第2章 4 直线与圆锥曲线的位置关系-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> §4直线与圆锥曲线的位置关系 4.1直线与圆锥曲线的交点 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 重点和难点 课标要求 重点：直线与圆锥曲线的位置关系 1.理解直线与椭圆的位置关系. 难点：直线与圆锥曲线相交时弦的有 2.理解直线与双曲线的位置关系. 关问题 3.理解直线与抛物线的位置关系. 小01必备知识梳理， 基础梳理 刘重点 知识点1直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭國相交，则 1.直线与椭圆的三种位置关系 直线与椭圆必有两个交点，反 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三 之亦然：而直线与双曲线或抛 种位置关系，如图 物线相交则包含两种情况： ①直线与双曲线或抛物线有 两个交点；②直线与双曲线或 抛物线有一个交点，此时直线 与双曲线的渐近线平行，与抛 相离 相切 相交 物钱的对称轴平行或重合. 2.利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 (2)直线与椭國相切，则 Q2 设直线方程为y=kx十m,椭圆方程为 6=1(a>b> 直线与精圆有唯一公共点（切 点)，反之亦然；直线与双曲线 y=k.x十m, 或抛物线只有一个交，点是直 0),联立方程得 +- 线与双曲线或抛物线相切的 必要不充分条件 根据方程组解的情况，便可确定直线与椭圆的位置关系 通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次 方程 △>0台直线与椭圆相交台直线与椭圆有两个公共点： △=0台直线与椭圆相切台直线与椭圆有且只有一个公共点； △<0台直线与椭圆相离台直线与椭圆无公共点. 106 第二章圆维曲线么国型 知识点2直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线方程为y=kx十m(m≠0)，双曲线方程为 吾-普=1a>0.6>0).将y=k红十m代人号-芳=1，消去y并 化简，得(-a2k2)x2-2amk.x-a2m2一a2b=0. (1)当一公k2=0,即k=土2时，直线与渐近线平行，则直 线与双曲线只有一个公共点. (2)当？一ak≠0，即k≠士时，判别式△>0=直线与双曲 线相交，有两个公共点：判别式△=0台直线与双曲线相切，有 且只有一个公共点；判别式△<0台直线与双曲线相离，没有公 共点 2.双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段 叫作双曲线的通径对于双曲线后一若=1a>0,6>0),将x= 代人双曲线的方程，可得芳-=导-1=。=g a2 所以直线 =c与双曲线的两个交点为A,),B(,一）)，计算出通径 长1AB1-2沿，同理，可求得双曲线号-希-1a>0.6>0)的通 径长也是 a 回敲黑板 知识点3直线与抛物线的位置关系 经过点M且与抛物线有 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切、相交， 唯一公共点的直线条数 1.直线的斜率存在时，设直线y=kx十m与抛物线y2=2px 点M的 直线 图示 位置 条数 (p>0)相交于A(,y),B(x2,y2)两点，将y=kx十m代人y2= 2p.x,消去y并化简，得k2x2+2(mk一p)x十m2=0. 在抛物 2条 线上 (1)当k=0时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重 合，直线与抛物线只有一个公共点， 在抛物线 M 内（含焦点 1条 (2)当k≠0时，判别式△>0台直线与抛物线相交，有两个公 的区域) 共点： 在抛物线 判别式△=0台直线与抛物线相切，有且只有一个公共点； 外（不含焦 3条 点的区域) 判别式△<0曰直线与抛物线相离，没有公共点. 107 重随手细高中数学选择性必修第一册S 2.直线的斜率不存在时，设直线l:x=m, 抛物线：y2=2px(p>0). 显然，当<0时，直线与抛物线相离，无交点： 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个交点： 当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点. 重难拓展 刀划重点 重难点1与圆锥曲线的弦长有关的问题 (1)解决弦长问题，一般 1.若AB为圆锥曲线的弦，A(1,y),B(x2,y2),直线AB的 运用弦长公式，而运用孩长公 斜率为k,则1AB=1+西一=，1+是n一为. 式时，若能结合根与系数的关 系“设而不求”，可大大简化运 2.求解过焦点且与倾斜角有关的弦长问题时，选择与倾斜 算过程 角有关的弦长公式可以事半功倍若AB为椭圆后+芳=1(0> (2)涉及弦长问题，应联 立直线与國锥曲线的方程，并 b>0)的过焦点的弦，直线AB的倾斜角为a,求证：AB= 设法消去未知数y(或x),得 2ab2 到关于x(或y)的一元二次方 a2-ccos'a 程，由韦达定理得到x十x, 证明：如图，设|FA=m,|FB引=， x12（或y十2,2)，代入 由椭圆的定义得F2A=2a一m,F2B= 弦长公式即可 2a-n,由余弦定理得m2+(2c)2-2m· (3)这里|x1一x,y一 2c·cosa=(2a一m)2,整理可得m= y”|的求法通常使用韦达定 a一ccos,同理可求得n= 6 ，则弦 理，需作以下变形： a十ccos a d-=V√（十）y-4: 长|AB=m十n= b2 b 2ab a-ccos a'a+ccos a a2-ccos'a y一|=√(M十2)产一42. 3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦 (4)若x1,x是一元二次 点弦)最短，弦长1m=2 方程ax2十bx十c=0(a≠0)的 a 例D(2021·宁波镁海中学月考)已知椭圆M,号+普 两个根，则工一x=份 1(。>>0)的离心率为号，焦距为2巨.斜率为k的直线1与椭圆 M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k=1,求AB引的最大值 a2=6+c2, 留折山)由题意得=。 43 解得a=、3,b=1. 2c=2V2, 108 第二章圆维曲线么国型 所以精圆M的方程为写十y=1 (2)设直线l的方程为y=x十m,A(,y),B(x2y. [y=x十m, 由 3+y2-1, 得4x2+6mx十3m2-3=0, 所以十=一3 21m=3m2-3 4 所以AB引=v1十k2·一x2 =V√2L(x十x2)2-4.12] :12-3m 2 当m=0,即直线l过原点时，AB最大，最大值为6. 重难点2面积问题（和差积商） 国记方法 求两个三角形面积的和、差、积，商的最值问题时，一般要把 圆锥曲线中求变量取值范围 两个三角形面积的运算作为一个整体转换为某个变量的函数之 或最值问题的两种途径 后再求最值，对于求面积之比的问题，经常可以转换为边长之比， (1)构建变量的不等关 再由相似关系转化为坐标之间的关系. 系，通过解不等式（组）求变 例2(2024·长沙长郡中学检测)如图，在平面直角坐标系 量的取值范围或最值 xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为 (2)构建变量的目标函 F,准线与x轴的交点为E.过点F的直线与 数，转化为求函数的值域。注 抛物线相交于A,B两点，EA,EB分别与y轴E 意自变量的选取及取值范国 相交于M,N两点，当AB⊥x轴时，EA=2. 的确定 (1)求抛物线的标准方程； (2)设△EAB的面积为S,△EMN的面积为S,求爱的取 值范围 解机(I)当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x= 2 r=p 联立 2 可得|y=p,则AF=p,且EF=p. y2=2p.x, 所以EA=vAF2十EF?=√2p=2,解得p=√2. 因此，抛物线的标准方程为y2=2√2x (2)设直线AB的方程为x=my+号， y2=2v2x, 由 =my叶得-2Emy-2=0 2 109 重随手细高中数学选择性必修第一册？