第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第29章 投影与视图（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下面四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（    ） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个 4．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　） ​ A．​B． C．​D．​ 5．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．有一个棱长为5的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图中的阴影部分），则这个立体图形的内、外表面的总面积是 (    ) A．192 B．216 C．218 D．225 7．如图所示，杆AO，BO′在地面上的投影分别是A′O，B′O′，则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D．以上三种都有可能 8．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10 9．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 10．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．阳光下广告牌的影子属于 投影（填“中心”或“平行”）． 12．在桌面上放置以下几何体：①圆柱；②正方体；③球．其中，主视图与左视图可能不同的是 （填序号）． 13．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 ． 14．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 （取）． 15．如图为一个用正方体积木搭成的几何体的三视图，俯视图中方格上的数字表示该位置上积木累积的个数．若保证正视图和左视图成立，则的最大值为 ． 16．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有 个． 三、解答题：共5题，共56分，其中第17~19题每小题10分，第20题每小题12分，第21题14分。 17．（10分）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 18．（10分）如图是用 9 个棱长为 2 的完全相同的小正方体搭成的几何体． (1)请在方格中画出它的从三个方向看的图形； (2)请计算它的表面积． 19．（10分）综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 20．（12分）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 21．（14分）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29章 投影与视图（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下面四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断主视图即可． 【详解】解：A、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误； B、立方体的主视图是正方形，故此选项错误； C、四棱锥的主视图是三角形，故此选项正确； D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线． 2．图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看看到的图形是一个长方形，靠近左右两侧分别有一条竖线，靠近中间左右两侧分别有两条竖线，即看到的图形如下： 故选：C． 3．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（    ） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个 【答案】B 【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可． 【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个． 故选：B． 【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 4．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　） ​ A．​B． C．​D．​ 【答案】B 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】选项A、C、D折叠后都符合题意； 只有选项B折叠后两个画一条线段与另一个画一条线段的三角形不交于一个顶点，与正方体三个画一条线段的三角形交于一个顶点不符． 故选B. 【点睛】此题考查的知识点是几何体的展开图，关键是解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置． 5．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大， ∴用图象刻画出来应为C． 故选：C． 【点睛】考点：1．函数的图象；2．中心投影；3．数形结合． 6．有一个棱长为5的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图中的阴影部分），则这个立体图形的内、外表面的总面积是 (    ) A．192 B．216 C．218 D．225 【答案】B 【分析】根据三视图得出立体图形的表面积即可． 【详解】根据图示可得：八个棱长为2的正方体分别在8个顶角， 12个棱长为1的正方体分别在12条棱的中间， 所以总面积＝（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12−4×12＝216． 故选B 【点睛】此题考查由三视图判断几何体，关键是根据三视图得出几何体的面积． 7．如图所示，杆AO，BO′在地面上的投影分别是A′O，B′O′，则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D．以上三种都有可能 【答案】B 【详解】试题分析：由图可知：， 所以． 故选B． 点睛：本题主要考查中心投影，等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短；离点光源远的物体的影子长．所以物体距离光源越远，影子和物体大小的比值越大． 8．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　） A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10 【答案】A 【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成． 故选：A． 点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可. 9．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，勾股定理，矩形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，则易知四边形是矩形，故，然后根据勾股定理，角所对直角边是斜边的一半即可求解，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 10．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．阳光下广告牌的影子属于 投影（填“中心”或“平行”）． 【答案】平行 【分析】根据平行投影中心投影的定义判断即可． 【详解】解：阳光下广告牌的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查平行投影，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握平行投影，中心投影的定义，属于中考常考题型． 12．在桌面上放置以下几何体：①圆柱；②正方体；③球．其中，主视图与左视图可能不同的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】根据几何体的三视图的画法分别确定主视图与左视图，右侧得到答案． 【详解】解：①底面为圆的圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，与主视图大小一致；侧面为圆的圆柱的主视图与左视图是长方形或圆形，两者不同，故符合题意； ②正方体的主视图是正方形，左视图是正方形，任何摆放方式都与主视图大小一致，故不符合题意； ③球的主视图是圆形，左视图是圆形，任何摆放方式都与主视图大小一致，故不符合题意； 故答案为：①． 【点睛】此题考查了几何体的三视图，正确掌握各种几何体的三视图的确定方法是解题的关键． 13．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 ． 【答案】 【分析】先根据三视图确定几何体的形状，再根据图中所给出的数据求出底面积，再根据体积公式计算即可． 【详解】由三视图得：该几何体是六棱柱，底面边长为4cm的正六边形可分割为六个边长为4cm的等边三角形，而每个等边三角形的面积为×4×（4×sin60°）=8×=4（cm2）， 则该包装盒的体积为6×4×10=240（cm3）． 故答案为240． 【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体，用到的知识点是正六边形的性质和面积的计算公式，关键是求出六棱柱的底面积． 14．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 （取）． 【答案】 【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解． 15．如图为一个用正方体积木搭成的几何体的三视图，俯视图中方格上的数字表示该位置上积木累积的个数．若保证正视图和左视图成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由三视图想象几何体的形状；应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状，依此即可求解； 【详解】解：由正视图第列和左视图第列可知最大为，由正视图第列和左视图第列可知最大为，由正视图第列和左视图第列和第列可知最大为，最大为； 所以的最大值为： 故答案为： 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握三视图以及对空间的想象能力． 16．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有 个． 【答案】91 【详解】解：n=1时，共有小立方体的个数为1，看不见的小立方体的个数为0个，看得见的小立方体的个数为1﹣0=1； n=2时，共有小立方体的个数为2×2×2=8，看不见的小立方体的个数为（2﹣1）×（2﹣1）×（2﹣1）=1个，看得见的小立方体的个数为8﹣1=7； n=3时，共有小立方体的个数为3×3×3=27，看不见的小立方体的个数为（3﹣1）×（3﹣1）×（3﹣1）=8个，看得见的小立方体的个数为27﹣8=19； … n=6时，共有小立方体的个数为6×6×6=216，看不见的小立方体的个数为（6﹣1）×（6﹣1）×（6﹣1）=125个，看得见的小立方体的个数为216﹣125=91． 故答案为91． 点睛：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 三、解答题：共5题，共56分，其中第17~19题每小题10分，第20题每小题12分，第21题14分。 17．（10分）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 【答案】 【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图， ∵底面直径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即这条线路的最短路径为． 【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 18．（10分）如图是用 9 个棱长为 2 的完全相同的小正方体搭成的几何体． (1)请在方格中画出它的从三个方向看的图形； (2)请计算它的表面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查画三视图以及表面积，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画图即可； （2）利用几何体的形状进而求出其表面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：几何体的表面积． 19．（10分）综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 【答案】(1)见解析 (2)路灯P离地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质： （1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置； （2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点P、线段即为所求， 延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． （2）解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 20．（12分）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 【答案】(1)，3， (2) (3)时，， ， 【分析】（1）本题根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长； （2）本题根据液体正好是一个以是底面的直棱柱，利用直棱柱体积等于底面积乘高，即可求得液体的体积； （3）本题根据以棱为轴将容器向左或向右旋转，分情况分析，利用液体体积不变，建立y与x的联系，即可解题． 【详解】（1）解：液体的形状为直三棱柱， ， 由题知，,, 根据勾股定理得．； 在中， ， ． 故答案为：，3，． （2）解：（）． （3）解：当容器向左旋转时，， 液体体积不变， ， ． 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点重合时，如图5， ，且， ， ， ． ． 此时； 当容器向右旋转时，， 液体体积不变， ， ； 综上所述，图3中y与x的函数关系式为，相应的的范围是， 图4中y与x的函数关系式为，相应的的范围是． 【点睛】本题考查了几何变换、三视图、直棱柱体积、勾股定理、以及求函数解析式，解题的关键在于掌握直棱柱体积求法，利用液体体积不变，建立y与x的联系，从而得到函数关系式． 21．（14分）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$