第1章 1.4 两条直线的平行与垂直～1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区】忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90, 是[一号，号]，事实上，在直线1的允许活动范周内， 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3号 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90°） 品 时，直线1的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=m己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当时，=一<0，所以直线的颜斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程， 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“≠ 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-号=一L m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2.1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线（的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (. 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-号] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4oU(o,号) 形，此时直线的斜率不存在 c(-,-号)U[1,+∞ 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号，+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 1012 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线1垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx-y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率=多，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一号，则直线1的斜率长的取值范围是 所以一生2=1，解得大=是 2+I (-,-g]u[g+） 所以直线1的方程为y一2=是一1少， 即3x-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l1:3x十4y十2=0和4：6x十8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解l:6.x十8y一4=0可化为3x十4y一2=0，根据两 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 所以AO=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-（-401-6 3十4平 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中r,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4AC中，C|=￥AC-AOP=√5-=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x一3)2+ 误区6。对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m2十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0，且片<0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由22十一1=2一m十2.得r十2一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得COC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故n=-3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解：圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1，t2=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y一6k-8=0 .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得一2一6-8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得u=2士2√/10， 解得发=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2-2√/10)2十(y-4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-子）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3.x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的 答案x=6和3z十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 《错溪奉25%)若方限千十兰与=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且k≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径r=3,若两圆相切，则1CA=4十3=7或1CA= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)F+ (4一1)2=1（无解），a=2士2√10，此时所求圆的 易错题1Ⅱ（错送率30%）已知幅圆的标准方程为云十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(x-2+ y =1(m>0),并且焦距为6，则实数的值为 m 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a一 正解"，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）2=12（无解），∴，a=2±2/6，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知2= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求圆园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知= m2,=25,a2=+2,得m2=25+9=34. 或(x-2+2/10)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(a,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（错误率3)若精圆千。+苦 C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D,双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求k的值 正解依题意得|FF=10,当a=3时，2a=6<FF,, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF-PF:|=2a>0, ,,点P的轨迹为双曲线的右支和一一条射线。 ,一，听以e一2一2一—1 ak+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a°=9，：= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= ==1k=1 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一子 易错题15（错误来30%0）若方程2加十m1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12一m>0, (2-m<0. 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+二-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx十1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆号+片-1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上<1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为园 3,焦距为2、26，求双曲线的标准方程. m 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十02). 解得 2=a2+6=26, 6=8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件 y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 g=2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足PF|-PF|=2a,当a为3和5时，点P :=18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为兰一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1政 8181. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一≠0，则△=(2k一2k)”一4(4一2)（一k2+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而稀掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0：解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的距 情况： 离与它到直线：3x十y一4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点。 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 -10+(0y-1=3x+y-4 ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2p.x(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线/，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=a2化为标准形式得r2=】 u w. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 8 所以p=2. 答案 8· 故所求的抛物线方程为yY=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x十t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 3y2=4xr, 由 得y2+2y-21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线0A与直线（的E高等于停可得片-停，所 5 4 斜率k的取值， =士1.由于-1e[-之+小.1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代人双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k).x2一(2k-2k).x一十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对： 若4一=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 S 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 .CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A.B.C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值. 一条直线上 正解 由题意知a/B,则兰-中2=音可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, +y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 当/， 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB,BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长。 ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=年，OA⊥底面 ABCD,OA=2.M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. ,二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,BD》=180°-120°=60 CD=C市=(Ci+AB+Bd)=C+A店+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A0.0,0).B1,0.0).M0,01,D(-号号.0 B-2 答案 a++c./+e 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD,B,C)= 而-（号停-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cos(A店，M市= AB.MD 1 2 BC所成角的余弦值为 62-2 ABIMD a++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量BD和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和B,C所成的角， 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD,和B1C BPCD的余弦值 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系Ax,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a),D0,2a,0),BC=(0,2a,0) 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Ci-(-a,0.0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-b,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBD B.CI -2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2·+正 1=(1,为，)，n=(22+边） m·BC=0,m·CD=0. 则有 和 m·驴=0·P币=0， 2ay=0. -ax2=0, 即〈 和 对上式进行以下讨论： 【-a,x1十az1=0 (2ay-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>O,这时(BD,BC)是锐 令=1.可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当>b时，os(BD,BC)<0,这时〈BD,BC)是 所以m一造 5 钝角，则BD,BC)的补角x一(BD,B,C)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为钝角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD,BC BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,BC)即异面直线BD,和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n:)= 风调=严后，误认为所要求的余 nn2 8-c2 、a2++e·√+ 弦值即为，其原因是混消了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式 有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式. 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错璞率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲，乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A:种排法，故共有A5AA 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯、2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法：若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A,A三点中任取两个点，在B,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工.现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法。 法计数原理，有CCg十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在4上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CCC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30十80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)”展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2n-l,T=Cx-3(-√2)= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -22Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子，能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得n=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)1展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx(-2)'(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2.解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x的项为T=C肾x2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 架题意得到哈-子·将二项展开式的某项的系数与三 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5+3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1+x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,AA三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)≥C(2), 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C洁1(2)+1， 9 解得101-512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤≤1(i=1,2). 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项。 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PO=PAB)=高×号-高 第；台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(A AA) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP3-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-B)-号-号 +3P P:Ps. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(BA)的含 P(=2)=P(AAA)+P(AA:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PP: 抽到白球.而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP十PP-3PPP, P(=3)=P(AAA）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P)= 号 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-古成-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -PPP 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:P, 9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)×1+P(=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a=子 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9d-a十3-a=1,解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论 10整理得华-1-) BD上时取等号. a+1 连接AC,BD,交于一点M,则点M即为所求 》-1.-++1 a :ke=9月=2，六直线AC的方程为y一2=2 1).即2x-y=0.① A DO B :m=5二，=-1，直线BD的方程为y 1-7 5=-(x-1),即x十y-6=0.② 图1 图2 2.xy=0, r=2, 即b= 1 可以看出，当a增大时，也增大. 联立①②，得 解得 N+。+ x+y-6=0, y=4. ∴点M的坐标为(2,4). 当a一十o时，6，即K 学业质量测评 当a→0时，直线y=ar+接近于y=b. 1.B2.B3.A4.B 当6时.如图2-6器-0-含 5.(CD提示：直线4的方程可化为(x一y十2)m十(2.x一 12 =2 x-y+2=0, x=-3, 1-661- 2 。b>1- y十5)=0，令 解得 2x-y+5=0, y=-1, 综上可知1-号<K安 因此直线过定点（一3，一1），A不正确： 当m=1时，直线2：3x一2y十7=0，而直线4：4x一3y 1.4两条直线的平行与垂直 4=0.显然3×4十(-2)×(-3)≠0，即直线4，不垂 1.5两条直线的交点坐标 直，B不正确： 1,6平面直角坐标系中的距离公式 当m=2时，直线：4x一3y十9=0，而直线4：4z一3y+ 真题演练 4=0,显然4∥，C正确： 1.D 2.B提示：联立直线方程，易得点A的坐标为(1,2)，点 当6/%时，有”时=一≠2，解得m=2, -3 B的坐标为(2,1)，如图，当两条平行直线间的距离最 则直线：4x-3y+9=0,因此直线41，之间的距离 小时，两平行直线分别过点A,B,又两平行直线的斜率 d=- 9-4 =1,D正确. /4+(-3) 为1，直线AB的斜率为一1，所以线段AB的长度就是 6.(-4,-10. 过A,B两点的平行直线间的距离，易得|AB1=√2，即 7.A提示：设点A的坐标为(x,y,由已知得AH⊥BC, 两条平行直线间的距离的最小值是2. BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在 -2y+3-0 kHk=一1， x)- 所以 即 kwk=一1， (-吉×==-1 2x-y-3=0+y-3=0 x=-19 解得 即顶点A的坐标为（一19，一62）. 3.(2,4).提示：取平面上任一点M,因为|MA十 y=-62. IMC1≥AC|,当且仅当点M在线段AC上时取等号： 8.B提示：易知直线x十my=0过定点A(0,0),直线 同理.MB+|MD1≥|BD,当且仅当点M在线段 m.x一y一m十3=0过定点B(1,3),且两条直线相互垂 直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故PA|十 又因为∠BAC的平分线的斜率在子和号之间，所以 |PB=|ABI cos∠PAB+|AB|sin∠PAB=√1oX 所求角平分线所在直线的方程为7x一7y十5=0. 2sim(∠PAB+T)∈[/o,25J 13.由题意可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0 9.C提示：点A(3,-1)关于直线x十y=0的对称点为 (1)若P为线段AB的中点， A(1,一3)，直线AB与直线x十y=0的交点即为所 号=2 a=4 求的点，直线AB的方程为y十3=一2牛3(x-1),即 则 解得 5-1 =1 b=2, y一，与十y=0联立解得x= 13 5= 5 所以直线1的方程为千+之=1，即x+2y-4=0, 10.D提示：如图，以点A为 (2)AP-(2-a,1),Pi=(-2,b-1). 原点，AB所在直线为x轴， AC所在直线为y轴建立平 由AP=2Pi得 2-a=-4, a=6. 解得， 面直角坐标系，则A(0,0),FAO)节 1=2(b-1), B(4,0),C(0,4). 故A6,0,B0,） 设△ABC的重心为D,则点D的坐标为（冬，号）： 1 设点P的坐标为(m,0),则点P关于y轴的对称点 所以Swu=立X(6+2)X1=4 为P1(一m,0). 设E(m,1),F(n,0),m>0,n>0, ,直线BC的方程为x十y一4=0， 则S#g三2×(m十n)X1=2,即m十n=4 ∴点P关于直线BC的对称点P:为(4,4一m). 根据光线反射原理，P,P均在QR所在的直线上， 直线评的方程为昌 3 3-4+m 即x一n-(m一n)y=0. keb=kp,D,即 将m=4一n代人直线EF的方程，得x一n一(4一2n)y 3 十 31 =0,即n(2y-1)十x-4y=0. 解得m=青或m=0 /x=2, 2y-1=0. 解得 当m=0时，点P与点A重合，故舍去，六m=亭 x-4y=0, y=2 x-2y+3=0,x=1. 11.C提示：由 得 所以直线EF必过定点(2，号）： 2x+3y-8=0,y=2. 