专题5 函数的单调性、奇偶性题型归纳讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题5 函数的单调性、奇偶性题型归纳 1、 函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说 函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说 函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 注：如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． （1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在某个区间上单调与函数的单调区间是的含义不一样，注意区分． 1. 单调性定义的等价形式 (1)函数f(x)在区间[a,b]上是增函数:⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f(x1)−f(x2)<0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，或； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0； (2)函数f(x)在区间[a,b]上是减函数:⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f(x1)−f(x2)>0； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，或； ⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0； 2. 复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 3. 定义法证明函数的单调性的步骤 取值 作差 用 变形 合并同类项、通分（分式）、分解因式（整式）、分子分母有理化（根式）、配方等 定号 判断的符号 结论 同号为増，异号为减 二、函数的最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有；②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是 图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有；②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是 图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 三、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2） 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （4）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数； 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 根据奇偶性求分段函数解析式问题： 1.若分段函数在R上为偶函数，当时，，则当时，函数的解析式是？ 我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是偶函数，所以函数的图像关于y轴对称， 所以我们将x添负号，可得时的函数解析式为； 2.若分段函数在R上为奇函数，当时，，则当时，函数的解析式是？ 我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是奇函数，所以函数的图像关于原点对称， 所以我们将x和y都添负号，可得时的函数解析式为； 四、函数图象的简单变换 1. 函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个x加或者减，注意当x前系数不为1,需将系数提取到外面. 2. 函数图象的对称变换(关于谁对称谁不变，另外一个取相反数) ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3. 函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以x轴为界，保留x轴上方的图象；将x轴下方的图象翻折到x轴上方） ②的图象的图象. （口诀；去掉y轴左侧的图象，保留y轴右侧的图象；将y轴右侧图象翻折到y轴左侧；本质是个偶函数） 1 学科网（北京）股份有限公司 题型1 判断(证明)函数的单调性与奇偶性 1．已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．(多选)下列说法中正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是(　　) ． ． 4．(多选)是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有(　) 5．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 6. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）判断并证明的奇偶性； （3）若，求时函数的值域. 7．已知函数对，都有，当时，，且. （1）证明函数在R上的奇偶性； （2）证明函数在R上的单调性？ 8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有 且当x > 1时，. (1)求证：是偶函数； (2)求证：在上是增函数；(3)试比较的大小. 题型2 求(复合)函数的单调区间 9．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 11．函数的单调增区间是________. 12．写出函数的单调递增区间 ． 13．函数的单调递减区间是 . 题型3 函数图象的变换问题 14．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   15．函数的图象大致是（ ） A.B.C.D. 16．函数的图象大致为（ ） A. B.C.D. 17． 已知函数 (1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；(2)写出函数的递减区间． 18． 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数. (1)画出函数的图象；(2)求函数的最值？ 题型4 利用函数单调性求最值、求参问题 19．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．函数在上单调减，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23. 函数，若对任意，都有成立， 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．(1)若函数在上是单调函数，则的取值范围是 . (2)若函数的单调递减区间是，则的取值范围是 . 25．函数的最小值为 ． 26．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为. (1)求的解析式； (2)设函数在上的最大值为，求的表达式. 27．已知函数，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 28．已知二次函数，恒有. (1)求的解析式；(2)设，函数在区间上的最大值为3，求实数m的值? 29．若函数在，上的最大值为，求实数？ 30．函数的定义域为． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在定义域上是减函数，求a的取值范围； (3)求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x的值． 题型5 利用函数奇偶性求最值、解析式和求参问题 31．已知函数为定义在上的奇函数，且时，，则（    ） A．1 B．0 C．-2 D．2 32．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 33．如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　) 减函数且最大值为 增函数且最大值为6 减函数且最小值为 增函数且最小值为6 34．