第5章 3 组合问题-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

更难包手细高中数学选择性必修第-册S §3组合问题 3.1组合 3.2组合数及其性质 重点和难点 课标要求 重点：理解组合的意义，组合数公式， L.了解组合、组合数的概念 运用组合的知识解决简单的实际问题」 2.理解组合数公式及应用. 难，点：根据实际问题的特征，正确区分 3.了解组合数的两个性质. 排列问题与组合问题，解有限制条件的组 4.理解组合的应用问题. 合的综合应用题 01必备知识梳理。 基础梳理 划重点 知识点1组合的概念 (1)组合的定义包含两个 1.一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n,且m,n∈N,)个 基本内容：一是“取出元素”： 二是“合成一组”，“合成一组” 元素为一组，叫作从个不同元素中取出m个元素的一个组合 表示与元素的顺序无关 2.排列与组合的异同点及区分方法 (2)如果两个组合中的元 素完全相同，不管它们的顺序 (1)排列与组合的异同点 如何，都是相同的组合，如ab 排列 组合 与如是两个不同的排列，但它 们是同一个组合：如果两个组 相同点 从n个不同元素中取出m(m≤1，且m,n∈N,)个元素 合中的元素不完全相同，那么 不同点 需考虑元素顺序 不需考虑元素顺序 这两个组合就是不同的组合. (3)区分一个问题是排列 (2)排列问题和组合问题的区分方法 问题还是组合问题，关键是看 它有无“顺序”，有顺序就是排 排列 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列 列问题，无顺序就是组合问 问题 问题与元素选取的顺序有关 题.而要判定它是否有顺序的 方法是：将元素取出来，看交 组合 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即 换元素的顺序对结果有无影 问题 组合问题与元素选取的顺序无关 响，有影响就是“有序”，也就 是排列问题：没有彩响就是 知识点2组合数与组合数公式 “无序”，也就是组合问题 1.组合数 同敲黑板 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所 (1)同排列与排列数是两 个不同的概念一样，组合与组 有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤，且m,n∈ 合数也是两个不同的概念.例 N+)个元素的组合数，记作C 如从3个不同元素a,b,c中取 196 第五章 计数原理么型 2.组合数公式 出2个元素的组合为ab,ac, ,其中每一种都叫作一个组 与排列数公式一样，组合数公式也有两个： 合，即组合不是数，而是完成一 （①)连乘形式：C=A=nm-1)m=2(n-m+D,这里 件事的一种方法，而该问题的 A m! 组合数为3，是一个数字 (2)符号C”是一个整体， n,m∈N+,并且m≤n. m,n均为正整数，且m≤. (2)阶乘形式：因为=m”所以C A 目敲黑板 一般地，求从n个不同元 ml(mm1这里，m∈N,并且m≤，规定C⑧=1. n! 素中取出m个元素的排列数 A",可以按以下两步来考虑： 知识点3组合数的性质 第一步，先求从这n个不 同元素中取出m个元素的组 1.性质1：C%=C%.由于C=1,因此该等式在m=n时也 合数C”. 第二步，求每一个组合中 成立。 m个元素的全排列数A", 连宣性质1的应用：①简化计算，当m>号时，通常将计算 根据分步乘法计数原理， 得到A=CA C转化为计算C,如C=C-8=56:@列等式，心 周光可以择C-是 n(n-1)…(n-m+1) Cg→x=y或x十y=n.如Cg=Cg→3=x或3十x=8. m! 2.性质2：C=C”+C0 这里，m∈N+,且m≤1， 这个公式叫作组合数公式 重难拓展 n! 因为A=m”m所 重难点1组合数公式的应用 以组合数公式还可表示为C (1)组合数公式（连乘形式）的特点：分子是m个数相乘，且第 n! n!(n-m)! 一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 司敲黑板7 是n一m十1：分母是m的阶乘. (1)性质1表明从n个不 (2)注意组合数公式中m,n满足的条件。 同元素中取出m个元素的组 (3)在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比，组 合，与剩下的(n一m)个元素 的组合是一一对应的关系， 合数公式C=n-1)(n一2)…(n-m十1) 一般用于计算，组合 (2)性质2表明从(n十1) 个不同元素中任取m个元素 的组合，可以分为两类：第1 数公式C=ml(n一m川 2! 一般用于含有字母的组合数的式子的 类，取出的m个元素中不含某 个元素a的组合，只需在除去 变形或证明 元素a的其余n个元素中任 117 取m个即可，有C个组合： 例1(1)已知CG1oC求C: 第2类，取出的m个元素中含 (2)求证：mC”=nC. 有某个元素a的组合，只需在 除去a的其余n个元素中任 解析](1)原方程可化为 取(m一1)个后再取出元素a 即可，有C1个组合. m!(5-m)!_m!(6一m)(5-m)! 5！ (3)性质2的应用：恒等 6×5! 变形，简化运算.在后面学习 _7m!(7-m)(6-m)(5-m)! 二项式定理时，我们会看到它 10×7×6×5！ 的具体应用. 197 更难包手细高中数学选择性必修第-册S 1-6m=(7-m)6-m,即m2-23m+42=0. 6 60 刀提个醒 ∴.m=2或m=21. 应用组合数公式化简、求 值、解方程、解不等式等时，一 ,0≤m≤5，∴.m=2.∴.C=C8=28. 定要注意隐含条件“m≤，且 (2),mCW=m· n! m,n∈N+”,即上标不大于下 m!(n-m)1 标且均为正整数的应用，求解 n·(-1)! -(m-1)！(n-m)！ 后一般要检验结论是否符合 题意 (n-1)! =m‘(om-1(mm1=nC 原等式成立 重难点2组合应用题中整体分类与局部分步 通记方法 1.整体分类.对事件进行整体分类，从集合的意义上讲，分类 求简单的组合问题的思路 要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的 首先要分清完成一件事 交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，应使用分类 情是需要分类还是分步，每一 类（或每一步）是否为组合问 加法计数原理。 题，若是组合问题，按照组合 2.局部分步.整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 的定义，正确表示出相应的组 做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分 合数，再利用分类加法计数原 步的不重复，计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理. 理或分步乘法计数原理计数 例210双互不相同的鞋子混装在一个布袋中，从中任意取 出4只，试求出如下结果的情况有多少种： (1)4只鞋子没有成双的： (2)4只鞋子恰成两双： (3)4只鞋子中有2只成双，另2只不成双. 解析(1)从10双鞋子中选取4双，有C。种不同的选法，每 双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取 种数为C·2=3360,即4只鞋子没有成双的情况有3360种. (2)从10双鞋子中选取2双有C=45种取法，即4只鞋子 恰成两双的情况有45种. (3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋子中选取2双有C 种选法，每双鞋只取一只各有2种取法.根据分步乘法计数原理， 不同的取法有CC号·22=1440种，即4只鞋子中有2只成双， 另2只不成双的情况有1440种. 198 第五章计数原理 门-02关建能边提升。 题型方法 C>C n! n! ”>41(m-41>61(m-6)1' 题型1组合数的计算与组合数性质的 n6, n≥6， 应用 m2-9n-10<0, 1.组合数的计算与证明 /1Kn<10, n≥6. n≥6. 例B(1)求7C-4C的值： n∈N+,∴.n=6,7,8,9. (2)设m,n∈N+,n≥m,求证：(m+1)C十 .不等式的解集为{6,7,8,9. (m十2)Cm+1+(m十3)C%+2+…十C”1十(n十 (2),CW= n! m!(n-m)月' 1)Cw=(m十1)Cw. m十1 解折(1)7C臂-4C=7×6X5X4 ·C+ 3×2×1 4X 11一1n m十1 n! 2-0 (m+1)1(n-m)(n-m-1)月 n! (2)当n=m时，结论显然成立.当n>m m!(n-m)!’ 时，+1C=:2制=m+… .Cw=m十1 ·Cw+1 1一m (k+1)! (m+1)！·(k+1)-(m+1)!=(m+1)· 题型2常见的基本组合实际应用问题 1.无限制条件的组合实际应用问题 C,k=m十1，m十2，…，n. 对于无限制条件的组合问题，只需按照组 又因为C十C=C, 合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元 所以(k十1)C=(m十1)(C量一C), 素的总数及取出元素的个数.解决组合应用题 k=m十1，m十2，…，1. 的基本思想就是“化归”，即由实际问题建立组 因此(m+1)Cm+(m十2)C+1+(m十3)· 合模型，再由组合数公式来计算结果，从而得 C"+2十…十(n+1)Cw=(m十1)Cm十[(m十2)· 出实际问题的解。 Cw+1+(m+3)Cm+2+…+(1+1)Cw]=(m+ 例固某书店有11种杂志，其中2元1本 1)Cm+号十(+1)[(Cm+3-Cm)十(Cm号一 的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂 C)+…十(Cw竖一Cw+)]=(m十1)C. 志（每种至多买1本，10元钱刚好用完），则不 2.含有组合数的方程或不等式的问题 同买法的种数是 (用数字作答)。 例4(2024·长郡中学单元检测)求解下 解析10元钱刚好用完有两种情况：5种 列问题： 2元1本的：4种2元1本的和2种1元1本 (1)解不等式：C>C: 的.分两类完成： (2)求证：C=mC, 第1类，买5种2元1本的，有C种不同 n一m 买法： 解析(1)C>C, 第2类，买4种2元1本的和2种1元1 199 更滩食手册高中数学选择性必修第一册 RSD 本的，有CC种不同买法。 直接法求解时，应坚持“特殊位置优先安排” 根据分类加法计数原理，可得不同买法的 “特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊位 种数是C+C4C紧=266. 置或选取特殊元素，再安排其他位置或选取元 答案266. 素.而选择间接法的原则是“正难则反”，也就 2.组合与两个计数原理的综合问题 是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较 解简单的组合应用题时，首先要判断它是 大，不妨从反面问题人手，试试看是否简捷些 不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区 当涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此， 别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有 此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至 关，而组合问题与取出元素之间的顺序无关， 少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的 只要元素相同即可，只有当它能构成组合模型 关键。 时，才能运用组合数公式求出其种数；其次要 (2)“至多”“至少”问题，常用的解题方法 注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵 有两种：①直接分类法，要注意分类要细、要 活运用，在运用分类和分步时，一定要注意有 全；②间接法，注意找准对立面，确保不重 无重复和遗漏 不漏。 例6现有8名青年，其中有5名能胜任英 例☑(2024·北京四中检测)某校有男运 语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作（其 动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1 中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从 名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多 中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事 少种选派方法？ 英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有 (1)男运动员3名，女运动员2名： 种不同的选法. (2)至少有1名女运动员： 解析可以分为三类： (3)队长中至少有1人参加. 第一类：让两项工作都能胜任的青年从事 解析(1)需分两步完成. 英语翻译工作，有CC种： 第一步：选3名男运动员，有C%种选法： 第二类：让两项工作都能胜任的青年从事 第二步：选2名女运动员，有C肾种选法 德语翻译工作，有CC种； 故选法共有CC号=120种. 第三类：让两项工作都能胜任的青年不从 (2)不考虑条件，从10人中任选5人，有 事任何工作，有CC号种. C种选法，其中全是男运动员的选法有C种」 根据分类加法计数原理，一共有CC学十 故至少有1名女运动员的选法有C。一C。 CC十CC=42种不同的选法 246种. 答案42. (3)需分三类完成. 点评在利用组合数解决实际问题时，应 第一类：“只有男队长参加”的选法为C种： 首先弄清从哪些不同的元素中取多少个元素. 第二类：“只有女队长参加”的选法为C种： 3“至多”与“至少”型组合实际应用问题 第三类：“男、女队长都参加”的选法为Cg种 (1)解答有限制条件的组合应用题的基本 故队长中至少有1人参加的选法共有 方法有“直接法”和“间接法（排除法）”.其中用2C8十C=196种. 200 第五章 计数原理么型 4.“含”与“不含”型组合实际应用题 相等.如求组成多少对异面直线问题，也可以 (1)“含…”或“不含…”是组合应用的 构造四面体模型加以处理.此外，解决几何问 常见题型.解决这类问题时，一要确切理解这 题时，必须注意几何问题本身的限制条件，如 些词的含义：二要谨防重复或遗漏，当用直接 共线、共面、交点等.要注意分清“对应关系”， 法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难 如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四 则反”的策略. 点确定一个四面体等.解题时可借助图形来帮 (2)“含”与“不含”问题，其解法为直接分 助思考，并善于将几何性质应用于解题之中 步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元 例⑨在如图所示的四棱锥中，顶点为P,从 素去掉再取出，分步计数 其他的顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点 (3)对题目中的元素分类后，被取出的元 P在同一平面内，不同的取法种数为 素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某 个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊 元素，这是解题的关键 B 例8(2024·成都七中单元测试)从5名男 公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西 解析]满足要求的点的取法可分为3类： 部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又 第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取 有女公务员，则不同的选派方法种数是( 3个，点，有4C种取法；第2类，在平面PAC与 A.70B.140 C.420 D.840 平面PBD上除点P外任取3个点，有2C种 取法：第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上 解析由题意可分成两种情况，一种为“1 的三个点和与这条棱异面的两条棱的中点也 男2女”，另外一种为“1女2男”，第一种情况 共面，有4C》种取法.故满足题意的不同取法 的方法数为CCA=180,第二种情况的方法 共有4C+2C+4C2=56种. 数为CCA=240,所以共有180+240=420 种方法 答案56. 2.平面图形中的组合计数问题 答案C 例10(2024·东北师大附中检测)如图， 题型了几何图形中的组合应用问题 某城市M,N两地间有4条东西街道和6条南 1,立体几何图形中的组合计数问题 北街道.若规定只能沿图中路线向东或向北两 解决几何图形中的组合问题，首先应注意 个方向行走，则从M到N有 种不同 运用处理组合问题的常规方法分析与解决问 的走法（用数字作答）. 题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象 北 出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理 如平面上不共线的m个点构成多少个三角形， M 即在m个元素中取出3个元素的组合数（除去 解析从M点走到V点，每次只能向北或 共线的情况)就是三角形的个数.空间不共面 向东走，则不论从M到N怎样走，都必须向北 的n个点构成多少个四面体，即与在n个元素 走3个路口，向东走5个路口，共走8个路口， 中取出4个元素的组合数（除去共面的情况） 每一次是向北还是向东，就决定了不同的走 201 重难包手细高中数学选择性必修第一册？S心 法，当把向北的路口决定后，剩下的路口只能 m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组 向东，例如“北北北东东东东东”就是其中的一 间的顺序，不管是否分尽，分法种数为 种走法 A=C0·C2·C学m+,)·…· 所以，问题归结为从8个路口中任选3个 C0(m十m,+…十m。-” 路口向北走，共有C=56种不同的走法. (2)均匀不编号分组：将n个不同元素分 答案56. 成不编号的m组，假定其中r组元素个数相 题型4组合实际应用问题中的综合与 等，不管是否分尽，其分法种数为A/A:(其中 创新问题 A为非均匀不编号分组中的分法数).如果再 有k组均匀分组应再除以A 1.相同元素的排列问题 (3)非均匀编号分组：n个不同元素分成m 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为 组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的 “n个相同元素有序分成m组（每组的任务不 顺序，其分法种数为A·A 同)”的问题，一般可用“隔板法”求解： (4)均匀编号分组：个不同元素分成m (1)当每组至少含1个元素时，其不同分 组，其中”组元素个数相同且考虑各组间的顺 组方式有N=C种，即将n个元素中间的 (n一1)个空格中加入(m一1)个“隔板” 序，其分法种数为 (2)任意分组，可出现某些组含元素为0 例12(2024·西南大学附中检测)有6 个的情况，其不同分组方式有N=C1种， 本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的 即将n个相同元素与(m一1)个相同“隔板”进 分法？ 行排序，在(n十m一1)个位置中选(m一1)个安 (1)分给甲、乙、丙3人，每人2本书： 排“隔板” (2)分成3份，每份2本： 例11(2024·宁波二中单元检测)将7个 (3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本： 相同的小球放入4个不同的盒子中 (4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2 (1)不出现空盒时的放人方式共有多少种？ 本一人3本 (2)可出现空盒时的放人方式共有多少种？ 解析(1)这是一个“有对象（甲、乙、丙）的 解析(1)将7个相同的小球排成一排，在 均匀分配”问题.3个人逐个来取书：第1步，甲 中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔 从6本不同的书中任取2本的取法有C种：第 板”将球分成4份，每一种插入“隔板”的方式 2步，甲取完书后，乙再从剩余的4本书中任取 对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共 2本有C肾种取法；第3步，乙取完书后，丙从剩 有C=20种. 余的2本书中取2本，有C种取法 (2)每种放入方式对应于将7个相同的小 根据分步乘法计数原理，共有C哈CC号 球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10 90种不同的分法. 个位置中选3个位置安排“隔板”，故共有C。 (2)这是一个“无对象的均匀分配”问题。 120种放入方式， 本小题与(1)的相同之处在于把6本不同的书 2.分组问题与分配问题 平均分成3份，而(1)中提到的问题相当于再 (1)非均匀不编号分组：n个不同元素分成把分得的3份书分给甲、乙、丙3人. 202 第五章 计数原理么型 因此，设将6本不同的书分成3份，每份 名额分别是2个、5个、3个 2本的分法有x种，把6本不同的书，分给甲 ooloooodlooo 乙、丙3人，每人2本书有90种不同的分法，所 1班 2班 3斯 以xA3=90,所以x=0-15 图1 (2)要求每班至少2个名额，可以先从10 即将6本书分成3份，每份2本，有15种 个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩 不同的分法， 下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给 (3)这是一个“无对象的非均匀分配”问 3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第 题.分三步完成：第1步，在6本书中任取1本 (1)小问的方法，可得有C浩=15种分法.图2是 作为一份，有C种取法；第2步，在余下的5本 其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名颜 书中任取2本作为一份，有C号种取法：第3步， 分别是3+1=4个，2+1=3个，2+1=3个. 余下的3本作为一份，有C种取法. 根据分步乘法计数原理，共有CCC=60 ooolooloo 1班2班3班 种不同的分法 (4)这是一个“有对象（甲、乙、丙）的非均 图2 匀分配”问题.分两步完成：第1步，将6本不同 (3)增加3个名额，分别分给3个班级，使 的书分成3份，一份1本，一份2本，一份3本， 得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为 由(3)可知有60种不同的分法；第2步，甲、乙、 将13个名额分给3个班级且每个班级至少1 丙3人在这3份书中取书有A种取法. 个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C2 根据分步乘法计数原理，共有60A= 66种分法.图3是其中一种分法，表示分给1 360种不同的分法. 班、2班、3班的名额分别是3一1=2个，6一 3.隔板法的应用 1=5个，4-1=3个 例13(2024·四川绵阳中学检测)有10个 ooolooooooloooo 运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班 1班 2乐班 3班 (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ 图3 (2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？ 4.“先选后排”问题 (3)可以允许某些班级没有名额，有多少 (1)求解排列、组合的综合问题，首先要认 种分配方案？ 真审题，只有认真审题，才能把握问题的实 点拨(1)直接使用隔板法计数：(2)(3)先 质，分清是排列问题还是组合问题，并注意结 将问题进行等价转化，再使用隔板法计数， 合分类与分步两个原理，要按元素的性质确 解析(1)因为10个名额没有差别，把它 定分类的标准，按事情的发生过程确定分步 们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个 的顺序 空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3 (2)解排列、组合的综合问题的一般思路 份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的 是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都 方法对应一种分法，共有C号=36种分法.图1 选出来，再对元素或位置进行排列。 是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的 (3)解决排列与组合的综合问题时，应遵 203 更滩包手细高中数学选择性必修第一册 rsD 循三大原则：①先特殊后一般：②先组合后排 C种选法。 列：③先分类后分步 故本类包含CCAC个数 例14(2024·合肥一中检测)用数字1， 综上，根据分类加法计数原理可知，满足 2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中 题意的四位数共有AC十CCAC=180个 个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位 答案180. 数共有 个（用数字作答）. 易错警示 解析个位、十位和百位上的数字之和为 易错题30（错误率35%）(2024·珠 偶数的四位数可分为以下两类： 海一中月考)在11名工人中，有5人只当钳 第1类，个位、十位和百位上的数字为3个 工，4人只当车工，另外2人既可当钳工，又 偶数，即个位、十位和百位上的数字由2,4,6 可当车工.现从11人中选出4人当钳工，4 构成，共有A种排法.千位数字只能从1,3,5 人当车工，则共有 种不同的选法 中选，所以有C种选法 ◆易错题31（错误率34%）(2024·贵 故本类包含AC个数， 阳一中检测)已知1，l2是两条异面直线，在 第2类，个位、十位和百位上的数字为1个 l1上有A,A2,A3三点，在2上有B,B2, 偶数和2个奇数，先选出这个偶数有C种选 B,B,B五点，则这八个点可以确定 法，然后选2个奇数，有C种选法，将3个数排 个不同的平面. 序得到四位数的个位、十位和百位，有A种排 参考答案见《全书易错题集》第8页 法.最后选千位数字，从余下的3个数中选，有 03核心素养聚焦一。 考向分类 有1人连续参加两天活动的选择种数为5× 考向1组合的计数应用 4×3=60. 例15(2023·全国甲卷)现有5名志愿 答案B 者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、 命题意图：主要考查组合的计数问题 星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公 命题规律 真题探源：根据教材PI69B组第1题改编 益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安 排方式共有( 常考题型选填题难度系数0.6 高考热度 ★★ A.120种 B.60种 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 C.30种 D.20种 其题演练 解析]恰有1人连续参加两天活动可分三 1.(2023·新课标Ⅱ卷，考向1)某学校为 步完成：第一步，选择1人连续参加两天活动， 了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的 有C=5(种)：第二步，确定星期六的志愿者， 分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和 有C=4(种)：第三步，确定星期日的志愿者， 高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中 有C=3(种).由分步乘法计数原理可得，恰好部和高中部分别有400名和200名学生，则不 204 第五章 计数原理么型 同的抽样结果共有( 志愿者，则不同的分配方案共有( ACC5种 B.C8C8种 A.60种 B.120种 C.C8C8种 D.C8C8种 C.240种 D.480种 2.(2021·全国乙卷，考向1)将5名北京 3.(2020·全国Ⅱ卷，考向1)4名同学到3 冬奥会志愿者分别分配到花样滑冰、短道速 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿 1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同 者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名 的安排方法共有 种 门-04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：20分钟 6.[题型2]飞碟是奥运会射击比赛项目之一， 1.[题型1](2024·马鞍山二中月考)给出下面 由于其近似于狩猎活动，趣味性强，深受人 几个问题，其中是组合问题的是( 们的喜爱.某人在飞碟项目中射击8枪，命 ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛； 中4枪， ②从1,2,3,4中选出2个数作为平面向量a (1)命中的4枪中恰好有2个2枪连续命中 的坐标： (不包含4枪连续命中)，有多少种不同 ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为焦点在 的情况？ x轴上的双曲线的实轴长和虚轴长； (2)命中的4枪中有且仅有3枪连续命中，有 ④从正方体的8个顶点中任取2点连线，构 多少种不同的情况？ 成线段 A.①② B.①④ C.③④D.②③ 2.[题型1](2024·汕头潮阳实验中学检测)方 程C=C活5的解集是(). A.{1,3,5,7} B.{1,3,5} C.{3,5 D.1,3 3.[题型1](2024·上海中学检测)组合数C+ 2Cm-1+Cm-2(n≥m≥2，m,n∈N+)恒等于 (). A.C2 B.C C.C D.C 4.[题型2]12名同学合影，站成前排4人后排 B 综合提能练 测试时间：30分钟 8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整 7.[题型4](2024·郑州一中检测)郑州绿博园 到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同 花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供 调整方法的种数是(). 服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩 A.CA B.CA C.CA D.CA 下两个展区各安排两个人，其中小李和小王 5.[题型2(2024·郑州一中测试)从甲、乙等10 不在一起，则不同的安排方案共有( 位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3 A.168种 B.156种 位同学中有甲但没有乙的概率为 C.172种 D.180种 205答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10排在第一天，则丙安排在第一天，甲安排在第二天，其 1人则要插入前排5人中(6个空)，有6种插法，即两 余5人有A种排法： 人共有A种插法，所以共有CA种不同的调整方法. 第二类：甲，丙相邻且安排在第二，三天，则有种 5司提示：从10位同学中任选3位共有C品种选法， 排法： 其中含甲不含乙共有C种选法，故所选3位同学中有 第三类：甲丙相邻且安排在第三天及以后，则甲，丙 相邻有4A3种排法，乙有4种排法，其余4人有A种 甲但设有乙的概率为是-磊 排法，所以共有4A是×4×A种排法. 6.(1)把2个连续命中日标的2枪“捆绑”在一起，形成两 根据分类加法计数原理知，满足条件的安排方式共有 个“大元素”，且这两个“大元素”不相邻，使用插空法， A+AEA+4A×4×A1=1128种. 命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。 §3组合问题 第一步：剩余的4枪都是没有命中目标的，元素相同， 3.1组合 其排法只有1种： 3.2组合数及其性质 第二步：把两个相同的“大元素”插入已经排好的4枪 真题演练 形成的5个空（包括两端）中，有号种插法。 1.D由分层随机抽样，知初中部抽取器×0 根据分步乘法计数原理可知，共有C=10种不同 的情况。 40(人)，则高中部抽取20人，则不同的抽样结果共有 (2)把连续命中目标的3枪“捆绑”在一起，形成一个 C·C%种. “大元素”，且这个“大元素”与命中目标的另1枪不相 2.C提示：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其 邻，使用插空法.命中目标的4枪除外，还剩没有命中 余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中 目标的4枪。 任选2人，组成一个小组，有C种选法，然后连同其余 第一步：剩余的4枪都是没有命中目标的，元素相同， 三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置， 其排法只有1种： 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法有4！种. 第二步：把“捆绑”在一起的“大元素”和命中目标的另 根据分步乘法计数原理，完成这件事一共有C落×4！ 1枪共2个不相同的元素插入已经排好的4枪形成的 =240种不同的分配方案. 5个空（包括两端）中，有A种插法. 3.36.提示：由题意分两步进行安排第一步，将4名同 根据分步乘法计数原理可知，共有A=20种不同 学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C= 的情况. 6种安排方法：第二步，将分好的3组安排到对应的 7.B提示：若小李和小王去甲、乙两个展区，则共有 3个小区，有A=6种安排方法.所以不同的安排方法 A8CC=12种安排方案：若小王，小李一人去甲、乙展 有6×6=36种. 区，则共有COaGc号=96种安排方案：若小王、小李 学业质量测评 均没有去甲、乙展区，则共有AA=48种安排方案. 1.B2.D 故一共有12+96+48=156种安排方案. 3.A提示：组合数(C:+2-1+C”2=(+(C。1+ 8.B提示：由题意可得100.x十10y十=37(x+y+): +G=C+C=C: 即7x=3y十4，故4(x一)=3(y一x), 4.C提示：从后排8人中选2人，有C种选法，这2人 当x=y=x时，这样的三位数有9个 插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先 当 时，x=3,y=7,x=0或x=4,y=8,x=1 向前排4人中(5个空)插入1人，有5种插法，余下的 y-x=4 49 或x=5,y=9,2=2. (2)从除去A,B两人的10人中选5人即可，故有 x-=-3, C。=252种选法 当 时，.x=4,y=0.=7或x=5,y=1,g=8 y-=-4 (3)全部选法有C种，A,B全当选有C种，故A,B 或x=6,y=2,z=9.故满足条件的三位数有15个 不全当选有C一C。=672种选法， 9.B提示：用数字1,2,3排成一个五位数.共有3=243个 (4)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有1名女 不同的数， 生或没有女生”，故可用间接法求解，所以有C2一 只用1或2或3排成一个五位数，共有3个不同的数. CC-C=596种选法. 用其中的两个数字排成一个五位数，先从数字1,2,3 (5)分三步进行：第一步，选1男1女分别担任体育委 中选出两个，有C爵=3种选法， 员、班长这两个职务，有CC心种选法：第二步，选2男 假如选了数字1,2排成一个五位数，可按数字1的个 1女补足5人，有CC种选法：第三步，为这3人安排 数分类： 工作，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有 若数字1只用了一次，则可排成C=5个不同的数： CCCCIA=12600种选法. 若数字1用了两次，则可排成C=10个不同的数： 13.(1)每个小球都可能放人4个盒子中的任意一个，将 若数字1用了三次，则可排成C。=10个不同的数： 小球一个一个地放人盒子，共有4×4×4×4=4'= 若数字1用了四次，则可排成C=5个不同的数 256种放法. 共有5+10+10+5=30个不同的数 (2)这是全排列问题，共有A=24种放法 因此用其中的两个数字排成一个五位数，共有3×30= ③)先将4个小球分为三组，有C种方法，群将三 90个不同的数 组小球放人四个盒子中的三个盒子，有A种放法，故 所以用数字1,2,3排成一个五位数，且每个数字至少 用一次的不同的五位数有243-3一90=150个 共有SCC.A=14种放法. A 10.30.提示：从四个小球中选两个的方法种数是C, (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当 把这两个小球捆绑在一起作为一个整体同另外两个 1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知 小球分别放到三个不同的盒子里有A种放法，而编 其余3个球的放入方法有2种，故共有C·2=8种 号为1,2的小球放在同一个盒子里有A=6种放法， 放法。 所以编号为1,2的小球不放到同一个盒子里的放法 (5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中 种数是CA一6=30. 选出一个盆子放人两个球，余下的两个盒子各放人一 11.72.提示：设6个座位的编号分别为1,2,3,4,5,6. 个球.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问 当1,2号座位为空时，另一空位在4,5,6号中产生， 题，故共有CC=12种放法. 共有C心A种坐法：当2,3号座位为空时，另一空位在 (6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放 5,6号中产生，共有CA种坐法：当3.4号座位为空 入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组， 时，另一空位在1,6号中产生，共有CA种坐法：4,5 即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间 号座位为空和2,3号座位为空的情况相同：5,6号座 的13个空中放入三块“隔板”，共有C=286种放法， 位为空和1,2号座位为空的情况相同.故不同坐法的 如○○1○○○○○1○○O1OO○O,表示编号为 种数为(CA+CA)×2+CA=72. 1,2,3.4的盒子分别放入2.6,5,7个球 12.(1)由于A,B必须当选，那么从剩下的10人中选取 14.441000.提示：先确定偶数的位置有多少种选择 3人即可，故有C=120种选法. 第一行两个偶数有C等种选择，下面考虑这两个偶数 50 所在的列，每列还需填一个偶数，设为， 学业质量测评 情形一：若a,b位于同一行，它们的位置有3种选择， 1.B 2.B 3.C 4.1 此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定， 情形二：若a,b位于不同的两行，它们的位置有6种 5.84. 提示：（一是）'的展开式的通项为T: 选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择。 C52(-1)'x1-r(0≤r≤7，r∈N).令7-2r=3,得r= 所以偶数的不同位置种数为C?×(3+6×2)=90. 2所以(：一是)广的展开式中x的系数为C×公× 故总的填法数为90·CC=441000. (-1)=84. §4二项式定理 6.二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， 4.1二项式定理的推导 ∴第5项为展开式的中间项，展开式共有9项，n=8. 4.2二项式系数的性质 .(2x-3y)"=(2x-3y). 真题演练 设(2r-3y)=aex+axy十aexy2+…+asy. 1.B提示：方法一（赋值法）依题意，令x=1,可得1= (1)展开式二项式系数之和为 a4十a十a十a1十ao,令x=-1,可得81=a,一a十a2 C8十C十C%+…+Cg=2*=256. 一a十o,以上两式相加可得82=2(a4十a:十au),所 (2)展开式各项的系数之和为au十a1十a:十…十a%, 以ao十ag十a:=41. 方法二（通项公式法）二项式(2x一1)的通项为 令x=y=1, 得an十a1十a:十…+ag=(2-3)°=1. T+1=C(2x)(-1),分别令r=4,2,0,可分别得 (3)展开式中所有奇数项的系数之和为a十十a:十 ao=1,a2=24,a4=16,所以au十a:十a1=41. as十a,令x=1,y=一1得 2C提示：因为(x十y)的展开式的第(k十1)项为 ao-a1十ag-…+ag=(2+3)=5,① T=Cry,所以(x+）x+y炉的展开式中 又4m十a1十a2十十am=1,② z2y的系数为十C=15 所以由①②得a十a,十a:十a十a,=5中1=195313. 2 31版.提示：(G+是） 的展开式的通项为T+1= (4)展开式中各项系数的绝对值之和为an+|a+ 0m(2）'=c…3…字， agl+…+|aa. 由题意可知a|十a1|十|a2十…+|a8=aw一a十 令5，r=0,即r=1.则G·3y=C·3=15, 2 a:-…+=5=390625. 7.B提示：在(x一1)"(n∈N,)的二项展开式中，若只有 所以(+是) 的展开式中的常数项为15. 第5项的二项式系数最大则n=8,则(2，行左)广 46.提示：(2+)） 的二项展开式的通项T+! (2,一左)广的二项展开式的通项为T1=, Ca(r)-r·(）'=Cax", 28-·(一1)y·x,令4-r=0,得r=4.可得展开式 令36-4r=-4,得r=10, 中的常数项为C·2·(一1)=1120. T=C带·-9，∴含}项的系数为6 8B提示：(a6+左)广(a>0)的展开式的第5,6 5.8:一2.提示：由多项展开式可知，4：=2(（一1）产十 项的二项式系数相等且最大，.=9. C(-1)=12-4=8.令x=0可得a=2.令x=1可 得a十a1十ag十as十a,十as=0,所以a1十a2+a十a 又：(0，丘+专)广的展开式的通项为T-1=C。, 十as=-2 51