模拟02 2024—2025学年人教版九年级上册数学期中模拟考试考前集训卷（提高卷，重庆适用）

2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （提高卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：人教版2012九年级上册第二十一章~第二十四章 中考题型含部分七八年级知识 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律． 由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为， 平移后解析式为， 故选：C． 4．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵点A、B、C在上，， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（　　）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形判定和性质等知识．由旋转的性质和等边三角形的判定得到为等边三角形，则，即可得到． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点D恰好落在边上， ∴， 故选：A． 6．设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 8．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 9．如图所示，抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，下列说法中正确的有（   ） ；；；（4）当时． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据过点，可判断（1）正确；由图知时，，即可判断（2）错误；根据抛物线的对称轴为，可得，观察图像可得，进而可判断（3）正确；观察图像可判断（4）正确． 本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵过点， ∴， 故（1）正确； 由图知时，， ∴， 故（2）错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， 由图知， ∴， 故（3）正确； 由图知当时， 故（4）正确． 综上，正确的说法有3个， 故选：C． 10．已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】将数值代入方程，判断①，设四个连续的奇数分别为，代入方程判断②，利用配方法将方程转换为：，得到当时，方程成立，判断③和④． 【详解】解：把，，，，代入方程，得：， 方程的左边等于右边；故①正确； 设四个连续的奇数为，代入方程得： 方程左边等于， 方程右边 左边不等于右边；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，方程成立， 且m，n，p，q为正整数时： 当时，，为别为：或或或或共5组方程的解； 当时，，为别为：或或或共4组方程的解； 当时，，为别为：或或共3组方程的解； 当时，，为别为：或共2组方程的解； 当时，，为别为：共1组方程的解； 综上：当时，共有组方程的解；故③正确； 由③可知：当时，方程成立， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组， 又∵， ∴这一组数不是方程的解， ∴共有503组解；故④错误； 综上：正确的是①③，共2个； 故选B． 【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．一元二次方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴或， 解得， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 14．如图所示，二次函数图象与一次函数的图象交于两点．当时，自变量的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图形与性质，利用数形结合的思想进行解答，由题意可知两个函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，自变量的取值范围． 【详解】两个函数的图象交于两点， 当时，自变量的取值范围是：或， 故答案为：或． 15．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是根据题意得到，再代入求值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：2024． 16．如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】根据旋转的性质得到，，然后根据勾股定理的逆定理可求，根据等腰直角三角形的性质可求，从而求出，再求得点共线，作于点，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， ∴； ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， 作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 17．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ． 【答案】30 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有3个整数解确定出a的范围；然后根据运用根的判别式确定a的具体范围，进而确定出整数a的值，然后求和即可解答． 【详解】解：解不等式组可得， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为4，3，2， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，解得： ∴a的范围是， ∴整数a的值为9、10、11，它们的和为30． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元一次不等式组的整数解等知识点，掌握根的判别式小于0，则一元二次方程没有实数根成为解答本题的关键． 18．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的“等根数”， ∴， ∴， 即， ∵为最小“等根数”， ∴，， ∴， ∴最小“等根数”为， 故答案为：； ∵， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴当时，或，此时或， ∵， ∴不符，舍去； 当时，或，此时或， 由可得，不符，舍去， ∴， ∴， ∴，，， ∴的最大值是， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】（1）先将原方程整理为一般式，然后运用公式法求解即可； （2）先求出原方程的根的判别式，即可求解． 【详解】解：（1）原方程化为 ，     ， 由求根公式得， ， 所以原方程的解为  ； （2） ， 原方程无实数根． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——公式法，理解运用公式法解一元二次方程时要先求出根的判别式以确定根的情况是解题的关键． 20．已知四边形是平行四边形．    (1)尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使． (2)连接，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即________①________， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴________②________， ∵， ∴． ∴________③________ ∴， ∴是菱形．（________④________） 【答案】(1)作图见解析 (2)；；；有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）先四边形是平行四边形，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即①， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴②， ∵， ∴． ∴③， ∴， ∴是菱形．（④有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：；；；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意并画出图形，掌握平行四边形判定和性质及菱形的判定． 21．传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 a 八年级 89 b 91 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)90，，25 (2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析 (3)七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580名． 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数，众数，样本估计总体； （1）根据中位数和众数即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到七年级学生竞赛成绩较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中90出现3次，出现次数最多， ∴； ∵八年级A组和B组的人数共有人， 在A的人数为人， 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是90，91，91，92，93，94， ∴位于第10位和第11位为90，91， ∴； 根据题意得：； ∴； 故答案为：90，，25； （2）解：八年级学生知识竞赛成绩较好，理由： 虽然七、八年级的平均分均为89分，但八年级的中位数和众数均高于七年级． （3）解：根据题意得：名， 答：七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580名． 22．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． ∴此时售价为（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． 23．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)作图见解析，由图可得，当，随的增大而减小 (3)． 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而减小； （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 24．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，求购物车把手到的距离． 【答案】(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∴ 答：购物车把手到的距离为 25．如图1，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点．已知为中点，抛物线对称轴为直线，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和为轴上的一个动点，连接和，当时，求点的坐标及的最大值； (3)如图3，点直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）先求出点，，然后根据对称的性质得到点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴于点Q，设点P的坐标为，根据列方程，求出点P的坐标，然后作点C关于y轴的对称点F，连接，，根据，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值，利用勾股定理解题即可； （3）分点N在y轴左侧和右侧两种情况讨论，根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质，然后利用平面上两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，当时，，令，则， ∴，， 又∵为中点，点为点关于轴的对称点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 过点P作轴于点Q， 设点P的坐标为， ∴， 即， 整理得：， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为， 如图，作点C关于y轴的对称点F，连接，， 则点F的坐标为，且， ∵，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值， 最大值为， ∴的最大值为； （3）解：∵， ∴， 如图，当点N在y轴左侧时， 当时，则， ∴，即， 设点N的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； 如图，当点N在y轴右侧时，在x轴下方直线上取点P，使得， 当时，则， 设点N的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； ∴点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形的面积以及轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 26．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据直角三角形的性质得出，根据为等边三角形，得出，，证明，为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据中位线性质得出，即可得出结论； （3）根据等边三角形性质得出，，根据，利用三角形三边关系得出，且当、B、E三点共线时，等号成立，画出图形，先根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：；理由如下： 延长，取，连接，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点M为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，绕点A逆时针旋转， ∴，且当、B、E三点共线时，等号成立， ∴当点E在线段上时，最小，如图所示： 过点D作于点N， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 此时， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （提高卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：人教版2012九年级上册第二十一章~第二十四章 中考题型含部分七八年级知识 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（　　）    A． B． C．2 D． 6．设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 8．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 9．如图所示，抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，下列说法中正确的有（   ） ；；；（4）当时． A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．一元二次方程 的解为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 13．的半径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 14．如图所示，二次函数图象与一次函数的图象交于两点．当时，自变量的取值范围 ． 15．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 16．如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为 ． 17．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ． 18．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．解下列方程： （1）； （2）． 20．已知四边形是平行四边形．    (1)尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使． (2)连接，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即________①________， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴________②________， ∵， ∴． ∴________③________ ∴， ∴是菱形．（________④________） 21．传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 a 八年级 89 b 91 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 22．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 23．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 24．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，求购物车把手到的距离． 25．如图1，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点．已知为中点，抛物线对称轴为直线，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和为轴上的一个动点，连接和，当时，求点的坐标及的最大值； (3)如图3，点直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点坐标． 26．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$