第1章 1.3 直线的方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区】忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90, 是[一号，号]，事实上，在直线1的允许活动范周内， 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3号 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90°） 品 时，直线1的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=m己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当时，=一<0，所以直线的颜斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程， 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“≠ 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-号=一L m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2.1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线（的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (. 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-号] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4oU(o,号) 形，此时直线的斜率不存在 c(-,-号)U[1,+∞ 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号，+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 1012 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线1垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx-y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一号，则直线1的斜率长的取值范围是 所以一生2=1，解得大=是 2+I (-,-g]u[g+） 所以直线1的方程为y一2=是一1少， 即3x-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l1:3x十4y十2=0和4：6x十8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解l:6.x十8y一4=0可化为3x十4y一2=0，根据两 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 所以AO=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-（-401-6 3十4平 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中r,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4AC中，C|=￥AC-AOP=√5-=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x一3)2+ 误区6。对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m2十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0，且片<0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由22十一1=2一m十2.得r十2一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得COC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故n=-3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解：圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1，t2=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y一6k-8=0 .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得一2一6-8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得u=2士2√/10， 解得发=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2-2√/10)2十(y-4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-子）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3.x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的 答案x=6和3z十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 《错溪奉25%)若方限千十兰与=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且k≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径r=3,若两圆相切，则1CA=4十3=7或1CA= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)F+ (4一1)2=1（无解），a=2士2√10，此时所求圆的 易错题1Ⅱ（错送率30%）已知幅圆的标准方程为云十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(x-2+ y =1(m>0),并且焦距为6，则实数的值为 m 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a一 正解"，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）2=12（无解），∴，a=2±2/6，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知2= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求圆园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知= m2,=25,a2=+2,得m2=25+9=34. 或(x-2+2/10)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(a,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（错误率3)若精圆千。+苦 C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D,双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求k的值 正解依题意得|FF=10,当a=3时，2a=6<FF,, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF-PF:|=2a>0, ,,点P的轨迹为双曲线的右支和一一条射线。 ,一，听以e一2一2一—1 ak+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a°=9，：= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= ==1k=1 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一子 易错题15（错误来30%0）若方程2加十m1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12一m>0, (2-m<0. 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+二-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx十1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆号+片-1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上<1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为园 3,焦距为2、26，求双曲线的标准方程. m 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十02). 解得 2=a2+6=26, 6=8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件 y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 g=2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足PF|-PF|=2a,当a为3和5时，点P :=18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为兰一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1政 8181. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一≠0，则△=(2k一2k)”一4(4一2)（一k2+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而稀掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0：解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的距 情况： 离与它到直线：3x十y一4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点。 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 -10+(0y-1=3x+y-4 ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2p.x(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线/，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=a2化为标准形式得r2=】 u w. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 8 所以p=2. 答案 8· 故所求的抛物线方程为yY=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x十t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 3y2=4xr, 由 得y2+2y-21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线0A与直线（的E高等于停可得片-停，所 5 4 斜率k的取值， =士1.由于-1e[-之+小.1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代人双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k).x2一(2k-2k).x一十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对： 若4一=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 S 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 .CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A.B.C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值. 一条直线上 正解 由题意知a/B,则兰-中2=音可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, +y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 当/， 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB,BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长。 ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=年，OA⊥底面 ABCD,OA=2.M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. ,二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,BD》=180°-120°=60 CD=C市=(Ci+AB+Bd)=C+A店+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A0.0,0).B1,0.0).M0,01,D(-号号.0 B-2 答案 a++c./+e 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD,B,C)= 而-（号停-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cos(A店，M市= AB.MD 1 2 BC所成角的余弦值为 62-2 ABIMD a++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量BD和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和B,C所成的角， 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD,和B1C BPCD的余弦值 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系Ax,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a),D0,2a,0),BC=(0,2a,0) 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Ci-(-a,0.0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-b,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBD B.CI -2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2·+正 1=(1,为，)，n=(22+边） m·BC=0,m·CD=0. 则有 和 m·驴=0·P币=0， 2ay=0. -ax2=0, 即〈 和 对上式进行以下讨论： 【-a,x1十az1=0 (2ay-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>O,这时(BD,BC)是锐 令=1.可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当>b时，os(BD,BC)<0,这时〈BD,BC)是 所以m一造 5 钝角，则BD,BC)的补角x一(BD,B,C)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为钝角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD,BC BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,BC)即异面直线BD,和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n:)= 风调=严后，误认为所要求的余 nn2 8-c2 、a2++e·√+ 弦值即为，其原因是混消了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式 有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错璞率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲，乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有A5AA= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯、2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法：若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A,A三点中任取两个点，在B,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工.现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法。 法计数原理，有CCg十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在4上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CCC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30十80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)”展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2n-l,T=Cx-3(-√2)= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -22Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子，能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得n=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)1展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx(-2)'(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2.解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x的项为T=C肾x2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 架题意得到哈-子·将二项展开式的某项的系数与三 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5+3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1+x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,AA三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)≥C(2), 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C洁1(2)+1， 9 解得101-512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤≤1(i=1,2). 