精品解析：上海市市北中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年市北中学高三年级上数学期中考试试卷 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1. 已知集合，集合，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，代入集合B，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合，又因为，所以， 则， 故答案为：. 2. 不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由，得或，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 若函数的图像经过点与，则m的值为____________． 【答案】81 【解析】 【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案. 【详解】由题意函数的图像经过点与， 则，则 故， 故答案为：81 4. 已知 ______(用表示) 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】， . 故答案为： 5. 若，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得，再结合诱导公式即可得到答案. 【详解】，，， . 故答案为：. 6. 已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立， 故答案为：2 7. 已知不等式对所有实数均成立，当等号成立时，的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值方程，通过讨论绝对值里面的代数式的正负去掉绝对值符号，再解方程. 【详解】， ①当时，化简为，舍去； ②当时，化简为，则，舍去； ②当时，化简为成立， ∴综上所述： 故答案为： 8. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 9. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 10. 已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 11. 设， 若时， 均有成立，则实数a的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】令，则， ①当，即时，在时恒有， 要想成立，则恒成立，与是一个开口向上的二次函数矛盾，故舍去； ②当，即时， 则要想成立，则与有相同零点， 即也是方程的一个根， ∴设方程另一个根为，得，消元得，解得， ∵，∴， 故答案为： 12. 已知实数、、、满足，，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故答案为：1. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13. 设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义求出，即可得出向量的复数在复平面上所对应的点所在象限. 【详解】复平面上表示和的点分别为点A和点B， 则，所以， 所以向量的复数在复平面上所对应的点位于第一象限. 故选：A. 14. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 15. 已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用极小值的意义推理判断A. 【详解】对于A，函数的图象如图， 显然函数满足题设条件，而1是的极小值点，A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于，因此1一定不是极小值点，B正确； 对于C，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，1是的极小值点，C错误； 对于D，函数图象如图， 函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，1是的极小值点，D错误. 故选：B 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【小问1详解】 由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 18. 已知数列满足： 且，. （1）证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的值 ． 【答案】（1）证明：因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，证明出数列是首项为4，公比为2的等比数列，求出，从而； （2）分组求和，结合等比数列求和公式得到，利用得到方程，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 又，故， 即，所以， 解得. 19. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上处，飞行的轨迹是一段抛物线（抛物线与抛物线在同一平面内），为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点，另一端点，点，单位：米． （1）求助跑道所在的抛物线方程； （2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？ （注：飞行距离指点与点的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值． 【答案】（1），x∈[0,3] （2）2 m到3 m之间 【解析】 【分析】（1）设助跑道所在的抛物线方程为，由题意，助跑道一端点，另一端点，点，得出方程组，由此能求出结果； （2）设飞行轨迹所在抛物线方程为，，由题意知，由此入手能求出有最大值，利用不等关系即可得出运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围． 【详解】解：（1）设助跑道所在的抛物线方程为， 由题意知 解得，，， 助跑道所在的抛物线方程为,x∈[0,3]． （2）设飞行轨迹所在抛物线方程为， 由题意知，得，解得 ， 令，得， ，， 当时，有最大值， 则运动员飞行距离，飞行过程中距离平台最大高度， 依题意，得． 飞行过程中距离平台最大高度的取值范围在2米到3米之间． 20. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】（1） ①是，对任意，，符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. （2） （3） 充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然，设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； 【小问3详解】 略 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 21. 已知，. （1）求函数的单调区间； （2）①容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：； ②数列满足，，证明：. 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2） ①证明：构造函数，则， 当时，函数单调递减，则， 所以在恒成立， 所以在单调递减，所以，所以在恒成立， 又由（1）可知，当时，， 所以当时，的图象始终夹在直线和直线之间， 且的图象不会和直线和直线相交， 又因为直线和直线的夹角为，因此恒成立，命题得证. ②证明：，恒成立， 且，所以当时，， 又由（1）可知数在单调递减，在单调递增， 因为，所以，，，， 又因为，所以，所以， 又因为在单调递减，所以， 即即， 所以，则，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数单调区间， （2）①构造函数，利用导数可得所以在恒成立，再由结合（1）可得当时，的图象始终夹在直线和直线之间，从而可证得结论； ②利用导数可求得当时，，由（1）知在单调递减，在单调递增，然后根据两函数的单调性可证得结论. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 令，解得，令，解得， 所以函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）①的解题关键是正确构造函数，然后利用导数可求得在恒成立，从而可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年市北中学高三年级上数学期中考试试卷 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1. 已知集合，集合，若，则_________. 2. 不等式的解集为_________. 3. 若函数的图像经过点与，则m的值为____________． 4. 已知 ______(用表示) 5. 若，，则_________. 6. 已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为____________． 7. 已知不等式对所有实数均成立，当等号成立时，的取值范围是_________ 8. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 9. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 10. 已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为__________. 11. 设， 若时， 均有成立，则实数a的值为___________ 12. 已知实数、、、满足，，，则______. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13. 设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 15. 已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 18. 已知数列满足： 且，. （1）证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的值 ． 19. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上处，飞行的轨迹是一段抛物线（抛物线与抛物线在同一平面内），为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点，另一端点，点，单位：米． （1）求助跑道所在的抛物线方程； （2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？ （注：飞行距离指点与点的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值． 20. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 21. 已知，. （1）求函数的单调区间； （2）①容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：； ②数列满足，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $