专题03 弧度制重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题03 孤度制重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 弧度的概念 题型二 用弧度制表示角的集合 题型三 角度化为弧度 题型四 弧度化为角度 题型五 弧长的有关计算 题型六 扇形面积的有关计算 题型七 扇形中的最值问题 题型八 扇形弧长公式与面积公式的应用 知识点一 弧度制的转换 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是是 l/r. 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 o ，1 o /180，1 180 o / 57.3o． 知识点二 扇形 8、若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l，周长为C ，面积为 S ， 则弧长公式：l r ，扇形周长：C 2r l ，扇形面积： S 1/2lr 1/2 r r． 【经典例题一 弧度的概念】 【例1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）时间经过五个小时，时针转过的角为 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？ 【经典例题二 用弧度制表示角的集合】 【例2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）讨论以下三个式子的意义： 谈谈引入弧度制的好处． 【经典例题三 角度化为弧度】 【例3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）上海松江区天马山“护珠塔”的倾斜度达到，用弧度制表示倾斜度是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 【经典例题四 弧度化为角度】 【例4】（2024高三·北京·专题练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高三上·广西·学业考试）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 2．（2023高一上·全国·专题练习）将化为度是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【经典例题五 弧长的有关计算】 【例5】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（    ）cm. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）弧度数 （1）正角：正角的弧度数是一个 ． （2）负角：负角的弧度数是一个 ． （3）零角：零角的弧度数是 ． （4）如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段圆弧所对的圆心角的弧度数． 【经典例题六 扇形面积的有关计算】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为45°，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 2．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为 ，弧长为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧长为，半径为2，求该扇形的圆心角及面积S． 【经典例题七 扇形中的最值问题】 【例7】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 1．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（2023高三·全国·专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【经典例题八 扇形弧长公式与面积公式的应用】 【例8】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角（正角）为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·广西钦州·期中）已知扇形的半径为3，面积为则该扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为 ． 3．（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 1．（23-24高三上·云南·阶段练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知扇形的周长是8cm，该扇形的圆心角是2弧度，则该扇形的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 7．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A． B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 8．（23-24高一下·陕西渭南·期中）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山西·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则的取值范围是 10．（20-21高一上·广东佛山·阶段练习）已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最小值为9 11．（24-25高一上·上海·课后作业）经过分钟，钟表的分针转过 弧度的角． 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 13．（24-25高一上·上海·课前预习）角度与弧度的互化公式 弧度 弧度 弧度弧度 1弧度 14．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 . 15．（21-22高一下·全国·单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 . 16．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）将角写成的形式，其中，并判断它是第几象限角？ 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 19．（24-25高一上·全国·课前预习）根据公式，你能得出圆周角的弧度数吗？ 20．（23-24高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积； (2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 孤度制重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 弧度的概念 题型二 用弧度制表示角的集合 题型三 角度化为弧度 题型四 弧度化为角度 题型五 弧长的有关计算 题型六 扇形面积的有关计算 题型七 扇形中的最值问题 题型八 扇形弧长公式与面积公式的应用 知识点一 弧度制的转换 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是是 l/r. 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 o ，1 o /180，1 180 o / 57.3o． 知识点二 扇形 8、若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l，周长为C ，面积为 S ， 则弧长公式：l r ，扇形周长：C 2r l ，扇形面积： S 1/2lr 1/2 r r． 【经典例题一 弧度的概念】 【例1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用得到答案. 【详解】，故角的终边在第四象限. 故选：D 1．（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周，结合一周的弧度为计算即可得. 【详解】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周， 故其转动的弧度数是. 故选：A. 2．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）时间经过五个小时，时针转过的角为 . 【答案】/ 【分析】先确定时针旋转得到的是负角，且每过一个小时转过的角的大小为，计算即得. 【详解】时针旋转是顺时针转，根据规定得到的是负角，每个小时时针转过的角的弧度大小为，故时间经过五个小时，时针转过的角为. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？ 【答案】答案见解析 【详解】1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的． 1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的． 【经典例题二 用弧度制表示角的集合】 【例2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入终边相同的角的集合，即可求解. 【详解】与角终边相同的角的集合是，当时，. 故选：B 1．（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 2．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由题知的终边与角的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可. 【详解】解：的终边与的终边关于直线对称， 所以的终边与角的终边相同， 所以的取值集合为 故答案为： 3．（23-24高一下·全国·课后作业）讨论以下三个式子的意义： 谈谈引入弧度制的好处． 【答案】答案见解析 【分析】利用代数式的意义结合弧度制的优势求解即可. 【详解】表示一个角度与一个三角函数的和， 表示一个弧度与其对应的正弦值的和， 表示取不同的数时，这个代数式的值， 引入弧度制可以使角与实数相对应，方便计算，也使得对应函数的定义域为全体实数，方便在直角坐标系中表示出来（答案不唯一，合理即可）. 【经典例题三 角度化为弧度】 【例3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制和角度制的互化公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 1．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧度和角度的互化公式求出答案. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）上海松江区天马山“护珠塔”的倾斜度达到，用弧度制表示倾斜度是 ． 【答案】 【分析】由角度制与弧度制的定义直接求解即可． 【详解】解：， 可得． 故答案为：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度： (1)15°； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【经典例题四 弧度化为角度】 【例4】（2024高三·北京·专题练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 1．（2023高三上·广西·学业考试）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】根据弧度和角度的互换计算即可. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 2．（2023高一上·全国·专题练习）将化为度是 ． 【答案】 【分析】利用弧度与角度的互化关系求解即得. 【详解】. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用即可得出答案. 【详解】（1）=. （2）=. （3）=. 【经典例题五 弧长的有关计算】 【例5】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：C 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（    ）cm. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 【详解】大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为180时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为10cm，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课前预习）弧度数 （1）正角：正角的弧度数是一个 ． （2）负角：负角的弧度数是一个 ． （3）零角：零角的弧度数是 ． （4）如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是 ． 【答案】 正数 负数 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段圆弧所对的圆心角的弧度数． 【答案】 【分析】利用圆内接正方形的边长表示圆半径，再求出圆心角的弧度数. 【详解】设圆O的内接正方形的边长为，则该圆半径， 所以这段圆弧所对的圆心角的弧度数为. 【经典例题六 扇形面积的有关计算】 【例6】（25-26高一上·全国·课后作业）扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为45°，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将45°化为弧度，然后利用扇形的面积公式即可求得答案. 【详解】由题意得45°化为弧度，又为的中点， 则该扇形窗子的面积为. 故选：C． 1．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，易知， 因此. 故选：C. 2．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为 ，弧长为 . 【答案】 2 / 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，进而求出弧长. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 由扇形AOB的面积为，圆心角为，得，解得， 所以扇形的弧长. 故答案为：2； 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧长为，半径为2，求该扇形的圆心角及面积S． 【答案】；. 【分析】利用公式和即可求解. 【详解】由题意知，，，，解得； . 【经典例题七 扇形中的最值问题】 【例7】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A 1．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 2．（2023高三·全国·专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 【经典例题八 扇形弧长公式与面积公式的应用】 【例8】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角（正角）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的弧长与面积公式计算即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，则. 故选：A. 1．（23-24高一下·广西钦州·期中）已知扇形的半径为3，面积为则该扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径为，面积为，可得，解得. 故选：C． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为 ． 【答案】12 【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长. 【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为， 所以由，即，解得， 所以. 故答案为：12. 3．（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【详解】（1）由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. （2）由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ， 所以，. 1．（23-24高三上·云南·阶段练习）从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度的概念求解. 【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角， 所以分针转动的弧度为. 故选：C. 2．（22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可. 【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限， 故经过一三象限， 故选：B. 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：D 4．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知扇形的周长是8cm，该扇形的圆心角是2弧度，则该扇形的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据和已知条件求出，再根据求解即可. 【详解】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，则， 所以弧长，扇形周长，解得， 所以扇形面积. 故选：B. 6．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 【答案】BD 【分析】根据角度制和弧度制的定义，利用象限角的概念即可判断. 【详解】对于A选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故A错误； 对于B选项，若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，故B正确； 对于C选项，当时，与终边重合，但两个角不相等，故C错误； 对于D选项，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D正确. 故选：BD. 7．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A． B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 【答案】AB 【分析】根据角度和弧度的转化判断A；根据n分角的判断方法判断B；举出反例判断C；写出终边在直线上的角的集合判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，为第一象限角，即， 则，则为第一或第三象限角，B正确； 对于C，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，C错误； 对于D，终边在直线上的角的集合是，D错误. 故选：AB 8．（23-24高一下·陕西渭南·期中）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 9．（2024·山西·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．命题，的否定为， B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误. 【详解】命题，的否定为，，故A说法错误； 由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确； 由，得，所以的定义域为，故C说法正确； 因为的值域为，所以函数的值域满足， 所以，解得，故D说法错误. 故选：AD. 10．（20-21高一上·广东佛山·阶段练习）已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最小值为9 【答案】ABC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，举反例可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A正确； 对于选项B、C：，当时取等，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D：当时，，，故选项D不正确． 故选：ABC 11．（24-25高一上·上海·课后作业）经过分钟，钟表的分针转过 弧度的角． 【答案】 【分析】由角的定义和弧度制的定义即可求得答案. 【详解】根据题意，分针转过的弧度为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出结论即得. 【详解】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·课前预习）角度与弧度的互化公式 弧度 弧度 弧度弧度 1弧度 【答案】 180° 57.30°（或57°18′） 【分析】利用角度与弧度的互化公式可得结论. 【详解】角度与弧度的互化公式为： ，， ，（或）. 故答案为：①，②，③，④（或）. 14．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 . 【答案】4 【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式即可直接得答案. 【详解】由，可得，所以. 从而可得. 故答案为：4. 15．（21-22高一下·全国·单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 . 【答案】225 【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为： ， 当时，取得最大值，最大值为， 所以扇形面积的最大值为. 故答案为：225. 16．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 【答案】图形见详解 【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）将角写成的形式，其中，并判断它是第几象限角？ 【答案】第四象限角． 【分析】利用角度制与弧度制的转化计算并判定所属象限即可. 【详解】易知， 其中，所以是第四象限角，所以角是第四象限角． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 19．（24-25高一上·全国·课前预习）根据公式，你能得出圆周角的弧度数吗？ 【答案】能 【分析】将圆的周长带入公式化简即可得到圆周角的弧度数, 【详解】因为半径为r的圆的周长， 故圆周角的弧度数为. 20．（23-24高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积； (2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)平方米. (2)该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36. 【分析】（1）根据弧长公式及扇形面积公式即可求解； （2）结合扇形面积公式及二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）设该扇形菜地的半径为，弧长为， 则，解得， 故该扇形菜地的面积平方米. （2）因为，所以， 则. 当时，取得最大值36， 此时，从而. 故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36. 学科网（北京）股份有限公司 $$