精品解析：天津市津南区天津市小站第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学学科期中监测试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 根据一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、含有分式，故不是一元二次方程，不符合题意； B、没有说明，则不是一元二次方程，不符合题意； C、化简得，是一元二次方程，符合题意； D、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 3. 用配方法解方程，正确的变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 4. 若方程的两个实数根分别为、，则等于 A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由根与系数的关系公式求解即可． 【详解】∵一元二次方程有解时，两根之和， ∴对于原方程，， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本结论并灵活运用是解题关键． 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. （3，0） B. （-3,0） C. （0,3） D. （0，－3） 【答案】A 【解析】 【详解】由二次函数解析式得顶点坐标为（3，0）． 故选A． 【点睛】将二次函数解析式写成顶点式为：y=a（x－h）2+k，顶点坐标为（h，k）． 7. 关于二次函数的最值情况是（　　） A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值5 D. 有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键．由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为． ∴函数的最大值为1． 故选：B． 8. 已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小． 【详解】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上， ∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18， ∴y3＜y1＜y2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 9. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为， A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误； B、对称轴为直线，故此选项错误； C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确； D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 10. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项． 【详解】解：依题意可得：， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题的相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键． 11. 抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当-3＜x＜1时，y＞0． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解答关键． 根据一元二次方程的定义先求出二次项系数，一次项系数，常数项，再求出它们的和即可． 【详解】解：将一元二次方程变化为：， 二次项系数为：4，一次项系数为：，常数项为：， 二次项系数，一次项系数，常数项的和为：． 故答案为：． 14. 方程的根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法进行求解即可． 【详解】解：， 解得； 故答案为： 15. 已知二次函数有最大值，则取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：∵二次函数有最大值， ∴二次函数图象开口向下， ∴， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数（）的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线（）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 16. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】12 【解析】 【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 17. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： …… …… …… …… 则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据表格中的数据，待定系数法求二次函数解析式，进而令即可求得的值． 【详解】将代入 解得 二次函数的解析式为 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 18. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有________．（写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵ ∴， ∴，故①正确； 当时，，即， 当时，，即， ∴ 则 即 ∴所以②正确； ③当时，y的值最大．此时， 而当时，，其中， 所以 故， 即，故③错误． ④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把移到方程的右边，利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先根据得出根的情况，再带入求根公式计算即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴， 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 20. 解下列方程： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）方程右边先提公因式2，再把方程右边移到方程左边，继续提公因式，即可利用因式分解法解一元二次方程． （2）先把方程整理成，再利用十字相乘法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴， 【小问2详解】 解： ∴或 ∴， 21. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y …… m 7 1 ﹣1 1 7 …… 解答下列问题： （1）求这个二次函数的解析式； （2）表格中m的值等于　 　； （3）在直角坐标系中，画出这个函数的图象； （4）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 【答案】（1）； （2）17； （3） 函数的图象如图所示： （4）． 【解析】 【分析】（1）由表中数据可得该函数有最小值，当时，，当和时的函数值相等，得出对称轴是直线，顶点坐标为，求得，设二次函数为，将，代入求解得出a的值，即可确定函数解析式； （2）将时，代入（1）中解析式求解即可得； （3）在直角坐标系中，确定各个点对应的坐标，然后用光滑的曲线连接即可得出这个函数的图象； （4）根据函数图象的平移法则“上加下减，左加右减”，代入函数解析式化简即可得 【小问1详解】 解：由表格数据可知，该函数有最小值，当时，，当和时的函数值相等， ∴该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线，顶点坐标为， ∴， ∴设二次函数为， 把，代入得可得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入（1）中解析式可得： ， ∴， 故答案为：17； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，可得： ， ∴平移后的二次函数解析式为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，利用待定系数法确定二次函数解析式，求函数值，作函数图象，函数图象的平移等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），该方程的另一个实数根为 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，利用两根之和等于，求出另一根即可； （2）利用，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵是该方程的一个实数根， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 令方程的另一实数根为y，则有： ， 解得：； ∴，该方程的另一个实数根为； 【小问2详解】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及根据根的情况求参数的取值范围．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，以及根据判别式确定根的个数是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】（1）；； （2）2或4 （3） 不可能，理由如下： ， ∴， 解得或， ， 四边形的面积不可能等于． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题； （2）表示出，，解方程即可； （3）表示出，，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∵ ， 故答案为：2x；；4x； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得：或4， 当的面积为时，或4； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题． 24. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件．如果每件商品的售价每降价1元，每周可多卖20件（每件售价不能低于40元）．设每件商品的售价下降x元（为正整数），每周的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是5280元？ 【答案】（1）且为正整数 （2）每件商品的售价定为58元或57时，每周可获得最大利润，最大的周利润是6120元； （3）每件商品的售价定为51元时，每周的利润恰好是5280元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的关系式和方程是解题的关键． （1）根据利润每件利润销售量，每件利润元，销售量件，而售价，列不等式组求的取值范围； （2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，根据为整数，且进行取值； （3）当时，建立方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 且为正整数； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴时y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴或， ∴每件商品的售价定为58元或57时，每周可获得最大利润，最大的周利润是6120元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴ ∴每件商品的售价定为51元时，每周的利润恰好是5280元． 25. 如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标． （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）D（5，8）或（﹣1，8） （3）存在，（2，1） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得∶， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令y=0，则， 解得：， ∴点C（0，3）， ∴AC=2， 设D（m，n）， ∵△ACD的面积为8， ∴×2×|n|＝8， ∴n＝±8， 当n＝8时，，解得x＝5或﹣1， ∴D（5，8）或（﹣1，8）， 当n＝﹣8时，，方程无解， 综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）； 【小问3详解】 解：连接BC与直线x＝2交于点P， ∵点A与点C关于x＝2对称， ∴AP=CP， ∴△PAB的周长为PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB， ∴当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，为BC+AB， 当x=0时，y=3， ∴y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为B（0，3）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b′， 把点B（0，3），C（3，0）代入得： ，解得， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 当x=2时，y=1 ∴直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1） ∴点P的坐标为：（2，1）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科期中监测试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 用配方法解方程，正确的变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的两个实数根分别为、，则等于 A. 3 B. C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. （3，0） B. （-3,0） C. （0,3） D. （0，－3） 7. 关于二次函数的最值情况是（　　） A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值5 D. 有最大值 8. 已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 10. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为_________． 14. 方程的根是_________． 15. 已知二次函数有最大值，则取值范围是___________． 16. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 17. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： …… …… …… …… 则的值为______． 18. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有________．（写序号） 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1） ； （2）． 21. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y …… m 7 1 ﹣1 1 7 …… 解答下列问题： （1）求这个二次函数的解析式； （2）表格中m的值等于　 　； （3）在直角坐标系中，画出这个函数的图象； （4）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 24. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件．如果每件商品的售价每降价1元，每周可多卖20件（每件售价不能低于40元）．设每件商品的售价下降x元（为正整数），每周的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是5280元？ 25. 如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标． （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $