专题02 圆的基本性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专题提升精讲精练（沪科版2012九年级下册）

专题02 圆的基本性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 求一点到圆上点距离的最值 题型五 利用垂径定理求值 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 题型八 利用垂径定理求解其他问题 题型九 判断点与圆的位置关系 题型十 利用点与圆的位置关系求半径 题型十一 已知半径和圆上两点作圆 题型十二 三角形外接圆的说法辨析 题型十三 求三角形外心坐标 题型十四 求特殊三角形外接圆的半径 题型十五 己知外心的位置判断三角形的形状 题型十六 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十七 判断确定圆的条件 题型十八 确定圆心(尺规作图) 题型十九 求能确定的圆的个数 题型二十 画圆(尺规作图) 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 知识点三、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）小明在半径为4的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知最长的弦是，则直径是 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 3．（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023·四川成都·三模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 3．（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【经典例题四 求一点到圆上点距离的最值】 【例4】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点两点均在y轴上，且，则的值为 （用含的代数式表示），的最大值为 ． 3．（2023九年级·陕西汉中·学业考试）新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 利用垂径定理求值】 【例5】（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A．4cm B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【经典例题六 利用垂径定理求平行弦问题】 【例6】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 2．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 3．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【经典例题七 利用垂径定理求同心圆问题】 【例7】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【经典例题八 利用垂径定理求解其他问题】 【例8】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 3．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【经典例题九 判断点与圆的位置关系】 【例9】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，点A在外，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的半径为4，点与点距离为2，则点与的位置关系是 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【经典例题十 利用点与圆的位置关系求半径】 【例10】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围． (1)与斜边有1个公共交点； (2)与斜边有2个公共交点； (3)与斜边没有公共交点． 【经典例题十一 已知半径和圆上两点作圆】 【例11】（23-24九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）对于平面内和外一点，若过点的直线与有两个不同的公共点，点为直线上的另一点，且满足(如图1所示)，则称点是点关于的密切点． 已知在平面直角坐标系中， 的半径为2，点． (1)在点中，是点关于的密切点的为__________． (2)设直线方程为，如图2所示， ①时，求出点关于的密切点的坐标； ②的圆心为，半径为2，若上存在点关于的密切点，直接写出的取值范围． 【经典例题十二 三角形外接圆的说法辨析】 【例12】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）三角形的外心是 的交点． 3．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    【经典例题十三 求三角形外心坐标】 【例13】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【经典例题十四 求特殊三角形外接圆的半径】 【例14】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【经典例题十五 己知外心的位置判断三角形的形状】 【例15】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x＋2交x轴于点A，交y轴于点B，点C在y轴正半轴上，AC＝4． （1）如图（1），求OC长； （2）如图（2），过点C作AB的垂线交x轴于点D，点E为垂足，求直线CD的解析式； （3）如图（3），在（2）的条件下，点P在CE上，AP交BC于点F，点G在AF上，∠BGO＝45°，AF﹣FB＝2（FG＋1），求点P的坐标． 【经典例题十六 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例16】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【经典例题十七 判断确定圆的条件】 【例17】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 3．（22-23九年级上·广东深圳·期末）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 【经典例题十八 确定圆心(尺规作图)】 【例18】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 【经典例题十九 求能确定的圆的个数】 【例19】（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【经典例题二十 画圆(尺规作图)】 【例20】（2024·吉林长春·三模）如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 1．（2024·广西钦州·一模）如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D． 2．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹） 1．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 4．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    7．（22-23九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 8．（2023九年级上·全国·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 9．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 10．（2023·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （Ⅰ）四边形外接圆的半径为 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数.    12．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆的基本性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 求一点到圆上点距离的最值 题型五 利用垂径定理求值 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 题型八 利用垂径定理求解其他问题 题型九 判断点与圆的位置关系 题型十 利用点与圆的位置关系求半径 题型十一 已知半径和圆上两点作圆 题型十二 三角形外接圆的说法辨析 题型十三 求三角形外心坐标 题型十四 求特殊三角形外接圆的半径 题型十五 己知外心的位置判断三角形的形状 题型十六 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十七 判断确定圆的条件 题型十八 确定圆心(尺规作图) 题型十九 求能确定的圆的个数 题型二十 画圆(尺规作图) 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 知识点三、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）小明在半径为4的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为4的圆，直径为8， ∴在半径为4的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， ∴弦的长度可以是4，5，8，不可能为10． 故选：D． 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键． 【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确； B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确； D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知最长的弦是，则直径是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查圆的有关概念．根据圆的最长弦就是直径，据此即可求解． 【详解】解：中最长的弦为， 的直径为， 故答案为：10． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 3．（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 2．（2023·四川成都·三模）如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题由矩形的性质和,得到四点共圆，推出为直径时最大，分析动点E的运动轨迹，当最大时，即时，最大，利用勾股定理求出直径的最大值后即可求出答案．本题考查了圆的相关知识点的应用，还有矩形及正方形的性质，以及勾股定理，解题关键是圆的内接四边形的性质的应用及对动点的分析． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴, ∴四点共圆， 如图所示，当为直径时最大， 连接， 当最大时，即时，最大， ， 此时的最大值为， 故答案为：． 3．（20-21九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题四 求一点到圆上点距离的最值】 【例4】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点两点均在y轴上，且，则的值为 （用含的代数式表示），的最大值为 ． 【答案】 34 【分析】本题考查一点到圆上的距离的最值，两点的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式． 由两点的距离公式，，进而求出，进而得到，当在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． ， ， ∴当最大时，最大， 当点为的延长线与的交点时，最大． ∵点C的坐标是， , ∴此时， ， 的最大值是34． 故答案为：34． 3．（2023九年级·陕西汉中·学业考试）新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，最大为 【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键． （1）过作于，先利用勾股定理求出，再分别求和； （2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ，，， ， 四边形是美好四边形，， ， ， ， 在中，， ，， ； （2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2， 过点作于，过点作于， 则， ，， ， ． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3， 则， 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点到湖泊的最近距离为，的半径为， ， 又， 当、、依次共线时最长，如图4， 又时，， 此时四边形面积最大， 此时， ， 故四边形的面积最大为． 【经典例题五 利用垂径定理求值】 【例5】（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为，则，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”得出，根据勾股定理得出即可作答． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，过圆心， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径长是5， 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径是5． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 【经典例题六 利用垂径定理求平行弦问题】 【例6】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 2．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 3．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【经典例题七 利用垂径定理求同心圆问题】 【例7】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 【经典例题八 利用垂径定理求解其他问题】 【例8】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的个数是（   ） ①直径是圆中最长的弦  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的两条弧是等弧  ④、是的两条弦，被垂直平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的概念及垂径定理，熟练掌握圆的每个概念及垂径定理是解题的关键．根据相关概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦 ，正确； ②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦 ，故②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧 ，故③错误； ④、是的两条弦，被垂直平分， 过圆心，即为直径， 则，正确． 综上所述，说法中正确的个数是2个． 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解； 【详解】解：由图可知：， 分别作出弦的垂直平分线，如图所示： 根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为， 故答案为： 3．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是垂径定理； （1）由垂径定理可得； （2）先根据垂径定理求出，圆周角定理得，根据勾股定理得到，得到半径，由勾股定理求出，由求解即可． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； （2）∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题九 判断点与圆的位置关系】 【例9】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵圆的半径为5，线段的长为4，且， ∴点在圆内， 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，点A在外，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为，点A在外， 当时，点A在外； ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的半径为4，点与点距离为2，则点与的位置关系是 ． 【答案】点A在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点A到圆心的距离，则有：当时，点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，点与点的距离为2， ∴点A 到圆心O的距离小于圆半径， ∴点A在内． 故答案为：点A在内． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、． (1)圆心的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)点在内 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断； 【详解】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是 故答案为：． （2）圆的半径， 线段， 所以点在内． 【经典例题十 利用点与圆的位置关系求半径】 【例10】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论． 