第2章 圆锥曲线 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第二章 圆维曲线型 单元复习归纳 专题分布 考点频次考试分值 命题趋势 1.掌握椭圆和抛物线的 ★★★★ 【题源特点】椭圆、双曲线和抛物线的定 定义、几何图形、标准 义，标准方程、简单几何性质以及直线与圆锥 方程及简单几何性质 5年52考 曲线的位置关系均是高考重点考查的对象. 17一22分 【题型形式】客观题主要考查双曲线、椭 2.了解双曲线的定义，几 ★★ 圆、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质， 何图形和标准方程，知 如2023年新课标I卷、Ⅱ卷；主观题常考直线 道它的简单几何性质 5年12考 与圆维曲线的综合问题. 01知识网5构建。 双曲线 双曲线的定义 椭圆的定义 及其标 椭圆及其 准方程 双曲线的标淮力程 椭侧的标准方程 标淮方程 范闱 他围 对称性 对称性 椭圆的简单 曲线与方 双 双曲线的简单 几何性质 几何件质 顶点 顶点 渐近线 离心率 离心率 弦长 弦长 巾点弦 直线与椭圆 直线与双出线 的位置关系 的位置关系 巾点弦 过焦点弦 抛物线 焦点弦 地物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 直线与地物线的位置关系 抛物线的定义抛物线的标准力程 范闹对称性顶点离心率准线弦长中点弦焦点弦 02一微传题妙总结 微专题1简化解析几何运算的几种途径 分线作垂线F2P,垂足为P,且交FQ于点A. 1.利用定义简化运算 求点P的轨迹方程 刚D已知点Q是双曲线号一若=1(a> 解析如图，连接OP,由 QP平分∠FQF2,AF2⊥PQ, 0,b>0)上异于两顶点的一动点，F,F2分别是 得△APQ≌△FPQ,则有 双曲线的左、右焦点，从点F2向∠FQF2的平 |QA|=|QF2. 121 重难包手细高中数学选择性必修第一册？S心 由三角形中位线的性质知OP=FA, +-1.@ 3 ∴OP=2(QF-QA)=2IQF- ①-②，得f。+i=0 6 3 QF2)(若点Q在双曲线的左支上，则应为 ++y22y十2)=0. 6 IOPI=7(lQF:I-IQFD). 3(x1一x2） 又西+x2=2x,y十y=2y,当二业=1. 即10p=×2a=a E1一T2 .x十2y=0. ∴点P的轨迹方程为x2十y2=a(y≠0). 2.“设而不求” 联立6十3=1·求得=+2 对于某些非必求的，却在问题中起着相互 x+2y=0, 关联、相互制约作用的量，可将其设出来，然后 由于弦的中点在已知椭圆内， 在求解过程中，把它们作为过渡元素，逐步转 故斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程 化消元，从而简化解题过程. 为x+2y=0(-2<x<2). 例2(2024·上海中学东校检测)已知椭 微专题2圆锥曲线的最值问题 圆C的方程为+苦-1 1.转化为求斜率的最值 由代数式的结构特征联想斜率公式，将代 (1)设P为椭圆C上异于椭圆左、右顶点 数问题转化为斜率问题，利用图形的直观性使 A,A的任意一点，直线PA的斜率为1，直 问题得到简化 线PA2的斜率为k2,试证明k1k2为定值： 例3(2024·合肥一六八中学测试)试求 (2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中 函数fx)=一1一2si工的最大值和最小值。 点的轨迹方程. -3-√/5cosx 解析](1)设P(x,h),由题意知A(一√6， 解析设CA,CB是椭圆 0),A(6,0),所以k1= x+√6 x0-√/6 写+-1的两条切线，如图。 因为P为椭圆C上一点， 故f(x)的最大值为kcA, 所以曾+普=1，所以泥=8受 f(x)的最小值为kcB. 63 所以k2=，·=5 设过点C与精圆号十片-1相切的切线方 +6-6-6 程为y=kx十m, 3 2 1 y=k.x十m, x-62 后+- 消去y, 故1：为定值-司 得(4+5k2)x2+10km.x+5m2-20=0. (2)设弦的两个端点分别为D(,y1), 由△=0得m=士、5k2十4， Q(x2,y2),DQ的中点为M(x,y), .