第五章：三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第五章：三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】由可得，是第二象限角.故选：B. 2．（23-24高一上·河北廊坊·月考）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以.故选：A. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积．故选：B． 4．（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因点在第二象限， 故，即角为第四象限角.故选：D. 5．（23-24高一下·广东佛山·月考）下列函数中，周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的周期为，故A错误； 对于B，函数的周期为，故B错误； 对于C，函数的周期为，且为偶函数，故C正确； 对于D，函数是奇函数，故D错误.故选：C 6．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即，所以 又， ，所以 所以故选：C 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，.故选：. 8．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 因为函数在区间上单调递增， 结合各选项，只需即可， 所以，即， 又因为，所以.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：BC. 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以， 即，所以，故A正确，B错误； 又，所以，， 所以，故C正确，D错误．故选：AC． 11．（23-24高一下·湖南·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】对于A，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，故A错误. 对于B，，故B正确. 对于C，当时，，故C正确. 对于D，，故D正确.故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）若为第一象限角，则 . 【答案】 【解析】.故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏镇江·月考）用弧度制表示终边在一、三象限角平分线上的角的集合为 . 【答案】 【解析】当角的终边在第一象限的角平分线时，， 当角的终边在第三象限的角平分线时，， 综上，或，即， 所以终边在一、三象限角平分线上的角的集合为. 故答案为： 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则 ． 【答案】 【解析】设的最小正周期为，则，故， 又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，故为函数的一个周期， 故最小正周期，即，解得， 若，则， 时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，不合要求， 若，则， 时，， 此时满足在上单调递增，满足要求， ，， ，由对称性可得， 即， 故 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·湖北咸宁·月考）求下列各式的值： (1)化简： (2)已知，求的值． 【答案】(1)；(2)7 【解析】（1）原式, （2）原式. 16．（15分）（23-24高一上·广东揭阳·期末）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记． (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)两点坐标分别为；(2). 【解析】（1）因为， 所以，所以点坐标为, 因为， 所以， 所以点坐标为； 所以两点坐标分别为； （2）由点在单位圆上，得， 又点位于第一象限，则， 所以点的坐标为， 即． 所以， 所以． 17．（15分）（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为. (1)若在为增函数，求的取值范围. (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）令，解得， 则由已知，解得， 所以， 因为，所以， 又，得， 因为， 所以，即，又 解得； （2）当时，， 因为， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若对恒成立， 则，即，即， 又，解得. 18．（17分）（23-24高一上·江西上饶·月考）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)，；(2)；(3)或. 【解析】（1）观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． （2）由题意得， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； （3）依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 19．（17分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】(1)，；(2)，；(3)个 【解析】（1）注意到，又， 则. 则， 又，则，； （2）由图，， 又由（1），则， 即，； （3）由（2），. 则，则， 化简得：，解得或. 因，则，故， 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，，又. 则， 令, 即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章：三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（23-24高一上·河北廊坊·月考）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一下·广东佛山·月考）下列函数中，周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·湖南·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）若为第一象限角，则 . 13．（23-24高一上·江苏镇江·月考）用弧度制表示终边在一、三象限角平分线上的角的集合为 . 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·湖北咸宁·月考）求下列各式的值： (1)化简： (2)已知，求的值． 16．（15分）（23-24高一上·广东揭阳·期末）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记． (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求的值． 17．（15分）（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为. (1)若在为增函数，求的取值范围. (2)若对恒成立，求的取值范围. 18．（17分）（23-24高一上·江西上饶·月考）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 19．（17分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$