ______， ，， ______， 在和中， 由得≌， ______， ， ． 21．随着我国反电信诈骗电影的热播，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学为了调查九年级学生防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图中的信息解答下列问题： (1)请通过计算补全条形统计图； (2)若从对校园防电信诈骗安全知识达到“B：了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22．某景区为迎接“十一”长假的游客高峰，提前购进植物装扮景区中心区域，用2400元购进一批玫瑰，用1200元购进一批康乃馨，若购进康乃馨的价格比玫瑰每盆少2元，所购康乃馨数量恰好是购进玫瑰数量的． (1)求该景区购买玫瑰和康乃馨的单价分别为每盆多少元； (2)景区中心区域装扮完后焕然一新，随后景区工作人员决定再次购买玫瑰和康乃馨继续美化景区四周，购买玫瑰的数量与第一次相同，购买康乃馨的数量比第一次多盆，而玫瑰与康乃馨均有涨价，玫瑰的价格比第一次购买时的价格高元，康乃馨的价格比第一次购买时高元，最终发现第二次购买玫瑰和康乃馨的总价比第一次购买玫瑰和康乃馨的总价高元，求的值． 23．如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 24．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 25．已知直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，直线、交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的解析式和点的坐标． （2）直线与轴交于点，将向上平移9个单位得，与轴、轴分别交于点、，点为上一动点，连接、，当的周长最小时，求的周长和点的坐标． （3）将绕点逆时针旋转，使旋转后的直线过点，过点作平行于轴，点、分别为直线、上两个动点，是否存在点、点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年北师大版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （提高卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 中考题型含部分七八年级知识 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不符合题意； B、∵，故符合题意； C、∵，故不符合题意； D、∵，故不符合题意． 故选：B． 2．已知是关于x的一元二次方程，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义得到且，由此可以求得m的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， 且，解得． 故选：D． 3．菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（ ） A．28，48 B．20，24 C．28，24 D．20，48 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的周长和面积的计算方法， 菱形的周长边长，面积两条对角线的积的一半．由菱形的性质得出，利用勾股定理得出菱形的边长进而求出菱形的周长，根据菱形的性质再求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为：，菱形的边长为：， ∴菱形的周长为：， 故选：B 4．在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题关键是利用白球的概率公式列方程求解得到白球的个数．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算得到白球的个数即可得到黄球的个数． 【详解】设布袋中可能装有个白球， 布袋中装有个球，且白球的频率稳定在左右， ， 解得， 即布袋中可能装有个白球， ， 布袋中黄球可能有个黄球． 故选：A． 5．如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似图形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 四边形与四边形相似比为3， 四边形的周长是2， 四边形的周长为6， 故选：B． 6．用配方法解方程:，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 7．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 8．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 9．如图，在正方形中，与交于点O，平分，交于点E，交于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 过点E作，交于点M，通过正方形性质，等腰三角形的判定先证明，再根据角平分线性质证明，设，则，利用，求出x的长，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点E作，交于点M， 平分， ， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，平分， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 故选：D． 10．若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，对进行变形，进而根据二次根式的混合运算进行计算，即可判断②，解可化为一元二次方程，再代入化简，即可判断③． 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或，是原方程的解， 故①正确； ② ，， 故②正确； ③即， 即 ∴ ∴ ∴ 故③正确； 故选：C． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的根是 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键． 12．已知：如图，在中，点在边上，点在边上，要使，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定进行添加条件即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，则； 由题意可得， 当时，则； 由题意可得， 当时，则； 可添加的条件是或或， 故答案为：（答案不唯一） 13．