已知函数，，则 . 35．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 36．若函数为奇函数，则等于 . 37．定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 38．已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 39．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 40．已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 题型6 利用单调性(构造)、奇偶性比较大小和解不等式 41．函数是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则以下关系正确的是（    ） A． B． C． D． 42．函数是定义在上的偶函数，又，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 43．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ） A． B． C． D． 44．函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,,则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 45．为上的减函数，设函数，不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46． 定义在上的奇函数在上单调递减,，则的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 47．已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 48．已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 49．定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 50．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，实数a的取值范围是 ． 51．已知函数，则满足不等式的x的取值范围是 ． 52．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 53．定义在上的函数满足，则关于的不等式 的解集为 ． 54．定义在上的函数满足，且，则不等式的 解集为_________． 55．定义在上的函数满足，且，则不等式的 解集为_________． 56．设函数是定义在R上的奇函数： (1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围？ (2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式 ？ 57．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）解不等式. 58．已知函数是定义在区间上的奇函数，且． (1)求函数的解析式. (2)用定义法判断函数在区间上的单调性并证明； (3)解不等式． 59．定义在上的函数对任意实数，，都有成立， 且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若，解不等式. 60．定义在上的函数是单调函数，满足，且． (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围． 专题5 函数的单调性、奇偶性题型归纳参考答案 题型1 判断(证明)函数的单调性与奇偶性 1．已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 答案：D 解析：， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减，所以在和上单调递减.故选：D 2．(多选)下列说法中正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 答案：ABD 解析：对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数.所以选项中C的说法不正确，故选：ABD. 3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是(　　) ． ． 答案：C 解析：对于，其在定义域上为增函数，不符合题意，舍去； 对于，其在定义域上为偶函数，不符合题意，舍去； 对于，其是奇函数，又在上单调递减，符合题意； 对于，，，其在上不为减函数，不符合题意，故选：． 4．(多选)是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有(　) 答案：ACD. 解析：因为是上的奇函数且单调递增，故当时，， ①为偶函数，且当时，单调递增，符合题意； ②，故不满足偶函数； ③，且时单调递增，符合题意； ④，满足偶函数，且时，单调递增， 也单调递增，根据复合函数的单调性，符合题意．故选：ACD． 5．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 答案：(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 解析：（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，，所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即，所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 7. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）判断并证明的奇偶性； （3）若，求时函数的值域. 答案：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数，证明过程见解析；（2）非奇非偶函数 （3） 解析：（1）当时，函数在区间上是单调减函数；当时，函数在区间上是单调增函数.当时，证明如下：任取， 则.因为， 所以，得，故函数在上是单调减函数； 同理可证：当时，函数在上是单调增函数. （2）函数的定义域为U不关于原点对称，是非奇非偶函数。 （3）由.由（1）得在上是减函数， 从而函数在上也是减函数，其最小值为，最大值为. 由此可得，函数在上的值域为. 7．已知函数对，都有，当时，，且. （1）证明函数在R上的奇偶性； （2）证明函数在R上的单调性？ 答案：(1)函数为奇函数，证明见解析；(2)函数为R上的减函数，证明见解析； 解析：(1)因为函数的定义域为R， 令，所以，即， 令，所以，即，所以函数为奇函数． (2) 设，所以， 而，所以，，即，故函数为R上的减函数． 8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有 且当x > 1时，. (1)求证：是偶函数； (2)求证：在上是增函数；(3)试比较的大小. 答案：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）. 解析：（1）证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵令x1＝x2＝1，得 ∴，又∴， 又，即有 ∴是偶函数。 （2）证明：设0 < x1 < x2 则，又 ∴而当x > 1时，> 0知：即有 ，∴在(0，＋∞)上是增函数 （3） 由（1）知是偶函数，则有由(2)知在(0，＋∞)上是增函数， 则有 ∴. 题型2 求(复合)函数的单调区间 9．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 答案：A. 解析：由题意，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 二次函数的对称轴为，所以在上的单调递增区间为， 根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.故选：A. 10．已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 答案：C 解析：因为函数的对称轴为直线，由可得或， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和.