S 设点A(x1,),B(x2,2), 所以yM+2=2v2m,y12=一2， 直线AE的方程为y=”(x十)】 2 + √2 2 2 令x=0,得= my+√2' 同理可得，yN= 23% 23% mh+2' 所以1w一w= 2 2 mM十2m+、2 12(-业) 2(my+√2)(m2十2) y一2 (my+2)(m2+2)' 其中(myM十√2)(m十2)=m2h十2n(y+2)+2= -2m+4m+2=2m+2,故w-w=,, 2m+2· EFixl =4m2十4≥4，当m=0时等号成立， 号0w-w 国光受的取值范周为[4，十© 重难点3坐标代换 通记方法 例3已知抛物线C:x=4y,过焦点F的动直线l交抛物线 (1)抛物线y2=2px上的 于A,B两点，O为坐标原点 (1)求证：OA·O为定值： 点道常设为（货小，抛物线 (2)过点A,B分别作直线1的垂线交抛物线于点P,Q,求 x=2py上的点通常设为 直线PQ斜率的取值范围， (动 面明(1)设直线1的方程为)=kx十1，An,牙)，B(,尊)】 (2)直线1与抛物线y2 d=4,得r-4hx-4=0, 2r文于A,B两点，设A器 由 y=kx十1， ）,苏)小则 2p 所以x1十x2=4k,x1x2=一4. 十 110 第二章 圆维曲线么型 所以0.0=十为=n+9×号=-4+品× (3)直线1过抛物线y2= 4 4 2px的焦点，与抛物线交于 (一4)2=一3为定值 A,B两点，设A(第n小则 (2)设Pa,),Q,), 由过点A,B分别作直线l的垂线交抛物线于点P,Q,得≠0， 国绿) (4)过定点(m,0)的直 则过点A与直线1垂直的直线山的方程为y尊-一名（一》 线l与抛物线y2=2p.x交于 文与抛物线交于点P, A,B两点，设A(品n小则 解得=一青一： 同理可得出=一是， _ =--(a+】 =一爱+)=(+) 又奇函教y=k+号在区间(0②)上单调道减，在(2，十∞) 上单调递增， 所以y=k+是的值城为(-，-22]U[2,五，+o∞)， 所以直线PQ斜率的取值范围是（一o∞，一2√2]U[22,十o○）. -02关键能幼提升。 题型方法 解析因为抛物线y=x的焦点为 题型1直线与圆锥曲线的交点问题 F(0点P1,-1), 1.求直线与圆锥曲线的交点 0-(-1)=-4 例④已知探照灯灯罩的轴 y 则直线PF的斜率km= 截面是抛物线y=x,如图，平行 于x轴的光线照射到抛物线上的 所以直线PF的方程为y=一号(x一)： 点P(1,一1)，反射光线过抛物线 Q是抛物线=x与直线P℉的一个交点， 焦点F后又照射到抛物线上的 解方程组 y=-(x-. 点Q,试确定点Q的坐标 y2=x, 111 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> 1 线”，下列直线中不是“点定差直线”的是 x116 或 x2=1, 得 (). y4 y2=-1. A.2.x-y+4=0 B./3.x+y-1=0 而点P的坐标为(1，一1)， C.√/2x-y+1=0 D.x-y+1=0 故点Q的坐标为（品》 解析结合双曲线的定义，满足|PA| |PB引=4的点P的轨迹是以A,B为焦点的双 2.利用直线与圆锥曲线的交点个数求变 曲线C的右支，易得双曲线C的标准方程为 量的取值范围 例固点P在直线l:y=x一1上，若存在 雪-造1，渐近线方程为y=士 过点P的直线交抛物线y=x2于A,B两点， 依题意，若某直线为“点定差直线”，则这 且|PA=AB引，则称点P为“A点”，则下列 条直线必与双曲线C的右支相交， 结论正确的是(). 直线w2x一y十1=0，x-y十1=0与双曲 A.直线l上的所有点都是“A点” 线C的右支相交， B.直线I上仅有有限个点是“A点” 直线3x十y一1=0与双曲线C的一条渐 C.直线！上的所有点都不是“A点” 近线平行，与右支有一个交点， D.直线！上有无穷多个点（不是所有的 直线2x一y十4=0与双曲线C无交点. 点)是“A点” 答案A 解析如图，设，点A,P的坐标分别为(m,n), 题型2直线与圆锥曲线的相交弦 (x,x-1) 例7(2024·武汉十一中检测)已知椭圆 则点B的坐标为(2m一x,2n一x+1). y 着+号-=1，过定点P0,2)的直线1与椭圆交 :y=x-1 于不同的两点A,B,O为坐标原点，若∠AOB 为锐角，则直线！的斜率k的取值范围为 () A,B在抛物线y=x2上， A.(-√2,0)U(0√2) i.fn=m. k(-号ou(o.受 2m-x+1=(2m-x)2, 消去n,并整理得方程x2一(4m一1)x十 c(-2,-号u(号w回 2m2-1=0, .△=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m D.(-o∞，-2)U(W2,十∞) 8m+5>0恒成立. 解析由题意设直线l的方程为y=k.x十 方程恒有实数解 2,A(x1),B(xy2）, [答案A [y=kx十2， 联立 3.直线与圆锥曲线位置关系的应用 冒+苦1.游去y并些理得1+ 例6(2024·河北正定中学检测)已知 2k2).x2+8kx+4=0,则△=64k2-16(1+2k2) A(一4,0)，B(4,0)两点，若直线上存在点P,使 得PA一|PB=4,则称该直线为“点定差直 >0,解得>， 112 第二章 圆维曲线么型 -8k 4 西+-1+2k0=1+2 x1十x2=2x 所以 y+y2=2y. ∠AOB为锐角， 所以4×2x(0一)十9×2y(一2)=0. ∴.OA·OB>0,即x1x2+yy2>0, 设线段AB所在直线的斜率为k, .x1x2十yhy2=x1x2十(kx1十2)(kx2十2) =(1十k2).x1x2十2k(十x2)+4 当西≠x2时，k=当一业=一4虹 x1一x2 9y =1+)·十e+2·+签+>0 4 所以可得k=y二】=一虹 x-29y .k2<2. 化简得4.x2+9y2-8x-9y=0. 因为当x1=x2时，中点M(2,0)满足上述 又：>2<2 方程， ∴k∈(-厄，-U(受2列. 所以点M的轨迹方程为4x2+9y2一8.x一 9y=0. [答案C 题型4圆锥曲线中的最值问题 题型3“中点弦”问题 解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种 1.直线与圆锥曲线相交，求弦的中点坐标 方法：一是几何法，用圆锥曲线的定义和平面 有两种方法： 几何的有关结论来解：二是代数法，将圆锥曲 (1)将直线方程代入圆锥曲线方程，整理 线中的最值问题转化为函数问题（即根据条件 得到关于x或y的一元二次方程，应用根与系 列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征 数的关系求出中点的横（纵）坐标，代回直线方 选用换元法、对勾函数图象法、基本不等式法、 程求得另一坐标。 配方法、函数单调法等求最大值或最小值， (2)应用“点差法”获得中点的横（纵）坐标 例9(2024·合肥一中高三检测)已知椭 的关系式和直线方程，联立组成方程组求解. 明G后+芳=1。>6>0)经过点E1.D.其 2.已知弦的中点求直线方程，也可利用上 右焦点为抛物线C2:y=2√6x的焦点F,直线 文1中所述的两种方法. 1与椭圆C,交于A,B两点，且以AB为直径的 3.求平行弦或相交弦、中点轨迹.平行弦 圆过原点。 必须知道该组弦的斜率，相交弦必须知道该组 (1)求椭圆C的方程； 弦的交点，求中点轨迹采用“点差法”更简单。 (2)若过原点的直线m与椭圆C,交于C, 例8已知椭圆亏+￥=1及点D(2,1, D两点，且OC=t(OA+OB),求四边形ACBD 过点D任意引直线交椭圆于A,B两点，求线 面积的取值范围。 段AB的中点M的轨迹方程。 解析设M(x,y),A(x1y),B(x2y2), D 则i+9听=36,0 4x+9y5=36,② ①-②，得4(x1-x2)(十x2)十9(y1 解析(1)因为抛物线C2:y2=2√6x的焦 2)(y1十2)=0. 因为M(x,y)为AB的中点， 点为F(0),所以精国G的半焦距6= 2 113 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> 因为点B,D在橘圆C:后+芳=1上，所以 则Sm造形，AcBD=41S△OB=4 3(2k+1D× 87n 是+=1.又d=8+,所以=3 2 n× 4+百=6×N2k+1 2k2+1 4k+1=6× 所以精国G的方程为写+等-1 V2 2k+1∈[v6,23). (2)当直线AB的斜率存在时，设其方程为 当直线AB的斜率不存在时，直线AB的 y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2), 方程为x=士1，直线CD过AB的中点，即CD x22y2 =1, 联立3T3 为x轴，易得|AB=2,|CD=2、3, 可得(2+1)x十4knx+ y=kx十n, 则Sm=AB到1CD1=2及. 2m2-3=0,则△=4(6k2-2n2+3)>0,① 综上所述，四边形ACBD面积的取值范围 0十x2= Akn 2k2+1' ② 为[6,23]. x1= 212-3 2k2+1· ③ 题型5圆锥曲线中的定值、定点问题 1.圆锥曲线中的定值问题 因为以AB为直径的圆过原，点， 例10(2024·太原五 所以OA·OB=2十=0x十(k十 中高三模拟)如图，已知椭 n)(kx2十n)=0, 化简可得(k十1)x1x2十kn(1+x2)十 圆C号+苦=1a>6>0) n2=0, 与圆E:+-豈一3=0在第一象限相交于 将②③代入，整理得(k+1)(2r一3)十kn· 点P,椭圆C的左、右焦点F,F2都在圆E上， (一4kn)+(2k+1)=0,即=+1，④ 且线段PF为圆E的直径. 将④代入①，得△=4(4k+1)>0恒成 (1)求椭圆C的方程： 立，则k∈R 设线段AB的中，点为M, (2)设过点M0,得)的动直线1与椭圆 由OC=t(OA+Oi)=2LOM. C交于A,B两点，O为坐标原点，证明：OA· 得Sg边卷，BD=2Sg边0ACB=4tS△OB, OB为定值，并求出这个定值， Saas-2nl西-w=nX,6 解析(1)在圆E的方程中，令y=0,得 2k2+1· 由OC=1(OA+OB), x2=3,即x=土3，所以c=√3. 得点C的坐标为(t(x1十x2),t(y+2) 将国E的方程化为x2+(一}》-铝 (x1十x2)= Aknt 2k2+1' 则圆E的半径为子，所以PF= 则 2nt t(y+)=2k2+1' 连接PF2,因为点F2在圆E上，PF为圆 E的直径，所以PF2⊥FF 代入话国方程可得千-3。 又FF2|=2c=2、3,则|PF2|= 3(2k+1) 即一 8n2 vIPP-FFa=√9-12=2 114 第二章 圆维曲线么出型 由椭圆的定义可知2a=|PF|+|PF2=4, 解析(1)设双曲线C的焦距为2，由双曲 则a=2. 线C的离心率为2可知c=2a,所以b=3a. 从而仔=a2一c2=1, 所以精国C的方程是号+y=1. 所以双由线C的方程可化为后-盖=1 由题意知直线l的方程为y=x十√6， (2)当直线（的斜率存在时，设1的斜率为 y=x+/6, 长，别1的方程为y=+√层代入指周方程， 联立 x2 y2 a23a=1, 得+4+)=4 可得2.x2-2√/6.x-6-3a2=0. 即(4+1Dr+8、得x-8=0, /3 设A(x1,y1),B(x2y2), 则十=6m=-3-多 设点A(,y),B(x2,y2), 因为0A.0=3, 38k 则x1十x2=一 √5·4k2+1 所以x1x2十y12=x1x2十(01十6)(x2十 8 √6)=3， x12= 5(4k2+1)1 所以2.x1x2十、6(.x+x2)+6=2×（一3 所以OA·OB=x2十y=x十 (k+√语)(+√得)=(+1)a十 多c)+6x6+6=3,解得a=1 75k十x2)+3= 8(k2+1) 24k2 所以双面线C的标准方程为2-普-l, 55(4k2+1)5(4k2+1) (2)假设存在点M(1,0)(1<0)满足题设条件」 +号8++号-1 由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0). 当直线1的斜率不存在时，l与y轴重合， 设Q(,h)(x≥1)为双曲线C右支上一点. 不妨设A(0,-1),B(0,1),OA·OB=-1. 当x0=2时， 综上可知，OA·OB=一1，为定值. 因为∠QFM=2∠QMF=90°， 所以∠QMF=45°， 2.圆锥曲线中的定点问题 例11(2024·北师大二附中高三检涮) 于是1MF=QF==3,即2-4=3. 已知双曲线C号-若-1a>0.6>0)的离心 所以t=一1，所以M(一1,0). 当xo≠2时， 率为2，过点P(0,6)且斜率为1的直线1交双 yo 曲线C于A,B两点，且OA·OB=3(O为坐标 tan∠QFM=-ka= x0-2 原点). (1)求双曲线C的标准方程 tam∠QMr=kow= (2)设Q为双曲线C右支上且在第一象限 因为∠QFM=2∠QMF, 的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴 所以tan∠QFM=tan2∠QMF, 的负半轴上是否存在定点M,使得∠QFM 2X地 2∠QMF?若存在，求出点M的坐标；若不存 To-t Jo-2 1-()2 在，请说明理由。 