即直线1过点(1,2). 141直线4可化为2x-y之=0， 设Q(1,2),因为|PQ=v(1-0)+(2-4)F=5> ,直线l与l2的距离d 。-（-2川 2,所以满足条件的直线1有2条. √/2+(-1)7 10 12.7x-7y十5=0.提示：设P(x,y)是∠BAC的平分 线上任意一点，则点P到AB,AC的距离相等，即 。-(-) 5 5a-()川= 10 4-3y+10=l3r-4y5.所以4x-3y+10= /4+37 √4+3 a>0,.a=3. ±(3x-4y-5),即x+y+15=0或7x-7y+5=0. (2)设点P(,),若点P满足条件②，则点P在与 5 4k平行的直线/：2x-y+C=0上，且C_3到 6)y+B(6+)x'+C=0,则-Ay'+Bx+ 5 C Ix- C+ 元=0，由于店十垢的值不确定，所以“伴随点” 5 ,解得C-或C- 不一定共线，所以③错误. 2m-为+号-0或2w-十号-0 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有 2.2圆的一般方程 2二+3_2.1x+w-11 真题演练 5 5 2 1.-3. 即2一为+3=十w-1. 2.(.x-2)+y2=9. .w-2十4=0或3x十2=0. 3.C提示：设过A,B,C三点的圆的方程为x十y2十 :点P在第一象限，3十2=0不合题意，舍去。 Dx+Ey+F=0(D+B-4F>0), 联立方程 2-+9=0, D+3E+F+10=0, D=-2, xm-2m十4=0， 则4D+2E十F+20=0,解得E=4, /u=-3, D-7E+F+50=0, F=-20. 解得 1 不合题意，舍去 故所求圆的方程为z2+y2一2x+4y一20=0.令x=0. 得y2+4y一20=0.设M(0,y),N(0,”),则+片= -4,为=-20，所以1MN1=1y一1= 联立方程 解得 n-2%十4=0， 37 =18 v(y+)一4y=46. ∴P(日·器)即为同时满足三个条件的点。 4.B提示：A(1,0),B(0,3),C(2,3),.AB= BC=AC=2.,∴.△ABC为等边三角形.故△ABC的 15.②.提示：对于①，设点A(0,3),则A的伴随点”为 外接圆的圆心是△ABC的中心.又等边△ABC的高为 A(号，0），是X(号，0)的“伴随点”为(0，-3)， 厅.△ABC的中心为(1，)放△ABC外接圆 与A不同，所以①错误：对于②，设点P(x,y)的“伴随 点”为P(y千)P(,-)的“件随点” 的圆心到原点的距离为√+(2)=夏 5.(-2,-4)5. 提示：若方程ax2+(a十2)y2+4r+ 为()易知P( 8y十5a=0表示圆，则a2=a十2，故a=-1或2.当 与P(子子)关于y轴对称，所以@正确： a=2时，方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即.x2+y 对于③，设原直线的解析式为Ax+By十C=0,其中 +x+2+号=0，亦(+号)广°+g+10=-年， A,B不同时为0，且P(,为)为该直线上的一点， 不成立，故舍去：当a=一1时，方程为x2十y2十4x十8y P(x)的“伴随点”为P(x',y),其中P,P都不是 -5=0.即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2， 4),半径为5. 原点，且 则x0=一(.x6十6)y,3%= 学业质量测评 -te 1.A (后十心)x,将P(x,)代入原直线方程，得一A(.+2.C提示：由x2+y+Dx十Ey十F=0可知圆心坐标 6第一章 直线与圆收型 1.4 两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 1.6平面直角坐标系中的距离公式 重点和难点 课标要求 重点：能根据斜率判定两条直线平行 或垂直，会用代数的方法求两条直线的交 1.理解两条直线平行与垂直的判定。 点坐标，掌握两，点间的距离和点到直线的 2.掌握两条直线的交点坐标。 距离的求法 3.掌握点到直线的距离公式 难，点：根据方程判定两条直线的位置 4.理解两条平行直线间的距离公式 关系，点到直线的距离公式的应用. 01必备知识梳理。 基础梳理 刀划重点 知识点1两条直线平行的判定 (1)l1∥l2台k1=k2成立 的前提条件：①两条直线的斜 1.特殊情况下的两条直线平行的判定 率都存在：②1与12不重合. 若两条直线中有一条直线没有斜率，则当另一条直线也没有 (2)k1=k:→l1∥1：或 斜率，即两直线的倾斜角都为90时，它们互相平行 与2重合（斜率存在. (3)l∥12>k1=k或两 2.两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 条直线的斜率都不存在. 对于斜率分别为，k的两条不重合的直线，2，有4∥l2台 (4)在判断两条不重合的 直线是否平行时，首先判断两 k1=k2. 条直线的斜率是否存在.若斜 知识点2两条直线垂直的判定 率存在且相等，则两者平行：若 斜率都不存在，则两者也平行 1.特殊情况下的两条直线垂直的判定 冒敲黑板 若两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0， (1)利用“1k2=一1→ 即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0时，两条直 l⊥2”判断两条直线垂直的 线互相垂直， 前提条件是两条直线的斜率 都存在，而与截距无关. 2.两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 (2)当两条直线的斜率存 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率 在且有kk2=一1时，则两条 直线必垂直：反之，当两条直线 之积等于一1：反之，如果两条直线的斜率之积等于一1，那么它们 垂直时，未必有1=一1，这 互相垂直.即1⊥l台kk2=一1. 是因为直线的斜率未必存在 17 更滩食手细高中数学选择性必修第一册心 知识点3两条直线的交点坐标 L.点、线两几何元素的位置关系与代数表示的一一对应 儿何元素及关系 代数表示 点A A(a.b) 1:Ar+By+C=0 直线( (其中A,B不全为0) 点A在直线I上 Aa+Bb+C=0 直线与 Ar+By+C=0, x=a, 方程组 的解是 的交点是A A2r+B2y+C2=0 y=b 2.两条直线的交点 国敲黑板 已知两条不重合的直线L1:A1x+By+C=0(其中A1,B (1)求两条直线的交点坐 不全为0)，2：A2x十B2y十C2=0(其中A2,B2不全为0)，如果两 标，只需将两条直线的方程联 条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两 立，解方程组即可，这体现了 个方程的唯一公共解：如果这两个二元一次方程组成的方程组只 用代数方法研究几何问题的 有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和2的交点.因此求 思想 两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解. (2)l与2相交的条件是 3.