已知方程的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】先解方程求出两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长． 【详解】解：解方程， 可得：x=2或x=8， ∴等腰三角形的两边长为2或8， 当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、8、8，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为18； 当底为8时，则等腰三角形的三边长为8、2、2，2+2＜8，不满足三角形三边关系； ∴等腰三角形的周长为18， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边长是解题的关键． 14．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 【答案】3 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用频率估计随机摸出个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数． 【详解】解：设红球有x个， 则， 解得， ∴红球的个数约为3个， 故答案为：3． 15．如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，的中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接，根据三边关系，，求出，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是矩形，，，点，分别是边，的中点， ∴，，在中，， ∴， 根据折叠的性质可得， 在中，，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出和的长是解题的关键．由矩形的性质可求出，，证明，由相似三角形的性质得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于x的方程有解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出，由方程有实数根分和两种情况讨论，然后利用根的判别式求出，继而可得在符合条件的整数和． 【详解】 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解为 ∵关于x的不等式组有且仅有4个整数解， ∴ 解得； ∵关于x的方程有解， ∴当时，即， 方程为，方程有解，符合题意； 当时，即，方程为一元二次方程 ∴ 整理得 解得 综上所述，a的取值范围为 ∴满足条件的所有整数a有2，3，4 ∴． ∴满足条件的所有整数a的和为9． 故答案为：9． 18．对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】7997 【分析】本题主要考查了新定义——“扩张数”．熟练掌握“扩张数”的定义，十进制数表达式，进率，各数位数字取值范围，分类讨论，是解决问题的关键． 根据，当时，，是4的倍数，是8 的倍数，分或16，或12或16，对字母赋值解答；当时，，是4的倍数，是8的倍数，分或16，或16，对字母赋值解答，比较3个N值即得． 【详解】∵，，，， ∴当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8 的倍数． ∴当， 得， ，，． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，，，，，． 当， 得，． ∵是5的倍数， ∴只有，，，是5的倍数． 此时，，． ∴． 当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8的倍数． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，；， ． 当， 得，； ，． 只有，，，是5的倍数． 此时，，或． ∴，或． ∵． ∴N的最大值为：7997． 故答案为：7997． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 原方程的解为：； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的解为：． 20．如图，四边形是菱形，，垂足为点． (1)用尺规完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点只保留作图痕迹． (2)在（1）所作的图形中，求证：． 证明：四边形是菱形， ______， ______， ，， ______， 在和中， 由得≌， ______， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点A为圆心，大于A到的距离为半径画弧，交于点H，G，再分别以点H，G为圆心，以大于为半径画弧，交于点J，作射线，交于点F，可知即为所求； （2）根据菱形的性质可得，，再结合垂线定义得，然后根据证明，可得，最后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． （2）∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， 在和中， 由①②③得， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，理解用尺规作过直线外一点作已知直线的垂线与尺规作线段垂直平分线之间的关系是解题的关键． 21．随着我国反电信诈骗电影的热播，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学为了调查九年级学生防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图中的信息解答下列问题： (1)请通过计算补全条形统计图； (2)若从对校园防电信诈骗安全知识达到“B：了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得本次调查的总人数，再分别减去条形统计图中的人数可求出A的人数，补全条形统计图即可． （2）运用树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：依题意 ∵调查的人数为（人）， ∴了解程度为A的人数为（人） 补全条形统计图如图. （2）解：记2名男生分别为A，B，3名女生为C，D，E，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生1名女生的结果有：，，，，，，，，，，，共12种， 恰好抽到1名男生1名女生的概率为. 22．