6t 115把点B的坐标代入抛物线方程，得1=2p×上，解得 为4，对于选项D,显然BM中点的横坐标与？BM D=(负值合去.B(停.) 不一定相等，因此该命题错误。 §4直线与圆锥曲线的位置关系 5w=25=2×(9+号）×1-3 4.1直线与圆锥曲线的交点 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 20) 真题演练 1.由椭调C号+苦=1的右焦点为1,0，且经过点 A(0,1),可得b=e=1,a=+C=2, 则椭圆C的方程为号+了=1 13.65-1,提示：易知抛物线的焦 (2)联立y=x十1与椭圆的方程x+2y=2, 点F(一1,0)，准线方程为x=1. 可得(1+2k2).2+4k1x+22-2=0. 如图，过点A作AH⊥l,AN垂直 设P(y),Q(,) 于抛物线的准线，H.N为垂足，则 △=16k2-4(1+2k)(22-2)>0, AH+|AN1=m+n+1,连接AF,则AF+1AH= 22-2 4+=一1+2次0=1+2 m十n十1，由平面几何知识知，当A,F,H三点共线 时，|AF+AH=m十n十1取得最小值，最小值为 AP的方程为y=边x+1, F到直线1的距离，即三一65，所以m十n的最小值 55 令y=0,可得产即（吾0小： 为1 AQ的方程为y=当二1z+1, 14.(1D由已知得-号=一2，所以p=4. 令y=0.可得x即N(吾0) 2 所以抛物线C的方程是y2=8x (1一)(1-2)=1+y为一(y+) =1十(k1+1)(k+t)一(k1+k.2十2t) (2)由已知得A(一2,0)，F(2,0),所以|AF=4. 设点M(,均)，由抛物线的定义知MF|=十 =1+f-20+·录+-（格） 号-十2-8，所以6-6，代人y-8,得-8X (1-1)3 1+2k 6=48,所以=4a所以S=号AFl=号× 0M1oN=2,即‘=2， 4×45=85 即有1一1=(1-1)2.又1≠士1，解得=0，满足4>0. 15.AB提示：对于选项A,点M到准线r=一1的距离 即有直线1：y=kx恒过原点(0,0). 为(AF+BF)=号AB1,于是以线段AB为 2.(1)设A(xy),B(0y). x=2y-1. 直径的圆与直线x=一1一定相切，进面与直线x= 联立 消x得y2-4py+2p=0, y=2pr. 一号一定相离，对于选项B和选项C,设A(4d,4如， 则△=16p一8p>0,3当十为=4p,3为=2p, 则B(品一日），于是AB=4松+证十2，最小值 :p>0,p> 27 1AB|=1+4·|y-为1=5·、16p-8p (y=kr+2. 3.D提示：由 得(1-2)x2-4kx-10=0, =4√5， x2-y=6, 1-k2≠0， 解得力=一是（负值舍去或p=2,p=2 △=16k2+40(1-k)>0, (2)由(1)知F(1,0),设Mx,为)，N(x,y). 由题意得 直线MN的方程为x=my十， 普>0 r=m3y十， 联立 消x得y2-4my-4n=0, ”>0 y2=4x, 则△=16m2+16m>0,+y1=4,yy=一4元 解得-零<1 :Fi.F=(-1D4一1)+为y 4.C提示：易知过点(0,1)，且斜率不存在的直线为x= =(m为十n-1)(my1十n-1)+为 0,满足与抛物线y=4x只有一个公共点.当斜率存在 =(㎡+1)为y+m(m-1)(十w)+(n-1)9 时，设直线方程为y=kx十1，与y=4x联立并整理， =一4n-4n十4nn-4m°+n2-2n十1 得k2x2十(2k一4)x十1=0，当k=0时，方程有一个解， =0, 即直线与抛物线只有一个公共点：当≠0时，令△ ∴.4㎡2=n2-6m+1≥0，此时△=4(n-1)2>0,解得 (2k一4)2一4k2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个 m≤3-2√2或n≥3+22. 公共点.所以满足题意的直线有3条 Saa=MF·NF=之+1Dx+D 5.A提示：设A(y）,B(x2,), i=4, 由 =专(m为+n+1Dmy十n+D 得(1一)（十）=4（一）. 好=4， =2m(-初+(m+m)·4m+(a+1D门 又AB的中点为M(2,1D, ∴y十w=2.“k=边二业=2. =2-2n十1=(n-1) x1一T .当n=3-2/2时，(S△w)m=(3-22-1)2 因此直线AB的方程为y一1=2(x一2)， 12-82. 