【详解】解：当第一次点在圆上时，秒， 当第二次点在圆上时，秒， 综上所述，经过或秒，点P在上， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围． (1)与斜边有1个公共交点； (2)与斜边有2个公共交点； (3)与斜边没有公共交点． 【答案】(1)或； (2) (3)或 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． （1）过点作于点，再分圆与相切时；点在圆内部，点在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解； （2）要使圆与斜边有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可； （3）根据与斜边没有公共交点可知或点在的内部，据此可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作， ，，， ， ． 当圆与相切时，即； 当点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即． 或； （2）， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个交点，则圆的半径应大于，小于或等于， 的取值范围是； （3）与斜边没有公共交点， 或点在的内部， 或． 【经典例题十一 已知半径和圆上两点作圆】 【例11】（23-24九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）对于平面内和外一点，若过点的直线与有两个不同的公共点，点为直线上的另一点，且满足(如图1所示)，则称点是点关于的密切点． 已知在平面直角坐标系中， 的半径为2，点． (1)在点中，是点关于的密切点的为__________． (2)设直线方程为，如图2所示， ①时，求出点关于的密切点的坐标； ②的圆心为，半径为2，若上存在点关于的密切点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）E；（2）①；②或 【分析】(1)用假设法通过特殊位置判断; （2）①拿出直线解析式，联立与圆的位置根据勾股定理求得M,N两点的横坐标，根据题目条件信息转化即可求解. ②作出点关于的密切点的运动轨迹，根据图像即可求出取值范围. 【详解】解：(1)当圆心在坐标原点上时，直线为时，易得： ,, ∵，设Q点坐标为, 解得， 故是点关于的密切点. (2)①依题意直线方程过定点 ∴直线方程为 如右图，作轴于点，轴于点． 设 由得 ∴ 点的横坐标是方程的两根 解得 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ②点关于的密切点的轨迹为线段,为切点弦(不含端点)． 或 【点睛】本题属于阅读创新类型题目，解题的关键在于读懂题目信息，根据关键信息理解求解作答. 【经典例题十二 三角形外接圆的说法辨析】 【例12】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题关键．根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心的性质逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的外心的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形外部，还可能在斜边上，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； D、等腰钝角三角形的外心在三角形外部，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）三角形的外心是 的交点． 【答案】三角形三条边的线段垂直平分线 【分析】本题主要考查了三角形外心的概念，掌握外心的定义和性质是本题的解题关键． 【详解】解：∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相同， ∴三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点， 故答案为：三角形三条边的线段垂直平分线． 3．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】直接作出线段的垂直平分线，进而得出答案． 【详解】解：即为所求．    【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确掌握垂直平分线的性质是解题关键． 【经典例题十三 求三角形外心坐标】 【例13】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 1．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明垂直平分，垂直平分，进而得出，，等量代换即可求解． 【详解】解：如图，连接，， E是的外心， ， P，Q分别是，的中点， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故答案为：12． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 【经典例题十四 求特殊三角形外接圆的半径】 【例14】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的特点，分当边长为8的边为直角边和斜边两种情况，根据直角三角形的斜边为其外接圆的圆心进行求解即可． 【详解】解：当边长为8的边为直角边时，则斜边长为， ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，即直角三角形的斜边为其外接圆的圆心， ∴此时该直角三角形外接圆的半径为5； 当边长为8的边为斜边时，则该直角三角形外接圆的半径为4； 故该直角三角形外接圆的半径为4或5， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；根据勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而即可得到结论． 【详解】解：直角边长分别为6和8， 斜边是10， 这个直角三角形的外接圆的半径为5， 故答案为： 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 【经典例题十五 己知外心的位置判断三角形的形状】 【例15】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形． 首先根据题意画出图形，连接，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：的位置如解图所示，连接， 的外心为， ，由图可知， ． 故选：D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x＋2交x轴于点A，交y轴于点B，点C在y轴正半轴上，AC＝4． （1）如图（1），求OC长； （2）如图（2），过点C作AB的垂线交x轴于点D，点E为垂足，求直线CD的解析式； （3）如图（3），在（2）的条件下，点P在CE上，AP交BC于点F，点G在AF上，∠BGO＝45°，AF﹣FB＝2（FG＋1），求点P的坐标． 【答案】（1）4；（2）y=2x+4；（3）． 【分析】（1）先确定A的坐标，进而确定OA的长，再结合AC＝4运用勾股定理解答即可； （2）先确定B的坐标，进而确定OB的长，再证明△AOB≌△COD得到OB=OD=2，进而确定C点坐标，最后运用待定系数法解答即可； （3）先求出点E的坐标，再设P（t，2t+4）（＜t＜0），再用两点法表示出直线AP的解析式，进而表示出F的坐标；设G（s,）（0＜s＜4），可得点G在以圆心（1，1），半径为的圆上，进一步得到（s-1）2+[（s-4）-1]2=2，再由AF-FB=2（FG+1）可得4· ， 化简得 ，然后求出s,再求出t,最后确定P的坐标即可． 【详解】解：（1）如图1∵直线y＝﹣x＋2交x轴于点A ∵当y=0时，x=4， ∴A（4，0），即OA=4， ∵AC＝4，∠AOC=90° ∴OC=； （2）∵直线y＝﹣x＋2交y轴于点B ∵当x=0时，y=2， ∴B（0,2），即OB=2 ∵∠AOB=∠CEB=90° ∴∠ECB+∠EBC=∠OAB+∠OBA=90° ∵∠EBC=∠OBA ∴∠ECB=∠OAB ∵OC=OA=4 ∴△AOB≌△COD ∴OB=OD=2 ∴D（-2，0） ∵OC=4， ∴C（0,4） 设CD所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴，解得 ∴直线CD的解析式为y=2x+4； （3）由点E为y＝﹣x＋2和直线CD的交点 则，解得，即点E（，） 设P（t，2t+4）（＜t＜0） 则直线AP的解析式为 ∴F（0，） 设G（s,）（0＜s＜4），则∠BGO=45°，即点G在以圆心（1，1），半径为的圆上 ∴（s-1）2+[（s-4）-1]2=2① ∵AF-FB=2（FG+1）， ∴4· ， 化简得： ② 代入①得（s-1）2+=2,解得s= 将s=代入②得t= ，则2t+4= ∴． 【点睛】本题属于一次函数与几何的综合题，主要考查了一次函数解析式的确定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识解题是解答本题的关键． 【经典例题十六 判断三角形外接圆的圆心位置】 【例16】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点D在的边上的中垂线上， ∴点D是外心． 故选：A． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 【经典例题十七 判断确定圆的条件】 【例17】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 3．（22-23九年级上·广东深圳·期末）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得△PBC的面积； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， ∵等边△ABC的边长为8， ∴等边△ABC的面积=， ∵PB=3AP， ∴△BPC的面积为； 故答案为：12； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O， ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB=5，且B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′=2OB， ∴∠PBO=30°， ∴OP=PB=，OB=， ∴BB′=5； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC， 由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动， 当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大， 在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6， ∵PA=2， ∵∠PAH=60°， ∴AH=1，PH=， ∴BH=6+， ∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题十八 确定圆心(尺规作图)】 【例18】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 2．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理的应用、勾股定理， （1）在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为该弓形的圆心； （2）设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接，则，．设弓形的半径为，则，．由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求； （2）解：设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接， 则，， 设弓形的半径为， 则，． 由勾股定理得，， 即， 解得， 弓形的半径为2． 【经典例题十九 求能确定的圆的个数】 【例19】（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 1．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【经典例题二十 画圆(尺规作图)】 【例20】（2024·吉林长春·三模）如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 1．（2024·广西钦州·一模）如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，逐一分析即可． 【详解】解：由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线， ∴，， ∴， 故A，B，D的结论正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，根据作图痕迹识别出作的是线段AB的垂直平分线是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】r3 ＜r2 ＜r1 【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可. 【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径 ∴r3＜r2＜r1 故答案为：r3＜r2＜r1 【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键. 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查复杂作图，垂线段最短，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图（过直线外一点作已知直线的垂线），逐步操作．过点作于点，以点为圆心，为半径画圆即可． 【详解】解：过点作于点，以点为圆心，为半径画圆， ∴点到的距离为的长， ∵垂线段最短， ∴此时与的交点到圆心的距离最短，     则即为所作． 1．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况． 【详解】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接， 在中，， 由勾股定理得：，则， ； 如图②， 同（1）可求得，则， ， 综上，的面积是32或8， 故选：B． 4．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据题意得到，，利用勾股定理，在直角三角形中求出，进而得到即可求出． 【详解】解：连接，如图所示： ，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-画弧、矩形性质、勾股定理及线段和差等知识，读懂题意，根据几何性质找到线段之间的关系是解决问题的关键． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 7．（22-23九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 9．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形两边边长， 当是两直角边长时， 则斜边长为， 这个直角三角形的外接圆半径为， 当是斜边边长时， 则另一条直角边长为， 则这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：或． 10．（2023·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （Ⅰ）四边形外接圆的半径为 ． （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点，连接，交于点．连接并延长交圆于点，连接即为所求． 【分析】（Ⅰ）根据格点的特征及勾股定理确定四边形ABCD外接圆的圆心，从而求解半径； （Ⅱ）利用格点特征及垂径定理的推论，取格点，连接，交于点．取格点，连接并延长交圆于点，连接即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）四边形ABCD外接圆的圆心位于格点O的位置，连接OA，OB，OC，OD， 由题意可得OA=OB=OC=OD= 故答案为： （Ⅱ）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接， 由格点特征结合四边形外接圆的半径可得△EFK≌△ODG， ∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD ∴点P是的中点 ∴∠CAP=∠DAP ∴即为所求 【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理的推论等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数.    【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．    12．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2)的半径为，点在上 【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心的坐标； （2）求出的半径和的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，圆心即为所作， ， 圆心的坐标为； （2）解：∵， ∴的半径为， ∵， ∴点在上． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【答案】(1)见解析 (2)，外接圆的半径是 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键． （1）作和的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出； （2）连接并延长交于点D，连接，在直角中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径． 【详解】（1）解：即为所作；    （2）连接并延长交于点D，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径是r，则，， 在直角中，，即， 解得：，则外接圆的半径是． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $$