专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 1 16 【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例1．（2024·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析． 【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论． （2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN． 例2．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．    (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系． (2)当时．①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立，并说明理由． ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，成立，理由见解析；②四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意得，进而可得，得出，由，推出，即可得出答案；（2）①由是等腰直角三角形，，，可得，推出仍然成立；②如图3，过点作于点，由旋转得：，进而得出，推出，再由，推出，可得，利用平行四边形的判定即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，当时，点在线段上，          ，，，是等腰直角三角形，， ，，，， ，，，即， ；∴． （2）①仍然成立理由如下：如图2， 是等腰直角三角形，，， 在中，，，，， ，，，， ，，，仍然成立． ②四边形是平行四边形．理由如下：如图3，过点作于点， 由旋转得：， ，，，， ，，，， ，，由①知，， ，，， ，， ，，， ，四边形是平行四边形． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键． 例3．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)(2)成立；理由见解析(3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，， ∴，∴；故答案为：．    （2）解：成立；理由如下：∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵ ∴，∴；          （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则，根据解析（2）可知，， ∴，∴， 根据解析（2）可知，，∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去），∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则，根据解析（2）可知，， ∴，∴， 根据解析（2）可知，，∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去），∴此时；综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 【答案】(1)，(2)，，证明见解析(3)(4)或 【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形的外角的性质即可求解；（2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论； （4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， 又∵，，∴，∴， 设交于点，          ∵∴，故答案为：，． （2）结论：，； 证明：∵，∴，即， 又∵，，∴∴， ∵，，∴， ∴， （3），理由如下， ∵，∴，即， 又∵和均为等腰直角三角形∴，∴，∴， 在中，，∴，∴； （4）解：如图所示， 连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点， 延长至，使得，则是等腰直角三角形， ∵,∴， ∵，∴∴，∴， ∵，在中，， ∴∴ 过点作于点，设，则， 在中，，在中， ∴∴解得：，则， 设交于点，则是等腰直角三角形，∴ 在中，∴∴ 又，∴∴ ∴，∴∴， 在中， ∴， 综上所述，或故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键． 例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及外角定理得到，则，即可求证； （2）连接，证明，则，即；（3）如图①，当点在同一直线上，连接，先证明 ，继而得到，则，则，可得，故，即可求解；如图②，当点O为中点时，，在中，由勾股定理得，则，而此时三点共线，故点B和点E重合，由点M是直线与直线的交点，得到三点重合，故此时的长为的长． 【详解】（1）解：为等腰三角形， 理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 例6．（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形和正方形，得到继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是中点，得到，继而得到 ． （2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可． （3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接，结合是中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，其周长为． 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形，∴∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得； ∵H是中点，∴，∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点，∴，，∴， ∵正方形和正方形，∴，，， ∴，∵∴， ∴，∴，， ∴，，故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， 取的中点O，连接，∵是中点，∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，∴其周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义是解题的关键． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，，，， ，，，，， ，，，， ，，， ．故答案为：． 1．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用勾股定理分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，    ，，，设，， ，，， ，，，， 在和中，，， ，，，．故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2023春·浙江丽水·九年级专题练习）如图，在中，过点C作，垂足为点D，过点D分别作，，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若，，则的值为（    ）． A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】由题意易得出，即说明点C，E，D，F四点共圆，得出，从而易证，得出．由题意可求出，即可求出． 【详解】解：∵，，∴， ∴点C，E，D，F四点共圆，∴，即． 又∵，∴，∴，∴． ∵，，∴，∴．故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C，E，D，F四点共圆，从而可得出证明的条件是解题关键． 3．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知，，，将绕点A顺时针旋转得到，且点G落在对角线上，延长交于点H，则的长为 ．    【答案】 【分析】先利用平行四边形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明，然后利用相似比求出，从而得到的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，， ∵将绕点A顺时针旋转得到，且点G落在对角线上， ∴，，，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长，根据旋转的性质得到，然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出是本题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，其中，与、分别交于点、.