模拟03 2024—2025学年北师大版九年级上册数学期中模拟考试考前集训卷（基础卷，重庆适用）

2024—2025学年北师大版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （基础卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 中考题型含部分七八年级知识 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键．由，利用比例的性质，即可求得的值． 【详解】解： ， ． 故选：D 2．袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 3．如图，在长方形中，，，将长方形沿所在直线折叠，点D落在处，交于点F，则的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，， 则的面积， 故选：B． 4．已知是关于x的一元二次方程，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义得到且，由此可以求得m的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， 且，解得． 故选：D． 5．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等．根据题意设，则，，，证明，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 7．如图，在正方形中，E为上一点，过点B作于点F，延长至G，使，连接，若，则一定等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质的，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理．正确作出辅主线，构造全等三角形是解题关键．过点C作于点H，易证，即得出，，，结合题意可证，即确定为等腰直角三角形，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H，    ∴， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选A． 8．若关于x的方程有实根，则m的最大整数值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 当方程为一元二次方程时，根据方程有实数根得出且，求出不等式组的解集即可．当方程为一元一次方程时，m可求，则问题可解. 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于x的方程有实根， ∴且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时，则，方程一定有实根， 综上 ∴m的最大整数解为5， 故选：B． 9．如图，菱形的面积为，，点O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质可得，，得出是等边三角形，可得，，再由点O为的中点，与互相平分，可得点O是线段的中点，从而得出，再由菱形的面积为，求得，最后由直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 点O为的中点，与互相平分， 点O是线段的中点， ， ∴， ∵，即， ， ∵， ，即， 菱形的面积为， ， ， ， 中，是斜边上的中线， ， 故选：D 10．已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，约分，根的判别式，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题．利用整式运算的相关法则，约分及根的判别式对各选项进行分析即可求解． 【详解】解：① ， 中不含项， ， 解得：， 故①说法正确； ② ， 当时， 原式 ， 故②说法正确； ③， ， ， 或， ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根； ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根， 无论取何值，关于的方程始终有4个不相等的实数根， 故③说法正确， 正确的有①②③，共3个． 故选：D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 12．若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 13．两个不透明的袋子，一个装有3个球（1个黄球，2个红球），另一个装有4个球（2个白球，1个红球，1个绿球），小球除颜色不同外，其余完全相同，现从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球颜色恰好相同的概率是 ． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：列表如下： 黄 红 红 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 绿 （黄，绿） （红，绿） （红，绿） 由表知，共有12种等可能结果，其中摸出两球颜色恰好相同的结果有2种， 所以P（摸出两球颜色恰好相同）==， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法求概率，解题的关键是能够用列表或列树状图的方法将所有等可能的结果列举出来． 14．如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质．根据三角形中位线定理，证明，得到，，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是的中位线， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为100万元.2024年全年投入的研发资金为144万元，则平均每年增长的百分率为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每年增长的百分率为，利用该公司2024年全年投入的研发资金该公司2022年全年投入的研发资金平均每年增长的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年增长的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 平均每年增长的百分率为． 故答案为：． 16．如图，在矩形纸片中，，，点，分别是矩形的边，上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在点处，连接、、，与交于点．则当点与点重合时， ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的翻折问题，由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．解题的关键是掌握翻折的性质，熟练地利用勾股定理解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当，重合时，如图： 设， 在中， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 故答案为：． 17．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ． 【答案】30 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有3个整数解确定出a的范围；然后根据运用根的判别式确定a的具体范围，进而确定出整数a的值，然后求和即可解答． 【详解】解：解不等式组可得， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为4，3，2， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，解得： ∴a的范围是， ∴整数a的值为9、10、11，它们的和为30． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元一次不等式组的整数解等知识点，掌握根的判别式小于0，则一元二次方程没有实数根成为解答本题的关键． 18．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ． 【答案】 1425 2781 【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解． 【详解】解：设为“和方数”， 则 ，，即， 要使得越小，只需，，，越小即可， 当时， 若时，，不符合题意， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时，，则，， 即：最小的“和方数”为1425； ∵为“和方数”，则， ∴， 则， ∵能被11整除，即：能被33整除， ∴能被33整除， ∵， ∴， 令，则为33的倍数，，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）； ∴，， ∴，， 则， 当时，取得最大值，此时， 则此时“和方数”等于2781， 故答案为：1425，2781． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解下列方程： （1） 【答案】（1），；，． 【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：（1）这里a=1，b=-4，c=1， ∵△=16-4=12， ∴=； ， ， 或， 所以，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 20．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中，， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：：学校作业有明显减少；：学校作业没有明显减少；：课外辅导班数量明显减少；：课外辅导班数量没有明显减少；：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图． 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人；________； ； (2)若该校学生有人，试估计只选选项的学生有多少人？ (3)该校计划在某个班向家长展示“双减“背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共个，其中有个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【答案】(1)200，144，20 (2)128人 (3) 【分析】（1）用选择的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可求得；用本次调查中选择的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得，即可得出答案； （2）由样本估计总体即可得到答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人）， ， ， ， 故答案为：200；144；20； （2）解：该校优秀人数：（人）， 答：若该校学生有640人，试估计只选选项的学生有128人； （3）解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， 两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，样本估计总体；能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 22．如图，在矩形中，，点、点分别在边上，且，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着折线运动，运动到点停止．连接，设点运动的时间为秒，的面积为， (1)求关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)在所给的坐标系中画出该函数的图像，并写出一条该函数的性质； (3)结合函数图像，请直接写出面积不小于3时的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解，在段，随的增大而增大 (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、一次函数的应用等知识，正确确定关于的函数表达式是解题关键． （1）分点在线段上和点在线段上两种情况，分别求解即可； （2）结合（1），画出函数图像，并写出一条该函数的性质即可； （3）结合图像，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴，， 当点在线段上时，如下图，此时， 则，， ∴的面积为 ； 当点在线段上时，如下图，此时， 则，， ∴的面积为 ． ∴关于的函数表达式为； （2）解：结合（1），可画出该函数图像如下图所示， 在段，随的增大而增大； （3）解：结合函数图像， 可知面积不小于3时的取值范围为． 23．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． ∴此时售价为（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． 24．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)将直线向上平移6个单位得到直线，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当C的值最小时，求此时点M的坐标及的最小值； (3)在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点P、Q，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3) 或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似、点的对称性等等. （1）求出点的坐标，代入，即可求解； （2）点是点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点连接交轴、于点，则此时最小，最小值为即可求解； （3）证明, 则 即可求解. 【详解】（1）∵点的横坐标为， ， 将点代入 ， ∴直线的解析式； （2）与轴的交点， ∵将直线 向上平移个单位得到直线，直线与轴交于点， ， ∵过点作轴的垂线， 点是点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点， 连接交轴、 于点，则此时最小，最小值为， ， ； 的值最小为 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的表达式为 当 时，即 解得 ， 故点的坐标为，最小值为； （3）存在, 理由: 设点的坐标分别为： 当点E绕点P顺时针旋转时，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点,交于点，    ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 即：，， 解得： ∴点， 当当点E绕点P逆时针旋转时，    过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点,交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 即：，， 解得： ∴点 ， 综上所述，点的坐标为 或 26．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由垂直平分，则，，根据等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （）过作交延长线于点，连接，证明，，然后根据性质即可求证； （）取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，通过全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年北师大版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （基础卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章。 中考题型含部分七八年级知识 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 2．袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 3．如图，在长方形中，，，将长方形沿所在直线折叠，点D落在处，交于点F，则的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．已知是关于x的一元二次方程，则（    ） A．2 B．1 C． D． 5．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，E为上一点，过点B作于点F，延长至G，使，连接，若，则一定等于（   ）    A． B． C． D． 8．若关于x的方程有实根，则m的最大整数值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．3 9．如图，菱形的面积为，，点O为的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C．4 D．6 10．已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．方程的解是 ． 12．若，且，则与的周长之比为 ． 13．两个不透明的袋子，一个装有3个球（1个黄球，2个红球），另一个装有4个球（2个白球，1个红球，1个绿球），小球除颜色不同外，其余完全相同，现从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球颜色恰好相同的概率是 ． 14．如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若，则的长为 ． 15．某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为100万元.2024年全年投入的研发资金为144万元，则平均每年增长的百分率为 . 16．如图，在矩形纸片中，，，点，分别是矩形的边，上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在点处，连接、、，与交于点．则当点与点重合时， ． 17．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ． 18．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解下列方程： （1） 20．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：平行四边形中，于点，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 21．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：：学校作业有明显减少；：学校作业没有明显减少；：课外辅导班数量明显减少；：课外辅导班数量没有明显减少；：没有关注．已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图不完整的统计图． 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人；________； ； (2)若该校学生有人，试估计只选选项的学生有多少人？ (3)该校计划在某个班向家长展示“双减“背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共个，其中有个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 22．如图，在矩形中，，点、点分别在边上，且，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着折线运动，运动到点停止．连接，设点运动的时间为秒，的面积为， (1)求关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)在所给的坐标系中画出该函数的图像，并写出一条该函数的性质； (3)结合函数图像，请直接写出面积不小于3时的取值范围． 23．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 24．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)将直线向上平移6个单位得到直线，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当C的值最小时，求此时点M的坐标及的最小值； (3)在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点P、Q，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 26．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰． (1)如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：； (3)如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$