12.3 第2课时 角的平分线性质的应用 2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线性质的应用 (第2课时) 一、复习巩固（1分钟） 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∴PD = PE. 一平分两垂直 ∵OP 是∠AOB的平分线, PD⊥OA, PE⊥OB , B A D O P E C 1 2 2 二、学习目标 （1分钟） 1. 能应用角的平分线的性质证明线段相等。 2. 能应用角的平分线解决与三角形的面积有关的计算问题。 3. 应用角平分线的性质探究线段的大小关系。 3 例1 如图, AM是∠BAC的平分线, 点P在AM上, PD⊥AB, PE⊥AC,垂足分别是D、E, PD=4cm, 则PE=______cm. B A C P M D E 4 存在两条垂线段———直接应用 三、教授新课 （15分钟） 典例精析 A B C P 变式1 如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝ , AP平分∠BAC交BC于点P, 若PC＝4, AB=14. D 求△APB的面积_______. ·AB·PD=28. 由角平分线平分线的性质, 可得PD=PC=4, 28 例2 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E, F.求证：EB=FC. 典例精析 分析： A B C D E F 1 3 4 2 ∴ DE=DF. ∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB , DF⊥AC, 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中, DE=DF, BD=CD, ∴ Rt△ BDE ≌ Rt△ CDF(HL). ∴ EB=FC. A B C D E F 1 3 4 2 证明： 角平分线+三角形全等 变式2 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E, F.求证：AE=AF 分析： A B C D E F 1 3 4 2 例3 如图, 在四边形ABDC中, ∠B＝∠C＝90°, 点E是BC的中点, DE平分∠ADC.求证： AD=AB+DC . F A B C D E 1 2 3 4 分析： 典例精析 F A B C D E ∵ DE平分∠ADC , 在Rt△AEF 和 Rt△AEB中, EF=EB, AE=AE, ∴ Rt△ AEF ≌ Rt△ AEB ∴ AF=AB. 证明： ∠3＝∠4, 1 2 3 4 ∵过点E作EF⊥AD于点F, ∴ ∠DFE= ∠ DFE= 90°. ∵∠C=90° , ∴在Rt△ DEF 和 Rt△ DEC ∴ ∠1＝∠2. ∴ ED平分∠CEF. ∴ DC⊥CE , ∵∠C = 90° , ∴ DF⊥EF , ∴ DC=DF. ∵ DE平分∠ADC , 且 CE ⊥DC , EF⊥AD ∴ CE=EF. ∵点E是BC的中点 ∴ CE=BE. ∴ EF=EB, ∵ AD= AF+DF, ∴ AD= AB+DC. 解法1 角平分线+三角形全等 F A B C D E ∵ DE平分∠ADC , 在Rt△AEF 和 Rt△AEB中, EF=EB, AE=AE, ∴ Rt△ AEF ≌ Rt△ AEB ∴ AF=AB. 证明： 1 2 3 4 ∵过点E作EF⊥AD于点F, ∴ ∠DFE= ∠ AFE= 90°. ∵∠C=90° , ∴在Rt△ DEF 和 Rt△ DEC ∴ ∠1＝∠2. ∴ DF=DC. ∵ DE平分∠ADC , 且 CE ⊥DC , EF⊥AD ∴ CE=EF. ∵点E是BC的中点, ∴ CE=BE. ∴ EF=EB, ∵ AD= AF+DF, ∴ AD= AB+CD. DE=DE, ∠DFE= ∠C , ∠1＝∠2, ∴ Rt△ DEF ≌ Rt△ DEC 解法2 三角形全等+三角形全等 四、课堂小结 （1分钟） 1. 证明线段相等,紧紧抓住“一平分两垂直” ,不满足还需要做辅助线。 2. 应用角平分线的性质探究线段的大小关系,也需要结合三角形全等来进行证明,出现直角三角形要敏感,联系到HL。 12 五、布置作业 课本51页 复习巩固第2题 综合运用5（提示：要结合三角形全等进行证明） 课本56页 拓广探索 12题 感谢聆听！ $$