化简得2x一y一3=0. 学业质量测评 y=x-2, 6.(1)联立 消去y整理得x2一8x十4=0，其中 y2=4x, 1.C 2.B提示：设直线AB的方程为y=kx十b(k≠0)，易求 △=64-4×4=48>0. 设A(边)，B(,),则1十=8,1=4 直线AB的方程为y=5(x+2).由 所以一=v(1十2)-41程=43. y=3(x十2)， 消去y并整理，得7x+122x十8=0 x2+2y2=4, 所以AB=/1+下·|一x=2X4v3=46. (2)由题意得点F(1,0) 设Ay),B(,),则m+=-122, x= 故点F到直线1的距离d=1一2_2 21 号由弦长公式得AB=、中F·一= √1+·√(+)-412=1十(3)× 所以Su=合×1AB×d=号×46×号-2反 7.D提示：设A(1边)，B(),>0,2>0.> 0,2>0. 28 因为FA=21FB引，所以A+2=2(.十2). 4 x2+2y2=4, 2=1+2 因为十2产2所以n=2,所以听=4， 由 得 y=kz. 4k3 =1十2· 即8D=4×8..所以=4x4 结合图形，不妨设>0，则 1=4: 联立 解得=1.所以为=22. x1+2=2(x+2), A·)小 因此k=当。=2互 2 2k 十23 B(- V1+2·- V1+2 &D提示：设内层箱圆的方程为后+普-1(。>>0， 2 E(H元以 ,内外层椭圆的离心率相同， 2k :外层椭圆可设成品+六=10m>》, ,k深= 1+2k 2 2—=k,故C正确： √1+2k /T+2 设切线AC的方程为y=k:(十m),代人号+芳- 取=2则A(号，专)，B(-号，-号).E(号0)， 得（十a2)x2+2ma2kx十mak-a2=0, 由△-0，得片-华·一·同理可设切线BD的方程 ∴直线E的方程为y=一号，与椭圆方程联立 为y一+，得对-停(m-D. 得P(告8) ∴婚名-()》则略- 市=(8-吉)B=(-音一)： AP.AB=0.AP⊥AB. -1吾哥- .∠PAB>90错误. 9C提示：当入=7时，则点P在双曲线的左支上，由 1.33,8.0. 提示：设A(x1,出)，B(x2边)，直线 2 |PF2|=7PFI,且|PF:1-IPF1=2a得|PFI= AB的方程为x=y十m,代入y2=x得y2-y-m 号，PE=g,由PE+PF,≥ER得号+号 0,则”十为=，为=-m.由OA·O店=6可得 x十为=6，又xx=(为)”=m2,所以m2一m ≥2，则1<号，排除A,B:当X=7时，则点P在双 =6,解得=3或m=一2.因为A,B在该抛物线上 曲线右支上，由|PF|=7|PFl,|PF|-|PF|=2a 且位于x轴的两侧，所以y=一3，m=3,可得|业 得PE=号PF=号由PE+PR:≥ER =高所以Sw+5w-号×3xn+D 得号+号≥2，则1<<号 +2××m=1w1+1=号m+ 10.ABC提示：如图，由椭圆的 2≥2V18x品-3.当且仅当号1= 对称性知，四边形AFBF是 平行四边形，故A正确： 品即=8时，等号成立故面积之和的最 9 a=4,=2,2=2, 小值为3，压，直线AB与x轴交点的坐标为(3,0). 2 ,∠FAF:<90°， 又∠FPF2∠FAF90,故B正确： 12.受.提示：设直线PQ的方程为y=k虹-1(k≠0)， 29 P(y),Q(2). 30k 设B),C),则1十一3求千4西 y=k.x-1. 由 消去y,得x一2pk.x+2p=0, 25 x=2py 5k+① 则xn十=2k,x1=2p 直线AB的方程为y十2=当十2 因为m=当二，ko=当一1 所以km十ko=2k西-2十) 令一3则x=一千2所以M(一2-小 _2k·2p一2·2kp=0, M=- 2p 又kmko=一3，所以km=3,ko=一3. 同理.PN=千2 因为x>0,即x,正负相同，且十2>0，为十 所以∠BNM=吾，∠BMN=5 2>0,所以PM1+1PN=2+2 故∠MBN=元-∠BNM-∠BMN=季， ≤15， 13.(1)依题意知动点P的轨迹是抛物线（除原点）， 即+2)+(+22 ≤15， 其焦点为F(1,0),准线为x=一1. (M+2)(+2) 设其方程为y=2px(p>0),则号=1.解得p=2. 从而凸0+-D≤15.@ (k.-1)(k.x4-1》 所以动点P的轨迹C的方程是y2=4x(x>0). 由①②可得，一3≤k<-1或1<k≤3. (2)设A(·y),B(,必)是直线与C的交点， 所以k的取值范围为[-3，一1)U(1,3]. 15.设直线1与抛物线P相切于点P(显然P不为原点O, 易知n=立 否则1为y轴，与n无交点). 所以ks=当二头 4 由对称性不妨设P为第一象限内P上一点，坐标为 (t,27),其中>0，则可设切线1的方程为y-27 又直线的斜*为一1，所以，4 =一1，即》十边=一4， k(x一t)(k≠0)， M十次 所以：十k1=2一2+当一2=4二2+4(y-2 [y-2fi=k(x-t) 2-1 -14 y一4 y=4r. 得y-+8-=0 4 4 4 4=4士2十2=0. +21+2(0”+2)(1+2) 则4=0(-)-4（兴-）=0得- 因此k1+k=0. 则切线方程为)y若+丘 14.(1)由题意可知，b=2,2ab=45,所以a=5. 将切线1的方程代入Q的方程，整理得关于x的方程 所以转圆E的标准方程为号+兰-1 (t-1).x2-21.x-11+1)=0. y=x-3, A,B的横坐标为该方程的两解，记为x,,则1≠1， (2)直线1的方程为y=kx-3,由 消去 4 且西十汽=- 1-1 y得(4+5k2)x2-30kx+25=0,△=(-30k)2-4× 根据题意有x<0,而>0，故>1. 25×(4+5k2)=400(k2-1)>0,所以k>1或k-1. 注意到直线（在y轴上的截距为，故有 30 5w=号·-=号+=场d 2 9.ABC 提示：由题意得 解得 =+零-1可 -1 -1 令u=1一1，则>0.利用基本不等式，得 a2=8 Sn=u+1Du+》+≥2五+=25. =2 故椭圆C的方程为写+苦=1，A项正确由 1-01 于kM=2.2,故B项正确.因为直线1的斜率 当u=1(即1=2)时，S△w取到最小值2√5. k=6w一壹，又1在y轴上的截距为m,所以1的方程 单元学能测评 1 y=交x十m 1.D2.D3.D4.A5.D 为y=2x+m.由 得x2+2m.r+2r- 6.B提示：抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0)， +号-， 过焦点且倾斜角为45的直线方程为y=,x一2，由 4=0.因为直线1与椭圆C交于A,B两个不同的点， y=x-2, 所以△=(2m)2-4(2r2-4)>0,解得-2<m<2,故 得x-12x+4=0,则1+=12(1， y=8.r, C项正确，D项错误 为直线与抛物线两个交点的横坐标)，从而弦长为十 10.AB提示：双曲线E:后一号=1中的a=4,6=3 +p=12+4=16. c=5.不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PFF的面 7,D提示：因为AB/0P,所以需-贸即P 积为20，可得2FFn=em=5m=20,即n=4.由 =名.则PF=冬又PFLy轴，则PF=仁，所以 荒一智=1，可得m=婴故A项正确由P(学4， [(a+c)2=27+182, d2=18 b=c.由 解得 所以椭圆 a=B+2, =9, 且上(-50.R6.0).可得m=是6s=号则 的方程为号+。-1 12_12 tan∠F1PF2= 1十122-9e0v3.则∠RPR 535 360 8.A提示：依题意知F关于∠FPF:平分线的对称点 5×35 F在椭圆C上，∠F,PF=受，根据对称性可知F是 <登，故C项错误P压+1PR1=116+写+ 9 PFz的延长线与椭圆的交点，则三角形PFF是等腰直角 三角形.设1PF|=m,PF2|=,则1PF1=|PF,|= 116+百-号+号-碧则△PF,R的周长为智+ PF2|十|F:F1=m,因为m十n=2a,所以n=2a-m.所 10=9,故B项正确，设△PF,E的内切圆半径为n 以FF1=m-(2a-m)=2m-2a.FF1=2a-(2m 可得2r(PE+Pp+EE)=号·FRI· 2a)=4a-2m,则4a-2n=2|PF|=√2m,故m= 22=(422)a,又m+r=(2e).所以m十(2a一 4,可得=40，解得r=2,故D项错误。 m)'=4c2,即[(4-22)a]+[(2√2-2)a]=42.所以 11.ABC 提示如图，F(之，0八，直线 (36-24②d=4,后-9-62=(6-③.所以 1的斜率从5， ÷-6-8. 则直线方程为y=(x-): 31