故选：C. 11．函数的单调增区间是________. 答案： 解析：由题意可知,解得,即函数定义域为, 易知函数由，复合而成,且在单调减, 在单调递增,在上单调递减;利用复合函数单调性可得的单调增区间是. 故答案为:. 12．写出函数的单调递增区间 ． 答案: 和 解析：由题意得，函数，作出函数的图象如图所示： 由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为和 13．函数的单调递减区间是 . 答案: 和 解析：由题意可知：的定义域为，可得，作出的图象， 由图象可知函数的单调递减区间是和. 题型3 函数图象的变换问题 14．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   答案：D. 解析：的定义域为R，且， 故为偶函数，排除AC；又，B错误，D正确.故选：D. 15．函数的图象大致是（ ） A.B.C.D. 答案：B 解析：函数的定义域为，A不满足； 因，当且仅当时取“=”，则C不满足； 函数是定义域上的偶函数，当时，，而函数在上单调递增， 当时，取一切实数，于是得当时，取尽正实数，D不满足，符合题意的是B. 16．函数的图象大致为（ ） A. B.C.D. 答案：A 解析：函数的定义域为，且， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除BC， 当时，，在上递增，排除D，故选：A 19． 已知函数 (1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；(2)写出函数的递减区间． 答案：(1)，函数图像见解析； (2). 解析：（1），函数图像如下图所示： （2）由（1）中函数的图像可知：函数的递减区间为：. 20． 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数. (1)画出函数的图象；(2)求函数的最值？ 答案：(1)见解析；(2)最小值是1，无最大值。 解析：(10由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 绘制函数图象如图所示， (2)观察可得函数有最小值0，没有最大值. 题型4 利用函数单调性求最值、求参问题 19．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 答案:D 解析：在，单调递减， ，或，解得，或，故选：． 20．函数在上单调减，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：函数在上单调减，因为函数定义域为， 所以是的子集，，即， 在单调递减，即，所以， 综上所述：. 故选：A 21．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析;， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得，综上，实数的取值范围是. 故选：C 24. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：因为函数是上的增函数，则， 解得.故选：B 23．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 答案：D 解析：在上是增函数,则需满足， 解得， 故选：D 25. 函数，若对任意，都有成立， 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为对任意，都有成立，可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 24．(1)若函数在上是单调函数，则的取值范围是 . (2)若函数的单调递减区间是，则的取值范围是 . 答案：(1);(2)b=－2。 解析：（1）因为函数开口向上，对称轴为，所以函数在 上单调递减，，解得，所以的取值范围是. （2）函数的单调递减区间是，对称轴＝1，b=－2。 25．函数的最小值为 ． 答案： 解析：令，则，可知在内单调递增， 则在内的最小值为，所以函数的最小值为.故答案为：. 26．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为. (1)求的解析式； (2)设函数在上的最大值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 解析：（1）因为不等式的解集是，所以的两根为1和5，且函数开口向下，故可设，所以函数的对称轴为，所以当时，，解得，故，即 （2）解：因为， 当时，即时，在上单调递增，所以， 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递减，所以； 综合以上得 27．已知函数，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 答案：（1） （2）2 解析：（1）由题意，得. 当时，在上是减函数，所以在上的最小值为，即； 当时，在上是减函数，在上是增函数， 所以在上的最小值为，即； 当时，在上是增函数， 所以在上的最小值为，即. 综上， （2）在上是减函数， 所以在上的最大值为； 在上是增函数，在上是减函数，所以在上的最大值为； 在上是增函数，所以在上的最大值为. 综上，的最大值为2. 28．已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. 答案：(1)；(2) 解析：（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则，故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，， 时，，不合题意； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． 29．若函数在，上的最大值为，求实数？ 答案：或． 解：的图象开口向下，对称轴为， （1）若，则，在，上是增函数，在，上是减函数， ，即，解得． （2）若，则在，上是增函数，，即，恒成立． （3）若，则，在，上是增函数，（a），即，无解． 综上，或． 30．函数的定义域为． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在定义域上是减函数，求a的取值范围； (3)求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x的值． 答案：(1) (2) (3)答案见解析 解析：（1）当时，，当且仅当，即时等号成立． ，当且x趋向于0时，趋向于，所以趋向于， 所以函数的值域为． （2）若函数在定义域上是减函数，则任取，，且， 都有成立，即，只要恒成立即可，由，，且， 故，所以，故a的取值范围是 （4） 当时，， 则函数在上单调递增，无最小值，当时取得最大值； 当时，由（2）可知函数在上单调递减，无最大值，当时取得最小值； 当时，，任取，，且，则，所以当时，，即，当时，，即 ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值， 当时取得最小值． 综上，当时，无最小值，当时取得最大值；当时，无最大值，当时取得最小值；时，无最大值，当时取得最小值． 题型5 利用函数奇偶性求最值、解析式和求参问题 31．已知函数为定义在上的奇函数，且时，，则（    ） A．1 B．0 C．-2 D．2 答案：C 解析：因为函数为定义在上的奇函数，所以， 所以.故选：C. 32．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：因为是定义在上的偶函数，则，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求，得到.故选：A. 33．如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　) 减函数且最大值为 增函数且最大值为6 减函数且最小值为 增函数且最小值为6 答案：A 解析：当时，，即．从而， 又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故在是减函数．故选：． 34．已知函数，，则 . 答案： 解析：设，则，且为奇函数，即. 又；所以， 所以.故答案为： 35．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 答案：2 解析：记，显然的定义域关于原点对称，且， 所以是区间上的奇函数，设的最大值为， 则的最小值为，所以. 故答案为：2. 36．若函数为奇函数，则等于 . 答案： 解析：∵函数为奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）， 即f（﹣x），∴＝， 即3x2+（3a﹣2）x﹣2a＝3x2﹣（3a﹣2）x﹣2a，∴3a﹣2＝0，解得a． 37．定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 答案： 解析：∵，∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，，则有，； 则.故答案为：. 38．已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 答案： 解析：由是偶函数可得：，即， 所以当时，则，即，故答案为：. 39．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则； ②当时，，因为是奇函数，所以. 所以.综上：. （2）图象如下图所示： 由图象可知，要使方程与有三个交点，只需，即. 故答案为： ；. 40．已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 答案：(1)2 (2) 解析：（1）由题得， 所以. （2）设，则，则， 因为函数是R上的奇函数，所以， 综上所述. 题型6 利用单调性(构造)、奇偶性比较大小和解不等式 41．函数是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则以下关系正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：因为是定义在上的偶函数，所以，又因为在为减函数，，所以，即，故选：B 42．函数是定义在上的偶函数，又，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：根据题意，数是定义在上的偶函数，则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有，即.故选：D. 43．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：奇函数在上为增函数，且， 函数在上为增函数，且，则函数的大致图像如图所示： 由，得 或，则 或 ， 所以或,即的解集为,故选:A． 44．函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,m则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，.画出的大致图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集为.故选：A 45．为上的减函数，设函数，不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，，则，当，， 当时，，，则，故为偶函数， 又 为上的减函数，在上单调递减，在上单调递增， ，，即，解得：.故选：B. 46．定义在上的奇函数在上单调递减，，满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是 单调递减，且，所以当时，， 当时，.所以由可得： 或或,解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是.故选：D. 47．已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意得是定义在上的增函数，由， 得解得．所以的取值范围为，选项A正确，故选：A. 48．已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 答案： 解析：由题意得，解得，则实数的取值范围是.故答案为：. 49．定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 答案： 解析：函数对任意的有， 则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增， 所以不等式，于是，解得， 所以所求的x取值范围是.故答案为：. 50．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，实数a的取值范围是 ． 答案： 解析：由题即根据奇函数定义可知 原不等式为又因为单调递减函数，故，解得或 又因为函数定义域为故，解得,所以 综上得的范围为. 51．已知函数，则满足不等式的x的取值范围是 ． 答案： 解析：由函数f（x）＝，当时，，当时，，则， 当时，，则，综上所述，所以函数为奇函数， 当时，为减函数，且，当时，为减函数，且， 所以函数是上的减函数，由，得， 所以，解得，所以x的取值范围是.故答案为：. 52．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 答案： 解析：由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，   若，则，解得.所以实数的取值范围是. 53．定义在上的函数满足，则关于的不等式 的解集为 ． 答案： 解析：令，因为定义在上的函数满足， 所以定义在上的函数满足，所以在上单调递减， 由，得，所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为. 54．定义在上的函数满足，且，则不等式的 解集为_________． 答案： 解析：设，由已知式变形为，所以在上是减函数， 又．所以不等式化为， 又，所以． 55．定义在上的函数满足，且，则不等式的 解集为_________． 答案： 解析：根据定义域为且可知， 又，所以对，恒成立； 即可知函数在上单调递减；又，可得， 不等式可化为，解得，可得不等式的解集为. 56．设函数是定义在R上的奇函数： (1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围？ (2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式？ 答案：(1) (2) 解析（1）由题意奇函数满足，∴变为， 又，即当时，，∴在上单调递减，∴， 解得，故实数x的取值范围为； （2）∵函数是定义在R上的奇函数，∴为定义在R上的偶函数， 又∵，即，，∴在上递减， 则在上递增，，即， 则，则，整理为， 解得：. 57．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）解不等式. 答案：（1） （2） 解析：（1）当时，，又是偶函数， 故. （2）因为为偶函数且当时，单调递增， 所以， 即，化简得，解得. 故不等式的解集为. 58．已知函数是定义在区间上的奇函数，且． (1)求函数的解析式. (2)用定义法判断函数在区间上的单调性并证明； (3)解不等式． 答案：(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 解析：（1）∵为定义在区间上的奇函数，∴，∴． 又，∴．检验：当，时，， ，∴为奇函数，符合题意，∴． （2）对任意的， ． ∵，∴，，∴． 又，，故，∴，即， ∴函数在区间上单调递增． （3）∵为定义在区间上的函数，∴，解得． ∵，且为定义在区间上的奇函数，∴． 又在区间上单调递增，∴，解得或． 综上，实数m的取值范围是． 59．定义在上的函数对任意实数，，都有成立， 且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若，解不等式. 答案：(1)证明见解析 (2)函数在R上单调递增，理由见解析 (3) 解析：（1）证明：∵，∴. 设，则. 令，则，解得. 令，，则，∴. 由函数的定义域为R，得函数的定义域为R，关于原点对称，综上，为奇函数. （2）解：函数在上单调递增，理由如下：取，则，∴， 由（1）知，， 即，∴函数在上单调递增，即函数在上单调递增. （3）解：∵，∴，∴， 由，得，即， ∵函数在上单调递增，∴，即，解得， 即不等式的解集为. 60．定义在上的函数是单调函数，满足，且． (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围． 答案：(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 解析：（1）根据题意可得，解得. （2）为奇函数，证明如下：因为定义域为，关于原点对称； 且，即，故为奇函数. （3）根据题意，， 即，故， 又为单调性函数，故为上的单调增函数； 则等价于，， 故，对于任意恒成立，即， 对任意恒成立.令，又在单调递减，在单调递增， 故当时，取得最小值为，故，即的取值范围为. $$