专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ． 3．（23-24九年级上·安徽·课后作业）请看下图，并回答下面的问题： （1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？ （2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？ 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 1．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正 边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 3．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，四边形 四边形．    (1)______； (2)求边，的长度． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，求和． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·上海静安·九年级上校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·九年级上高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·九年级上专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 3．（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． 三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线． 任务： (1)写出材料中的依据：_____． (2)请根据图3的折法，求证：是的中位线． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广东佛山·三模）如图，四边形中，ABDC，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 3．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2024·河南郑州·三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步作图：①分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，两弧交于两点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于点E，F；③连接DE，DF，若BD＝6，AE＝4，CD＝3，则CF的长是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 1．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 2．（2024·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于. (1)求证：； (2)若点为中点，连接并延长交于点，求的长． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 1．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作线段的垂直平分线分别交于点，连接，下列结论错误的是（　　）    A．平分 B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段a、b、c，求作线段x，使，下列作法中（图中虚线均为平行线）不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D．   5．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 6．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个矩形，长大于宽，沿长边对折，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为 ． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形四边形，，，则 ． 8．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．    9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 10．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，矩形中，，，正方形的三个顶点E、F、H分别在矩形的边、、上，点G在矩形内部，连接、、现给出以下结论：①当时，；②当时，；③当A、G、C三点共线时，；④点G到的距离为定值．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，四边形四边形，，，求和的长． 12．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 14．（23-24九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 15．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知正方形，E为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） ①在边上截取线段，使，连接，与交于点G； ②过点A作的垂线，垂足为H； (2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案． 【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似， 故选C． 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确; C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误； D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据相似图形的判定一一判断即可． 【详解】解：①两个正三角形相似，正确． ②两个等腰直角三角形相似，正确． ③两个菱形相似，错误． ④两个矩形相似，错误． ⑤两个正方形相似，正确． 故答案为：①②⑤． 【点睛】此题考查相似图形的判定，掌握相似图形的特点:对应边成比例,对应角相等是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽·课后作业）请看下图，并回答下面的问题： （1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？ （2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？ 【答案】（1）形状相同，大小不等（2）这形状相同 【详解】分析：通过观察,(1)中的两个足球的形状是相同的,只是大小不同.(2)中的两个正方体,虽然左边正方体上有黑边,但形状还是相同的. 本题解析： （1）这两个足球的形状相同，大小不等． （2）这两个正方形物体的形状相同． 点睛：本题考查同学们对相似图形的理解与运用，要想成功解得该题，必须认真审题以及增加对这些概念的理解与运用.形状相同的图形叫做相似图形. 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 【答案】A 【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可． 【详解】A.两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意； B. 邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； D. 四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质． 1．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正 边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是 ． 【答案】 六 【分析】先计算出外围封闭图形和中间围成的图形的每个内角的度数和边长即可得到答案 【详解】详解：如图，∵，三角板的摆法相同， ∴外周的封闭图形为正六边形，边长， ∵， ∴， ∴中间围成的图形也是正六边形， 故答案为：六； ∵边长，， ∴， ∴， ∴内部和外周的正六边形为相似图形，相似比为， ∴面积比为， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似多边形的判定和性质，读懂图形和题意是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，如图，设，，根据相似图形的性质可得，即得，据此即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案． 【详解】解：设，，的面积为， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积， 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、相似多边形的性质等知识点，掌握相似形的性质成为解题的关键． 先根据折叠的性质与矩形性质得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，可求得x，进而求得,最后求矩形的面积即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵矩形中， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴原矩形的面积为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，四边形 四边形．    (1)______； (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）利用相似多边形的对应角相等可得：，，再根据四边形的内角和求出，即可求解求； （2）利用相似多边形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）解：四边形 四边形， ，， 又，， ， ，即， 故答案为：． （2）四边形 四边形， ，即， 解得：，． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作交于，则，根据为边中点，得，再根据，得，根据勾股定理得，所以． 【详解】解：如图，作交于， 则， 为边中点， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设上的高为，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，求和． 【答案】， 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，得到正确的比例式是解题的关键． 由得到即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵DE//BC， ∴； ∴A错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 1．（2024·上海静安·九年级上校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·九年级上高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．（2024·全国·九年级上专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【答案】C 【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴＝， ∵AF：BF＝2：5， ∴＝， 即AG＝BD， ∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD， ∴CD＝BD， ∴＝＝， ∵， ， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，将代入，即可求出的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．弄清楚对应线段是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 解得 故选：C． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线所截线段对应成比例，根据得到对应线段成比例即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∵，，， ∴， 故选：D； 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段的对应线段成比例是解题的关键； 由得，代入数值求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， 故选：C 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据三条平行线截两条直线所对应线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理的应用． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D， 根据题意，设， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可； 【详解】解：， ，即， ． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【答案】B 【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论． 【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G， ∴NM∥AG， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴AG＝PG， ∵M是DE的中点， ∴DM＝ME＝DE， ∵NM∥AG，AN＝DN， ∴＝＝， ∴NM＝AG＝PG， ∵DM＝ME， ∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 【答案】 2：1 3：1：2 【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论． 【详解】解：∵点G为△ABC的重心， ∴E是AC的中点，D是BC的中点， 又∵EF∥BC， ∴， ∴， ∴DG=2FG， ∵G为重心， ∴AG=2DG=4FG， ∴AF=3FG， ∴AF：FG：GD=3：1：2， 故答案为：2：1，3：1：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键． 3．（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． 三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线． 任务： (1)写出材料中的依据：_____． (2)请根据图3的折法，求证：是的中位线． 【答案】(1)平行线分线段成比例 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）由第一次对折可得：，，由第二次对折可得：，，，可得，是的垂直平分线，则，如图，连接交于，再结合平行线分线段成比例即可得到结论． 【详解】（1）解：∵． ∴（平行线分线段成比例） （2）由第一次对折可得：，， 由第二次对折可得：，，， ∴，是的垂直平分线， ∴， 如图，连接交于， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中位线． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，三角形的中位线的含义，线段的垂直平分线的判定与性质，理解对折的含义是解本题的关键． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分类讨论的方法分点在上和点在上两种情形解答，分别求得与的函数关系式，利用对应的函数图象即可得出结论．本题主要考查了动点问题的函数的图象，利用分类讨论的方法求得不同条件下的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：当点与点重合时，如图， 四边形是矩形， ， ， ， ． ． ①当时，点在上， 过点作于点，如图， 则， ， ， ， 此时对应的函数图象是一条以和为端点的线段； ②当时，此时点在线段上，如图， 四边形是矩形， ， ， ． ， 此时对应的函数的图象为一条以和为端点的线段， 综上，下列图象能反映与之间函数关系的是， 故选：B． 1．（2024·广东佛山·三模）如图，四边形中，ABDC，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证是的中位线，利用中位线的性质得出，，再证为的中位线，进而得出，即可求出的长． 【详解】点，分别是边和对角线的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 点为的中点， 为的中位线， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一” ． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．再根据，列出比例式求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，在上取点，使．作，交于点． 则， ， 即为的最小值． ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2024·河南郑州·三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步作图：①分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，两弧交于两点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于点E，F；③连接DE，DF，若BD＝6，AE＝4，CD＝3，则CF的长是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由基本作图得到EF垂直平分AD，则AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，再根据等腰三角形三线合一得到AE=AF，则可判断四边形AEDF为菱形，所以DF∥AB，然后根据平行线分线段长比例定理可计算出CF． 【详解】由作法得EF垂直平分AD， ∴AE＝DE，AF＝DF，EF⊥AD， ∵AD平分∠BAC， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝DE＝DF＝4， ∴四边形AEDF为菱形， ∴DF∥AB， ∴，即， ∴CF＝2． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 1．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 2．（2024·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题． 【详解】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于. (1)求证：； (2)若点为中点，连接并延长交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为点，证明即可； （2）延长交的延长线于点，由点为中点且，可得，又由点为中点，得，即． 【详解】（1）（1）证明：过点作，垂足为点， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． （2）解：（2）延长交的延长线于点， ∵点为中点且， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，综合运用以上知识是解题的关键． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点D作，交于H，再根据平行线分线段成比例定理和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，交于H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①应填，②应填． 故选：D． 1．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，过点作，证明，推出，进而得到，平行线分线段分比例推出，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，进而得到，得到为等腰直角三角形，得到即可． 【详解】解：过点作，    ∵正方形， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∴，（对应边上的高线相等） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设上的高为，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理． （1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图3，，，， ， 平分， ，即， ， ， 的周长． 故答案为：． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例结合平行四边形逐个判断即可． 【详解】解：∵，设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， A、由可得，，故选项A错误，不符合题意； B、由可得，故选项B错误，不符合题意； C、由可得，故选项C正确，符合题意； D、由可得，，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由题意知， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故A项正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故B项正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故C项正确； 根据已知条件推不出，故D项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键， 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作线段的垂直平分线分别交于点，连接，下列结论错误的是（　　）    A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知平分，即可判断A，证明四边形是菱形，即可判断B，再利用平行线分线段成比例定理即可判断D，得到答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， 垂直平分线段， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故A、B、D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 由平行线分线段成比例定理可得， ， ， ， ， ，即， ，， 由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即， ，故该选项正确，不符合题意； B、， ， ， ， ， 为的中点， ， ，故该选项正确，不符合题意； C、， 由平行线分线段成比例定理可得， ，， 由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即， ，故该选项正确，不符合题意； D、， 由平行线分线段成比例定理可得， ， 由平行线分线段成比例定理可得， 只有当为中点时，即时， 由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段a、b、c，求作线段x，使，下列作法中（图中虚线均为平行线）不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：A、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； B、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； C、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； D、由图知，，则，即，错误，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质． 设，，根据相似多边形的性质得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，设，．    ∵矩形矩形，和分别为和的中点，， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：A． 5．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，根据题意找出角度、线段之间的数量关系是解题关键．延长交于点，由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，根据平行线分线段成比例定理，得出，再证明，结合平行线的性质和对顶角，得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形， ，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， 故选：C 6．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个矩形，长大于宽，沿长边对折，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质；设原矩形长为，宽为，根据相似多边形的性质，有，进而即可求解． 【详解】不妨设原矩形长为，宽为， 因为对折后与原矩形相似，则必定是沿着长的垂直平分线对折，且对折后矩形的两边长为和． 根据相似多边形的性质，有， 所以，则． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形四边形，，，则 ． 【答案】 【分析】利用相似图形的性质即可求. 【详解】∵四边形四边形 ∴∠A=∠E，∠D=∠H ∵ ∴∠E=∠H=100° ∵ ∴∠F=360°-∠E-∠H-∠G=95° 故答案为95°. 【点睛】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是熟记相似图形对应角相等. 8．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，由相似多边形的性质可得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 矩形矩形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，矩形中，，，正方形的三个顶点E、F、H分别在矩形的边、、上，点G在矩形内部，连接、、现给出以下结论：①当时，；②当时，；③当A、G、C三点共线时，；④点G到的距离为定值．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了四边形综合，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． ①过点G作，交于M，交于点N，通过在恒美，得出，同理可证∶ ，最后根据，即可判断；②根据，得出，求出或，即可判断；④根据题意得出，即可判断；③当A、G、C三点共线时，点G在上，根据平行线分线段成比例得出，即可判断． 【详解】解：①过点G作，交于M，交于点N， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证∶ ， ∴， ∴， 则 ，故①正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得：或，故②不正确，不符合题意； ④∵， ∴， 即点G到的距离为定值，故④正确，符合题意； ③当A、G、C三点共线时，点G在上， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，四边形四边形，，，求和的长． 【答案】， 【分析】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．由四边形四边形，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，又由四边形的内角和等于，即可求得；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴， ∴， ∵四边形四边形，， ∴ ，即， ∴． 12．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)6 (2)25 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 14．（23-24九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【答案】（1）A；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）60.75 【分析】（1）根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论． 【详解】解：（1）A、两个球体，形状完全相同，是相似体； B、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； C、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体； 故选：A； （2）根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方； 故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方； （3）由题意知他的体积比为()3； 又因为体重之比等于体积比， 若设初三时的体重为x千克， 则有()3=， 解得x==60.75． 答：初三时的体重为60.75千克． 故答案为：60.75． 【点睛】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．根据阅读材料对相似图形的概念进行推广，得到相似体的概念，然后对阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，表面积的比以及体积的比与相似比的关系． 15．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知正方形，E为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） ①在边上截取线段，使，连接，与交于点G； ②过点A作的垂线，垂足为H； (2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)正方形为正方形，，， 【分析】本题是相似形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线分线段成比例， （1）①在上截取； ②过A点作的垂线得到； （2）先利用正方形的性质得到，，再证明得到，接着证明，所以，根据利用平行线分线段成比例定理得到结论． 【详解】（1）解：如图，、为所作； （2）证明：∵正方形为正方形， ∴，， 由（1）知， ， ， ∵， ． 是的一个外角， ， 由（1）知， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$