专题03 解直角三角形的重要最值模型之胡不归模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题03 解直角三角形的重要最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 2 12 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线且时最短，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，过点P作于点E，如图所示： ∴，∴，∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示： ∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 例2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，∴， ∴， ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过作，菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，，，当、、三点共线时，取得最小值， ，，， 在中，，则的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG． 例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°， 作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°， 在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM， ∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°， 在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝， ∴DB+OD的最小值为，故选：B． 例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°， 设，则,∵，∴，∴，∴， ∵PJ⊥CB，∴，∴，∴， ∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵，而一定， ∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上， ∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大， 此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．   ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长． 例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． （1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值； 【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为； 【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度． 【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0）， 令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D， ，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1． （2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H， 设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t， t+1）， ∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+， 当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大． ∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1）， 在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝ 过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M， ∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG， 当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM， ∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合， 令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，）， ∴点G（，），PG﹣GE的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强． 1．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     【答案】 【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为， ∵，，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴，， ∴，∴，故答案为．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____． 【答案】3 【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F, ∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP; ∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3; ∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时, PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定. 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3． 4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 5．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，线段的和最小， ∵，，∴， 即：的最小值等于3；故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题． 6．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________． 【答案】 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°， ∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形， ∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE， 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为8，∴DE=， ∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 7．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分，∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，，∴，∴， ∵，∴， 即最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 8．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线且时最短，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，过点P作于点E，如图所示： ∴，∴，∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示： ∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值． 【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点， ，且，， ，． ，∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为． ，．又，，∴四边形是矩形， ，，， ．故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键． 10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___． 【答案】4 【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论． 答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点， 令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3， 又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD， ∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD）， 当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长， 此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4， ∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4． 11．（2023·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小， 当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可． 【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD， 即，四边形ABCD是平行四边形， ，，四边形ABCD是菱形， 过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图， ，， ，，， ，， ，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图， ，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小， 当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可． 12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小． 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握． 13．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解； （2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解； （3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 14．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据求解；（2）过点P作于点K，连接，，先证垂直平分，推出，再证，可得，由此可解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点N，作交的延长线于点H，过点C作于点M，    在中，，，， 在中，，，，同理可得， ，，， ； （2）解：如图，过点P作于点K，连接，，    由（2）知中，，，， ，， ，， 是直角三角形，，， 又F是边上的中点，垂直平分，． 在中，， ，， 由（2）知，的最小值是． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，垂直平分线的性质，直角三角形的判定，勾股定理等，涉及知识点比较多，有一定难度，解题关键是综合应用上述知识点，第3问中需要证明是直角三角形． 15．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？        （1）直接判断：___________（填“”或“”）；在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究：（2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展：（3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，如图4，点在上，且，直接写出的最小值为__________． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①是正方形，理由见解析；② 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，证明，由此可得； （3）①连接．先证,容易证明,则,故可证四边形为正方形． ②作交的延长线于点，作交于点． 先证则 由，得为等腰直角三角形，得到 于是．可证 则； 再作点关于的对称点，则 ． 作交的延长线于点，易证 再由得到的最小值 因此,的最小值为． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，，， ，，，， 在和中，，，，故答案为：； （2），理由如下：如图，过点A作，交于点H，交于点N，                ，，， 四边形是正方形，，，， ，，四边形是平行四边形，， ，，， 在和中，，，，，； （3）①连接．由（2）的结论可知：．四边形是正方形 在和中，（） 由折叠可知：． 四边形为菱形， 又四边形为正方形． ②作交的延长线于点，作交于点． ∴ 由是正方形的对角线知，，∴为等腰直角三角形， ． ； 作点关于的对称点，则． 作交的延长线于点，易证 的最小值即的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最值问题等，涉及知识点多，第三问难度很大，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想． 16．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式；（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标． 【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为 【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解； （2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解； ②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C， ∴当 时， ，∴点 ，将点 ，代入，得： ， ∴直线BC的解析式为 ，当 时， ，∴点B（4,0）， 将点，B（4,0），代入，得： ，解得： ，∴抛物线解析式为 ； （2）①设 ，则 ， ∴ ，设△PEF的周长为m， ∵，∴∠PEF=∠BCO，∵∠PFO=∠BCO=90°，∴△PFE∽△BOC，∴ ， ∵点B（4,0）， ，∴ ， ∴ ，∴， ∴， ∴当 时，m最大，此时 ，即的周长为最大值时点P的坐标为； ②抛物线的对称轴为 ， 如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， ∴ ， ， ∴， ∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM， ∵∠MGO=60°，∴∠MOG=30°，∵，∴ ， ， ∴∠POB=60°，∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，∴点P、O、M三点共线， 设直线AC的解析式为 ，∵ ， ∴ ，解得： ，∴直线AC的解析式为 ， ∵，∴可设直线BG的解析式为 ， 把点B（4,0），代入得： ，∴直线BG的解析式为 ， ∴点 ，∴ ，∴，∴PM=10， ∴的最小值为10，∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ， ∴此时点H的纵坐标为 ， ∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 17．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）在中，，是上一点． (1)如图1，是中点，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，试猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点E作交于点G，由题意得到，利用勾股定理得到，根据是中点，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的长； （2）延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，证明，得到，设，则，根据点C，Q分别为的中点推出，得到，由三角形外角的性质得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出结论； （3）连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；根据是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，则，由题意证明，得到，进而得到，是等腰直角三角形，推出，，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，最后根据，利用锐角三角函数求解出的长即可得出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点E作交于点G，    ，， ，即， ， ，即， ，， 是中点，， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，    线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，， ， ，， ， ， 设，则， 点C，Q分别为的中点， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，即； （3）解：如图，连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；    是等腰直角三角形，点P是的中点， ，，， ， ， ，则， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，    ， 在中，， ， ， 都是直角三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合问题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，正确构造辅助线，证明三角形全等和构造直角三角形是解题的关键． 18．（2023上·重庆·八年级校考期中）在等边中，点D为边上一点，连接．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，将线段绕A点顺时针旋转至位置，连接，交于点F，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，若点D为直线上一点，过点E作于点G，，连接 FG， BE，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，求出，得到，利用勾股定理得到，再证明，得到，则； （2）如图所示，在上截取，连接交于T，证明，得到，，证明，由旋转的性质可得，进而推出，，则，，由此证明，得到，即可证明； （3）如图所示，将绕点A顺时针旋转度得到，连接，易证，得到，则点E在直线上运动，设直线交直线于S，证明，得到，由（2）可得，则由直角三角形的性质可得；如图所示，左点B关于直线的对称点H，连接，过点H作交直线于R，连接分别交于，则当三点共线时，最小，即此时最小，且此时点E和点F分别与点、点重合，易证，由轴对称的性质可得，进一步推出，则，证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；    （2）证明：如图所示，在上截取，连接交于T ∵是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，即， 由旋转的性质可得，∴， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴；    （3）解：如图所示，将绕点A顺时针旋转度得到，连接， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴点E在直线上运动，设直线交直线于S， ∵，∴，∴， 由（2）可得，∵，∴，∴， 如图所示，左点B关于直线的对称点H，连接，过点H作交直线于R，连接分别交于，∴，∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，且此时点E和点F分别与点、点重合，∴ ∵，∴， 取的中点W，连接，则是的中位线，∴， ∴由平行线的唯一性可知与重合，即点W与点B重合，∴， 由轴对称的性质可得，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，直角三角形的性质等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形的重要最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 2 12 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 例2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（　　） A． B． C． D． 例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． （1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值； 1．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 5．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 6．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________． 7．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 8．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___． 11．（2023·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    13．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 14．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 15．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？        （1）直接判断：___________（填“”或“”）；在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究：（2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展：（3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，如图4，点在上，且，直接写出的最小值为__________． 16．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式；（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标． 17．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）在中，，是上一点． (1)如图1，是中点，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，试猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，，连接，若，直接写出的最小值． 18．（2023上·重庆·八年级校考期中）在等边中，点D为边上一点，连接．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，将线段绕A点顺时针旋转至位置，连接，交于点F，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，若点D为直线上一点，过点E作于点G，，连接 FG， BE，当取得最小值时，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$