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项。 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PO=PAB)=高×号-高 第；台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(A AA) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP3-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-B)-号-号 +3P P:Ps. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(BA)的含 P(=2)=P(AAA)+P(AA:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PP: 抽到白球.而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP十PP-3PPP, P(=3)=P(AAA）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P)= 号 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-古成-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -PPP 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:P, 9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)×1+P(=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a=子 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9d-a十3-a=1,解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论 10更难包手细高中数学选择性必修第-册S 1.3直线的方程 重点和难点 课标要求 重点：直线的点斜式、斜截式、两点式、 1.掌握直线的点斜式和斜截式方程。 截距式及一般式。 2.理解直线的两点式和截距式方程. 难点：直线方程几种形式的应用。 3.掌握直线的一般式方程 门01必备知识梳理一。 基础梳理 目敲黑板 知识点1直线的点斜式方程 (1)如果直线1过点 1.直线的点斜式方程的推导 P,(xo)且平行于x轴（或 与工轴重合)，此时它的倾斜 如图，直线l经过点P。(x,%),且斜率为k,设点P(x,y)是 角为0°，tan0°=0，即k=0,由 直线1上不同于点P。的任意一点.因为直线1的斜率为k,由斜 点斜式得直线（的方程为y= 率公式得k=二业，即y一必=k(x一).① 如，如图1. x-To P4x为 由以上推导过程可知，经过点P(x,%)且 斜率为k的直线上的每一点的坐标都是方程 P ①的解：反过来，以方程①的解为坐标的每一点 图1 图2 都在经过点P。(x,%)且斜率为k的直线I上 (2)如果直线1过点 P。(xo,%)且与x轴垂直，此 所以方程①就是经过点P(x,y%)且斜率为k的直线l的方程. 时它的倾斜角为90°，斜率不 2.直线的点斜式方程的定义 存在，它的方程不能用，点斜式 方程y一=k(x一x)由直线上一定点P(x0,%)及其斜率 表示，这时直线方程表示为 x=x0,如图2. k确定，我们把这种方程叫作直线的点斜式方程，简称点斜式 知识点2直线的斜截式方程 冒敲黑板 1.直线的斜截式方程的推导 (1)直线方程的斜戴式其 已知直线1在y轴上的截距为b,斜率为k,求直线l的方程. 实是点斜式方程在x0=0时 这个问题相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k,求直线 的特殊情况。 的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得y一b (2)斜截式方程应用的前 k(x-0),即y=kx+b. 提是直线的斜率存在。 2.直线的斜截式方程的定义 (3)斜截式方程与一次西 我们把直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线1在 数的解析式相同，都是y= y轴上的截距，也称为纵截距. kx十b的形式，但有区别：当 方程y=kx十b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定， k≠0时，y=k.x十b为一次画 8 第一章 直线与圆么超 所以方程y=kx十b叫作直线的斜截式方程，简称斜截式 数：当=0时，y=b不是一次 3.对截距的理解 函数.故一次函数y=x十 纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取 b(k≠0)一定可以看成一条直 一切实数，即可为正数、0或负数.当直线（与y轴正半轴相交时，截 线的斜截式方程，但针截式方 距0：当直线1与y轴负半轴相交时，截距b<0:当直线1经 程不一定是一次函数」 过原点时，截距b=0.但并非所有的直线都与y轴有交点，当直线 1与y轴平行时，！在y轴上没有截距.由于有些直线没有斜率，即 有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表 示.当直线与y轴平行时，直线不能用斜截式表示，这时其方程可以 表示为x=(为直线与x轴交点的横坐标). 知识点3直线的两点式方程 卫划重点 1.直线的两点式方程的推导 如果已知两点P1（x1,y),P2(x2,2)(其中x1≠2，y≠ (1)y-y=二出(x Te-tI 2),如何求过这两个点的直线方程？ 西)（≠2）与y二业= yyi 当x≠x时，所求直线的斜率k=边二当 T2-TI I西(x1≠x2≠)，显 xg工1 任取P,P2中的一点，例如取P(x1,y),由点斜式方程得 然后者表示的直线的范国比 y-为=二出·(x-a). 前者缩小了，但后者便于记忆 T:TI 和应用，所以采用后者作为 当西≠且y≠2时，可写为y二业=二 ② y2一yx2一0 公式 2.直线的两点式方程的定义 (2)当直线没有斜率(x1= ②式就是经过两点P(x,y),P2(2,y2)(其中x1≠2， x2)或斜率为0(y1=2)时，不 y≠)的直线方程，我们把它叫作直线的两点式方程，简称 能用两点式方程。 若x=x,y≠y,则直 两点式。 线方程为x一=0（或x 知识点4直线的截距式方程 x2=0): 1.直线的截距式方程的推导 若=2，≠，则直 如图，已知直线l经过两点A(a,0),B(0, y B0,b分 线方程为y一y=0(或y一 b),其中b≠0，由直线的两点式方程得)。 4(a.0) 2=0). b-0 (3)对于两，点式中的两 68即后+8=1 0-a1 点，只要是直线上两个不同的 2.直线的截距式方程的定义 点即可，两点式方程与这两个 (1)我们把直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫作直线在 点的顺序无关 x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是6.方程+芳=1由 直线（在两个坐标轴上的截距α与b确定，所以叫作直线的截距 式方程 9 更滩点手细高中数学选择性必修第一册？S心 (2)由截距式方程的推导过程可知，截距式是两点式的特殊 情况. (3)截距式的特征是x项对应的分母是横截距，y项对应的 分母是纵截距，中间以“+”连接.如写一芳=1就不是直线的截距 式方程 (4)截距并非距离，即a∈R,b∈R,截距相等的情况包括截距 都为0的情况。 3.下列三种情况不能用截距式表示直线： (1)k不存在. (2)k=0. (3)直线过原点， 故用截距式求直线方程时，横截距和纵截距都必须存在且都 不为0，当截距不确定时，要考虑截距为0的情况. 知识点5直线的一般式方程 卫划重点 1.直线的一般式方程的定义 (1)在一般式方程Ax十 By十C=0(其中A,B不全为 我们把关于x,y的二元一次方程Ax十By十C=0(其中A,B 0)中，若B=0,剥x=一分它 不全为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式 表示一条与y轴平行或重合 2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 的直线：若A=0,则y=一合 一般式 斜截式 截距式 它表示一条与x轴平行或重 合的直线. (2)直线的一般式方程 A.x+By+C=0 y=合 、C Ax+By十C=0(其中A,B不 (其中A,B不全为0) A (其中B≠0) 全为0)，表面上看有A,B,C (其中A,B,C≠0) 三个系数，实际上求直线方程 3.两个重要结论 时，只需两个独立的条件即 可，这是因为A,B不全为0 结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x,y 当A≠0时，方程可化为x十 的二元一次方程Ax十By十C=0(其中A,B不全为0)来表示. +=0，只常璃定片和号 B 结论2：任何关于x,y的二元一次方程Ax十By十C=0(其中 的值：当B≠0时，方程可化为 A,B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线. Br+y+ A 0,只需确定合 B 重难拓展 和号的值这也就与由两点确 重难点1直线方程的点法式与点向式 定一条直线是一致的了， 1,直线方程的点法式 (3)直线方程的其他形式 都可以化成一般形式，因此解 与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的 题时，如果没有特殊说明，应 法向量，如图.直线的法向量通常用n表示，直线的法 把最后的结果化成一般式 向量和方向向量都反映了直线的方向. 10 第-章直线与圆收 若直线l经过点P(xa,%),且它的一个法向量为n=(A,B), 设直线l上任意一点M的坐标为(x,y),则PM=(x一，y %.由n·PM=0,可得A(x-)+B(y-为)=0，这个方程称 为直线方程的点法式。 2.直线方程的点向式 目敲黑板 已知直线l经过点P(xo,%),且它的一个方向向量是v=(a, (1)应用直线方程的点向 b).设点Q(x,y)是直线l上异于点P的任一点，则PQ=(x一x, 式的前提条件是ab≠0，即直 线不与坐标轴垂直.若将方程 y一)也是直线l的一个方向向量，所以PQ∥”，于是存在唯一的 化为b(x-Zm)=a(y一)， 实数1使得P0=m,即(x一3y一为)=ta,,所以T一=1a, 则可表示任意直线 y一%=h. (2)若直线1的一般式方 当ab≠0时，有2二飞=y二业，显然点P的坐标也满足此式. 程为Ax+By十C=0(A,B不 全为0)，则直线1的斜率k= 我们称方程一=亏(ab≠0)为直线方程的点向武。 b 合B0. 直线（的一个 例①已知直线！经过点P(2,一1)，求满足下列条件的直线( 不存在，B=0, 的方程： 法向量n=(A,B),直线L的 (1)直线1的一个法向量n=(一3，一4)： 一个方向向量=(B,一A). (2)直线1的一个方向向量v=(一2,3)： (3)直线1的一个方向向量v=(一1,0). 解析](1)由直线方程的点法式得直线（的方程为一3(x一2） -4(y+1)=0,即3.x+4y-2=0. (2②)由直线方程的点向式得直线1的方程为号=宁，即 3.x+2y-4=0. (3)由直线方程的点向式得直线l的方程为0·(x一2)= -1·(y+1),即y=-1. 重难点2直线方程七种形式的应用 刀刘重点7 名称 方程 适用范围 直线方程的一般式与 点斜式 y一%=k(x-x) 不含直线x=r 其他形式的互化 斜截式 y=kx十b 不含垂直于x轴的直线 直线方程的任一形式都 y二4=x二 不含直线x=x1(x1≠x2)和 可化为一般式，而直线方程的 两点式 yh一y1x2x 直线y=”(y卡) 一般式在一定条件下才能化 为其他方程的形式 截距式 吾+岩 不含垂直于坐标轴和过原点 的直线 设直线方程的一般式为 Ax十By十C=0 Ax十By十C=0(A,B不全为 般式 任意直线 (其中A,B不全为0) 0),则： 11 更难食手细高中教学 选择性必修第一册？SD 续表 (1)当B≠0时，直线方程 名称 方程 适用范围 的斜栽式为y=一 A(x-o)+B(y-)=0 点法式 任意直线 点斜式为y—()=一合· (A.B不全为0) (x一O)(由于可选择直线上的 x一0=y二为 任一点，因此点斜式的形式不 点向式 b 不含与坐标轴垂直的直线 唯一）. (ab≠0) (2)当AB≠0时，选取直 例2求过点(4，一3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等 线上两个不同的点即可化为两 的直线的方程. 点式（由于两个点可任意选择， 解析方法一设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b. 故两点式的形式不唯一 (3)当ABC≠0时，直线方 ①当a≠0.6-0时，设1的方程为后+片=L1 程的截距式为工 C=L 因为点。-在直线1上.所以+。 A 一B 特别地，当A=0,B≠0 若a=b,则a=b=1,此时直线l的方程为x十y=1. 时，直线方程为y=一，表示 C 若a=一b,则a=7,b=一7，此时直线l的方程为x一y=7. 与y轴垂直的直线：当B=0, ②当a=b=0时，直线l过原点，且过点(4，一3)， A≠0时，直线方程为x= 所以直线l的方程为3x十4y=0. 综上可知，所求直线l的方程为x一y一7=0或x十y一1=0 一尽，表示与x轴套直的直线 或3.x+4y=0. 方法二设直线1的方程为y十3=k(x一4). 卫提个醒 令x=0,得y=-4k-3:令y=0,得r=4h十3 一般来说，直线在坐标轴 上的藏距的绝对值相等，有以 又直线【在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 下三种情况： 所以一认一3引=生，解得=1或=一1或=一 (1)戴距相等，针率为一1. 4 (2)截距互为相反数，斜 所以所求直线1的方程为x一y一7=0或x十y一1=0或3.x十 率为1. 4y=0. (3)直线过原点 口02关建能力提升。 题型方法 135°，所以直线l的斜率k'=tan135°=一1.又 题型1直线的点斜式方程及其应用 点P(3,4)在直线1上，所以直线【的点斜式方 例B已知直线y=x+1绕着其上一点 程为y-4=一(x-3). P(3,4)逆时针旋转90°后得直线1，则直线l的 答秦]y一4=一(x一3)， 点斜式方程为 例④(2024·西北工大附中单元检测)已知 解析因为直线y=x十1的斜率k=1,所 直线1的斜率为3且它在y轴上的截距为一3. 以倾斜角为45°.由题意知，直线1的倾斜角为 (1)求直线1的方程： 12 第-章直线与圆么出 (2)求直线1与两坐标轴所围成的三角形 的面积 所以+=1.@ 12 解析(1)3.x-y一3=0. a=4, 或 (2)在y=3x-3中，令y=0,得直线l在 联立①②，解得 1b=3 .9 x轴上的截距为1，则直线I与坐标轴所围成的 b2 所以直线l的方程为3.x+4y一12=0或 三角移的面积S=号×1川X-3引=是 15.x+8y-36=0. 题型2直线的两点式方程及其应用 (②)设直线1的方程为后+若=1a>0, a 1.利用直线的两点式方程求直线方程 b>0), 例同(2024·德阳重，点高中月考)已知三 角形的三个顶点A(一5,0)，B(3,一3)，C(0,2), 由题意知2ab=6,即ab=12.③ 则BC边上的中线所在直线的方程为(). 或 A.5.x+3y-6=0 B.3.x-5y+15=0 联立@8.解得公4支血=2。 b=31lb=6. C.x+13y+5=0 D.3.x+8y+15=0 所以直线1的方程为3.x+4y一12=0或 解析.B(3,一3)，C(0,2), 3.x+y-6=0. “线段BC的中点坐标为（受一》】 题型3直线的一般式方程及其应用 例7(2024·东北育才中学测试)设直线1 又，BC边上的中线所在直线过点A(一5,0)， 的方程为(a十1)x+y十2-a=0(a∈R). '.BC边上的中线所在直线的方程为 (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的 y-0=-(-5),即x+13y+5=0 方程： -(-5 (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值 答案C 范围 2.利用直线的截距式方程求直线方程 解析(1)当直线l过原点时，a=2,该直 线在x轴和y轴上的截距为O,符合题意，所以 例6直线1过点P(号2小，且与x轴的正 方程为3.x十y=0: 半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为 当直线不过原点时，由截距存在且均不 坐标原点 为0，得a一2 (1)当△AOB的周长为12时，求直线/的 a+1a-2,即a十1=1，解得a=0,所 方程： 以方程为x十y十2=0. (2)当△AOB的面积为6时，求直线1的 综上，l的方程为3x十y=0或x十y十2=0. 方程 (2)将直线l的方程化为y=一(a十1)x十 a一2，要想直线l不经过第二象限，需满足 解糊(1)设直线1的方程为+=1a>0, -(a十1)>0，.-(a十1)=0， 或 b>0),由题意知，a十b+√a2+b=12.① a-2≤0 a-2≤0， 解得a<-1或a=一1， 因为直线1过点P(告2 因此a的取值范围是（一∞，一1]. 13 更难食手册高中数学选择性必修第一册】 SD 题型4直线方程的综合问题 0,解得x=一1，y=2. 1.灵活选用直线方程的不同形式求方程 所以点A的坐标是（一1,2）. 例8(2024·杭州二中检测)瑞士著名数 答案（一1,2）. 学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外 3.直线与坐标轴围成的图形的面积或周 心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被 长问题 后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角 例10过点P(2,1)作直线l,与x轴和 坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(0, y轴的正半轴分别交于A,B两点，求△AOB 0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为 面积的最小值及此时直线（的方程 (结果写成直线的一般式方程). 解析由题意知，△ABC是直角三角形， 解折设所求直线1的方程为后十名-一】 则其垂心为直角顶点A(0,0),其外心为斜边 a>0.b>0,则2+方=1 BC的中点M(4,3),故其重心在直线AM上， 故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程， 因为+≥2品所以b>4.当且仅 为y=3 ,即3.x-4y=0, 当2=1=1 a=方=2，即a=4,b=2时，△4OB的面积 [答案3.x-4y=0. S= 2b有最小值，最小值为4.此时，直线1的 2.含参数的直线过定点的问题 例9如果对任何实数k,直线(3十k)x十 方程是十=1，即x+2y-4=0, (1一2k)y+1十5k=0都过一个定点A,那么点 A的坐标是 易错警示 解析将k当作未知数，则方程可写成 ◆易错题3（错误率29%）求过点M(m,0) (x-2y十5)k十3x十y十1=0.因为对于任意 和点N(2,1)的直线方程. k值，等式成立，所以x一2y十5=0,3x十y十1= 参考答案见《全书易错题集》第1页 03核心泰养聚焦一。 考向分类 设h(x)=4x一9，易知h(x)=4.x一9在 考向1直线方程的应用 [2,4]上单调递增，故当x=4时，h(x)mm=4X 例1I(经典·北京卷)已知点A(2,5), 4-9=7. B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上，则2x一y 答案C 的最大值为( 命题意图：考查直线方程及方程与函数的 A.-1 B.3 C.7 D.8 命题规律思想 系们依题意得如=》}一2，所以线 真题探源：结合教材P9相关知识转化 选填题、 难度 高考 常考题型 0.7 段AB的方程为y-1=-2(x-4),x∈[2,4]， ★★★ 解答题 系数 热度 即y=-2x+9,x∈[2,4]，故2.x-y=2x 素养 核心素养 逻棘推理、数学运算 水平二 (-2x+9)=4x-9,x∈[2,4]. 水平 14 第一章 直线与圆收9 真题演练 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 1.(经典·安徽卷改编，考向1)已知直线 C.2.x+y-2=0 D.x+2y-1=0 3x+4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为 3.(经典·广东卷改编，考向1)与直线 2,则6=( ). 2x十y十1=0的斜率相等且在y轴上的截距 的绝对值为5的直线的方程是( ）. A.6 B.6或-6 C.-6 D.2或12 A.2.x-y+√/5=0或2x-y-5=0 2.(经典·安微卷改编，考向1)过点(1,0) B.2x十y+5=0或2.x十y-5=0 且与直线x一2y一2=0的斜率相等的直线方 C.2.x-y+5=0或2.x-y-5=0 程是(). D.2.x+y+5=0或2.x+y-5=0 04学业质量测评。 A 基础过关练 测试时间：20分钟 D.方程(x2一x)(y一1)=（2一M)(x一 1.[题型1门直线y=x一1的斜率和在y轴上的 x)表示过任意不同的两点P(x1,y1), 截距分别是( P,(x2,y2)的直线方程 A.-1,1 B.1,1 5.[题型3]已知直线a.x十by十c=0的图象如 C.-1,-1 D.1,-1 图，下列说法正确的是( 2.[题型1门斜率为4且经过点(2，一3)的直线 A.若c>0,则a>0,b>0 方程是( B.若c>0,则a<0,b>0 A.y+3=4(x-2) B.y-3=4(x-2) C.若c<0,则a>0,b<0 C.y-3=4(x+2) D.y+3=4(x+2) D.若c<0,则a>0,b>0 3.[题型3](2024·武汉中学单元检测)直线1 6.[题型1、2、3、4]根据下列条件分别写出直线 的方程为Ax十By十C=0,若l过原点和第 的方程，并化为一般式方程。 二、四象限，则( ). (1)斜率为3，且经过点A(5,3): A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 (2)过点B(一3,0)，且垂直于x轴： C.C=0.AB<0 D.C=0,AB>0 (3)斜率为4，在y轴上的截距为一2： 4.[题型1、2](2024·青岛二中单元检测)下列 (4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴： 说法正确的是( (5)经过C(-1,5),D(2,一1)两点： A方程)二出=k表示过点P,(,)且斜 (6)在x轴、y轴上的截距分别是-3，一1. x-tI 率为k的直线 B.直线y=kx十b与y轴的交点为B(0,b), 其中截距b=OB C.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线 方程为后十芳-1 15 更滩食手细高中数学选择性必修第一册 rSD B综合提能练 测试时间：30分钟 P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是 7.[题型3](2024·武汉三中月考)直线41： (). a.x-y十b=0,l2:b.x+y-a=0(ab≠0)的位 A.2.x+y+1=0 B.2x-y+1=0 置只可能是( C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0 13.[题型4]（多选题）在平面直角坐标系中，如 果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点， 则下列命题正确的是( 0 A.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又 8.[题型4](2024·雅安中学单元检测)若直线 不经过任何整点 过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的 B.如果k与b都是无理数，那么直线y= 面积为2，则这样的直线有( ). k.x十b不经过任何整点 A.1条 B.2条 C.如果k与b都是有理数，那么直线y= C.3条 D.4条 kx十b必经过无穷多个整点 9.[题型4门若m,n满足m十21一1=0，则直线 D.存在恰经过一个整点的直线 m.x十3y十n=0过定点( ) 14.[题型4]为了绿化城市，拟在矩形区域 A(2,) B(合-) ABCD内修建一个矩形草坪（如图），另外 △EFA内部有一文物保护区不能占用.经 c(信-》 D.(-g 测量，|AB=100m,BC=80m,AE= 10.[题型1](2024·贵阳一中检测)已知点 30m,|AF1=20m,应如何设计才能使草 A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)一1 坪的面积最大？ 与线段AB相交，则k的取值范围是( A[2+) B(-,] c(-,2u[告，+o) D2,割 11.[题型3、4](2024·辽宁实验中学检测)设 A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为3， 且PA=|PB引，若直线PA的方程为x y十1=0，则直线PB的方程是( C 培优突破练 测试时间：10分钟 A.x+y+5=0 B.2.x-y-1=0 15.[题型1、4](2024·清华附中竞赛培训)已 C.x-2y+4=0 D.x+y-7=0 知点A(一1,0)，B(1,0),C(0,1),直线y= 12.[题型2、4]已知直线a1x+by十1=0和直 a.x十b(a>0)将△ABC分割为面积相等的 线a2x十b2y十1=0都过点A(2,1),则过点 两部分，则b的取值范围是 16则A',Q.B三点共线，∴kQ=km=(一2 3-1 所以rz logz.=3.xlog 所以(zx-3).xlog=0. k=-ko=一 1 又因为x1>0,所以logz1=0或x一3=0， 12.1,提示：直线1一定能经过一个横、纵坐标为整数 解得x=1或=5（负值舍去）. 的点(a,b).假设直线1还经过另一个整点(r,y),则 经检验，当x1一1时，A,B两点重合，不合题意，舍去， 名-厄.即y一b2-a.因为x≠a,r-a,y 所以点A的坐标为(5，log3). 1.3直线的方程 b为整数，所以该式不可能成立.所以最多只能过一个 真题演练 整点 1.B 2.A 3.D 1以B提示：号-学表示过函数y一h的图象 学业质量测评 上的点(x,y)与点D(1,0)的直线的斜率.如图，令 1.D2.A3.D a=kA,b=k,c=kx,由图可知kx<kw<knA, 4.D提示：方程二-k表示过点P1(G,M)且斜率 x-t 即c<<a 为k的直线，但不包括点P(x),故A错.对于B, 截距可正，可负，可为0，故B错.因截距式方程后十 5 言=-1中要求ad-0,故C错， 14.(1)设A,B两点的坐标分别为(，og),(, 5.D提示：由ax+y十c=0得斜常=一号，直线在 logx),由题意得C,D两点的坐标分别为(， logr),(2,log2）. r轴、y轴上的截距分别为一。，一分 因为O.A,B三点共线， 由题图知<0，即一号<0，ab>0. 所以k1=k,即log题=log -4>0.-6>0,ac<0.c<0. log loge.r logr log 所以l0g8 10g8 .所以3 3 若c<0,则a>0,b>0:若c>0,则a<0,b<0. 6.(1)由点斜式方程得y一3=√3(x-5), 所以bg24=1bg,即x=kD. 即3x-y十3-53=0. 又因为直线OC与直线OD有公共点O, (2)x=-3,即x十3=0. 所以点C,D和原点O在同一直线上. (3)由斜截式方程得y=4x一2，即4x一y一2=0. (2)因为直线BC的方向向量为(1,0)， (4)y=3,即y-3=0. 所以kc-og二log24=0. y一T ⑤由两点式方程得已-二》，即2x+y 所以logx,=log1.所以lo%爱=lgn, 3=0. 1og28 所以1og=3og..所以z=xi. (6)由截距式方程得号3十片-1，即x十3y+3=0 由(1)知10g=log」 7.B提示：令y=0,则直线4,2与x轴的交点的横坐 所以，xlog2r=ri log:.r. 标分别为1=一合西=号符号一正一负，观浆题图 2 可知，只有选项B符合要求。 平行，又不经过任何整点，A是真命题： 8C提示：设直线1的截距式方程为后+若=1 对于B,如直线y=2x十2过整点（一1,0）， ∴B是假命题： ,直线1经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形 的面积为2， 对于C,如直线y=十号不过任何整点， 日+6- ∴.C是假命题： 对于D,如直线y=2x十2过唯一的整点（一1,0）， 号1od=2 D是真命题 a=2,.a=-2+2v2,.(a=-2-22. 14.建立如图所示的平面直角坐 解得 或 或 D =2b=-2-22 6=-2+2√2. 标系，则E(30,0),F(0,20), 故直线1的条数为3. 易得直线EF的方程为y= ----Q ((A日 9.B提示：因为m十21一1=0，所以m=1一2，代人直 3x+20. 线方程mr十3+1=0，得y叶合-2气一吉)， 在线段EF上取一点P(m,n),作PQ⊥BC,垂足为Q, 故直线m+3y十n=0过定点（号，-专）》 作PR⊥CD,垂足为R 设矩形PQCR的面积为S, 10.D提示：直线：y=k(x+2)-1恒过点P(-2, 则S=|PQ1|PR1=(100-m)(80-n. 又n=20-号m0<m<0 结合图形（图略）可得：的取值范围是[是，专] ·S=(100-m(80-20+号m 3m 11.D提示：设P(3,m),因为点P在直线PA上，所以 3一m十1=0，解得m=4,即点P的坐标为(3,4). =-号(m-5》+1800(0≤≤30>. 3 由题意知PA与x轴的交点为A,所以点A的坐标为 当m=5时，S取得最大值，此时册-0。=5 5 (一1,0)，又PA=PB卧，点B在x轴上，所以点A,B ∴.当矩形草坪的两边在BC,CD上，一个顶点P在线 关于直线x=3对称，所以点B的坐标为(7.0)，km= 段EF上，且EP=5PF时，草坪的面积最大 9二专一1.所以直线PB的方程为y一0=一一). 1s(1-9) 提示：由题意画出图形，如图1. 即x+y-7=0. 由图1可知，直线BC的方程为x十y=1. 12.A提示：把点(2,1)代人直线方程a1x十by十1=0 x十y=1, 和a.x+y+1=0.得2a1+6+1=0,2十+1=0， y=ax+b 解得M)。 .2(a1-a2)=b-b. ,过点P(a1,b),P2(ae,b)的直线方程是(a一a1)· 可求得N0).D(-名.0） (y-h)=(b-b)(x-a1), ,直线y=a.x十b将△ABC分割为面积相等的两部 .y-b=-2(x-a1),即2x+y-(2a十》=0. 2a1十4+1=0,2a:十h=-L ∴.所求直线方程为2x十y+1=0. 又Sae=SamSa=Sm, 1B.AD提示：对于A,如直线y=x十2既不与坐标轴 即2×-女|×6=21-)×()： 整理得华-1-) BD上时取等号. a+1 连接AC,BD,交于一点M,则点M即为所求 》-1.-++1 a :ke=9月=2，六直线AC的方程为y一2=2 1).即2x-y=0.① A DO B :m=5二，=-1，直线BD的方程为y 1-7 5=-(x-1),即x十y-6=0.② 图1 图2 2.xy=0, r=2, 即b= 1 可以看出，当a增大时，也增大. 联立①②，得 解得 N+。+ x+y-6=0, y=4. ∴点M的坐标为(2,4). 当a一十o时，6，即K 学业质量测评 当a→0时，直线y=ar+接近于y=b. 1.B2.B3.A4.B 当6时.如图2-6器-0-含 5.(CD提示：直线4的方程可化为(x一y十2)m十(2.x一 12 =2 x-y+2=0, x=-3, 1-661- 2 。b>1- y十5)=0，令 解得 2x-y+5=0, y=-1, 综上可知1-号<K安 因此直线过定点（一3，一1），A不正确： 当m=1时，直线2：3x一2y十7=0，而直线4：4x一3y 1.4两条直线的平行与垂直 4=0.显然3×4十(-2)×(-3)≠0，即直线4，不垂 1.5两条直线的交点坐标 直，B不正确： 1,6平面直角坐标系中的距离公式 当m=2时，直线：4x一3y十9=0，而直线4：4z一3y+ 真题演练 4=0,显然4∥，C正确： 1.D 2.B提示：联立直线方程，易得点A的坐标为(1,2)，点 当6/%时，有”时=一≠2，解得m=2, -3 B的坐标为(2,1)，如图，当两条平行直线间的距离最 则直线：4x-3y+9=0,因此直线41，之间的距离 小时，两平行直线分别过点A,B,又两平行直线的斜率 d=- 9-4 =1,D正确. /4+(-3) 为1，直线AB的斜率为一1，所以线段AB的长度就是 6.(-4,-10. 过A,B两点的平行直线间的距离，易得|AB1=√2，即 7.A提示：设点A的坐标为(x,y,由已知得AH⊥BC, 两条平行直线间的距离的最小值是2. BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在 -2y+3-0 kHk=一1， x)- 所以 即 kwk=一1， (-吉×==-1 2x-y-3=0+y-3=0 x=-19 解得 即顶点A的坐标为（一19，一62）. 3.(2,4).提示：取平面上任一点M,因为|MA十 y=-62. IMC1≥AC|,当且仅当点M在线段AC上时取等号： 8.B提示：易知直线x十my=0过定点A(0,0),直线 同理.MB+|MD1≥|BD,当且仅当点M在线段 m.x一y一m十3=0过定点B(1,3),且两条直线相互垂