13.3 全等三角形的判定（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

13.3 全等三角形的判定 第3课时 ASA、AAS 数学（冀教版） 八年级 上册 第十三章 全等三角形 学习目标 1.已知三角形的两角和一边，有哪几种可能的情况； 2.已知两个三角形的两角和一边分别相等，能否判断两个三角形全等； 　 导入新课 (Thales，约公元前625～前547年) 泰勒斯(古希腊哲学家) 有一天泰勒斯发现，可以用下面的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离． 如图，A是观察点，船P在A的正前方，过A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点．观测者从B点沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸的距离． A P ∟ l ∟ K O B 你知道为什么吗？ 讲授新课 知识点一 ASA证明两个三角形全等 讨论——1.用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗? 不能完全重合 能完全重合 讲授新课 2.如图，△ABC与△PQR、△DEF能完全重合吗? 通过旋转和平移，△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF能完全重合。 讲授新课 操作——按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB=a，∠A=∠α，∠B=∠β。 作法 图形 1.作AB=a； 2.在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β，AM、BN相交于点C； △ABC就是所求作的三角形。 A C B 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗? 能完全重合 讲授新课 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 由此可以得到基本事实（ASA）的推论： 讲授新课 典例精析 【例1】如图，AD=AC，∠1=∠2，∠C=∠D，点E在线段BC上。求证：△ABC≌△AED。 【分析】由图可知： 已知、已证的条件为两角及其夹边，可用“ASA”证明全等。 ⇓ ∠1+∠EAC=∠2+∠EAC⇓ ∠BAC=∠EAD ⇓ 角相等 讲授新课 在△ABC和△AED中，， ∴△ABC≌△AED（ASA）。 证明：∵∠1=∠2，（已知） ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， 即∠BAC=∠EAD，（等量代换） 讲授新课 练一练 1、已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB． 求证：BE＝DF，DE＝CF． E A B C D F 证明：∵DE∥AC，DF∥AB（已知）， ∴∠EDC＝∠C，∠B＝∠FDC （两直线平行，同位角相等）. ∵D是线段BC的中点（已知）， ∴BD=DC（线段中点定义）. 在△EBD和△FDC中， ∴△EBD≌△FDC(ASA)， ∴BE＝DF，DE=CF（全等三角形对应边相等）. 讲授新课 2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C (1)求证：△ABE≌△ACD A B C D E O 解：(1)证明 ：在△ADC和△AEB中 ∴△ACD≌△ABE（ASA） (2) ∵△ACD≌△ABE（已证） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） ∴AB-AD=AC-AE（等式性质） ∴BD=CE (2) BD和CE相等吗? 讲授新课 知识点二 AAS证明两个三角形全等 思考——如图，在△ABC和△MNP中，∠A=∠M，∠B=∠N，BC=NP。△ABC与△MNP全等吗?为什么? C A B P M N 由三角形内角和定理可知：∠C=∠P， 根据“ASA”可以证明△ABC≌△MNP。 讲授新课 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实： 讲授新课 典例精析 【例2】如图，已知△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，求证：AD=A’D’。 【分析】要证AD=A’D’，只要证△ABD≌△A’B’D’。 由于在△ABD和△A’B’D’中，∠ADB=∠A’D’B’=90°，所以只要证AB=A’B’，∠B=∠B’。 由图可知：已知、已证的条件为两角及一角的对边，可用“AAS”证明全等。 讲授新课 证明：∵△ABC≌△A’B’C’，（已知） ∴AB=A’B’，∠B=∠B’，（全等三角形的性质） ∵AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，（已知） ∴∠ADB=∠A’D’B’=90°，（高的定义） 在△ABD和△A’B’D’中，， ∴△ABD≌△A’B’D’（AAS）， ∴AD=A’D’。（全等三角形的性质） 讲授新课 练一练 1.已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B、E，AE、BC相交 于点F，且AB=BC. 求证：△ABF≌△CBD.（利用“AAS”） A E D C B F 证明：∵ CB⊥AD，AE⊥DC ， ∴∠ABF＝∠CBD ＝∠AED＝90°， ∴∠A＋∠AFB＝90°, ∠A＋∠D＝90°. ∴∠AFB=∠D. 在△ABF和△CBD中， ∴△ABF≌△CBD(AAS). 讲授新课 2. 已知：如图，∠ A＝∠D，∠ACB＝∠DBC． 求证：AB＝DC. A B D C 证明:在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌ △DCB(AAS). ∴AB=DC(全等三角形对应边相等). 讲授新课 讨论——1.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的中线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 证明：∵△ABC≌△A’B’C’，（已知） ∴AB=A’B’，∠B=∠B’，BC=B’C’，（全等三角形的性质） ∵AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的中线，（已知） ∴BD=BC，B’D’=B’C’，（中线的定义） ∴BD=B’D’，（等量代换） 讲授新课 在△ABD和△A’B’D’中，， ∴△ABD≌△A’B’D’（SAS）， ∴AD=A’D’。（全等三角形的性质） 讲授新课 2.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 【分析】要证AD=A’D’，只要证△ABD≌△A’B’D’。 由于在△ABD和△A’B’D’中，∠BAD=∠BAC，∠B’A’D’=∠B’A’C’，所以只要证∠BAD=∠B’A’D’，AB=A’B’，∠B=∠B’。 讲授新课 2.如果AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，那么AD与A’D’相等吗?试证明你的结论。 证明：∵△ABC≌△A’B’C’，（已知） ∴∠BAD=∠B’A’D’，AB=A’B’，∠B=∠B’，（全等三角形的性质） ∵AD、A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，（已知） ∴∠BAD=∠BAC，∠B’A’D’=∠B’A’C’，（角平分线的定义） ∴∠BAD=∠B’A’D’，（等量代换） 讲授新课 在△ABD和△A’B’D’中，， ∴△ABD≌△A’B’D’（ASA）， ∴AD=A’D’。（全等三角形的性质） 讲授新课 全等三角形的性质补充： 全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等。 当堂检测 1. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是____________. ASA 当堂检测 2.已知：如图，已知AC平分∠BAD， AB⊥BC，AD⊥DC，可以证明△ABC≌ ________，依据是____________ A C D B △ADC AAS 当堂检测 D A C B 3.如图，已知．请将下列说明的理由补充完整． 证明：（已知） ∴________________（两直线平行，内错角相等） 又（已知） ∴_________________（等式的性质） 在和中 （________） （全等三角形的对应边相等）． ∠ADB=∠CBD ∠ABD=∠CDB ∠ADB=∠CBD BD=DB ∠ABD=∠CDB ASA 当堂检测 4.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AE=AF，∠B=∠C 求证： BF=CE. A B C F E O 证明 ：在△ABE和△ACF中 ∴△ABE≌ △ACF（AAS）, ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）. ∵AE=AF（已知）, ∴AB-AF=AC-AE（等式性质） ∴BF=CE. 当堂检测 5.如图，已知点𝑬在△𝑨𝑩𝑪的外部，点𝑫在𝑩𝑪边上，𝑫𝑬交𝑨𝑪于𝑭，若 ∠𝟏=∠𝟐=∠𝟑，𝑨𝑪=𝑨𝑬，则有( ) A E D C B A． B． C． D． 提示：由∠2=∠3可得∠C=∠E D 当堂检测 A E F C B D （1）如果AD是△ABC的中线，那么BE与CF相等吗？为什么？ 6.已知：如图，在△ABC中，BE⊥AE，CF⊥AE，BE、CF与AE分别交于点E、F. （1）解：BE与CF相等.理由如下： ∵ AD是△ABC的中线, ∴ BD=CD= BC.（中线定义）， ∵ BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠E=∠DFC=90°. 在△BDE和△ CDF中， △BDE≌ △ CDF(AAS)， ∴BE＝ CF（全等三角形对应边相等）. 当堂检测 6.已知：如图，在△ABC中，BE⊥AE，CF⊥AE，BE、CF与AE分别交于点E、F. （2）如果BE=CF，那么AD是△ABC的中线吗？为什么？ A E F C B D （2）解：AD是△ABC的中线.理由如下： ∵ BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠E=∠DFC=90°. 在△BDE和△ CDF中， △BDE≌ △ CDF(AAS)， ∴BD＝ CD（全等三角形对应边相等）. ∴ AD是△ABC的中线（中线定义）. 当堂检测 7. 如图，∠DCE=90°，CD=CE，DA⊥AC，EB⊥AC，垂足分别为A、B. (1)求证:△ACD≌ △BEC； 解:(1)证明:∵∠DCE=90°,EB⊥AC, ∴∠ECB+∠ACD=90°,∠E+∠ECB=90°. ∴∠ACD=∠E. ∵DA⊥AC,EB⊥AC, ∴∠A=∠EBC=90°. 在△ACD和△BEC中, ∴△ACD≌ △BEC(AAS). A E D C B 当堂检测 7. 如图，∠DCE=90°，CD=CE，DA⊥AC，EB⊥AC，垂足分别为A、B. (2)请通过观察或测量线段AD、AB、BE的长度,猜想线段AD、AB、BE之间的数量关系,并证明你的猜想. A E D C B 解：(2)线段AD、AB、BE之间的数量关系是:AD+AB=BE. 证明如下: ∵△ACD≌ △BEC, ∴AD=BC,AC=BE. ∴AD+AB=BC+AB=AC. ∴AD+AB=BE. 当堂检测 A C B D F E 8.点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l的异侧，AB∥DE、∠A=∠D，测得AB=DE. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若BE=12 m，BF=4 m,求FC的长度. 解:(1)证明:∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA). 当堂检测 A C B D F E 9.点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l的异侧，AB∥DE、∠A=∠D，测得AB=DE. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若BE=12 m，BF=4 m,求FC的长度. 解: (2)∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF. ∴BF+FC=EC+FC. ∴BF=EC. ∵BE=12 m，BF=4 m， ∴FC=12-4-4=4(m). 课堂小结 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA”）. 判定定理：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（简写为“角角边”或“AAS”）. 谢 谢~ $$