切线方程为y=kx士5k2十4. 则+-1，① ,切线过点C(一3，一1)， 122 第二章园维曲线么型 ∴.-1=-3k士w5k+4. 设A(x1,y),B(x2,2),则十x2 .kcn=k3+2I,ko-k:-3-2I 一2pk,M十2=k(+x2)-4=-2k2-4. 4 4 因为OA+OB=(1+x,业+)= x)的最大值为3+，②，)的最小 (-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12), 4 2pk=一4， 值为3-21 所以 4 2k2-4=-12 解程p1, k=2. 2.转化为求截距的最值 所以直线l的方程为y=2.x一2，抛物线C 利用直线在y轴上的截距的直观性，可求 的方程为x2=一2y. 出有关参数的取值范围，进而得到最值。 (2)由(1)可得1十x2=一4，x1x2=-4, 例④(2024·六安一中月考)已知x,y满 则|AB|=√1+k·√/(x+x2)2-4x1x2 足后十芳1，求=y3红的最值 =1+2.√(-4)2+16=4V10. 点拨将所给的函数式改写 设P,-2f-2-22<K-2+2,2), 成y=3x十，则它表示斜率为3 因为AB为定值，当，点P到直线l的距离 的平行直线系方程，之是直线在 d最大时，△ABP的面积最大， y轴上的载距，由周易知，在区城G后十芳 2+2-2 2+2-4 内，之的最大、最小值在直线与椭圆相切时 d= √22十(-1) 、5 取得. 因为-2-2、2<t<-2+22, 面将y=3十：代入后+芳-1 得169.x2+96xx+16e2-400=0. 所以当1=一2时，d=45 5 由△=0得x=士13， 所以△ABP面积的最大值为号X410X 故所求的最大值为13，最小值为一13. 3.转化为二次函数求最值 45=82. 利用解析几何中的代数性，把问题转化为 4.利用几何图形的直观性求最值 关于某个变量的二次函数，利用二次函数的有 例6(2024·石家庄二中高三检测)已知 关知识来求最值. 例同(2024·石家庄二中月考)已知直线1： 点A0,-2,椭圆E若+ =1(a>b>0)的 y=kx一2与抛物线C:x2=一2y(p>0)交于A, B两点，O为坐标原点，OA+OB=(一4，一12). 离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF (1)求直线1的方程和抛物线C的方程； (2)抛物线上一动点P从A到B运动时， 的斜率为2.0为坐标原点。 求△ABP面积的最大值. (1)求椭圆E的方程； 解折（D由z=一2py, [y=kx-2, (2)设过点A的动直线1与E相交于P, 消去y Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线1的 得x2十2k.x-4p=0. 方程 123 更难包手细高中数学选择性必修第-册S 解折(1)设F(C,0),由条件知2=2,3， c 3 关圆方程为十y=华，若抛物线y 解得c=√3. 4.x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C 因为后=复所以a=2,公=-= 的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三 角形 故精国E的方程为号十=1。 (1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的 方程 (2)当1⊥x轴时，不符合题意， (2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关 故设直线l的方程为y=kx一2，P(x1, 圆”E的切线1，与椭圆C交于A,B两点，O为 y1),Q(x2,y2),x1>x2, 坐标原点. 将y=k一2代入号+y=1, ①求证：∠AOB为定值： ②连接PO并延长，交“相关圆”E于点Q, 得(1+4k).x2-16k.x+12=0. 求△ABQ面积的取值范围. 则△=16(4k2-3)>0,即k2>3 解析(1)因为抛物线y2=4.x的焦点为 可得.西=8k十2y4-3 (1,0),与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1. 4k2+1 又因为椭圆C的短轴的一个端点和其两 x2=8k-2y4k2-3 个焦点构成直角三角形， 4k2+1 所以b=c=1,a2=b+c2=2. 从而|PQ=√k+1x1一x2 =4V2+1·4k2-3 故描国C的方程为号+y=1, 4k2+1 “相关圆”E的方程为x2+y=名 3 2 又点O到直线PQ的距离d= √爬+ (2)①当直线【的斜率不存在时，不妨设直 所以Samo=2lPQ1d=4y3 4k2+1· 线AB的方程为x= 3 设、/4k2一3=t,则>0， =4 Soor4 所以∠AOB=受 因为1什≥4，当且仅当1=2，即=士 当直线【的斜率存在时，设其方程为y= 2 kam,A(,y),B(zz,y), 时等号成立，且满足△>0，所以当△OPQ的面 y=kx+m, 积最大时，直线1的方程为y=受一2或y 联立方程 2+2=1 消去y 得x2+2(kx+m)2=2,即(1+2k2)x2+ 2x2. 4km.x十2m2-2=0, 5.利用变量的取值范围求最值 △=16km2-4(1+2k2)(2m2-2)= 例7(2024·华中师大一附中期末)设椭 8(2k2-m2+1)>0,即2k2-m2+1>0. 圆C:号+芳=1a>6>0,定义稀圆C的相 x1十x2= 录 Akm 124 第二章 圆锥曲线么出型 因为直线！与“相关圆”E相切， 所以g<AB≤5，吉且收当=士号 所以d=m= 2 时取等号 所以3m2=2+2k2. 当k=0时，1AB=2y6 所以x1x2十y1y=(1+k2)x12十km· (m+)+m㎡=1+)2m-22-4十 综上.ABl的取值范周送[， 1+2k 1+2k2 m=3m=2E-2=0. 故△ABQ面积的取值范周是[号W② 1+2k 6.利用圆锥曲线的性质求最值 所以Oi1O成.所以∠AOB-受 例8(2024·南京外国语学校期未)已知 AB为抛物线y=x上的动弦，且|AB|=a(a 综上，∠AOB为定值. 是常数，且a≥1)，F为抛物线的焦点，求弦AB ②因为PQ是“相关圆”的直径，所以 的中点M到x轴的距离的最小值. S四=)AB11PQ=51AB1,所以要求 解析设点A,M,B的纵坐标分别为y1 ,A,M,B三点在抛物线准线上的射影分 S△Q的取值范围，只需求弦长AB|的取值 别为A',M,B,连接AA',MM,BB',AF, 范围 BF,如图. 当直线AB的斜率不存在时，由①知 1AB1=26 当直线AB的斜率存在时， |AB=√(1十k)(x-x2)9 M'B 一√/1+)8(2k2m+D (1+2k2)2 由抛物线的定义知，|AF|=|AA'|=y1十 /84k+5k2+1 BF=BB'=%十 =√3·4k+4+ 所以M=AF-}为=BF- 又M是线段AB的中点， 所以n=20n+) 当k≠0时，AB引 3 4k2+ +4 -2(IAFI+IBFI-2) 因为4极+十>8。 ≥(AB-) 所以0< 1 4+是+48 =2a-10. 其中当AB过焦点F时，等号成立，即当 所以 8 定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的 3 4k2+ 1十4 距离最小，最小距离为}(2a-1). 125 更难包手细高中数学选择性必修第一册S心 微专题3圆锥曲线的探索性问题 所以 首先假设所探究的问题结论成立或存在 符合题意的点、直线，在这个假设下进行推理 整理可得3欢十4=0，解得=一号 论证，如果得到了一个合理的推理结果，就肯 所以直线l的方程为8.x十6y十11=0. 定假设，对问题做出正面回答；如果得到了一 个矛盾的结果，就否定假设，对问题做出反面 综上所述，直线1的方程为x=号或8x十 回答.利用这个解题思想解决探索性问题与解 6y+11=0. 