14.1整式的乘法（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

14.1整式的乘法 题型一 同底数幂相乘 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 2．（23-24八年级上·广东江门·期中）若，则 ． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算，则x等于 ． 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 6．（23-24八年级上·河北保定·单元测试）计算，则 等于 ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 1．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则 ． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则 ． 4．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知，，则 ． 5．（23-24八年级上·福建·单元测试）已知，，则 ． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期末），，则的值为 ． 题型三 幂的乘方运算 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ． 3．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）若，则m的值为 4．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则 ． 5．（22-23八年级上·辽宁大连·期末），则的值为 ． 6．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知：，则 ． 题型四 幂的乘方的逆用 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）若m，n满足，则 ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则 ． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习），，则的值= ． 5．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）已知，，则 题型五 积的乘方运算 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是 ． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算的结果是 ． 4．（2024·天津武清·三模）计算的结果为 ． 5．（23-24八年级上·重庆合川·期末）计算： ． 题型六 单项式乘单项式 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算：的结果是 ． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算的结果为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算的结果是 ． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果是 ． 题型七 单项式乘多项式及求值 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）计算： ． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）计算： ． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算 ． 4．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是 ． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，则代数式的值为 ． 6．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习），则 ． 7．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 题型八 多项式乘多项式及求值 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a、b满足代数式：，求代数式的值． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型九 多项式除以单项式 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习） ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习） ． 4．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）计算： ． 5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若A与的积为，则 ． 题型十 已知多项式不含某项求字母或代数式的值 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）若的结果中不含项，求的值． 2．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知多项式，，与的乘积中不含有项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 5．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，有10个形状大小一样的小长方形，长为a，宽为b，将其中的3个小长方形放入正方形①中，剩余的7个小长方形放入长方形②中，其中正方形①中的阴影部分面积为21，长方形②中的阴影部分面积为93． (1)用含a，b的式子分别表示出图①和图②中阴影部分的面积： ， ．（填出答案，无需写过程） (2)求出这个长为a，宽为b的小长方形的面积． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，如图所示，空白的正方形地块将修建两个凉亭，两正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化总面积结果（最简形式）； (2)当时，绿化成本为元每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 4．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 5．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． (1)填空：第二项的系数为________，_______； (2)求的展开式； (3)请根据以上规律计算： 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________； (2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (3)试求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1整式的乘法 题型一 同底数幂相乘 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·广东江门·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，根据同底数幂的乘法法则进行解答即可求解，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算，则x等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查同底数幂的乘法，要注意是指数相加，底数不变．利用同底数幂的乘法即可求出答案， 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， 故答案为：8． 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算、由幂相等的条件得到，整体代入代数式求值即可得到答案．熟记幂的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·河北保定·单元测试）计算，则 等于 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、解一元一次方程等知识，理解并掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法运算法则可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得． 故答案为：13． 题型二 同底数幂乘法的逆用 1．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）已知，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加把变为，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：24． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法的逆运算即可得出答案． 【详解】解：∵， 故答案为：28． 4．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】40 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：，， 故答案为： 5．（23-24八年级上·福建·单元测试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用的知识点． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期末），，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，把，代入即可求解． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为：12． 题型三 幂的乘方运算 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，根据乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）若，则m的值为 【答案】3 【分析】本题主要考查幂的乘方 、同底数幂的乘法，先根据幂的乘方算出 ，然后根据同底数幂的乘法得出，即可求出m的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方，根据求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 5．（22-23八年级上·辽宁大连·期末），则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 解得：． 故答案为：6． 6．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知：，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘法，以及幂的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：10． 