两条直线的位置关系与相应直线方程组成的二元一次方 A品-AB≠0或是≠ 程组的解的联系 是A,B均不为0以 两条直线，2的公共点个数 一个 无数个 0 (Ax+By+C=0, 方程组 的解 一组 无数组 无解 Ax+B2y十C2=0 直线l1,12的位置关系 相交 重合 平行 4.用直线方程判断两条直线的位置关系 A1x+By十C1=0, 设两条直线的方程组成的方程组为 A2.x+B2y+C2=0. (1)若有AB=AB,且AC2≠AC或BC2≠BC,则无解， 此时两条直线无交点，所以两条直线与2平行.反之也成立 (2)若有AB2≠A2B,则有唯一解，此时两条直线有一个交 点，所以两条直线与2相交.反之也成立. (3)若有AB2=A2B,且AC2=A2C,且B,C2=BC,则有 无数组解，此时两条直线有无数个交点，所以两条直线1与2重 合.反之也成立 18 第一章 直线与圆么 知识点4两点间的距离公式 刀划重点 平面上任意两点P(M),P2(x2边)间的距离公式为PP2 (1)两，点间的距离公式与 两点的先后顺序无关，即公 =√(x一)+(2一).特别地，原点O(0,0)与任一点P(.x, 式可以改写为|PP:|= y)的距离OP|=√x2+y. √(x一)+(y-). 知识点5点到直线的距离 (2)两点间的距离公式 的特殊形式：①当PP⊥x 1.点到直线的距离 轴时，P1P2=|一； 点P。到直线（的距离是指点P。到直线I的垂线段P,Q的 ②当PP⊥y轴时，|PP= x1. 长度，Q为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外 国敲黑板 该点的连线的最短距离. (1),点到直线的距离公 2.点到直线的距离公式 式：①分母是直线一般式方程 平面上任一点P(xo%)到直线：Ax十By十C=0(其中A, 下x,y的系数平方和的算术 平方根，即、A+B(A2+ B不全为0)的距离为d=A十B十CL B≠0)：②分子是直线一般 √A+B 式方程下等号左边代入，点的 3.几种特殊情况的点到直线的距离 坐标后的绝对值，即|Ax。十 B%+C1. (1)点P(xo,%)到x轴的距离d=|%. (2)特别地，当点P。在直 (2)点P(x0%)到y轴的距离d=. 线上时P。到该直线的距离 (3)点P(xo,%)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离 为0：当点P。为原点时，d C d=lyo-bl. A+B (4).点P(x0,%)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离 (3),点到直线的距离公式 对于A=0或B=0的情况仍 d=xo-al. 然适用。 知识点6两条平行直线间的距离 国敲黑板切 1.两条平行直线间的距离 (1)两条平行直线间的距 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线 离的求法有两种：一是转化为 其中一条直线上任意一点到 段的长。 另一条直线的距离，且两条平 2.两条平行直线间的距离公式 行直线间的距离与其中一条 直线上点的选取位置无关，这 对于两条平行直线1：Ax十By十C:=0,2:Ax十By+C2=0 样就可以不必记忆两条平行 (其中A,B不全为0，且C1≠C2).在直线l上任取一点P(x0, 直线间的距离公式了：二是直 ),则P到，的距离d=A+B十C,即为山与e之间的 接使用公式d=C-CL VAB A2+B (2)如果两条平行直线的 距离.P(x,)在直线上，∴.Axo十B%十C=0,即Ax6十 方程用斜截式方程表示为： B%=一C..两条平行直线：Ax+By十C1=0,2:Ax十 y=kx十b1,l:y=kx十，那 么这两条平行直线间的距离 By+C=0之间的距离为d=C-C d=Ibb A2+B √1+ 19 更难食手细高中教学 选择性必修第一册？SD 重难拓展 重难点1点的对称 国记方法岁 L.点关于点对称 解决点关于点对称 若点P(o,)关于点Q(a,b)的对称点为P(x',y),则 问题的方法 [x'=2a-zo, 一般用中点坐标公式解 y'=2b-0. 决，点关于点对称的问题.设点 2.点关于直线对称 P(xn,)关于点M(a,b)的 若点P(x,)关于直线Ax十By十C=0(B≠0)的对称点为 对称点为P(x,y),则有 P'(x',y). 工=a… 2 [x=2a-xo 则直线PP'与直线Ax十By十C=0的斜率互为负倒数， 所以 十y=h, y=2b-%, 线段PP的中点（告，Y告”一定在直线A+B+C 2 即点P的坐标为(2a一x0, 0上 2b一).特别地，点P关于坐 标原，点O的对称点为 即 P'(-xo,一6). A.t十m+B.十义+C=0. 2 2 例I求点A(1,3)关于直线1：x十2y一3=0的对称点A'的 坐标 解析设，点A'的坐标为(x,y) 由题意知，直线l与直线AA'垂直，并且平分线段AA', 1支+2×3-3=0， 则 解得 ×(2)=-1, 故所求点A的坐标为（一哥，-） 重难点2线的对称 敲黑板 例2试求直线4：x十y一1=0关于直线l2:3x-y一3=0对 L.直线关于，点对称的问题 称的直线1的方程。 (1)转化为点关于点对称 的问题 解析]方法一（取两点对称】 (2)由中心对称的性质 x+y-1=0, x=1, 知，所求对称直线与已知直线 解方程组 可得 平行，利用，点到两条直线的距 3.x-y-3=0, y=0, 离相等求解 所以直线41与l2的交点为A(1,0). 2.直线关于直线对称的 问题 在直线41上取点P(0,1),设点P关于直线l2对称的点为 转化为点关于直线对称 Q(x',y'). 的问题 20 第-章直线与圆么出型 3）-1-3=0 2 x'=2 由 解得 v-t. 由于点A,Q在直线l上，由两点式可求得直线l的方程是 x-7y-1=0. 方法二（动点转移法）在直线4上任取一点P(x',y)(PE l2),设，点P关于直线l2对称的点为Q(x,y), 3.x-y-3=0. x'=二4x十3y+9 22 5 则 解得 y=-1 T-I 3 y'-3x+4y-3 又点P在直线11上运动，所以x'十y一1=0 所以二4红+3y十9+3x+4y-3-1=0. 分 即x-7y-1=0. 所以直线l的方程是x一7y一1=0. 重难点3点到直线的距离公式的应用 巴提个醒 例B已知直线1：3.x十2y-3=0. (1)求点到直线的距离 (1)求点A(一1,2)到直线1的距离： 时，应先将直线方程化为一 (2)若直线l与l1:6x+my+1=0互相平行，求直线l与1 般式 之间的距离。 (2)求两条平行线之间的 解断(1)点A(-1,2)到直线1的距离d=一3+4-3= 距离时，应先将方程化为一般 √3+22 式且x与y的系数对应相等 2v13 13 (2)由两条直线平行得一-品解得m=4 所以两条直线可化为6x十4y一6=0,6x十4y十1=0. 所以直线1与1之间的距离d=1一（一6)1-73 √62+4 26 重难点4直线系方程 几种常见的直线系方程： (1)与直线Ax十By十C=0平行的直线系方程为Ax十By十 A=0(入≠C,且A为参数). (2)与直线Ax+By十C=0垂直的直线系方程为Bx一Ay十 入=0（入为参数）. 21 更难食手细高中数学选择性必修第一册S工 (3)过直线l41:A1x十By十C1=0和l2:A2x+B2y十C2=0的 交点的直线系的方程为m(Ax十By十C1)十n(Ax十B2y十 C2)=0(m,n是参数，且m2十n≠0)，也可改写为A1x十By+ C十入(A2x十B2y十C2)=0(入为参数)，需注意，此时的直线系不 包括直线l. (4)过定点M(x0,)的直线系方程为y一y%=k(x一x0)及 x=x0. 例4已知直线1经过直线2.x一y-3=0和4x一3y一5=0的 交点P,且垂直于直线x十y一2=0，则直线l的方程为 2x一y-3=0,x=2, 解析方法一由 得 4x-3y-5=0,y=1, 即点P的坐标为(2,1). 因为直线l与直线x十y一2=0垂直， 所以直线I的斜率为1， 由点斜式得直线1的方程为y-1=1·(x一2)，即x一y一1=0. 方法二直线1的方程可设为2x-y-3十λ(4x-3y一5)=0 (其中入为常数)，即(2+4)x-(1+3)y-5λ一3=0. 因为直线l与直线x十y一2=0垂直， 所以士8(-1)=-1，解得1=-1 1+3 故直线l的方程为x-y一1=0. 答案x-y-1=0. ☐-02一关建能力提升-。 意型方法 (3)在两条直线斜率都存在且相等的情况 题型1两条直线平行、垂直关系的判 下，应注意两条直线是否重合， 例5已知点P(-2,m),Q(m,4),M(m十 定与应用 2,3),N(1,1),若直线PQ∥直线MN,求m的值. 1.两条直线平行关系的判定与应用 解析当m=一2时，直线PQ的斜率不存 判断两条直线平行的注意事项： 在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平 (1)判断两条直线平行，首先应看两条直 行，不合题意， 线的斜率是否存在，即先看直线上两点的横坐 当m=一1时，直线MN的斜率不存在，而 标是否相等. 直线PQ的斜率存在，MV与PQ不平行，不合 (2)判断斜率是否相等，实际是看倾斜角 题意. 是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行 的条件：同位角相等，则两条直线平行。 当m-2且m-1时如m气2 22 第一章 直线与圆收型 h受kwn2n异 只需写出这两条直线的方程，然后联立方程 求解， 因为直线PQ∥直线MN,所以ko=kN, 例☑判断下列各组直线的位置关系，如 即段m子解得加=0或m=1 果相交，求出交点的坐标. (1)l1:5.x+4y-2=0,l2:2.x+y+2=0: 经检验，当m=0或m=1时，直线MN, (2)l1:x+y+2=0,l2:2.x+2y+3=0. PQ不重合. 5.x+4y-2=0, 综上，m的值为0或1. 解析(1)解方程组 2x+y+2=0, 2.两条直线垂直关系的判定与应用 10 判断两条直线是否垂直的依据：当这两条 3 直线都有斜率时，只需看它们的斜率之积是否 得 等于一1即可.但应注意，当有一条直线与x轴 垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，两条 所以（与2相交，且交点坐标为 直线也垂直. (9》 例6(2024·四川绵阳中学测试)已知直 (2)联立直线1与2的方程得方程组 线l经过点A(3,a),B(a一2,3)，直线l2经过 x+y+2=0,① 点C(2,3),D(1,a-2),如果l⊥l2,求a的值. 2x+2y+3=0,② 解析设直线1，l2的斜率分别为k1,k2. 由①×2一②，得1=0，则方程组无解， 因为直线l2经过点C(2,3),D(1,a一2)， 所以41与l2无公共，点，即4∥2 且2≠1. 2.三条直线相交于同一点的问题 所以直线l2的斜率存在。 已知三条直线相交于同一点，求直线方程 当a一2=3，即a=5时，k2=0,k1不存在， 中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利 此时山与l2垂直； 用该点也在第三条直线上即可求解. 当Q≠5时，k2≠0，此时k1存在， 例8若三条直线4：4x十y-4=0,l2: 由k1k2=一1， 2.x十y=0,l:2.x一3my一16=0不能围成三角 得2320323-1 形，则实数m的取值集合为 1-2 解析当三条直线交于一点时不能围成三 解得a=2. 综上可知，a的值为5或2. 4x十y-4=0, 角形，由 可得直线和l2的交 2x+y=0, 题型2两条直线的交点及其应用 点A的坐标为(2，一4)，由，点A在直线l3上可 1.两条直线相交的判定和求交点问题 得2×2一3m×(一4)一16=0，解得m=1. (1)两条直线相交的判定方法 当直线1,2,3中有两条平行时不能围成 联立直线方程解方程组，若有一解，则两 三角形，易知直线l1与2相交. 方法1 条直线相交 当4/%时，呈-一0≠二8 一4 方法2 两条直线的斜率都存在，且斜率不相等 方法3 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在 即m=一6 (2)用代数方法求两条直线交点的坐标， 当么h时，号=严，即m= 23 更滩食手细高中数学选择性必修第一册 rsD 显然此时直线1,2与l3均不可能重合。 题型3两点间的距离公式及其应用 综上，当m的值为1，一看或一号时，这三 L.求两点间的距离 对于任意两点A,B间的距离公式AB引 条直线不能围成三角形， 所以实教m的取值集合是1.一合。引 √(x2一x1)2十(y2一y)2,习惯上是用第二个 点的坐标减去第一个点相应的坐标.当两点确 蜜窦1，-名-》 定的直线垂直于x轴或y轴时，A,B间的距离 可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对 3.三角形的“四心”求解问题 值求出 求三角形的“四心”坐标的方法：先确定求 例10已知△ABC的三个顶点分别是 什么“心”，然后根据“心”的特征求相应的 “线”，最后求“线”的交点，即“心”的坐标 A(-1.0).B1,0).C(2,号》，试判断△AC 例9(2024·武汉二中测试)数学家欧拉 的形状 1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中 解析因为AB=11一（一1）=2， 提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条 直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC C=(2-1)+(-0)=1, 的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为 x一y十2=0，则顶点C的坐标是(). 1Ac=[2-(-]+-o=5, A.(-4,0) B.(0,-4) 所以|AC2+BC=|AB2. C.(4,0) D.(4,0)或(-4,0) 故△ABC是直角三角形. 解析设C(m,n),由重心坐标公式得 2.两点间的距离公式的逆向应用 已知所求点的相关信息及该点到某点的 △ABC的重心为（时，"店），代入欧拉线方 距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利 程，得m2_"寸4+2=0， 用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的 3 3 方程或方程组求解 整理，得m一1十4=0. ① 例11在已知直线2x一y=0上存在一点 AB的中点为1,2)，km=着9-2， P,使它到点M(5,8)的距离为5，求直线PM 0-2 的方程. ∴.AB的垂直平分线的方程为y一2 解析，点P在直线2x一y=0上， 2x-1.即x-2y+3=0 ∴.可设点P的坐标为(a,2a). 由-2y+3=0 解得一1， ∴.w(2a-8)2+(a-5)2=5. x-y+2=0, y=1. 即5d2-42a十64=0，解得a=2或号 .△ABC的外心为（一1,1）. 则(m十1)2十(1一1)2=32+12=10， P2,减P得) 整理，得m2十n2十2m一2n=8.② 联立①②，得m=一4，n=0或m=0,n=4. “直线PM的方程为8-或 当m=0,n=4时，点B,C重合，舍去 y-8=x-5 ∴，顶点C的坐标是（一4,0） [答案A 即4x-3y十4=0或24x-7y-64=0. 24 第一章 直线与圆收型 题型4点到直线、平行线间的距离公 12k-3+k+2=-4k-5+k+2 ,化简得 式的应用 vk2+1 √R+1 1.点到直线的距离公式的应用 13k-1川=3k+3引，解得k=一弓，故直线1的 (1)如果已知点P。的坐标为(x0,),求 方程为x十3y-5=0. P。到已知直线l:Ax十By十C=0的距离，可直 综上可知，直线1的方程为x十3y一5=0 接应用公式d=Ax十By十C 或x+1=0. √A+B 3.两条平行直线间的距离公式的应用 (2)若已知点到直线的距离，求其他未知 例14已知m,n,a,b∈R,且满足3m十 数，则可逆用公式列出方程，从而解决问题。 4n=6,3a十4b=1,则/(m-a)2+(n-b)产的最 例12点A(1,1)到直线xcos0+ysin0 小值为 2=0的距离的最大值是 解析设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3.x十 解析依题意得，点(1,1)到直线的距离 d=cos otsin 0-2 4y=6,直线l2:3.x+4y=1, cos0+sin20 则|AB引=√/(m-a)2+(n-b) =cos 0+sin 0-2 由题意知，点A(m,n)在直线1：3.x十4y= 6上，点B(a,b)在直线l2:3.x十4y=1上，显然 =v2sim(0+）-2, 4∥2， ∴当sin(0叶)=-1时， 所以AB引的最小值就是两条平行线之间 的距离 dx=|-2-2|=2十2. 即|ABmm= 1-6+1L=1 答案2十√2. w/9+16 2.利用点到直线的距离公式求直线方程 答案1. 由已知条件求直线的方程，往往用待定系 题型5直线的交点坐标与距离公式的 数法.一般情况下，若直线过定点，可设直线的 综合问题 点斜式方程，但要注意在直线的点斜式方程中 1.直线恒过定点问题 不包含直线斜率不存在的情况，所以应验证斜 例15已知m∈R,求证：直线l:(m一1)x 率不存在的直线是否满足已知条件，注意不要 +(2m一1)y=m一5恒过一定点，并求出此定 漏解.设好直线方程后，根据题目条件及点到直 点坐标 线的距离公式，列关系式求解未知量即可.此类 解析]方法一（特殊值法）当m=1时，直 问题可能有两个解，也可能有一个解或无解. 线1的方程为y=一4： 例13(2024·临川一中测试)已知点 P(2,3),P2(-4,5)与点A(-1,2),求过点A 当m=之时，直线1的方程为x=9, 且与点P1,P2距离相等的直线l的方程. 所以两条直线的交点为A(9,一4). 解析当直线！的斜率不存在时，直线！的 而点A(9,一4)恒满足方程(m一1)x十 方程为x=一1，符合题意. (2m-1)y=m-5, 当直线【的斜率存在时，设直线（的方程 所以不论m为何实数，直线l:(m一1)x十 为y-2=k(x+1),即kx-y十k十2=0. (2m一1)y=m-5恒过一定点(9，一4). 因为点P1,P2到直线！的距离相等，所以 方法二（直线系法）将方程(m一1)x十 25 更滩点手细高中数学选择性必修第一册？S心 (2m-1)y=m-5整理得m(x十2y一1) (1)代数法：把距离表示为某个变量的函 (x+y-5)=0, 数，转化为函数的最值问题， (2)几何法：由几何图形指出哪种状态下有 解方程组 +1=0得=9. x+y-5=0,ly=-4. 最大值和最小值，进而求出最大值和最小值， 将点(9，-4)代入方程，可得(m-1)x十 例17(2024·北京四中检测)著名数学 (2m-1)y=m-5恒成立， 家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家 所以不论为何实数，直线l恒过一定点 万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为 (9,-4). 几何问题加以解决，如￥(x一a)+(y一b)2可 2.坐标法的应用问题 以转化为平面上点M(x,y)与点V(4,b)的距 (1)坐标法又称为解析法，就是通过建立 离.根据上述观点，可得f(x)=√x2十4x十20 直角坐标系，用坐标代替点，用方程代替曲线， +x2+2.x+10的最小值为( 用代数的方法研究平面图形几何性质的方法. A.32 B.4√2 (2)用坐标法解题时，虽然平面图形的几 何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的 C.52 D.72 直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此 解析f(x)=√2+4x十20+/2十2x+10 在建立直角坐标系时应避繁就简。 =√(x+2)+(0-4)严+√(x十1)+(0一3)2， 例I6在△ABC中，D是BC边上的任意 它表示，点P(x,0)到点A(-2,4)和B(一1， 一点(D与B,C不重合)，且|AB2=|AD2+ 3)的距离之和，如图所示. BD DC.求证：△ABC为等腰三角形 A 证明作AO⊥BC,垂足为 3 2 O,以BC所在的直线为x轴， OA所在的直线为y轴，建立 -4-3-2101234 如图所示的平面直角坐标系. B OD C -2 设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0) -3 C -4 因为AB2=|AD2+|BDDC,则由 因为点C(一2，一4)是点A(一2,4)关于 两点间距离公式得仔+h2=d十h十(d-b)· x轴的对称点，所以最小值为BC|= (c-d), /(-2+1)2+(-4-3)2=√/50=5√2. 整理得-(d-b)(b+d)=(d-b)(c一d). 答案C 因为点D与点B,C不重合， 易错警示 所以d一b≠0. 所以一b-d=c-d,即一b=c ◆易错题4（错误率27%）已知直线1 所以OB=|OC,于是IAB=|AC, 过点A(1,2),且原点到直线1的距离为1，求 即△ABC为等腰三角形. 直线I的方程， 3.最值问题 ◆易错题5（错误率25%）(2024·大同 根据题目条件求距离的最大值及最小值 一中单元检测)求两平行线：3x十4y+2= 是解析几何的一个重要问题，解决此类问题主 0,l2:6x十8y-4=0之间的距离. 要有两种方法： 参考答案见《全书易错题集》第1页 26