第5章 2 排列问题-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区】忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90, 是[一号，号]，事实上，在直线1的允许活动范周内， 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3号 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90°） 品 时，直线1的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=m己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当时，=一<0，所以直线的颜斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程， 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“≠ 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-号=一L m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2.1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线（的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (. 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-号] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4oU(o,号) 形，此时直线的斜率不存在 c(-,-号)U[1,+∞ 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号，+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 1012 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线1垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx-y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一号，则直线1的斜率长的取值范围是 所以一生2=1，解得大=是 2+I (-,-g]u[g+） 所以直线1的方程为y一2=是一1少， 即3x-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l1:3x十4y十2=0和4：6x十8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解l:6.x十8y一4=0可化为3x十4y一2=0，根据两 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 所以AO=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-（-401-6 3十4平 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中r,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4AC中，C|=￥AC-AOP=√5-=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x一3)2+ 误区6。对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m2十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0，且片<0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由22十一1=2一m十2.得r十2一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得COC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故n=-3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解：圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1，t2=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y一6k-8=0 .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得一2一6-8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得u=2士2√/10， 解得发=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2-2√/10)2十(y-4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-子）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3.x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的 答案x=6和3z十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 《错溪奉25%)若方限千十兰与=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且k≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径r=3,若两圆相切，则1CA=4十3=7或1CA= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)F+ (4一1)2=1（无解），a=2士2√10，此时所求圆的 易错题1Ⅱ（错送率30%）已知幅圆的标准方程为云十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(x-2+ y =1(m>0),并且焦距为6，则实数的值为 m 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a一 正解"，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）2=12（无解），∴，a=2±2/6，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知2= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求圆园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知= m2,=25,a2=+2,得m2=25+9=34. 或(x-2+2/10)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(a,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（错误率3)若精圆千。+苦 C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D,双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求k的值 正解依题意得|FF=10,当a=3时，2a=6<FF,, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF-PF:|=2a>0, ,,点P的轨迹为双曲线的右支和一一条射线。 ,一，听以e一2一2一—1 ak+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a°=9，：= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= ==1k=1 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一子 易错题15（错误来30%0）若方程2加十m1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12一m>0, (2-m<0. 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+二-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx十1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆号+片-1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上<1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为园 3,焦距为2、26，求双曲线的标准方程. m 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十02). 解得 2=a2+6=26, 6=8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件 y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 g=2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足PF|-PF|=2a,当a为3和5时，点P :=18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为兰一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1政 8181. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一≠0，则△=(2k一2k)”一4(4一2)（一k2+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而稀掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0：解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的距 情况： 离与它到直线：3x十y一4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点。 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 -10+(0y-1=3x+y-4 ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2p.x(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线/，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=a2化为标准形式得r2=】 u w. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 8 所以p=2. 答案 8· 故所求的抛物线方程为yY=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x十t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 3y2=4xr, 由 得y2+2y-21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线0A与直线（的E高等于停可得片-停，所 5 4 斜率k的取值， =士1.由于-1e[-之+小.1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代人双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k).x2一(2k-2k).x一十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对： 若4一=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 S 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 .CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A.B.C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值. 一条直线上 正解 由题意知a/B,则兰-中2=音可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, +y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 当/， 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB,BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长。 ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=年，OA⊥底面 ABCD,OA=2.M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. ,二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,BD》=180°-120°=60 CD=C市=(Ci+AB+Bd)=C+A店+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A0.0,0).B1,0.0).M0,01,D(-号号.0 B-2 答案 a++c./+e 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD,B,C)= 而-（号停-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cos(A店，M市= AB.MD 1 2 BC所成角的余弦值为 62-2 ABIMD a++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量BD和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和B,C所成的角， 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD,和B1C BPCD的余弦值 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系Ax,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a),D0,2a,0),BC=(0,2a,0) 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Ci-(-a,0.0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-b,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBD B.CI -2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2·+正 1=(1,为，)，n=(22+边） m·BC=0,m·CD=0. 则有 和 m·驴=0·P币=0， 2ay=0. -ax2=0, 即〈 和 对上式进行以下讨论： 【-a,x1十az1=0 (2ay-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>O,这时(BD,BC)是锐 令=1.可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当>b时，os(BD,BC)<0,这时〈BD,BC)是 所以m一造 5 钝角，则BD,BC)的补角x一(BD,B,C)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为钝角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD,BC BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,BC)即异面直线BD,和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n:)= 风调=严后，误认为所要求的余 nn2 8-c2 、a2++e·√+ 弦值即为，其原因是混消了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式 有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式. 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错璞率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲，乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A:种排法，故共有A5AA 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯、2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法：若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A,A三点中任取两个点，在B,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工.现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法。 法计数原理，有CCg十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在4上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CCC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30十80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)”展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2n-l,T=Cx-3(-√2)= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -22Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子，能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得n=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)1展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx(-2)'(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2.解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x的项为T=C肾x2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 架题意得到哈-子·将二项展开式的某项的系数与三 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5+3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1+x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,AA三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)≥C(2), 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C洁1(2)+1， 9 解得101-512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤≤1(i=1,2). 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项。 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PO=PAB)=高×号-高 第；台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(A AA) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP3-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-B)-号-号 +3P P:Ps. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(BA)的含 P(=2)=P(AAA)+P(AA:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PP: 抽到白球.而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP十PP-3PPP, P(=3)=P(AAA）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P)= 号 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-古成-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -PPP 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:P, 9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)×1+P(=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a=子 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9d-a十3-a=1,解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论 10第五章 计数原理么型 §2 排列问题 2.1排列与排列数 2.2排列数公式 重点和难点 课标要求 重点：理解排列的意义、排列数公式， 解决简单的实际问题， 1.理解排列的概念。 难，点：根据实际问题的特征，正确理解 2.利用计数原理推导排列数公式。 “排列”，解有限制条件的排列的综合应用 3.利用排列数公式解决一些简单的实际问题 问题. 01必备知识梳理。 基础梳理 刘重点 知识点1排列的定义 (1)排列的定义包括两个 1.定义 基本内容：一是“取出元素”： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N-)个元 二是“按照一定的顺序排成一 列”，研究的n个元素是互不 素，按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中取出m个 相同的，取出的m个元素也是 元素的一个排列。 互不相同的 2.相同排列 (2)从定义知，只有当元 素完全相同，并且元素的排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素 顺序也完全相同时，才是同一 的排列顺序也相同. 个排列.元素完全不同或元素 知识点2排列数与排列数公式 部分相同或元素完全相同而 顺序不同的排列都不是同一 1.排列数 个排列. 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N,)个元素的所 (3)判断一个具体问题是 有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的 否为排列问题，就看取出元素 排列数，记作A. 后排列是有序的还是无序的， 而检验它是否有序的依据就 2.排列数公式 是变换元素的位置（这里的位 (1)排列数公式的推导 置应视具体问题的性质和条 求排列数A“可以这样考虑：假设有排好顺序的m个空位， 件来决定)，看其结果是否有 从n个不同的元素a1,a2,…,an中任取m个去填空，一个空位填 变化，有变化就是有序，无变 化就是无序 1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成这件事可以分为 185 更滩食手册高中数学选择性必修第一册S卫 m个步骤来实现， 目敲黑板 根据分步乘法计数原理，我们可以得到公式：A= (1)排列与排列数是两个 n(n-1)(n一2)…(n-m十1)，其中m,n∈N+,且m≤n.这个公式 不同的概念，一个排列就是完 叫作排列数公式 成一件事的一种方法，它不是 数：排列数是指所有排列的个 (2)全排列与阶乘 数，它是一个数 当m=n时，排列数公式为A:=nX(n一1)×(n-2)×…× (2)符号A中，m,n均 3×2×1,这个公式中等号的右边是正整数1到n的连乘积，叫作 为正整数，且m≤n,A”是一 个整体 n的阶乘，用！表示.也就是说，n个不同元素全部取出的一个排 列叫作n个元素的一个全排列，全排列数公式可以写成A=!, 规定0！=1. 于是排列数公式写成阶乘的形式为A二(mm 其中m, n∈N+,且m≤n. 知识点3排列数的性质 国敲黑板 性质1：A“=nA” (1)排列数公式的连乘形 性质2：A”=mA十A. 式常用于计算具体的排列数 (1)性质的推导过程： (2)排列数公式的阶乘形 性质1是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成 式主要用于对含有字母的排 列数的式子进行变形. 一列，分两步完成：第一步，从n个元素中选出1个排在一个位置 (3)A”的运算结果为正 上：第二步，从余下的(n一1)个元素中选出(m一1)个元素排在其 整数.在解与排列数有关的方 他(m一1)个位置上，得到A=nA.同理，A}=(一1)A, 程或不等式时，要注意A中 A=(n一2)A,…. 隐含的条件：m∈N+,n∈N, 性质2是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成 m≤n. 一列，用分类的方法解决，此问题分两类情况. 第一类：m个元素中含有元素a,分两步完成。 ①将元素a排在某一个位置上，有m种不同的方法： ②在其余(1一1)个元素中取出(m一1)个元素排在其他(m一 1)个位置上，有A种方法， 即第一类有mA种不同的方法， 第二类：m个元素中不含有元素a,从(n一1)个元素中取出m 个元素排在m个位置上，有A”种方法 即共有mA:十A”1种不同的方法. 从而有A”=mA”+A”. (2)利用排列数公式证明性质1和性质2. 186 第五章计数原理么型 (n-1)! 证明nA=nX[(m-1)-(m-1) n! =(n一m)刃 =A. 故性质1得证。 mA1+A-1 (n-1)！ (1-1)1 =m×[w-i)-m-D+m'm-D =m(n-1)!+,(n-1)具 (n-m)！ (n-m-1)月 -ga+wm时 品 n! =(n-m)月 =A. 故性质2得证 重难拓展 重难点1特殊元素和特殊位置问题 特殊元素和特殊位置问题的解题原则是谁特殊谁优先.一般 从以下三个思路考虑：(1)以元素为主，即先安排特殊元素，再安 排其他元素：(2)以位置为主，即先安排特殊位置，再安排其他位 置：(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减 去不符合要求的排列数. 例①(2024·厦门双十中学检测)从6名短跑运动员中选出 4人参加4×100米接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多 少种参赛方案？ 解析方法一优先考虑甲，分以下两类：第一类，甲不参赛， 有A种参赛方案：第二类，甲参赛，可优先安排甲在第二棒或第 三棒，有2种排法，然后安排其他三棒，有A种排法，此时有2A 种参赛方案，由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四 棒的参赛方案共有A十2A3=240种. 方法二优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲以 外的5人中选2人，有A号种排法；其余两棒从剩余4人中选，有 A种排法.由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒 的参赛方案共有A号A号=240种. 187 更难食手册高中数学选择性必修第一册S卫 方法三不考虑甲的约束条件，有A种安排方法，甲跑第一 棒或第四棒有2A种安排方法，所以甲不能跑第一棒和第四棒的 参赛方案共有A-2A=240种， 重难点2邻”与“不邻”问题 同敲黑板 (1)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将个不同 (1)解答有限制条件的排 元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种 列问题，常用的方法有直接法 数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作 和间接法（即别除不符合限制 一个元素同其他元素一起排列，共有A一种排法；然后再将“捆 条件的情况，因而间接法又称 绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A种排法.根据分步乘 为排除法).如果正面问题分 法计数原理可知，符合条件的排法共有A二A种： 的类较多或计算较复杂，而反 (2)解决不相邻问题的方法是“插空法”，其模型为将个不 面问题分的类较少或计算较 同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻(k≤一k十1)，求不 简便，则用直接法较麻烦，往 往采用间接法 同排法种数的方法是：先将（一k)个元素排成一排，共有A二种 (2)用直接法来解决这类 排法：然后把k个元素插人（一k十1）个空隙中，共有A+:种排 有限制条件的排列问题的基 法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A”· 本方法有：元素分析法—即 A+1种， 以元素为主，优先考虑特殊元 例②某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安 素的要求，再考虑其他元素： 排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲，乙排在相邻两天，丙 位置分析法—即以位置为 不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多 主，优先考虑特珠位置的要 少种？ 求，再考虑其他位置 [解析依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案有 AA=1440种，其中满足甲，乙两人值班安排在相邻两天且丙 在10月1日值班的方案有AA=240种；满足甲，乙两人值班安 排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有A虽A=240种：满 足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在 10月7日值班的方案有AA}=48种.因此，不同的安排方案共有 1440-2×240+48=1008种 02关建能力提升。 题型方法 (1)A-9A3+A7: 题型1运用排列数公式进行计算或证明 (m-1)! 1.利用排列数公式进行计算 (2)A马(m-I 例3(2024·合肥一中月考)计算下列 解析(1)A-9A+A号=A一8A3+ 各题： A-A=A8-A8+A7-A7=0. 188 第五章 计原理么 (m-1)! (m-1)! (2)A(m-:mD！ 题型2排列应用问题 ·(m-n)! (m一n)! 1.可直接用排列数表示的排列问题 =1. 例7(2024·衡水二中测试)用排列数表 2.利用排列数公式进行证明 示下列问题 例④求证：A=A“1=(n+1)A. (1)从100个两两互质的数中取出2个，其 [证明，A时=(n十1)·n·(1一1)·…· 商的个数： 3·2·1, (2)由0,1,2,3组成被5整除的没有重复 Ag+1=(n十1)·n·(n-1)·…·3·2, 数字的四位数的个数。 (n+1)A:=(n+1)·n!=(n+1)·n· 解析)(1)从100个两两互质的数中取出2 (n-1)·…·3·2·1, 个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为 ∴.A=A+1=(n十1)A” Aioo. 3.利用排列数公式解方程 (2)因为组成的没有重复数字的四位数能 例司解方程：3A=4A-1. 被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是 解析由3A5=4A话1， “0”,故要确定此四位数，只需确定千位数字、 得r 4×9! 百位数字、十位数字即可，其排列数为A 2.排列与两个计数原理的综合问题 化简得x2-19.x十78=0， (1)无约束条件的排列问题，即对所排列 解得x1=6,x2=13. 的元素或所排列的位置没有特别限制，这一类 由题意得1x8,且1≤x一1≤9，x∈N+, 型的题目相对简单，分清元素和位置即可，一 所以2≤x8,x∈N+. 般情况下涉及的“大数”是元素数，“小数”是位 所以原方程的解是x=6. 置数.必要时，要明确完成这件事是分类还是 4.含排列数的不等式问题 分步进行 例0解不等式：A{<6A2. (2)涉及多类元素被安排到同一个位置 1≤x≤8， 上，我们可以分步对各类元素按要求进行安 解析由题意可得，{1≤x一2≤8， 排，然后分别求出每一步的排列数，最后利用 x∈N+, 分步乘法计数原理求出方法数， 解得3≤x≤8，x∈N+ 例8(2024·湖北襄阳四中测试)某信号 原不等式可化为8<6Xa0' 8! 兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗 杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3 6 化简得1<10-x)(9-x)' 面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共 即x2-19x十84<0， 可以表示 种不同的信号. 解得7<x<12,故7<8. 解析第1类，挂1面旗表示信号，有A 又x∈N+,所以x=8. 种不同方法： 189 重难包手细高中数学选择性必修第一册？S心 第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同 AAA种站法，故不同的站法共有A十 方法； AAA=504种 第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同 4.“邻”与“不邻”问题 方法 例10(2024·山东师大附中检测)已知 根据分类加法计数原理，可以表示的信号 A,B,C,D,E5名同学，按下列要求进行排列， 共有A+A+A=3+3×2+3×2×1=15种. 求满足下列条件的排列方法数： 答案15. (1)把5名同学排成一排且A,B必须相邻： 3.“在”与“不在”问题 (2)把5名同学排成一排且A,B必须相 例9(2024·厦门一中检测)甲、乙等6个 邻，C,D,E也必须相邻. 人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的 解析(1)第一步：先把A,B2名同学捆绑 站法？ 到一起看作一个整体，看成一个“大元素”，然 (1)甲不站最左端，也不站最右端： 后和C,D,E共四个元素进行排列，其排列方 (2)甲、乙站在两端： 法有A种. (3)甲不站最左端，乙不站最右端. 第二步：对捆绑到一起的A,B这两个元素 解析(1)因为甲不能站左、右两端，故先 进行排列，其排列方法有A种。 让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有 根据分步乘法计数原理，符合题意的排列 A种站法：再让余下的5个人站在其他5个位 方法数为AA=48. 置上，有A种站法.由分步乘法计数原理知， (2)第一步：把A,B2名同学捆绑到一起 共有AA=480种站法. 看作一个整体，看成一个“大元素”，把C,D,E (2)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两 3名同学捆绑到一起看作一个整体，看成一个 端，有A量种站法：再让其他4个人在中间4个 “大元素”，这两个“大元素”排成一排的方法有 位置进行全排列，有A种站法.根据分步乘法 A种. 计数原理知，共有A超A=48种站法. 第二步：对捆绑到一起的A,B这个“大元 (3)方法一（间接法）在排列时，先不考 素”的内部进行排列，其排列方法有A种：对 虑甲、乙站位的要求，有A种站法，甲在最左 捆绑到一起的C,D,E这个“大元素”的内部进 端的站法有A种，乙在最右端的站法有A 行排列，其排列方法有A种， 种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有 根据分步乘法计数原理，符合题意的排列 A种，故不同的站法共有A一2A十A= 方法数为A号A号A8=24. 504种. 点评上述解题方法称为“捆绑法”，主要 方法二以甲的位置为依据，可分两类： 是用于解决元素相邻的问题，从第(2)小问中 第一类，甲在最右端，有A种站法；第二类，甲 我们知道只要是关于相邻元素的排列问题，即 站在中间4个位置中的任一位置，且乙不在最 使是受多个相邻条件限制的排列问题仍可以 右端，则可先排甲后排乙，再排其余4个人，有采用“捆绑法”解决. 190 第五章 计数原理么型 5.数字的排列问题 千位万位位个位 千位百位位个位 含有数字“0”的排列问题，隐含了数字“0” 0 不能在首位（即最高位）的条件，应将其视为有 A个 A8个 限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目 下位百位十位个位 下位百位十位个位 0■■ 01 中除了数字“0”以外还有受限制的数字，应考 虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数 A个 A8个 字“0”对位置的选择，若有影响，应分类考虑 图2 例1(2024·瑞安中学月考)用0到9 方法三从0到9这10个数字中任取4 这10个数字，可以组成 个没有重复 个数字的排列数为A,其中0在千位上的排 数字的四位数 列数是A多，它们的差就是用这10个数字组成 解析]在本问题的0到9这10个数字中， 的没有重复数字的四位数的个数，即所求的四 0不能排在千位上，而其他数字可以排在任意 位数的个数为 位置上，因此0是一个特殊元素.一般地，我们 A。-A8=10×9×8×7-9×8×7=4536. 可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题. 答案4536. 方法一由于在没有重复数字的四位数 题型了某些元素有特殊要求的排队问题 中，千位上的数字不能是0，因此可以分两步完 1.元素全参与的排队问题 成排列.第1步，排千位上的数字，可以从1到 例2(2024·厦门外校检测)已知A,B, 9这9个数字中任选1个，有A种选法：第2 C,D,E5名同学，按下列要求进行排列，求所 步，排百位、十位和个位上的数字，可以从余下 有满足条件的排列方法数， 的9个数字中任选3个，有A种选法（如图1）. (1)把5名同学排成一排且A,B不相邻： 根据分步乘法计数原理，所求的四位数的个数为 (2)把5名同学排成一排且A,B都不与C AA8=9×9×8X7=4536. 相邻. 千位方位小位个位 解析(1)方法一第一步：先排不受限制 Λ个 A8个 的同学C,D,E,其排列方法有A种 图1 第二步：由于已经排好的同学C,D,E间 方法二如图2，符合条件的四位数可分 (包括两端)形成了4个空，把有限制条件（不 成4类：每一位数字都不是0的四位数有A 相邻)的同学A,B插到这4个空中，其排列方 个，个位数字是0的四位数有A个，十位数宇 法有A?种. 是0的四位数有A个，百位数字是0的四位 根据分步乘法计数原理，满足条件的排列 数有A8个 方法有AA好=72种： 根据分类加法计数原理，符合条件的四位 方法二先不考虑A,B不相邻这个限制 数的个数为 条件，把5名同学进行全排列有A种排法，其 A+A8+A8+A8=4536. 中A,B相邻的排法有AA:种，故满足条件的 191 重难⑤手册高中数学选择性必修第一册 rSD 排法有A一AA=72种. 由分类加法计数原理，共有A十4A一 (2)第一步：先排不受限制的同学D,E,其 2160种排法. 排列方法有A虽种. 方法二把位置作为研究对象 第二步：由于已经排好的同学D,E之间 第一步，从甲以外的6个元素中选1个排 (包括两端)形成了3个空，把有限制条件（不 在首位，有A种方法 相邻)的同学A,C插到这3个空中，其排列方 第二步，从占据首位以外的6个元素中选 法有A种. 4个排在除首位以外的其他4个位置上，有A 第三步：由于已经排好的A,C,D,E之间 种方法 (包括两端)形成了5个空，但由于B不能与C 由分步乘法计数原理，共有AA=2160种 相邻，所以把B插入已经排好的A,C,D,E中 排法 时只有3种选择，其排列方法有A种」 方法三（间接法）即先不考虑限制条件， 根据分步乘法计数原理，符合条件的排法 从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条 有A虽AA1=36种. 件的排列去掉。 2.部分元素参与的排队问题 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有 例13(2024·襄阳四中测试)从包括甲、 A种.甲在首位的情况有A种，所以符合要 乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排 求的排法有A一A=2160种. 成一列，求解下列问题： (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置. (1)甲不在首位的排法有多少种？ 第一步，从甲以外的6个元素中选2个排 (2)甲既不在首位又不在末位的排法有多 在首末2个位置上，有A种方法。 少种？ 第二步，从未排上的5个元素中选3个排 (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法 在中间3个位置上，有A种方法， 有多少种？ 根据分步乘法计数原理，共有AA= (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法 1800种方法. 有多少种？ (3)把位置作为研究对象。 解析(1)方法一把元素作为研究对象 第一步，从甲、乙以外的5个元素中选2个 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其 排在首末2个位置上，有A种方法。 他6个元素中取出5个放在5个位置上，有A 第二步，从未排上的5个元素中选3个排 种方法。 在中间3个位置上，有A种方法， 第二类：含有甲，甲不在首位，先从其他4 根据分步乘法计数原理，共有AA= 个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以 1200种方法. 外的6个元素中选出4个排在没有甲的位置 (4)用间接法 上，有A种排法，根据分步乘法计数原理，含 总的可能情况是A种，减去甲在首位的 有甲时共有4A种排法 A种，再减去乙在末位的A种.需注意甲在 192 第五章 计数原理么型 首位，同时乙在末位的情况被减去了两次，所 第2类，若字母D,E不相邻，则有A?种 以还需补回一次A好种，所以共有A8一2A十 排法 A=1860种排法. 所以有A1A号十A?=20种不同的排法. 3.定序问题 同理，若字母A,B,C的排列顺序为“C,B, 例1④(2024·武汉一中检测)将A,B,C, A”,也有20种不同的排法。 D,E这5个字母排成一列，要求A,B,C在排 因此，满足条件的排列有20十20=40种. 列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相 答案40. 邻).这样的排列有 种（用数字作答）. 易错警示 解析]5个不同元素中部分元素A,B,C的 ◆易错题28（错误率32%）(2024·宜 排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法 昌一中测试)为亮化城市，现在要把一条路 方法一（整体法）5个元素无约束条件的 上7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色 全排列有A种，由于字母A,B,C的排列顺序 路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求 为“A,B,C”或“C,B,A”,因此，在上述的全排 相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的 列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式 路灯至少要有2盏，那么有 种不同 的排列有袋×2=40种。 的安装方法。 方法二（插空法）若字母A,B,C的排列 ◆易错题29（错误率30%）(2024·中 顺序为“A,B,C”,这时形成4个空当，分两类 山一中单元测试)8人站成前后两排，每排4 将字母D,E插入. 人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排， 第1类，若字母D,E相邻，则有AlA号种 则共有 种排法。 参考答案见《全书易错题集》第8页 排法； 03核心素养聚焦。 考向分类 式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式， 考向1有限制条件的排列问题 所以不同的排列方式共有AA×2=24种. 答案B 例15(2022·新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、 命题意图：主要考查排列问题的简单应用 丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若 命题规律 真题探源：根据教材P164习题A组第3 甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方 题改编 式共有( 常考题型 选填题难度系数0.5高考热度 ★★ A.12种 B.24种 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平一 C.36种 D.48种 食题演练 解析先将丙和丁捆在一起，有A号种排列 1.(经典·四川卷，考向1)用数字1,2,3， 方式，然后将其与乙、戊排列，有A好种排列方4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的 193 更难点手细高中数学选择性必修第一册 个数为( 种. A.24 B.48 C.60 D.72 3.(经典·浙江卷，考向1)将A,B,C,D 2.(经典·北京卷，考向1)把5件不同的 E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同 产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产 侧，则不同的排法共有 种（用数字 品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 作答) 04学业质量测评 基础过关练 测试时间：20分钟 7.[题型3]某班上午要上语文，数学、英语及体 1.题型片等于 育四门课，如果体育不排在第一、二节，语文 不排在第三、四节，那么不同的排课方法有 B号 多少种？ c n清 2.[题型1]设a∈N+,且a<27,则(27-a)· (28-a)…(34-a)等于( A.A-d B.A-& C.A-a D.AS- 3.[题型2]由数字1,2,3,4,5组成的无重复数 字的四位偶数的个数为( A.8 B.24 综合提能练 测试时间：30分钟 C.48 D.120 8.[题型2](2024·重庆一中检测)元旦晚会期 4.[题型3]在1,2,3,4,5的全排列“a1,a2,a, 间，高三(2)班的学生准备了6个节目，其中 a4,a5”中，满足a1<a2,a2>a8,ag<a4,a4> 有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节 as的排列种数是( 目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外， A.10 B.12 2个舞蹈节目一定要排在一起，则这6个节 C.14 D.16 目的不同编排种数为( 5.[题型3]暑假期间张、王两家夫妇各带1个 A.48 B.36 C.24 D.12 小孩到西安某景区游玩，购票后排队依次入 9.[题型2]元宵节灯展后，悬挂的8盏花灯需 园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸， 要取下，如图所示，每次取一盏，则不同的取 外两个小孩要排在一起，则这6个人人园的 法有( 排法有 种. A.32种 6.[题型2]某高三毕业班有40人，同学之间两 B.70种 两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班 C.90种 市 恶 共写了 条毕业留言（用数字作答）. D.280种 1946种 数为A号·A=12:②3,5在a2,a:的位置上全排列，其 若x%=0,则十十x十3(x十)=7， 排列是(1,3,2,5,4)，(2,3,1,5,4)，(4,5,1,3,2)，(4， 若x十=2，即十2十乃=1，则，2，的一 5,2,3,1),共4种.故共有排列12+4=16种， 种取值情况可为0,0,1，共3×3=9种。 5.24.提示：分三步完成。第一步，将两位爸爸排在两 若x4十x=1,即十x十=4，则x,的取 端，有A种排法：第二步，将两个小孩看作1人，与两 值情况有0,0,4或0,1,3或0,2,2或1,1,2四种类 位妈妈任意排在中间的三个位置，有A种排法：第三 型.即共2×(3十6+3+3)=30种。 步，两个小孩之间有A种排法. 若x十=0，即十x十=7，则，的取 故这6个人的入园排列方法共有A号AA=24种. 值情况有3,3,1或4,2,1或7,0,0或2,5,0或3,4,0 6.1560.提示：由题意知，此题为排列问题，故全班共 或1,6,0或1,5,1或2,3,2八种类型，即共3+6十3 写了A=40×39=1560条留言. +6+6+6+3+3=36种： 7.首先将体育课排在第三节或第四节，有A是种排法： 故所求个数为6+9+30十36=81. 其次将语文课排在第一节或第二节，有A种排法： §2排列问题 最后排数学、英语两门课，有A种排法. 2.1排列与排列数 因此共有A是AA=8种排课方法. 2.2排列数公式 8.C提示：分3步进行. 真题演练 ①歌曲节目排在首尾，有A=2种排法： 1.D ②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有A 2.36.提示：将A,B捆绑在一起，有A种摆法，再将它 2种排法： 们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA ③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空 种摆法，而A,B,C3件产品在一起，且A,B相邻，A,C 位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位， 相邻时有2种情况，将这3件产品与剩下2件产品全 有AA=6种排法 排列，有2A种摆法.故A,B相邻，A,C不相邻的摆法 则这6个节日的不同编排种数为2×2×6=24. 有A8A1-2A=36种. 9.B因为每次取花灯时只能取一盏，所以每串花灯必须 3.480.提示：不考虑A,BC的位置限定时的排法有 先取下面的，即每串花灯取下的顺序确定，取下的方法 A=720种，只考虑A,B,C三个字母的顺序时的排法 有六=0种 有A=6种，而A,B在C的同侧时的排法有2A 10.A由题意知，当只考虑“立春”和“惊垫”时，将其捆 4种，故满足条件的排法有A·2 A =480种. 绑在一起，利用捆绑法可得，有A5A3=240种不同的 学业质量测评 放置方式 1.C2.D 当“惊蛰”与“立春”和“清明”均相邻，即“惊蛰”在“立 3.C提示：从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取 春”“清明”之间时，将三者捆绑在一起，有2=48种 法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A 不同的放置方式 种排法，由分步乘法计数原理知这样的四位偶数共有 所以最终满足题意的放置方式种数为240一48=192， 2×A=48个. 11.C提示：程序A只能出现在第一步或最后一步，共 4.D提示：排列分两类.①4,5在a:·的位置上全排 有2种不同的排法：将程序C和D捆绑成一个元素， 列，其余的3个数在a1,aas的位置上全排列，排列个 再和其他两个元素一起排列，有A种不同的排法，同 47 时，考虑程序C和D有2种不同的排法，根据分步乘 4人全排列，有A一24种排法：②若A即不站在最左 法计数原理得，共有2×A×2=24种不同的编排 边也不站在最右边，则A从中间的3个位置中任选 方法 1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最 12.A提示：分2步进行分析. 后剩下的3人全排列，共有AAA}=54种排法.由 (1)先将3个歌舞类节目全排列，有A=6种情况，排 分类加法计数原理可知，共有24十54=78种排 好后，有4个空位 法，D正确。 (2)因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位 15.32. 提示：由已知得，当i=1时，(m一n)(一)< 必须安排2个节目，分为2种情况： 0:当i=2时，(x一xa)(-x)<0:当i=3时 ①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声 (一x,)(x一x)<0.所以“交替”排列需满足< 类节日，有AA=4种情况，排好后，最后1个小品类 ,><无，>或n><,n> 节日放在两端，有2种情况，此时同类节目不相邻的 x,工<.当满足<，>x,<4,x> 排法种数是6×4×2=48： 时，若，x取最大的两个数4和5，则x,,相 ②将中间2个空位安排2个小品类节日，有A号=2种 应的所有情况为1,2,3的全排列，所以共有A号× 情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可 A=12个“交替"排列：若2，x取3和5，则与3相 选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数 邻的数只能为1和2，待与3相邻的数取定后，最后的 是6×2×6=72，则同类节目不相邻的排法种数是 位置上的数只能是4，所以共有A×A=4个“交替” 48+72=120 排列.所以满足d<,>x,<x,x>T的 13.D提示：由题意知正方形ABCD的周长是8，抛掷三 “交替”排列共有12十4=16个.同理，满足>， 次散子后棋子恰好又回到点A处表示三次掷骰子的 <·x>x4,x4<的“交替”排列也有16个.所 点数之和是8,16.列举出在点数中三个数字能够使得 以“交替”排列的个数为32. 和为8.16的，即125,134,116,224.233,466,556，共 16.252.提示：易知(2,4,6,8,10,12)中的元素两两不 有7种组合.前2种组合125,134，每种情况可以排列 互质，因此恰好在6个不同的集合中，设依次为Y, 出A=6种，共有2A号=2×6=12种：后5种组合 Y.Y.Y8.Y+Y2. 116,224,233,466,556,每种情况可以排列出3种.共 此时剩余的正整数中1,7,11可以任意放在上述6个 有5×3=15种.根据分类加法计数原理知共有12十 集合中，5不能放在Yo中，3,9不能放在Y6或Ya中， 15=27种不同的走法 分两种情况： 14.BCD提示：根据相邻捆绑法，将A,B看成一个整 (1)若5放人了Y或Y2中，有两种情况，此时3与9 体，和剩余的3人全排列，共有A号A=48种排法， 可在4个集合中选择，有A种情况，而1,7,11放入 A不正确。 集合有A3种情况： 根据不相邻插空法，先将A,B之外的3人全排列，产 (2)若5没有放入Y:或Y:中，则5有3个集合可以 生4个空，再将A,B两元素插空，共有A号A=72种 选择，进而3与9可在3个集合中选择，有A种情 排法，B正确。 况，而1,7,11放入集合有A种情况 5人全排列，其中A在B的左边和A在B的右边是 综上所述，不同的集合拆分方法共有AAA十 等可能的，所以A在B的左边的排法有令A AAA=252种 60种，C正确. 17.1128.提示：以甲、丙的位置分三类 对A分两种情况讨论：①若A站在最右边，则剩下的 第一类：甲，丙相邻且安排在第一、二天，由于甲不安 48 排在第一天，则丙安排在第一天，甲安排在第二天，其 1人则要插入前排5人中(6个空)，有6种插法，即两 余5人有A种排法： 人共有A种插法，所以共有CA种不同的调整方法. 第二类：甲，丙相邻且安排在第二，三天，则有种 5司提示：从10位同学中任选3位共有C品种选法， 排法： 其中含甲不含乙共有C种选法，故所选3位同学中有 第三类：甲丙相邻且安排在第三天及以后，则甲，丙 相邻有4A3种排法，乙有4种排法，其余4人有A种 甲但设有乙的概率为是-磊 排法，所以共有4A是×4×A种排法. 6.(1)把2个连续命中日标的2枪“捆绑”在一起，形成两 根据分类加法计数原理知，满足条件的安排方式共有 个“大元素”，且这两个“大元素”不相邻，使用插空法， A+AEA+4A×4×A1=1128种. 命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。 §3组合问题 第一步：剩余的4枪都是没有命中目标的，元素相同， 3.1组合 其排法只有1种： 3.2组合数及其性质 第二步：把两个相同的“大元素”插入已经排好的4枪 真题演练 形成的5个空（包括两端）中，有号种插法。 1.D由分层随机抽样，知初中部抽取器×0 根据分步乘法计数原理可知，共有C=10种不同 的情况。 40(人)，则高中部抽取20人，则不同的抽样结果共有 (2)把连续命中目标的3枪“捆绑”在一起，形成一个 C·C%种. “大元素”，且这个“大元素”与命中目标的另1枪不相 2.C提示：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其 邻，使用插空法.命中目标的4枪除外，还剩没有命中 余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中 目标的4枪。 任选2人，组成一个小组，有C种选法，然后连同其余 第一步：剩余的4枪都是没有命中目标的，元素相同， 三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置， 其排法只有1种： 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法有4！种. 第二步：把“捆绑”在一起的“大元素”和命中目标的另 根据分步乘法计数原理，完成这件事一共有C落×4！ 1枪共2个不相同的元素插入已经排好的4枪形成的 =240种不同的分配方案. 5个空（包括两端）中，有A种插法. 3.36.提示：由题意分两步进行安排第一步，将4名同 根据分步乘法计数原理可知，共有A=20种不同 学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C= 的情况. 6种安排方法：第二步，将分好的3组安排到对应的 7.B提示：若小李和小王去甲、乙两个展区，则共有 3个小区，有A=6种安排方法.所以不同的安排方法 A8CC=12种安排方案：若小王，小李一人去甲、乙展 有6×6=36种. 区，则共有COaGc号=96种安排方案：若小王、小李 学业质量测评 均没有去甲、乙展区，则共有AA=48种安排方案. 1.B2.D 故一共有12+96+48=156种安排方案. 3.A提示：组合数(C:+2-1+C”2=(+(C。1+ 8.B提示：由题意可得100.x十10y十=37(x+y+): +G=C+C=C: 即7x=3y十4，故4(x一)=3(y一x), 4.C提示：从后排8人中选2人，有C种选法，这2人 当x=y=x时，这样的三位数有9个 插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先 当 时，x=3,y=7,x=0或x=4,y=8,x=1 向前排4人中(5个空)插入1人，有5种插法，余下的 y-x=4 49