求： （1） ；（2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记定理内容，寻找几何条件证相似是解题关键． （1）证可得，据此即可求解；（2）证得，可进一步证，结合条件可得均是三边比例为的直角三角形，设，则，根据即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴， ∴，即：，∵，∴， ∵，，∴，∴均是三边比例为的直角三角形， 设，则，∴， 解得：，∴，故答案为：①②． 5．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，等腰直角中，，，，是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等腰直角，，，若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识点，取中点，连接，连接，连接并延长交于点，由等腰直角三角形的性质结合解直角三角形得出，，证明，得出，证明，得出，，证明为中位线，得出，再由相似三角形的性质可得，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，连接，连接并延长交于点，   ， 为的中点，为中线，，，，， 为中点，为中线，，， ，，为中线，，平分， 平分，， 是等腰直角三角形，，，，， ，，，，， ，，， ，， ，，， ，，，，， ，，，垂直平分， 为上一点，，，，， 为中点，为中点，为中位线，，， ，，，， ，，，故答案为：． 6．（2024·江苏·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度． 【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由见解析；图见解析， 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接BD，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论； （3）如图3，过A作AF⊥EC，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE； （2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA， ∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE． （3）如图所示，过点A作AF⊥CE，垂足为点F． 根据题意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD， ∴，∴． ∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD， ∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE． 在旋转前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4， ∴，∵AC⊥BD， ∴，∴．∴， 在Rt△ACD中，CD边上的高，旋转后，得，∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． 7．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证； （2）根据题意可知，，设则,求得,分别求得,根据，即可求得； （3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值 【详解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°， 即 设，则, （2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且 将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E， ， ， 三点共线， ，设则 （3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的， 使得的落点为,的落点为， 过点作于点,交的延长线于点， 作点关于的对称点,连接 则， 当点三点共线时，取等于号 由作图知:， 且, ，AB＝5 , 四边形是矩形 在中 在中， 四边形是矩形, 四边形是矩形, 在中， 的最小值为 【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键． 8.（2023.山东.九年级期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 【分析】 （1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明； （3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长． 【详解】 解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，， ，， ，； （2）四边形是正方形，，， ，同理可得，， ，，； （3），，， ， ，，即，， ，， 即正方形的边长为． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质． 9.（2023.重庆.九年级期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴A，，，∴， 在和中，，∴， ∴，故答案为：； （2）变式探究：，理由如下：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解决问题：连接、，如图所示: ∵四边形是正方形，∴，， ∵是正方形的中心，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴，∵，∴， 设，则，在中，，即， 解得，（舍去），，∴正方形的边长为：． 【点拨】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． 10．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，D是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． (1)【尝试初探】 如图1，当点D在线段上运动时，，相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． (2)【深入探究】 如图2，当点D在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值． (3)【拓展延伸】 如图3，当点D在的延长线上运动时，，相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论； （2）如图，过点作于点，先根据等边三角形的性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据正切的定义求解即可； （3）如图，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，，根据等边三角形的性质可得， ，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：如图，，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴； （2）如图，过点作于点，    ∵是边长为3的等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∴； （3）如图，过点作于点，    ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则，， ∵，是边长为3的等边三角形， ∴， ， ∴，   ∵， ∴， 即， 解得， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）【探究发现】（1）在△中，， ，分别为上的点，且，取中点，连接；则与的数量关系为： ；与的夹角为： ． （2）【类比迁移】在（1）的条件下，将△绕点旋转度（），连接，取中点，连接，证明：无论取何值，△都是等边三角形． （3）【拓展应用】如图，已知：，，，三点共线，，取中点，连接， ①证明：， ②连接，则 ． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）①见解析，② 【分析】（1）连接、，由，得到，结合∵，得到∴，结合是中点，得到，，结合，得到，、、三点共线，由 ，是中点，得到， 与的夹角为， （2）连接，由，结合，，得到，，由为的中位线，得到，，由 ，，得到，，得到，即可求证， （3）①取中点，连接，由（1）得，由，得到，即，由三点共线，得到，四边形是平行四边形，结合，得到四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求证， ②连接，，由，，得到，结合是中点，到，，依次求出，，，，在中，根据勾股定理，得到，，，进而得到，，由，，得到，由，由即可求解， 本题考查了，勾股定理，三角函数，中位线的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∵ ，是中点， ∴， ∴与的夹角为， （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ， ， 分别为的中点， 为的中位线， ， ， ，， ∴， ， ， ∴， ∴无论取何值，△都是等边三角形， （3）①取中点，连接， 由（1）得 三点共线 ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ， ②连接，， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴，， 又∵，，， ∴，，， 在中，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·贵州铜仁·一模）如图1，已知中，，，，、分别是、上的点，，绕点顺时针旋转． (1)【问题解决】如图①，用等式表示线段与的数量关系是_________； (2)【问题探究】当旋转到如图②所示，判断线段与的数量关是否发生变化？并说明理由； (3)【拓展延伸】当，旋转过程中，当、、共线时，若，求的长．（作图解决问题） 【答案】(1) (2)不变，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据，得出，，进一步得出结果； （2）可证明，从而，进一步得出结果； （3）先求得的长，当点在上时，根据勾股定理求得的长，从而得出的长，进而得出的长，同样求得当点在的延长线上时的值． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：与的关系不发生变化，理由如下： ， ， ， 由（1）知，， ， ， 由（1）得，； （3）解：如图1， 当点在上时， ，，， ，， ， ， ， ， ， 由（2）知，， 如图2， 当点在的延长线上时， 由上知，，， ， ， 综上所述：． 13．（23-24九年级下·辽宁盘锦·开学考试）一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”．    (1)【概念理解】如图1，，则四边形 （填“是”或“不是”）等腰直角四边形； (2)【分析应用】如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段数量关系并加以证明； (3)【拓展提高】如图3，四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线， 且，求的面积． 【答案】(1)是 (2)，，证明见解析 (3)9 【分析】（1）根据，得到，得到，得到，即得四边形是等腰直角四边形； （2）设与交于点F，判定不是等腰直角三角形， 与都是等腰直角三角形，得到，推出，得到，即得； （3）在上方作等腰直角，连接，设与交于点M，与交于点G，得到，，到，根据，得到，根据，得到，，推出，，根据，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形是等腰直角四边形； 故答案为：是； （2），．证明： 设与交于点F， ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点D作，使，连接，设与交于点M，与交于点G， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义——“等腰直角四边形”．熟练掌握新定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，是解决问题的关键． 14．（2024·广西南宁·二模）综合与实践 【问题情境】在《综合与实践专题》课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B） 【数学思考】 （1）当时，延长DE交AC于点G，求证：四边形BCGE是正方形； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N，则有请你予以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长．请你思考此问题，并写出求解过程． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②，过程见解析． 【分析】先证明四边形是矩形，再由≌可得，从而得四边形是正方形； ①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论； ②设AB，DE的交点为M，过M作于G，则易得，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】证明：， ， ∵， ∴， ， 四边形为矩形， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； 证明：∵交BE的延长线于点M， ， ∴， ， ∴，即， ， ∵， ∴， 由得， ∴； ②解：如图，设AB，DE的交点为M，过M作于点G， ∵≌， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是BD的中点， 由勾股定理得， ， ， ， 即， ， ∵，，， ∴∽， ， ， ∴的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是适当添加的辅助线、构造相似三角形． 15．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． (2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． (3)【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②； (3)度，，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中， ①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由：如图3中， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 16．（2023·四川成都·三模）如图，在和中，其中，，将绕点C旋转，连接，． (1)求证：； (2)设与交于点F，与交于点G，若四边形为平行四边形，求的值； (3)连接，，若，，当点D在射线上时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）分别求出，与的关系，可得结论； （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，过点作与点．如图中，当点在的延长线上时，分别利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：，， ，，， ，， ； （2）解：①连接，如图2所示： 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ，，， ，即， ； （3）如图中，当点在线段上时，过点作与点． 在中，，， 在中，，， ，， ，， 在中，，， 在中，， ． 如图中，当点在的延长线上时，同法可得． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 17．（22-23九年级上·河南郑州·期中）已知，点D为直线上的一个动点（点D不与点B重合），连接，以为一边构造，使，连接． (1)如图1，当时，直接写出线段与线段的数量关系与位置关系∶ ①数量关系：________； ②位置关系：_________； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，分别取线段，的中点M，N，连接，若，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；② (2)，，理由见解析 (3)1或9 【分析】(1) ①根据，，得证，结合，证明即可． ②根据，得到，结合，得到，从而得到即可． （2）根据，，得证，结合，证明即可． （3）分点D在线段和的延长上两种情况求解，解答时，注意相似三角形性质的运用． 【详解】（1）①线段与线段的数量关系是，理由如下： 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以． ②线段与线段的位置关系是，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2）线段与线段的数量关系与位置关系为，，理由如下： 由⑴得：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，，． （3）当点D在线段时，如图，过点A作于点F， 则， 因为， 所以， 解得， 因为，， 所以， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴． 因为是中位线， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，线段，的中点M，N， 所以， 所以， 所以， 所以； 当点D在线段的延长上时，如图，过点A作于点F， 则， 因为， 所以， 解得， 因为，， 所以， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴． 因为是中位线， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为，线段，的中点M，N， 所以， 所以， 所以， 所以； 所以为1或9． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角函数，分类思想，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 18．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，推得，根据等边对等角可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可证明；（2）①根据平行线分线段成比例定理可得，推得，，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：在图（1）中，∵，∴； 在图（2）中，根据旋转的性质，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：①在图（1）中，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴在图（3）中，，∴， 在和中，，∴； ②，理由：∵，∴， ∵，∴在图（1）中，，∴，即， ∵，， ∴，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握等腰三角形共点旋转模型是解本题的关键， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形重要模型之手拉手（旋转）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 1 16 【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例1．（2024·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 例2．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．    (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系． (2)当时．①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立，并说明理由． ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 例3．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 例6．（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 1．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·浙江丽水·九年级专题练习）如图，在中，过点C作，垂足为点D，过点D分别作，，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若，，则的值为（    ）． A． B．4 C． D．6 3．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知，，，将绕点A顺时针旋转得到，且点G落在对角线上，延长交于点H，则的长为 ．    4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，其中，与、分别交于点、.求： （1） ；（2）若，，则 ． 5．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，等腰直角中，，，，是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等腰直角，，，若，则线段的长为 ．    6．（2024·江苏·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度． 7．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值． 8.（2023.山东.九年级期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 9.（2023.重庆.九年级期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 10．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，D是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． (1)【尝试初探】如图1，当点D在线段上运动时，，相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，当点D在的延长线上运动时，，相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）【探究发现】（1）在△中，， ，分别为上的点，且，取中点，连接；则与的数量关系为： ；与的夹角为： ． （2）【类比迁移】在（1）的条件下，将△绕点旋转度（），连接，取中点，连接，证明：无论取何值，△都是等边三角形． （3）【拓展应用】如图，已知：，，，三点共线，，取中点，连接，①证明：，②连接，则 ． 12．（2024·贵州铜仁·一模）如图1，已知中，，，，、分别是、上的点，，绕点顺时针旋转． (1)【问题解决】如图①，用等式表示线段与的数量关系是_________； (2)【问题探究】当旋转到如图②所示，判断线段与的数量关是否发生变化？并说明理由； (3)【拓展延伸】当，旋转过程中，当、、共线时，若，求的长．（作图解决问题） 13．（23-24九年级下·辽宁盘锦·开学考试）一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”．(1)【概念理解】如图1，，则四边形 （填“是”或“不是”）等腰直角四边形； (2)【分析应用】如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段数量关系并加以证明； (3)【拓展提高】如图3，四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线， 且，求的面积．    14．（2024·广西南宁·二模）综合与实践 【问题情境】在《综合与实践专题》课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B） 【数学思考】（1）当时，延长DE交AC于点G，求证：四边形BCGE是正方形； 【深入探究】（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N，则有请你予以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长．请你思考此问题，并写出求解过程． 15．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． (2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． (3)【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 16．（2023·四川成都·三模）如图，在和中，其中，，将绕点C旋转，连接，．(1)求证：；(2)设与交于点F，与交于点G，若四边形为平行四边形，求的值；(3)连接，，若，，当点D在射线上时，求的长． 17．（22-23九年级上·河南郑州·期中）已知，点D为直线上的一个动点（点D不与点B重合），连接，以为一边构造，使，连接． (1)如图1，当时，直接写出线段与线段的数量关系与位置关系∶ ①数量关系：________； ②位置关系：_________； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，分别取线段，的中点M，N，连接，若，请直接写出的面积． 18．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 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