题型四 幂的乘方的逆用 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）若m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算，先求出，再根据幂的乘方及其逆运算法则得到原式，进一步根据同底数幂乘法计算法则得到原式，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式求值和同底数幂的乘法，先将代数式化成同底数幂的乘法的形式，在进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法．根据可以得到，从而根据同底数幂的除法公式化简，再整体代入计算即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习），，则的值= ． 【答案】50 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：50． 5．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）已知，，则 【答案】675 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，由可得出，然后根据同底数幂乘法的逆用代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：675 题型五 积的乘方运算 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算； 【详解】解： 故答案为： 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算同底数幂的乘法，积的乘方，然后计算减法即可． 【详解】 ． 故答案为：0． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算可得． 本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则． 【详解】解：（， 故答案为：． 4．（2024·天津武清·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算，熟练掌握运算性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·重庆合川·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型六 单项式乘单项式 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式是解题的关键；因此此题可先根据积的乘方去括号，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法，熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，只在一个单项式中出现的字母连同指数写在积里，作为积的一个因式，是解题的关键．利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式．直接利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为： 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 题型七 单项式乘多项式及求值 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据整式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】，     故答案为：． 4．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式乘以多项式法则：用单项式分别乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加即可，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 5．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式法则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 6．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】根据已知等式得出，，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键． 7．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】由已知的式子可得，，然后将所求的式子降次变形结合整体思想解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法运算，正确降次、灵活应用整体思想是解题的关键． 题型八 多项式乘多项式及求值 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a、b满足代数式：，求代数式的值． 【答案】46 【分析】本题考查了整式的乘法化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，求出a、b的值，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， 当，时， ∴原式． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式乘法的计算法则，正确把式子化简．利用平方差公式以及多项式乘多项式展开后，再合并同类项，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型九 多项式除以单项式 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则：用多项式每项除以单项式求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则：用多项式的每项去除以单项式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若A与的积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵A与的积为 ∴， 故答案为：． 题型十 已知多项式不含某项求字母或代数式的值 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）若的结果中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式法则运算，然后令项系数等于，再解方程即可，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， ∵的结果中不含项， ∴， 解得． ∴的值为． 2．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运算算出结果，然后令项前面的系数为零，求出n的值． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知多项式，，与的乘积中不含有项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查整式的四则混合运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是解题的关键． （1）先计算与的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有项和常数项为，列方程即可得到答案； （2）把，代入利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 与的乘积中不含有项，常数项是， ，， 解得：，； （2）由（1）知，，， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 5．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用． （1）根据长方形的面积等于长乘宽表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果． 【详解】（1）原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：； 则油漆这个铁盒需要的钱数是：元． 所以涂漆这个铁盒需要元钱． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，有10个形状大小一样的小长方形，长为a，宽为b，将其中的3个小长方形放入正方形①中，剩余的7个小长方形放入长方形②中，其中正方形①中的阴影部分面积为21，长方形②中的阴影部分面积为93． (1)用含a，b的式子分别表示出图①和图②中阴影部分的面积： ， ．（填出答案，无需写过程） (2)求出这个长为a，宽为b的小长方形的面积． 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）由题意易得正方形的边长为，大长方形的长为，宽为，即可表示出正方形和大长方形的面积，再减去空白部分的面积即可求解； （2）根据，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图得正方形的边长为，大长方形的长为，宽为， ∴，； （2）解：由题意得， ∴ ∴，即小长方形的面积为5. 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式及完全平方公式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式及完全平方公式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，如图所示，空白的正方形地块将修建两个凉亭，两正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化总面积结果（最简形式）； (2)当时，绿化成本为元每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】（）根据图形列出代数式即可求解； （）把的值代入（）的结果，求出绿化总面积，再乘以单价即可求解； 本题考查了整式混合运算的实际应用，根据题意正确列出代数式的解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，绿化总面积为：平方米； （2）解：当时， 平方米， ∴完成绿化工程共需要元． 4．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 5．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． (1)填空：第二项的系数为________，_______； (2)求的展开式； (3)请根据以上规律计算： 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查杨辉三角与多项式乘法的应用． （1）由题意给出的规律可知： ，即可解答； （2）由题意给出规律可知：； （3）通过变形化简可得原式，计算即可． 【详解】（1）解：第二项的系数为， 由题意可得， 故答案为：4， （2）由题意得：； （3）原式 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________； (2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (3)试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分组法进行因式分解与整式规律探究，找出因式分解的规律是解题的关键． （1）按照给定例题的方法，总结规律，进行因式分解即可； （2）依据（1）中的规律即可得到答案； （3）把代入（2）即可求出． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③， ∴； 故答案为：； （2）解：根据（1）的规律，可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$