决具有明确结论的问题就没有什么差别了. (2)易知直线VQ,NP的斜率都存在.设 例g(2024·杭州学军中学检测)已知圆 直线NQ,NP的斜率分别为k1,k2,则直线NQ C的方程为x2+(y十1)2=r2(r>0) 的方程为y一1=k1(x十1)，即k1x一y十k1十 a)过点M(2-)的 1=0,同理，直线NP的方程为k2x一y十k2+ 1=0. 直线L交圆C于A,B两点，若 由直线VP,VQ与动圆相切， r=1,|AB=3,求直线l的 得k:+2=16+2 方程； O √1十v1十网 (2)如图，过点V(一1,1) 所以4k2k十4k2十3k好一3k一4k1一4k1k号 作两条直线分别交抛物线y=x2于另外的两 =0, 点P,Q,并且都与动圆C相切，求证：直线PQ 即4k2(k一2)十4(k2一k)十3(k1一k)· 经过定点，并求出定点的坐标 (k1十k2)=0. 解析(1)当r=1时，圆C的方程为x2十 所以(k1-k2)(4k1k2-4+3k1十3k2)=0. (y十1)2=1，当直线（的斜率不存在时，直线l 因为k1≠k2,所以4k1k2一4十3k1十3k2=0. y=k1x十k1十1， 的方程为x=2,此时国心(0，-1D到直线1的 由 得x2一k1.x-(k十1) y=x2, 距高d=号，所以AB=2v-f=2N1- =0. 可得Q(k1+1,(k1十1)2). =3,显然成立； 同理，P(k2十1，(k2十1)2). 当直线【的斜率存在时， 所以k和= k2十1)2-(k1+1)9 k2-k1 设其方程为)一》-多， =[k2+1-(k+1)](k1+1+k2+1) 即2kx-2y-k-5=0, ke一k =k2十k1+2. 因为AB引=√3， 所以直线PQ的方程为y一(k2十1)2= 而|AB=2v√-d=21-d, (k2+k1+2)[x-(k2+1)], 所以f=} 即3y=(十十2(x-)-多 而d= 12-k-5 k+3 /(2k)2+(-2)7√(2k)2+(-2) 所以直线PQ恒过点（什-昌》。 126 第二章 维曲线收型 03-单元学能测评。 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题 6.过抛物线y2=8.x的焦点作倾斜角为45的 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 直线，则被抛物线截得的弦长为(). 只有一项是符合题目要求的) A.8 B.16 C.32 D.64 1.若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是 7.从椭圆后+号-1(a>b>0)上一点P向 (0,13),另一个顶点是（一10,0），则焦点的 y轴作垂线，垂足恰为上焦点F,又点A是 坐标为( 椭圆与y轴负半轴的交点，点B是椭圆与 A.(±13,0) B.(0,±10) x轴负半轴的交点，且AB∥OP,FA2= C.(0,±13) D.(0,±/69) 27十18√2，则椭圆的方程为( 2.若点P到直线x=一1的距离比到点(2,0) 的距离小1，则点P的轨迹是( A产+-1 A.圆 B.椭圆 c.+-1 C.双曲线 D.抛物线 4 8 3若双曲线后一芳=1的一条渐近线经过点 8已知椭圆C:芳+芳=1(a>6>0)的左，右 (3,一4)，则此双曲线的离心率为( ). 焦点分别为F,F2,P为椭圆上一点，且 A B c ∠FPF:=,若F关于∠EPF:平分线 的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为 4.双曲线二一兰=1(mm≠0)的离心率为2，有 (). 一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则 A.6-√3 B.5-3 mn的值为( C.6-5 D.√5-√/2 A音 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 5已知F,R为椭圆导+ =1(a>b>0)的 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选 两个焦点，过点F2作椭圆的弦AB,若 对的得部分分，有选错的得0分) △AFB的周长为16，椭圆的离心率e=5 ?已知椭圆C号+芳-1a>6>0)的离心幸 则椭圆的方程是( ). 为，点M21)在椭圆C上，直线1平行 A+号- B后+苦- 于OM且在y轴上的截距为m,直线l与椭 圆C交于A,B两个不同的点，则下列结论 c后+造-1 D后+ 正确的是() 127 更滩食手细高中教学选择性必修第一册 RSd 人椭圆C的方程为发+芳-】 程为 (第一空2分，第二空3分). 2 B6m=号 14.我们把离心率为。=5的双曲线器 C.-2<n<2 若=1(a>0,6>0)称为黄金双曲线，如图 D.m≤一2或m≥2 是双曲线荐一苦 =1(a>0,b>0,c= 10已知点P是双曲线E:后-号-1的右支 √a十6)的图象，给出以下结论： 上一点，F1,F为双曲线E的左、右焦点， △PFF:的面积为20，则下列说法正确的 是(). A点P的横坐标为9 R△PF,R的周长为受 ①双曲线x-2Y=1是黄金双曲线： 15+1 C.∠FPF大于 ②若6？=ac,则该双曲线是黄金双曲线： ③若F1,F2分别为左、右焦点，A1,A2分别 D△PF,R,的内切圆半径为号 为左、右顶点，B1(0,b),B2(0,一b),且 11.已知抛物线C:y2=2p.x(p>0)的焦点为 ∠FB1A2=90°，则该双曲线是黄金双 F,直线的斜率为√3且经过点F,直线（与 曲线； 抛物线C交于A,B两点（点A在第一象 ④若直线MN过双曲线的右焦点F2,且 限)，与抛物线的准线交于点D,若AF|= MN⊥FF2,∠MON=90°，则该双曲线 4,则下列结论正确的是(). 是黄金双曲线， A.p=2 其中结论正确的序号为 B.F为AD的中点 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时 C.BD=2BF 应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) D.BF=2 15.(13分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的 焦点为F(1,0),过焦点F的直线l交抛物 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共 线C于A,B两点 15分.将答案填在题中的横线上) 12.设F,R分别为椭圆亏+苦=1的左，右 (1)求抛物线C的方程： (2)记抛物线的准线与x轴交于点E,若 焦点，点P在椭圆上，若线段PF的中点 EA.EB=40,求直线I的方程. 在精上，则的值为 13.已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点 的双曲线C的离心率e= 2 ,则双曲线C 的标准方程为 ,渐近线方 128 第二章圆维曲线么型 16.(15分)平面内与两定点A(一a,0), =1(a>0, A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零 1817分)已知双曲线C号-芳 常数m的点的轨迹，加上A,A2两点所成 b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B 的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.求曲线 在双曲线C上.当BF⊥AF时，|AFI= C的方程，并讨论C的形状与m值的 BF. 关系 (1)求双曲线C的离心率： (2)若点B在第一象限，求证：∠BFA= 2∠BAF. 1n5分)已知椭圆C号+芳-1(a>6>0) 1917分)尼知辅圆T:号+号-1，过点1，D 的商心率为号，点(2.②在C上 作倾斜角互补的两条不同直线1，l2,设 (1)求椭圆C的方程； 与椭圆T交于A,B两点，2与椭圆T交 (2)直线1不过原点O且不平行于坐标轴， 于C,D两点， l与C有两个交点A,B,线段AB的中 (1)点P(1,1)为线段AB的中点，求直线 点为M.求证：直线OM的斜率与直线I AB的方程： 的斜率的乘积为定值. (2)若直线与2的斜率都存在，记λ A,求入的取值范围。 C 1295w=号·-=号+=场d 2 9.ABC 提示：由题意得 解得 =+零-1可 -1 -1 令u=1一1，则>0.利用基本不等式，得 a2=8 Sn=u+1Du+》+≥2五+=25. =2 故椭圆C的方程为写+苦=1，A项正确由 1-01 于kM=2.2,故B项正确.因为直线1的斜率 当u=1(即1=2)时，S△w取到最小值2√5. k=6w一壹，又1在y轴上的截距为m,所以1的方程 单元学能测评 1 y=交x十m 1.D2.D3.D4.A5.D 为y=2x+m.由 得x2+2m.r+2r- 6.B提示：抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0)， +号-， 过焦点且倾斜角为45的直线方程为y=,x一2，由 4=0.因为直线1与椭圆C交于A,B两个不同的点， y=x-2, 所以△=(2m)2-4(2r2-4)>0,解得-2<m<2,故 得x-12x+4=0,则1+=12(1， y=8.r, C项正确，D项错误 为直线与抛物线两个交点的横坐标)，从而弦长为十 10.AB提示：双曲线E:后一号=1中的a=4,6=3 +p=12+4=16. c=5.不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PFF的面 7,D提示：因为AB/0P,所以需-贸即P 积为20，可得2FFn=em=5m=20,即n=4.由 =名.则PF=冬又PFLy轴，则PF=仁，所以 荒一智=1，可得m=婴故A项正确由P(学4， [(a+c)2=27+182, d2=18 b=c.由 解得 所以椭圆 a=B+2, =9, 且上(-50.R6.0).可得m=是6s=号则 的方程为号+。-1 12_12 tan∠F1PF2= 1十122-9e0v3.则∠RPR 535 360 8.A提示：依题意知F关于∠FPF:平分线的对称点 5×35 F在椭圆C上，∠F,PF=受，根据对称性可知F是 <登，故C项错误P压+1PR1=116+写+ 9 PFz的延长线与椭圆的交点，则三角形PFF是等腰直角 三角形.设1PF|=m,PF2|=,则1PF1=|PF,|= 116+百-号+号-碧则△PF,R的周长为智+ PF2|十|F:F1=m,因为m十n=2a,所以n=2a-m.所 10=9,故B项正确，设△PF,E的内切圆半径为n 以FF1=m-(2a-m)=2m-2a.FF1=2a-(2m 可得2r(PE+Pp+EE)=号·FRI· 2a)=4a-2m,则4a-2n=2|PF|=√2m,故m= 22=(422)a,又m+r=(2e).所以m十(2a一 4,可得=40，解得r=2,故D项错误。 m)'=4c2,即[(4-22)a]+[(2√2-2)a]=42.所以 11.ABC 提示如图，F(之，0八，直线 (36-24②d=4,后-9-62=(6-③.所以 1的斜率从5， ÷-6-8. 则直线方程为y=(x-): 31 (y=2px, 联立 ,-号).得122-0r+8-.解 INR,=三.因为∠MON=90,所以由对称关系知 a △MON为等腰直角三角形.所以∠ONF2=45°，所以 得= =由1AF=p+2 =2p=4, △O八NP,为等腰直角三角形，所以c=仁，即=ac 2 得力=2，所以抛物线方程为y=4缸，m=青p=号。 由②可知。一，所以双商线是黄金双商线，故0 正确。 则F=号+1=，BD=5 4 3 8 00s603 3所 2 15.(1)由题意得号=1，即力=2，所以抛物线C的方程为 以BD=2BF,BD1+BF=专+号=4.则F y=4r. (2)由题意知E(一1,0)，直线/的斜率一定不为0，所 为AD的中点 以可设直线1的方程为x=my十1，点A(,M), 2意 B(x3边)， 1B3.等-y=1:x-2y=0和x+2y=0,提示：设双曲 r=my+l. 联立 消元得y一4my一4=0，则1十为 y2=4x, 线C的标准方程为后-芳-1a>0,>0.则由题 =4m,y均=-4，所以xx=(m十1)(m地十1)= 意知5.又-名-要因此a=2.67- 1,x1十x2=n(M十3为)+2=4m2十2. 所以EA.EB=(十1，)·（十1，为）=+ 故双曲线C的标准方程为号-y=1,双曲线C的渐 1++x2十2=1+1+4m2+2-4=4m2=40, 近线方程为加y=士号，即一2y=0和x+2y=0, 解得m=√10或m=-√/10. 故直线I的方程为x+/10y一1=0或x-v10y 14.①②③④. 提示：对于①a=1,=5,则2 2 1=0 。+=53,则2=后-3-（生，所以 16.设动点为M,其坐标为(x,y). 2 a 2 。=士，所以双曲线是黄金双偏线，放①正确对干 当手士a时：由条件可得kn=十a‘产。 ②，=2-a=ac,整理得2-e一1=0，解得e= xa=m,即mr2-y=ma(x≠士a. 又点A(-4,0),A2(a,0)的坐标满足m.x一y 1士5（负值舍去），所以双曲线是黄金双曲线，故②正 2 a2,故依题意，曲线C的方程为mx2一y2=a2, 确.对于③，FB=2+,|BA=十， 当<一1时，曲线C的方程为二 |FA|2=(a十c)产，又在Rt△FBA中，F,BP+ 一a=l,C是 B1A12=|F1A2,故e+++a2=(a+c),整 焦点在y轴上的椭圆： 当m=-1时，曲线C的方程为x2+y=a2,C是圆 理得公，由@可知。=所以双曲线是黄金 心在原点的圆： 双曲线，故③正确.对于④，易知F:(c,0),把x=c代 a+ 当一1m<0时，曲线C的方程为三+ ma1， 人双曲线的方程得后一芳=1，解得y=士仁则 C是焦点在x轴上的椭圆： 32 当心0时：曲线C的方程为后一品 y =1,C是焦点 当x=e时，BF1=|AF1,∠BFA=90°=2∠BAF 综上所述，∠BFA=2∠BAF. 在x轴上的双曲线， 19.(1D由题意可知直线AB的斜率存在. 1以.由题意得。-号，① 又点2w②在C上.所以+是=1.@ 设A(工y),B(x边)，则 +=1， 联立①②，可解得=8，=4. 所以C的方程为后+学-1 两式相减得》兰=一×=一×裂 0 4 十为 (2)由题意知，直线1的斜率存在 之∴直线AB的方程为y-1=一之一D,即 设直线：y=kx十b(k≠0，b≠0)，点A(xy),B(2, x+2y-3=0. 为)，Mx,). (2)设直线h的方程为y=kx十1一k, 将yr十b代人写+苦=1中， (y=kr十1-k, 由 得(2k2+1).x2+4khx+2B-8=0, +号= 消y可得， 故M=十=二2b 2 2w=k·w+6-2+ (1+2k2)x2+4k(1-k).x+2(k-1)-4=0. 所以直线OM的斜率w-兴=一 十2w-2- n十=5) 1+2k2 TM 所以kw·k=一是 ∴.AB=1+k.1-2 =1+k·√（十）-422 故直线OM的斜率与直线（的斜率的乘积为定值. 18.(1)当BF⊥AF时，BF|=a十c =1+·8(3k+2k+1D 2k+1 B=名，a+e名即d+=- 设直线CD的方程为y一1=一(x一1)(k≠0)， ∴.2a2+ac-c2=0,∴.(e-2)(e+1)=0. 同理可得1CD=1+E·8(3-2k+D 2k2+1 又e>1,∴e=2 (2)设B(x,y),x>0,y>0,当x≠e时，tan∠BAF= a-部-√器≠0)>0 3k2+2k+1 uz产ar产由0)可知b5a,=2a 4 =1+3欢+1-21+2 4 an2∠BAF=1-tam∠BAF 2tan∠BAF 2y 令1=3k+,则(-∞，-23U[2,+∞ r十a 2(x十a)y 2(xta)y 1-(a (rFa)-y +a-(- 令g0=1+,21e(-0,-23U[23.+o∞). 2(x+a)y g(t)在(-o∞，一23，[2√3，+c∞)上单调递减， ∴.2-/3≤g()<1或1<g()≤2十3， tan∠BFA. “∠BAF,∠BFA∈o,)U(受，， 故2-3≤<1或1<≤2十3. ∴∠BFA=2∠BAF a[西22.u(1.2] 33