某景区为迎接“十一”长假的游客高峰，提前购进植物装扮景区中心区域，用2400元购进一批玫瑰，用1200元购进一批康乃馨，若购进康乃馨的价格比玫瑰每盆少2元，所购康乃馨数量恰好是购进玫瑰数量的． (1)求该景区购买玫瑰和康乃馨的单价分别为每盆多少元； (2)景区中心区域装扮完后焕然一新，随后景区工作人员决定再次购买玫瑰和康乃馨继续美化景区四周，购买玫瑰的数量与第一次相同，购买康乃馨的数量比第一次多盆，而玫瑰与康乃馨均有涨价，玫瑰的价格比第一次购买时的价格高元，康乃馨的价格比第一次购买时高元，最终发现第二次购买玫瑰和康乃馨的总价比第一次购买玫瑰和康乃馨的总价高元，求的值． 【答案】(1)该景区购买玫瑰的单价为元，则康乃馨的单价为元 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用； （1）设该景区购买玫瑰的单价为x元，则康乃馨的单价为元，根据“所购康乃馨数量恰好是购进玫瑰数量的”列出分式方程，解方程即可； （2）根据第二次购买玫瑰和康乃馨的总价比第一次购买玫瑰和康乃馨的总价高元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该景区购买玫瑰的单价为x元，则康乃馨的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该景区购买玫瑰的单价为元，则康乃馨的单价为元； （2）解：由（1）可知，学校购买玫瑰的数量为（盆），康乃馨的数量为（盆）， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 23．如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 (3)自变量 t 的取值范围为 【分析】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质： （1）分、两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即； （2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）先求得时对应的自变量值，结合图象求解即可． 理解动点问题是解答的关键． 【详解】（1）四边形是矩形，且，， ，， 在中，，， ， 当时， ， 当时， 如图：过点作于，   ， ，即：， 解得：， ， 综上所述：． （2）如图所示：    当 时，y随t的增大而增大； 当 时，y随t的增大而减小． （3）由图得： 当时， ，即：， ，即：， 时，自变量t的取值范围． 24．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 25．已知直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，直线、交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的解析式和点的坐标． （2）直线与轴交于点，将向上平移9个单位得，与轴、轴分别交于点、，点为上一动点，连接、，当的周长最小时，求的周长和点的坐标． （3）将绕点逆时针旋转，使旋转后的直线过点，过点作平行于轴，点、分别为直线、上两个动点，是否存在点、点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的周长最小值为，，；（3）或，． 【分析】（1）先将点的横坐标代入直线，求出点坐标，再将点C的坐标代入直线，可求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （2）利用平移求出的解析式，构造点关于的对称点，利用轴对称的性质及等腰直角三角形的性质求得点Q的坐标，利用两点之间线段最短找到点的坐标，再利用勾股定理求出的周长； （3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出方程组，进而求出的坐标． 【详解】解：（1）将代入直线， 得， 故点的坐标为， 将的坐标代入直线， 得：， 解得， 直线， 令，则， 解得， 故点的坐标为， （2）∵直线为向上平移9个单位所得， ∴直线的解析式为：， 令，得，令，得， 故点，点的坐标分别为，， ∴OE＝OF＝6， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠OEF＝∠OFE＝45°， ∵直线与轴交于点， ∴令，得， 故点的坐标为， ∴BE＝OE－OB＝6－4＝2， 取点关于的对称点，连接QE， 根据轴对称的性质可得∠QEF＝∠OEF＝45°，QE＝BE＝2，PQ＝BP， ∴∠BEQ＝∠QEF＋∠OEF＝90°， 即：QE⊥x轴， ∴点Q的坐标为（6，2）， 连接，设直线的解析式为， 将（6，2），（－3，0）代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴当的周长最小时，即最小，此时点A、P、Q在同一直线上， 如图，设直线AQ与直线交于点， 此时最小， 最小值为， ， 此时的周长最小值为， 由解得， 点坐标为，； （3）设的解析式为， 将，代入得： ， 解得， 的解析式为， 当点在直线的上方时， 设点，点， 如图，过点，分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，三条直线分别交于，两点， 则，的坐标分别为，， ，，，， ， ， ， ， 又，， ， ，， 即， 解得， 点的坐标为， 当点在直线的下方时， 设点，点， 如图，过点，分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，三条直线分别交于，两点， 则，的坐标分别为，， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ，， 即， 解得， 点的坐标为，， 综上所述，点的坐标为或，． 【点睛】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等相关知识，能够灵活运用相关知识是解决本题的关键． 26．在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据角直角三角形的特殊关系，求出、、，然后根据勾股定理去求即可； （2）利用两组三角形相似，得到和的关系，然后根据比例的基本性质证明即可； （3）延长构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出，最后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ，， ， 过作于，如图1， ，， ，， ，， ， ， ． （2）证明：，， ∴ ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：延长交于，延长到，使，连接，如图 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于，过作于， ， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$